文档内容
专题 05 功与功率 功能关系
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................3
03核心精讲·题型突破..........................................................................................................4
题型一 功和功率的理解及应用.......................................................................................................................4
【核心精讲】...............................................................................................................................................................................................4
考点1 各种力的做功特点.................................................................................................................................................................4
考点2 变力做功的分析和计算........................................................................................................................................................4
考点3 机车启动....................................................................................................................................................................................5
【真题研析】...............................................................................................................................................................................................7
【命题预测】............................................................................................................................................................................................10
考向1 功的理解及计算.................................................................................................................................................................10
考向2 变力做功的计算.................................................................................................................................................................11
考向3 功率的理解及计算............................................................................................................................................................12
考向4 机车启动及机械功率类问题.........................................................................................................................................12
题型二 动能定理的理解及应用.....................................................................................................................15
【核心精讲】............................................................................................................................................................................................15
考点1动能定理的深层次理解......................................................................................................................................................15
考点2应用动能定理解题的一般步骤.........................................................................................................................................16
【真题研析】............................................................................................................................................................................................16
【命题预测】............................................................................................................................................................................................17
考向1 动能及动能定理的理解.....................................................................................................................................................17
考向2 动能定理的简单应用..........................................................................................................................................................18
题型三 功能关系..........................................................................................................................................19
【核心精讲】............................................................................................................................................................................................19
考点1 功能关系的理解...................................................................................................................................................................19
考点2 常见力做功与能量变化的关系.......................................................................................................................................19
【真题研析】............................................................................................................................................................................................20
【命题预测】............................................................................................................................................................................................20
考向1常见力做功与能量变化的关系.........................................................................................................................................20
考向2功能关系的综合应用...........................................................................................................................................................21
难点突破 动能定理在多过程问题中的应用...................................................................................................22
【核心精讲】............................................................................................................................................................................................22
考点1 应用动能定理解决多过程问题.......................................................................................................................................22
【真题研析】............................................................................................................................................................................................23
【命题预测】............................................................................................................................................................................................24
考向1 动能定理在多过程问题中的应用................................................................................................................................24命题统计
2024 2023年 2022年
命题要点
2023•北京•功的理解及计算、
2024•安徽•变力做功的计算、2024•
2023•广东•变力做功的计算、
安徽•功率的理解及计算、2024•福
2023•湖北•机车启动及机械功率 2022•北京•功的理解及计
建•功的理解及计算、2024•福建•功
类问题、2023•湖南•功率的理解 算、2022•福建•功的理解
率的理解及计算、2024•广东•功率的
功和功率的 理解及计算、2024•贵州•功率的理解 及计算、2023•江苏•功的理解及 及计算、2022•广东•功的
热
理解及应用 及计算、2024•海南•功的理解及计 计
计
算
算
、
、
2
2
0
0
2
2
3
3
•
•
辽
山
宁
东
•
•
功
功
率
率
的
的
理
理
解
解
及
及 功
理
率
解
的
及
理
计
解
算
及
、
计
20
算
22
、
•江
20
苏
22
•
•
算、2024•江西•功率的理解及计算、
计算、2023•山东•机车启动及机 浙江•机车启动及机械功率
2024•上海•机车启动及机械功率类问
考 械功率类问题、2023•天津•机车 类问题
题、2024•新疆河南•功的理解及计
启动及机械功率类问题、2023•重
算、2024•浙江•功率的理解及计算
角 庆•功的理解及计算
2023•全国•动能及动能定理的理
度
动能定理的 2024•新疆河南•动能及动能定理的理 解、2023•全国•动能定理的简单 2022•全国•动能定理的简
理解及应用
解 应用、2023•福建•动能定理的简 单应用
单应用
2024·重庆·功能关系及应用、2024·北
京·功能关系及应用、2024·山东·功能 2022·河北·高考真题、
功能关系 关系及应用、2024·浙江·功能关系及 2023·福建·高考真题、2023·广东· 2022•山东•高考真题、
高考真题、2023·全国·高考真题
应用、2024•北京•功能关系及应用、 2022·山东·高考真题
2024•辽宁•功能关系及应用
2022•浙江•动能定理在多
过程问题中的应用、2022•
天津•动能定理在多过程问
动能定理在 2024•福建•动能定理在多过程问题中 2023•湖北•动能定理在多过程问 题中的应用、2022•湖北•
多过程问题 的应用、2024•海南•动能定理在多过 题中的应用、2023•江苏•动能定 动能定理在多过程问题中
中的应用
程问题中的应用 理在多过程问题中的应用 的应用、2022•福建•动能
定理在多过程问题中的应
用、2022·全国·动能定理在
多过程问题中的应用
①各种力的做功特点及计算②变力做功的计算③动能及动能定理的深入理解④动能定理在单一简单过
命题规律 程中的应用及计算计算；⑤动能定理在单物体多过程问题中的应用；⑥各种力做功与对应能量的转化
问题
本专题属于重点、热点、难点内容；高考命题以选择题或计算题的形式出现；
考向预测 功和功率方面不单单考本身知识，还会与电学，能量转化结合一起考察；动能、动能定理、功能关系
也不单单会考本身知识，通常与匀变速直线运动、平抛运动、圆周运动甚至与后面的电学结合起来进
行综合考核
命题情境 汽车启动问题，机械等功和功率问题，风力发电功率计算，蹦极运动、过山车等能量问题；
常用方法 微元法、函数法、图像法、比较法、极限法；理解过程与状态、过程量与状态量。题型一 功和功率的理解及应用
考点1 各种力的做功特点
1. 重力、弹簧弹力、电场力做功与位移有关,与路径无关.
2. 滑动摩擦力、空气阻力、安培力做功与路径有关.
3. 摩擦力做功有以下特点
1）一对静摩擦力所做功的代数和总等于零；
2）一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能的转移，做功的代数和总是负值，差值为机械能
转化为内能的部分，也就是系统机械能的损失量，损失的机械能会转化为内能,内能Q=Fx ；
f 相对
3）两种摩擦力对物体都可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
三步求解相对滑动物体的能量问题
①正确分析物体的运动过程，做好受力分析．
②利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系，求出两个物体的相对位移．
Q=f⋅x Q=f⋅s
③代入公式 相对位移计算，若物体在传送带上做往复运动，则为相对路程 相对路程．
考点2 变力做功的分析和计算
1. “微元法”求变力做功: 将物体的位移分割成许多小段,因小段很小,每一小段上作用在物体上的力可以
视为恒力,这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和,此法适用于求解大
小不变、方向改变的变力做功.
【举例】质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功
W＝F·Δx＋F·Δx＋F·Δx＋…＝F(Δx＋Δx＋Δx＋…)＝F·2πR
f f 1 f 2 f 3 f 1 2 3 f2. “图像法”求变力做功: 在F-x图像中, 图线与 x 轴所围“面积”的代数和 就表示力F在这段位移内所
做的功,且位于x轴上方的“面积”为正功,位于x轴下方的“面积”为负功,但此方法只适用于便于求图线与
x轴所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形).
举例】一水平拉力拉着一物体在水平面上运动的位移为x，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功，
0
【
F +F
W= 0 1 x
2
3. “平均力”求变力做功: 当力的方向不变而大小随位移线性变化时,可先求出力对位移的平均值
F +F
F¯= 0 1
2 W=F¯ lcosθ
,再由 计算,如弹簧弹力做功.
【举例】弹力做功，弹力大小随位移线性变化，取初状态弹力为0，则
W=F¯ x=
0+F
k x=
0+kx
x=
1
kx2
2 2 2
4. 应用动能定理求解变力做功：在一个有变力做功的过程中，当变力做功无法直接通过功的公式求解时，
可用动能定理W ＋W ＝mv2－mv2，物体初、末速度已知，恒力做功W 可根据功的公式求出，这样就
变 恒 2 1 恒
可以得到W ＝mv2－mv2－W ，就可以求出变力做的功了．
变 2 1 恒
【举例】用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W ，则有：
F
W +W =0⇒W −mgl(1−cosθ)=0⇒W =mgl(1−cosθ)
F G F F
5. 等效转换法求解变力做功：将变力转化为另一个恒力所做的功。
【举例】恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·(－)考点3 机车启动
P
−F =ma
动力学方程： v f
1. 以恒定功率P启动
P
额
v =
m F
1）过程分析：机车的运动过程是先作加速度减小的加速运动，后以最大速度 f 作匀速直线运
动.
P F−F
v↑⇒F= 额 ↓⇒a= f ↓
v m
P
额
v =
m F
2）转折点：在转折点A,牵引力与阻力大小相等,加速度为零,速度达到最大,为 f
P
额
v =
3 ） 终态：匀速运动，最大速度 m F
f
2.以恒定牵引力F启动
v P
1 额
t = =
0 a （F +ma）a ，
1）过程分析：机车先作匀加速运动，维持时间 f 当功率增大到额定功率
P P
额 额
v = v =
1 F +ma m F
时速度为 f ，而后开始作加速度减小的加速运动，最后以最大速度 f 作匀速直线运
动。
F−F
a= f 不变⇒F不变，v↑⇒P=Fv↑到最大P ⇒P =Fv
m 额 额 1P F−F
P 不变，a≠0⇒v↑⇒F= 额 ↓⇒a= f ↓
额 v m
P
额
v =
1 F +ma
2）转折点：在转折点A,功率达到额定功率,匀加速运动结束,此时 f ;在转折点B,速度达
P
额
v =
m F
到最大,为 f
P
额
v =
m F
f
终态：匀速运动，最大速度
3）
P
额
v =
m F
无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即 f
1．（2023·北京·高考真题）如图所示，一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线运动。已知物体质量
为m，加速度大小为a，物体和桌面之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，在物体移动距离为x的过程
中（ ）
A．摩擦力做功大小与F方向无关 B．合力做功大小与F方向有关C．F为水平方向时，F做功为 D．F做功的最小值为
【考点】功的理解及计算
【答案】D
【详解】A．设力F与水平方向的夹角为θ，则摩擦力为 ，摩擦力的功
，即摩擦力的功与F的方向有关，选项A错误；
B．合力功 ，可知合力功与力F方向无关，选项B错误；
C．当力F水平时，则 ，力F做功为 ，选项C错误；
D．因合外力功为max大小一定，而合外力的功等于力F与摩擦力f做功的代数和，而当 时，
摩擦力f=0，则此时摩擦力做功为零，此时力F做功最小，最小值为max，选项D正确。
故选D。
2．（2023·广东·高考真题）（多选）人们用滑道从高处向低处运送货物．如图所示，可看作质点的货物从
圆弧滑道顶端 点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端 点时速度大小为 。已知货物质量为 ，滑
道高度 为 ，且过 点的切线水平，重力加速度取 。关于货物从 点运动到 点的过程，下列说
法正确的有（ ）
A．重力做的功为 B．克服阻力做的功为
C．经过 点时向心加速度大小为 D．经过 点时对轨道的压力大小为
【考点】变力做功的计算
【答案】BCD
【详解】A．重力做的功为 ，A错误；B．下滑过程据动能定理可得 ，代入数据解得，克服阻力做的功为 ，B正确；
C．经过 点时向心加速度大小为 ，C正确；
D．经过 点时，据牛顿第二定律可得 ，解得货物受到的支持力大小为 ，据牛顿
第三定律可知，货物对轨道的压力大小为 ，D正确。
故选BCD。
3．（2024·福建·高考真题）我国古代劳动人民创造了璀璨的农耕文明。图（a）为《天工开物》中描绘的
利用耕牛整理田地的场景，简化的物理模型如图（b）所示，人站立的农具视为与水平地面平行的木板，
两条绳子相互平行且垂直于木板边缘。已知绳子与水平地面夹角 为 ， ，
。当每条绳子拉力 的大小为 时，人与木板沿直线匀速前进，在 内前进了 ，
求此过程中
(1)地面对木板的阻力大小；
(2)两条绳子拉力所做的总功；
(3)两条绳子拉力的总功率。
【考点】功率的理解及计算
【答案】(1)450N (2)9.0×103J (3)600W
【详解】（1）由于木板匀速运动则有
解得
（2）根据功的定义式有
解得（3）根据功率的定义 ，有
4．（2024·上海·高考真题）汽车智能化
我国的汽车智能化技术发展迅猛。各类车载雷达是汽车自主感知系统的重要组成部分。汽车在检测到事故
风险后，通过自主决策和自主控制及时采取措施，提高了安全性。
一辆质量 的汽车，以 的速度在平直路面上匀速行驶，此过程中发动机功率
，汽车受到的阻力大小为 N。当车载雷达探测到前方有障码物时，主动刹车系统立即撤
去发动机驱动力，同时施加制动力使车辆减速。在刚进入制动状态的瞬间，系统提供的制动功率
，此时汽车的制动力大小为 N，加速度大小为 。（不计传动装置和热损耗造
成的能量损失）
【考点】机车启动及机械功率类问题
【答案】42．A 43． 600
【解析】42．车载雷达系统发出的激光是横波，超声波信号是纵波。
故选A。
43．[1]根据题意可知，汽车匀速行驶，则牵引力等于阻力，则与
其中 ，
解得
[2]根据题意，由 可得，汽车的制动力大小为
[3]由牛顿第二定律可得，加速度大小为考向 1 功的理解及计算
1．（2024·浙江·一模）如图所示，运动员正在使用“倒蹬机”锻炼身体。当他用脚蹬踏板并使其推至最高
处的过程中(忽略运动员重心的变化)，下列说法正确的是（ ）
A．靠背对运动员做正功 B．靠背对运动员做负功
C．脚对踏板做正功 D．脚对踏板做负功
【答案】C
【详解】AB．靠背对运动员的力垂直与靠背，由于运动员没有位移，所以靠背对运动员不做功，故AB
错误；
CD．脚对踏板的力和踏板的位移方向相同，所以脚对踏板做正功，故C正确，D错误。
故选C。
2．（2024·安徽·模拟预测）质量为 的物体在水平面上由静止开始做直线运动，受到的阻力大小与运动
距离 满足 ，沿运动方向的水平拉力 与运动距离 的关系如图所示。下列说法正确的是
（ ）
A．在 处物体的加速度大小为B． 合外力对物体做功为
C． 物体克服阻力做功为
D．在 处物体速度大小约为
【答案】D
【详解】A．由图可知，在 处物体根据受到的水平拉力为 ，牛顿第二定律 ，又
，可知 处物体的加速度大小为 ，故A错误；
BCD． 过程中， 图像与坐标轴围成的面积表示拉力 做功，则 ，
克服阻力做功 ， 合外力对物体做功为 ，
由动能定理可知 ，解得在 处物体速度大小约为 ，故BC错误，D正
确。
故选D。
考向 2 变力做功的计算
3．（2025·广西·模拟预测）物体在万有引力场中具有的势能叫做引力势能。取两物体相距无穷远时的引力
势能为零，一个质量为m 的质点距离质量为M 的引力源中心为r 时，其引力势能 （式中G
0 0 0
为引力常数）。现有一颗质量为m的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行，由于受高空稀薄空气的阻力
作用，卫星的圆轨道半径从r 缓慢减小到r，已知地球的质量为M，引力常数为G，则此过程中（ ）
1 2
A．卫星的引力势能减小 B．卫星克服阻力做的功为
C．外力对卫星做的总功为 D．卫星的势能减少量小于动能增加量
【答案】B【详解】A．设卫星轨道半径为r，由题目条件知其引力势能为 ，所以，卫星引力势能的减
小量为 ，故A错误；
CD．由万有引力提供向心力 ，卫星动能为 ，卫星动能增加量即外力对
卫星做的总功为 ，所以，卫星的势能减少量大于动能增
加量，故C、D错误；
B．根据能量守恒和功能关系得 ， ，联立得 ，故B正确。
故选B。
考向 3 功率的理解及计算
4．（2024·江苏·模拟预测）如图所示，质量 的跳台滑雪运动员从跳台 处沿水平方向飞出，在斜
坡（近似看成斜面） 处着陆， 间的距离 ，斜坡与水平方向的夹角 ，不计空气阻力，重
力加速度 取 。求：
（1）运动员由 处运动到 处的时间；
（2）运动员在飞行过程中，离斜坡最远时重力的瞬时功率 。
【答案】（1） ；（2）【详解】（1）根据题意，运动员在空中做平抛运动，在竖直方向
解得
（2）在水平方向
解得
根据平抛运动规律，离斜坡最远时速度与斜面平行，则
则重力的瞬时功率为
解得
考向 4 机车启动及机械功率类问题
5．（2025·全国·模拟预测）（多选）如图所示，2024年10月1日8时36分，由我国自主研发、目前最先
进的CR400AF-S型“复兴号”智能动车组G62次列车开始运行。假设额定功率为 、质量为
的G62次列车在平直铁路上以 的速度匀速行驶，列车受到的阻力大小f恒定。下列
说法正确的是（ ）
A．列车受到的阻力大小为110N
B．列车以额定功率行驶，速度为55m/s时，加速度大小为
C．列车由静止开始以 的加速度做匀加速运动的最长时间约为367sD．列车以额定功率由静止开始沿直线前进距离s时达到速度u，此过程用时为
【答案】BC
【详解】A．该列车匀速行驶时受到的阻力f与牵引力 平衡，即
故A错误；
B．列车以额定功率行驶，列车行驶速度为 时，牵引力大小 ，根据牛顿第二定律有
，解得 ，故B正确；
C．根据题意，设加速度为 时牵引力为 ，由牛顿第二定律有 ，又有 ，
，联立解得 ，故C正确；
D．根据题意，由动能定理有 ，解得 ，故D错误。
故选AC。
6．（2024·浙江台州·一模）如图甲为我国自主研制的全球首款轮式起重机，将120吨的风力发电机组吊至
高空，若该起重机由静止开始竖直向上提升机组，加速度和速度的倒数图像如图乙所示，不计其他阻力，
，下列说法正确的是（ ）
A．重物上升的最大速度 B．起重机的额定功率为
C．重物在 内做匀加速直线运动 D．第 内起重机对重物做的功为
【答案】D【详解】B．当横坐标为0.1时，起重机达到最大功率，对发电机组列牛顿第二定律 ，解得
，故B错误；
A．当起重机达到最大速度时，发电机组的加速度为零，故有 ，解得 ，故A错误；
C．由图可知，当横坐标为0.1时，起重机达到额定功率，不再做匀加速运动，而是开始做加速度减小
的加速运动，直到达到最大速度后匀速，由运动学公式可知 ，故C错误；
D．起重机在第5s后达到额定功率，恒功率运行，故第6s内起重机对重物做的功为
，故D正确。
故选D。
7．（2024·广东清远·一模）近几年具有健康、活力、激情标签的滑雪运动备受青睐，滑雪场地也成为了越
来越多人的冬游之选。如图所示，某滑雪场打算在一坡度约为 的滑道边上安装一条100m的长直“魔
毯”来运送滑雪者上山，“魔毯”的额定功率为 ，其表面与其他物品的动摩擦因数均为0.75，“魔
毯”始终匀速运行。“魔毯”质量不计，忽略魔毯”与冰面的摩擦和其他机械摩擦。（携带装备的成年人
平均质量约为 取 （ ）
A．一个成年人上山过程中克服重力做功
B．一个成年人上山过程中克服摩擦力做功C．若同时承运100个成年人，则其最大运行速度约为
D．若魔毯”以 速度运行，则最多可以同时承运50个成年人
【答案】C
【详解】A．一个成年人上山过程中克服重力做功为
，故A错误；
B．一个成年人上山过程中，摩擦力做正功，不是克服摩擦力做功，则静摩擦力做的功为
，故B错误；
C．当“魔毯”上同时承运n=100人时，有 ， ，由牛顿第三定律，对“魔毯”有
，“魔毯”正常工作时，有 ，可得 ，故C正确；
D．同理可得，若“魔毯”以1m/s速度运行，由 可得 ，代入数据解得 ，
则最多可以同时承运200个成年人，故D错误。
故选C。
题型二 动能定理的理解及应用
考点1动能定理的深层次理解
1.内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
1 1
W = mv− mv
合 2 t 2 0
2.表达式： .
3. 动能是标量,功也是标量,所以 动能定理是一个标量式 , 不存在方向的选取问题 .当然动能定理也就不存在分
量的表达式.例如,将物体以相同大小的初速度不管从什么方向抛出,若最终落到地面时速度大小相同,所列的动能定理的表达式都是一样的.
3. 高中阶段动能定理中的位移和速度必须相对于同一个参考系,一般以地面或相对地面静止的物体为参考
系
4. 动能定理说明了合外力对物体所做的功和动能变化间的因果关系和数量关系,不可理解为功转变成了物
体的动能
5. 合外力做的功为零时,合外力不一定为零(如匀速圆周运动),物体不一定处于平衡状态
6. 应用动能定理只考虑初、末状态，没有守恒条件的限制，也不受力的性质和物理过程的变化的影响.所
以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用时间的动力学问题，都可以用动能定理分析和解答，而且一般都
比用牛顿运动定律和机械能守恒定律简捷.
考点2应用动能定理解题的一般步骤
1.选对象：确定研究对象和研究过程
2.两分析：
1)运动分析：运动性质及特点、明确初、末状态动能？
2)受力分析：几个力？恒力还是变力？正功还是负功？求总功
3.列方程：分阶段或全过程列动能定理
1.应用动能定理解题应抓住“两状态，一过程”，“两状态”即明确研究对象的始、末状态的速度或
动能情况，“一过程”即明确研究过程，确定在这一过程中研究对象的受力情况和位置变化或位移信
息．
2.应用动能定理的关键在于对研究对象进行准确地受力分析及运动过程分析,并画出运动过程的草图,
借助草图理解物理过程之间的关系.
3.列动能定理方程时,必须明确各力做功的正、负,确实难以判断的先假定为正功,最后根据结果加以检
验. 位移和速度必须是相对于同一个参考系的,一般以地面或相对地面静止的物体为参考系.
1．（2024·新疆河南·高考真题）福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进
行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离
开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为
调整前的（ ）
A．0.25倍 B．0.5倍 C．2倍 D．4倍
【考点】动能及动能定理的理解
【答案】C
【详解】动能表达式为 ，由题意可知小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则离开
甲板时速度变为调整前的2倍；小车离开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据，可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍。
故选C。
2．（2022·全国·高考真题）北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示。运动员从a处由静
止自由滑下，到b处起跳，c点为a、b之间的最低点，a、c两处的高度差为h。要求运动员经过c点时对
滑雪板的压力不大于自身所受重力的k倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c点处这一
段圆弧雪道的半径不应小于（ ）
A． B． C． D．
【考点】动能定理的简单应用
【答案】D
【详解】运动员从a到c根据动能定理有 ，在c点有 ,F c ≤ kmg，联立有
N
故选D。
考向 1 动能及动能定理的理解
1．（2024·北京朝阳·模拟预测）一个质量为 的空心环形薄板（其厚度一定、质量均匀分布），内径为 ，
内径和外径之比为 。当薄板在水平冰面上以角速度 匀速转动时，其因转动而具有的动能大小为（
）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】空心环形薄板具有的平均速度为 ，所以因转动而具有的动能大小为
故选D。
考向 2 动能定理的简单应用
2．（2024·贵州·模拟预测）巴黎奥运会网球女单决赛中，中国选手郑钦文以2：0战胜克罗地亚选手维基
奇夺冠。这是中国运动员史上首次赢得奥运网球单打项目的金牌。某次郑钦文将质量为m的网球击出，网
球被击出瞬间距离地面的高度为h，网球的速度大小为 ，经过一段时间网球落地，落地瞬间的速度大小
为 ，重力加速度为g，网球克服空气阻力做功为 。则下列说法正确的是（ ）
A．击球过程，球拍对网球做功为
B．网球从被击出到落地的过程，网球动能的增加量为mgh
C．网球从被击出到落地的过程，网球的机械能减少
D．
【答案】D【详解】A．击球过程，根据动能定理有 ，即球拍对网球做功为 ，故A错误；
B．网球从被击出到落地，根据动能定理有 ，故B错误；
C．根据功能关系可知，网球从被击出到落地，网球的机械能减少 ，故C错误；
D．根据动能定理有 ，解得 ，故D正确。
故选D。
3．（2024·贵州六盘水·模拟预测）用两根铁丝制作成如图所示的凹凸桥，凹桥最低点A距离地面的竖直高
度 。让质量为m的小球从距离A点 高处由静止释放，小球经过A点时轨迹视为半径 的
圆，受到轨道的支持力 ，小球恰能撑开轨道水平飞出。忽略球与轨道的摩擦力，不计空气阻力，
重力加速度g取 。求：
(1)小球过A点的速度v和 的大小；
(2)小球做平抛运动的水平射程x。
【答案】(1)2m/s，0.2m (2)0.4m
【详解】（1）小球过A点时，根据牛顿第二定律有
解得
小球下滑至A点过程，根据动能定理有结合上述解得
（2）小球做平抛运动，则有 ，
解得
题型三 功能关系
考点1 功能关系的理解
1. 做功的过程就是能量转化的过程，不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的．
2. 功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，
考点2 常见力做功与能量变化的关系
1.当只有重力（或弹簧弹力）做功时，物体的机械能守恒.
W =−ΔE
G p
2.重力对物体做的功等于物体重力势能的减少: .
W =−ΔE
弹 p
3.弹簧弹力对物体做的功等于物体弹性势能的减少: .
W =−ΔE
电 p
4.电场力对物体做的功等于物体电势能的减少: .
W =E −E =ΔE
电 t 0
5.克服安培力做的功等于电能增加量：
W =ΔE =E −E
5.合外力对物体所做的功等于物体 动能的变化 : 合 k kt k0（动能定理）
除了重力（或弹簧弹力）之外的力对物体所做的功等于物体机械能的变化:
6.
W =ΔE=E −E
除重力弹力外其他力 t 0Q=F ⋅Δs
f 相对
7.一对滑动摩擦力做功等于系统机械能减少（内能增加）: .
1.物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．
2.势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、电场力等)做负功还是做正功．
3.机械能增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．
1．（2023·浙江·高考真题）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳
台下落直到最低点过程中（ ）
A．弹性势能减小 B．重力势能减小
C．机械能保持不变 D．绳一绷紧动能就开始减小
【考点】常见力做功与能量变化的关系
【答案】B
【详解】游客从跳台下落，开始阶段橡皮绳未拉直，只受重力作用做匀加速运动，下落到一定高度时橡
皮绳开始绷紧，游客受重力和向上的弹力作用，弹力从零逐渐增大，游客所受合力先向下减小后向上增
大，速度先增大后减小，到最低点时速度减小到零，弹力达到最大值。
A．橡皮绳绷紧后弹性势能一直增大，A错误；
B．游客高度一直降低，重力一直做正功，重力势能一直减小，B正确；
C．下落阶段橡皮绳对游客做负功，游客机械能减少，转化为弹性势能，C错误；
D．绳刚绷紧开始一段时间内，弹力小于重力，合力向下做正功，游客动能在增加；当弹力大于重力后，
合力向上对游客做负功，游客动能逐渐减小，D错误。
故选B。
考向 1 常见力做功与能量变化的关系
1．（2024·广西柳州·一模）如图所示，绝缘水平面上方存在一方向水平向右、场强大小为 的匀强电场。将一质量为0.1kg、带电量为 的小滑块由静止释放后，沿水平面向右运动了2m，已知
小滑块与水平面间的动摩擦因数 ，g取 ，则该过程中小滑块（ ）
A．动能增加了0.1J B．电势能减少了0.5J
C．机械能增加了0.6J D．与地面摩擦产生的热量为0.6J
【答案】A
【详解】已知 ， ， ， ，对小滑块受力分析可得
A．由动能定理可得，小滑块动能增加量 ，故A正确；
B．电势能减少量 ，故B错误；
C．机械能的增加量等于动能的增加量0.1J，故C错误；
D．地面摩擦产生的热量 ，故D错误。
故选A。
考向 2 功能关系的综合应用
2．（2024·四川内江·一模）如图，一轻弹簧的一端固定于O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同
一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，不计空气阻力。在小球由A点摆向最低点B的过程中，下
列说法正确的是（ ）
A．小球减小的机械能一定等于弹簧增加的弹性势能
B．小球减小的重力势能等于弹簧增加的弹性势能C．小球增加的动能一定等于弹簧增加的弹性势能
D．小球增加的动能大于减小的重力势能
【答案】A
【详解】A．根据机械能守恒定律可知，小球减小的机械能一定等于弹簧增加的弹性势能，故A正确；
BCD．根据能量守恒定律可知，物体减小的重力势能一部分转化为物体的动能，另一部分转化为弹簧的
弹性势能，则小球减小的重力势能大于弹簧增加的弹性势能，小球增加的动能小于减小的重力势能，小
球增加的动能不一定等于弹簧增加的弹性势能，故BCD错误；
故选A。
3．（2024·河北·模拟预测）（多选）滑雪场一段平直坡道倾角为 ，质量为 的滑雪者收起滑雪杖由静
止开始自由下滑，下滑的加速度恒为 （ 为重力加速度），滑雪者沿坡道下滑过程中，竖直方向下降
的高度为 。对于下滑过程，下列说法正确的是（ ）
A．合外力做的功为 B．动能增加
C．克服摩擦力做的功为 D．机械能损失
【答案】AC
【详解】A．下滑的加速度恒为 ，则合外力做的功为 ，故A正确；
B．根据动能定理有 ，结合上述解得 ，故B错误；
C．下滑的加速度恒为 ，根据牛顿第二定律有 ，解得 ，则克服摩
擦力做功 ，故C正确；
D．根据功能关系可知，机械能损失量大小等于克服摩擦力做的功，即机械能损失 ，故D错误。
故选C。难点突破 动能定理在多过程问题中的应用
考点1 应用动能定理解决多过程问题
当物体的运动是由几个物理过程所组成，又不需要研究过程的中间状态时，可以把这几个物理过程看
作一个整体进行研究，从而避开每个运动过程的具体细节，具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点.
1.全过程应用动能定理解决问题：当物体的运动包含多个不同过程时,可分段应用动能定理求解;当所求解的
问题不涉及中间的速度时,也可以全过程应用动能定理求解,这样更简便.
1)重力、弹簧弹力做功取决于物体的初、末位置，与路径无关．
2)大小恒定的阻力或摩擦力做功的数值等于力的大小与路程的乘积．
2.动能定理解决往复运动：在有些问题中物体的运动过程具有重复性、往返性，而在这一过程中，描述运
动的物理量多数是变化的，而且重复的次数又往往是无限的或者难以确定．此类问题多涉及滑动摩擦力或
其他阻力做功，其做功的特点是与路程有关，运用牛顿运动定律及运动学公式将非常繁琐，甚至无法解出，
由于动能定理只涉及物体的初、末状态，所以用动能定理分析这类问题可简化解题过程．
3.以下情况不宜全过程用动能定理求解
1)若题目需要求某一中间物理量，应分阶段应用动能定理．
2)物体在多个运动过程中，受到的弹力、摩擦力等力若发生了变化，力在各个过程中做功情况也不同，
不宜全过程应用动能定理，可以研究其中一个或几个分过程，结合动能定理，各个击破．
1．（2022·浙江·高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角 =37°的光滑直轨道AB、
圆心为O 的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O 的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直轨道
1 2
FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O、D、O 和
1 2
F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨道AB
长度 ，滑块与轨道FG间的动摩擦因数 ，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（ ）
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F 的大小；
N
（2）设释放点距B点的长度为 ，滑块第一次经F点时的速度v与 之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度 的值。
【考点】动能定理在多过程问题中的应用
【答案】（1）7N；（2） （ ）；（3） ， ，
【详解】（1）滑块释放运动到C点过程，由动能定理
经过C点时
解得
（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时
解得
而要保证滑块能到达F点，必须要保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动能
定理
可解得则要保证小球能到F点， ，带入 可得
（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n倍，则n=1,3,5,……
解得 n=1,3,5, ……
又因为 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，满足要求。
即若滑块最终静止在轨道FG的中点，释放点距B点长度 的值可能为 ， ， 。
考向 1 动能定理在多过程问题中的应用
1．（2024·山西·模拟预测）如图所示，倾角为37°的斜面体固定在水平面上，质量为1kg的物块从斜面底
端A以一定的初速度沿斜面向上滑行。物块与斜面间的动摩擦因数μ随物块沿斜面向上运动的位移x关系
为μ=kx，其中 。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计物块的大小，重力加速度为10m/s2，斜面
足够长，sin37°=0.6，求：
（1）要使物块滑上去不再下滑，则物块在斜面底端初速度的最小值；
（2）若物块沿斜面上滑的最大距离为5m，则物块在斜面上运动的加速度的最大值；再次回到斜面底端时
的速度大小。【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）当物块滑到最高点刚好不下滑时，根据物体平衡
解得μ=0.75
设物块沿斜面上滑的最小距离为x，则
1
解得
设初速度大小至少为 ，根据动能定理
解得
（2）根据牛顿第二定律
解得物块在斜面上运动的最大加速度
设物块回到斜面底端时的速度大小为 ，根据动能定理
解得
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图所示一轨道ABCD竖直放置，AB段和CD段的倾角均为θ=37°，与水
平段BC平滑连接，BC段的竖直圆形轨道半径为R，其最低点处稍微错开，使得滑块能进入或离开。AB段
和CD段粗糙，其余各段轨道光滑。将一质量为m的小滑块从轨道上离B点距离L=125R处由静止释放，
滑块经过圆形轨道后冲上CD段上升一段距离后再次滑下，往返滑动多次后静止于轨道上某处。滑块和轨
道AB、CD间的动摩擦因数均为μ=0.5，重力加速度大小为g，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）滑块第一次到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小；
（2）滑块第一次在CD段向上滑行的最大距离；
（3）整个过程中滑块在AB段滑行的总路程。
【答案】（1） ；（2） ；（3）【详解】（1）滑块第一次到达圆轨道最高点的过程中，由动能定理
在最高点，对滑块由牛顿第二定律
由牛顿第三定律可知，滑块第一次到达圆轨道最高点时对轨道的压力大小为
（2）滑块第一次在CD段向上滑行的过程中，由动能定理
解得滑块第一次在CD段向上滑行的最大距离为
（3）滑块第二次到达圆轨道最高点的过程中，由动能定理
解得
设滑块第一次在AB段向上滑行的最大距离为s，由动能定理
1
解得
滑块第三次到达圆轨道最高点的过程中，由动能定理
解得
所以滑块第三次进入圆形轨道无法到达最高点，假设其运动的过程中不脱轨且上升的最大高度为h，由
动能定理可得
解得
所以滑块第三次进入圆形轨道运动过程中没有脱轨，之后仅在AB段与圆形轨道间来回滑动，最终停在
B点，设滑块在AB段滑行的路程为s，由动能定理
2
整个过程中滑块在AB段滑行的总路程为
联立解得
3．（2024·湖南·三模）如图所示，水平轨道与光滑的竖直圆轨道底部平滑连接，每个圆轨道的进口与出口
稍微错开，圆轨道的顶端都有一个缺口，关于通过圆轨道中心O的竖直线对称，已知圆轨道的半径都为R，第一个圆轨道缺口圆心角 ，且 ，以后每个圆轨道缺口圆心角依次减小10°，即
， ， ……，AB段水平轨道光滑，长度为2.5R，连接之后每两个圆轨道之间的水平
轨道出口、进口处有一段长度为R的光滑水平轨道，两段光滑轨道用一段长度合适的粗糙水平轨道连接，
动摩擦因数为0.02。现一质量为m的小球从A点由静止开始在水平恒力 的作用下开始运动，当小球
到达B点时撤去恒力F，重力加速度为g。求：
（1）小球经过 点时对轨道压力的大小；
（2）通过计算说明小球能否从 点飞过缺口，并从 点无碰撞的经过 点回到圆轨道；
（3）通过调节两个圆轨道间粗糙水平部分的长度，保证每次小球飞过下一个圆轨道的缺口后能无碰撞地
经过飞出的对称点回到圆轨道，问总共最多能设计出几个符合这样要求的圆轨道，并求出所有圆轨道间粗
糙水平轨道的总长度。
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）4，
【详解】（1）设小球在 点的速度大小为 ，小球从A点运动到 点，根据动能定理
解得
小球在 点时，根据牛顿第二定律
解得
根据牛顿第三定律，小球对轨道压力等于轨道对小球的支持力，即（2）小球从 点飞出后，做斜抛运动，在竖直方向
小球下落到与 点同一水平高度的时间为
则，在水平方向
此过程中，小球的水平位移为
联立，解得
点和 点的距离为
所以，小球能从 点飞过缺口，并从 点无碰撞的经过 点回到圆轨道；
（3）设总共最多能设计出n个符合这样要求的圆轨道，由（2）同理可得
设此过程克服摩擦力做功为W，根据动能定理
联立，解得
当W取极大值时，克服摩擦力做功最多，经过符合这样要求的圆轨道最多，由数学知识可得，当
即，当
时，符合这样要求的圆轨道最多，此时
此时，克服摩擦力做功最多为
根据动能定理
解得，所有圆轨道间粗糙水平轨道的总长度为
