文档内容
微专题七 数学物理方法
目录
01考情透视·目标导航................................................................................................................................................2
02知识导图·思维引航................................................................................................................................................3
03核心精讲·题型突破................................................................................................................................................4
【核心精讲】...............................................................................................................................................................4
一、三角形相似法........................................................................................................................................................4
二、正弦定理法（或拉密定理法）............................................................................................................................4
三、三角函数辅助角公式法........................................................................................................................................4
四、均值不等式法........................................................................................................................................................5
五、二次函数法............................................................................................................................................................5
六、数学归纳法和数列法............................................................................................................................................5
【真题研析】...............................................................................................................................................................5
【命题预测】...............................................................................................................................................................7
考向一 三角形相似法..................................................................................................................................................7
考向二 正弦定理法（或拉密定理法）......................................................................................................................9
考向三 三角函数辅助角公式法................................................................................................................................11
考向四 均值不等式法................................................................................................................................................13
考向五 二次函数法....................................................................................................................................................17
考向六 数学归纳法和数列法....................................................................................................................................19
命题统计 2024年 2023年 2022年命题要点
2024天津卷 T10 2022重庆卷 T14
2024重庆卷T15 2022江苏卷 T15
2024浙江6月卷T22 2022湖北卷 T16
2024湖南卷T15 2022浙江6月卷T22
2024湖南卷T10 2022浙江1月卷T5
热
考
数学物理方法
角
度
从近三年高考试题来看，试题以计算题为主，大多出现在最后的压轴题
命题规律 中，利用数学归纳和数列的方法去解决板块模型类问和带电粒子在电磁场中运
动的问题，难度系数相对较大。
预计在2025年高考中，还会在计算题的中应用数学物理方法，题目的难度
考向预测
上依然会较大，大概率利用数学归纳和数列的方法解决有关问题。
命题情景 多以板块模型和带电粒子在电磁场中运动为命题背景
三角形相似法、正弦定理法、均值不等式法、
常用方法
辅助角公式法、二次函数法、数学归纳和数列法
多用于动态平衡问题
相似三角形法
正弦定理法（或拉密定理法）
y=asinθ+bsinθ
辅助角公式法一、三角形相似法
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。
具体方法应用：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四
边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变
化。
二、正弦定理法（或拉密定理法）
1.正弦定理：在如图所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即：＝＝。
2.拉密定理：
在三力平衡问题中，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。拉密定理：
三、三角函数辅助角公式法
三角函数：y＝acos θ＋bsin θ，y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中tan α＝.
当θ＋α＝90°时，有极大值y ＝.
max
四、均值不等式法
由均值不等式a＋b≥2(a>0，b>0)可知：
(1)两个正数的积为定值时，若两数相等，和最小；
(2)两个正数的和为定值时，若两数相等，积最大．
五、二次函数法
二次函数：y＝ax2＋bx＋c
(1)当x＝－时，有极值y ＝(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)。
m
(2)利用一元二次方程判别式求极值，用判别式Δ＝b2－4ac≥0有解可求某量的极值。
六、数学归纳法和数列法
凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是与原来完全相
同的重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该
类问题求解的基本思路为：
(1)逐个分析开始的几个物理过程；
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；
(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．
无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．
等差数列：S＝＝na＋d(d为公差)．
n 1
等比数列：S＝(q为公比)．
n1．（2022·河北·高考真题）如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的 点，将木板以底
边 为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在
转动过程中（ ）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
【答案】B
【详解】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为 ，木板对圆柱体的支持力为 ，绳子与木板夹角为 ，
从右向左看如图所示
在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线 为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，
不变， 从 逐渐减小到0，又 且 可知 则 可知 从锐角
逐渐增大到钝角，根据 由于 不断减小，可知 不断减小， 先增大后减小，可知
先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误、B正确；
CD．设两绳子之间的夹角为 ，绳子拉力为 ，则 可得 不变， 逐渐减小，可知
绳子拉力不断减小，故CD错误。故选B。
【技巧点拨】
（1）做好受力分析，明确三个力的方向特点；
（2）利用正弦定理或拉密定理加以解决。2．（2022·浙江·高考真题）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动
摩擦因数为 ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．轻绳的合拉力大小为
B．轻绳的合拉力大小为
C．减小夹角 ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
【答案】B
【详解】AB．对石墩受力分析，由平衡条件可知
联立解得
故A错误，B正确；
C．拉力的大小为
其中 ，可知当 时，拉力有最小值，即减小夹角 ，轻绳的合拉力不一定减小，故C错
误；
D．摩擦力大小为可知增大夹角 ，摩擦力一直减小，当 趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合拉力最小时，地面对石墩
的摩擦力不是最小，故D错误；
故选B。
【技巧点拨】
（1）做好受力分析，根据平衡条件写出平衡方程；
（2）利用辅助角公式求极值。
考向一 三角形相似法
3．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，定滑轮A（形状忽略不计）固定在天花板上，轮轴与表面均光
滑，水平地面上固定铰链B（形状忽略不计），B在A的正下方，轻质硬直杆一端连接B，另一端连接质
量为 的小球C（视为质点），轻质细线跨过A，左端施加力 （为未知量），系统处于第一个静止状态，
三角形ABC为边长为 正三角形；再让 间的距离变为0.5d，系统处于第二个静止状态，轻绳左端施
加的力为 （为未知量），重力加速度为 ，则两种静止状态下（ ）
A．杆对小球的弹力大小、方向均不同
B．杆对小球的弹力大小、方向均相同
C．轻绳左端施加的拉力 是 的2倍
D．小球重力与所受细线拉力的合力不一定沿杆
【答案】C
【详解】AC．对小球进行受力分析，当小球处于静止状态时，处于三力平衡状态，受力分析，如图所示可知，三力平衡构建的矢量三角形与三角形ABC相似，设两种静止状态下，杆对小球弹力大小分别为
，由相似三角形的比例关系可得
，
则有
， ， ，
故A错误，C正确；
B．杆对小球的弹力总沿着杆，两种静止状态下，弹力方向不同，故B错误；
D．细线对小球的拉力与小球重力的合力与杆对小球的弹力等大反向，则细线对小球的拉力与小球重力的
合力一定沿着杆，故D错误。
故选C。
4．（2025·全国·模拟预测）如图所示，带正电的小球P与小定滑轮O固定在同一竖直面上，用绕过滑轮O
的绝缘细线拉住带电小球Q，Q静止时两球恰好位于同一水平面，且 。现用力拉细线上端使Q缓
慢上移，直至P、Q连线与水平方向的夹角为60°，此过程中P、Q两球的带电荷量保持不变。则（ ）
A．P、Q间的库仑力一直减小
B．库仑力对Q一直做正功
C．Q的电势能一直增大
D．细线拉力对Q做的功等于Q重力势能的增加量
【答案】D【详解】ABC．缓慢移动Q的过程中，Q处于动态平衡状态，对Q进行受力分析，如图所示
可知Q所受力的矢量三角形与三角形 相似，可得
由数学知识可得，Q上移过程中 保持不变，可知两球间的库仑力大小保持不变，Q受到的库仑力不做功，
Q的电势能保持不变，故ABC错误。
D．根据功能关系可知，细线拉力对Q做的功等于Q重力势能的增加量，故D正确。
故选D。
考向二 正弦定理法（或拉密定理法）
5．（多选）（2024·云南昆明·模拟预测）如图所示，将两块光滑平板OA、OB固定连接，构成顶角为60°
的楔形槽，楔形槽内放置一质量为m的光滑小球，整个装置保持静止，初始时OA板在水平地面上，现使
楔形槽绕O点顺时针缓慢转动至OA板竖直，则转动过程中（ ）
A．初始时OA板对小球的作用力最大
B．转过30°时OA板对小球的作用力最大
C．转过60°时OB板对小球的作用力最大
D．转过90°时OB板对小球的作用力最大
【答案】BD
【详解】将转动过程中，某时刻受力分析，如图则缓慢转动过程中，小球受力平衡，根据拉密原理可知 因为，转动过程中，α = 120°不
变，小球重力mg不变，则比值 不变；θ角由60°增大到150°；β角由180°减小到90°。sinθ先增大后
减小；sinβ一直增大。所以N 先增大后减小；N 一直增大。当θ = 90°时，即转过30°角时，sinθ最大，即
A B
N 最大；当β = 90°时，即转过90°角时，sinβ最大，即N 最大。故选BD。
A B
6．（多选）（24-25高三上·山东日照·期中）如图所示，倾角θ = 30°，顶端固定光滑滑轮的斜面体放置在
水平面上，一跨过滑轮的轻质细绳，一端悬挂质量为m的重物A，另一端与斜面上质量为2m的物块B相
连，滑轮与物块B之间的细绳平行于斜面。现用外力F缓慢拉动细绳上的结点O，使细绳OO′部分从竖直
拉至水平，整个过程中始终保持外力F的方向与细绳OO′的夹角α = 120°不变，且细绳OO′部分始终拉直，
物块B和斜面体始终处于静止状态，下列说法正确的是（ ）
A．细绳OO′的拉力先增大后减小 B．斜面对物块B的摩擦力一直增大
C．外力F一直增大 D．地面对斜面体的摩擦力先增大后减小
【答案】ACD
【详解】AC．以结点O为研究对象，受到两段细绳的拉力和外力F，其中OA段拉力大小等于mg，结点O
转动过程中，动态分析图如下根据拉密定理有
由于α保持不变，因此 为定值。结点O转动至水平的过程中，β角从钝角一直减小到直角，可得F逐
渐增大，γ角从60°一直增大到150°，绳子的拉力F 先增大后减小，故AC正确；
1
B．对物块B受力分析可知，物块B受重力2mg、绳子的拉力F、支持力N 和摩擦力f 的作用，则物块B
1 B B
沿斜面方向，由平衡条件得
由于绳子的拉力F 先增大后减小，所以斜面对B的摩擦力不可能一直增大，故B错误；
1
D．对A、B及斜面整体受力分析，地面对斜面体的摩擦力大小等于外力F在水平方向的分力，外力F在
水平方向的分力为
利用数学的积化和差公式可得
β角从180°一直减小到90°，F 先增大后减小，所以摩擦力也是先增大
水平
后减小，故D正确。
故选ACD。
考向三 三角函数辅助角公式法
7．（2024·黑龙江·模拟预测）如图所示，倾角θ=30°的倾斜传送带逆时针匀速转动，一可视为质点的物块
P用细线拉着在传送带上保持静止。已知物块与传送带间的动摩擦因数 。调整细线的方向并保持物块的位置不变，当细线拉力最小时，细线与水平方向的夹角 等于（ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
【答案】C
【详解】设细线拉力为T，物块受到的滑动摩擦力为f，对物块受力分析如图所示
把各个力沿传送带和垂直传送带方向分解，沿传送带方向，有
垂直传送带方向，有
又因为
可得
利用辅助角公式，有
其中当 时，T有最小值，此时
即 ，C正确，ABD错误。
故选C。
8．（2024·安徽·模拟预测）如图，倾角为 的斜面足够长，从斜面上b点正上方2.5m处的a点，以2m/s
的速率抛出一个小球，方向不定，且小球的轨迹与abO在同一竖直平面内，则小球落回斜面的最长时间为
（取 ）（ ）
A．0.5s B．1s C．1.5s D．2s
【答案】B
【详解】设小球从B点抛出时的速度方向与水平方向成 角，则有
两式联立得
解得
舍去负的时间，则时间为
当 最大时，t最大；根据数学知识可知故 时，t最大，最大值为
故选B。
考向四 均值不等式法
9．（2024·四川遂宁·模拟预测）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道 竖直固定放置，轨道半径为
，圆心为A点， 分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速
度 （未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的 点，重力加速度为 ，小球可视为质点，下列说法
正确的是（ ）
A．若 ，小球运动到 点时速度与水平方向的夹角为 ，则有
B．若小球从A到 运动时间为 ，则
C．改变 的大小，小球落到圆弧 上的速度最大值为
D．改变 的大小，小球落到圆弧 上速度的最小值为
【答案】BD
【详解】A．设 ，则平抛运动位移的偏转角为
当速度的偏转角为 时，根据平抛运动的推论，可得综合可得
故A错误；
B．小球从A到 ，由平抛运动的规律可得
，
由几何关系可得
综合解得
故B正确；
CD．若让小球从A点以不同初速度 水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点 点时的速度
为
结合
， ，
综合可得
由数学知识可得
则 的最小值为 ，故C错误，D正确。
故选BD。
10．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）如图所示，某天早晨小李骑着电动自行车外出，车上挂着一包生
活垃圾（可视为质点），当以v = 2 m/s的速度匀速骑行到一段平直道路时，发现前方路沿外侧有一与路
0
沿平行的长方体型垃圾桶，车辆离路沿垂直距离d = 0.3 m，垃圾桶最近边距路沿垂直距离d = 0.2 m。骑
1 2行至距垃圾桶桶口A点的直线距离L = 1.3 m位置时（平行于地面的距离），小李以垂直于车身前进轴线
方向（以车为参考系）将垃圾抛出，垃圾包划过一条弧线，从桶口A点落入桶内。已知垃圾桶口为正方形，
边长s = 0.4 m，桶口距地面高度H = 1.5 m，抛出点距地面高度h = 1.2 m。可将垃圾包、车辆、人看作质
点，忽略空气阻力的影响，g = 10 m/s2。求：
(1)抛出后，垃圾包在空中运动的时间；
(2)垃圾包抛出瞬间，相对地面的速度大小；
(3)若确保垃圾包能抛人垃圾桶内，则垃圾包相对于抛出点上升的最大高度为多少？
【答案】(1)t = 0.6 s
(2)
(3)
【详解】（1）垃圾包抛出时，由于惯性的原因，在沿电动车行进的方向上，垃圾包的速度与车辆一致，
，匀速运动，由勾股定理可知，垃圾包沿电动车行进方向上运动的位移
解得
（2）垃圾包实际运动轨迹为抛物线，将该运动分解为平行地面运动和垂直地面向上的运动。
①平行地面方向且与路沿平行的速度 ，运动时间 。平行地面方向且与路沿垂直方向上的位
移为x，则
2解得
与地面平行方向的速度
②垂直地面向上的方向：竖直方向为初速度为v，加速度为g，位移为0.3 m的匀变速直线运动，则
3
解得
v 和v 合成即为垃圾包抛出时的对地速度，即
2 3
（3）由上题可知
当 时取极小值，垃圾包在空中运动的最短时间 ，垃圾包在空中运动的最长时间
由上述分析可知，运动时间越长，v 越大，上升高度越大，将 式代入
3
可得最大的竖直速度
因此最大竖直上升高度为
考向五 二次函数法
11．（2022·湖南湘潭·二模）某同学在操场练习掷铅球，第一次以速度 水平掷出铅球，第二次以与水平
方向成 角斜向上掷出铅球，结果铅球都落到了P点。已知铅球两次出手时的高度和速度大小均相同，两
次铅球的水平射程均为x，重力加速度大小为g，则铅球出手时的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】本题考查抛体运动，目的是考查学生应用数学处理物理问题的能力。设铅球以仰角 掷出后，在
空中做斜抛运动，则
即
上式变形有
、 为二次方程的两个根，根据韦达定理有
解得
故选D。
12．（多选）（2025·山西·开学考试）如图（a）所示电路，当变阻器的滑动片从一端滑到另一端的过程中
两电压表的读数随电流表读数的变化情况如图（b）中的AC、BC两直线所示，不考虑电表对电路的影响。(1)定值电阻R 的阻值为多大？
0
(2)电源的电动势和内阻分别为多少？
(3)变阻器滑动片从一端滑到另一端的过程中，变阻器消耗的最大电功率为多少？
【答案】(1)3 Ω
(2)8 V，1 Ω
(3)4 W
【详解】（1）当变阻器阻值为0时，两电压表读数相等，则有
（2）根据闭合电路欧姆定律得
可知U − I图像中BC直线的斜率绝对值等于电源的内阻，则有
将B点坐标代入可得
解得电源电动势为
（3）变阻器的总电阻为
变阻器消耗的功率为
可知当变阻器消耗的电功率最大，则有
考向六 数学归纳法和数列法
13．（2025·湖南长沙·一模）人们越来越深刻地认识到冰山对环境的重要性，冰山的移动将给野生动物带
来一定影响。为研究冰山移动过程中表面物体的滑动，小星找来一个足够长的水槽，将质量为 长为L的
车厢放在水槽中模拟冰山，车厢内有一个质量为 、体积可以忽略的滑块。车厢的上下表面均光
滑，车厢与滑块的碰撞均为弹性碰撞且忽略碰撞的时间。开始时水槽内未装水，滑块与车厢左侧的距离为
。在车厢上作用一个大小为 ，方向水平向右的恒力，当车厢即将与滑块发生第一次碰撞时撤去水平恒
力。
(1)求车厢即将与滑块发生第一次碰撞时车厢的速度 的大小；
(2)求从车厢与滑块发生第一次碰撞到发生第二次碰撞的过程中，车厢的位移 ；
(3)若在水槽中装入一定深度的水，车厢在水槽中不会浮起。开始时滑块与车厢左侧的距离为 ，由于外界
碰撞，车厢在极短时间内速度变为 ，方向水平向右。车厢移动过程中受到水的阻力大小与速率的关系为
（ 为已知常数），除第一次碰撞以外，以后车厢与滑块之间每次碰撞前车厢均已停止。求全程车
厢通过的总路程 。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）对车厢，由动能定理可得解得
（2）车厢与滑块的碰撞为弹性碰撞，设第一次碰撞后车厢和滑块的速度分别为v 和v ，由机械能守恒定
M m
律
根据动量守恒定律
解得
第一次碰撞到第二次碰撞之间，车厢与滑块的位移分别为x ，x ，则有
M m
位移关系为
联立解得
（3）每一次碰撞后车厢的运动过程中，由动量定理
即
累加后得
第一次碰撞前，车厢的路程为d，所以碰撞前车厢的速度
设第n次碰撞后，车厢的速度为v，滑块的速度为 ，第n次碰撞至停下，车厢的路程为s。第一次碰撞，
n n
由机械能守恒定律
动量守恒定律
解得
第一次碰撞后，对车厢
解得
第二次碰撞，由机械能守恒定律
根据动量守恒定律
解得
所以第二次碰撞后车厢的路程此后的每次碰撞前滑块的速度大小都变为前一次的 倍，车厢均静止。
所以第三次碰撞后车厢的路程
第四次碰推后车厢的路程
第n次碰撞后车厢的路程
根据等比数列求和公式求得车厢在第二次及以后的路程之和
所以
14．（2025·重庆·模拟预测）如图所示，空间有一圆心为O，半径为d，垂直纸面向外的圆形匀强磁场区域，
磁感应强度 ，磁场正下方有一板间距为2d的平行板电容器。y轴是电容器的中心轴线，A、B分别
为极板左右边缘两点，AB连线与圆形磁场相切。连线上的P点距B点0.5d。从距圆形磁场圆周上C点L处
开始存在多个间距为L、L⋯ L 的垂直纸面向外的窄条形磁场B、B⋯ B 。磁场间距L 满足L=nL（n为
1 2 n 1 2 n n n
正整数），相邻条形磁场间的无磁场区域，其间距始终为L。每个磁场的边界均与y轴平行，且位于x轴下
方。现电容器左右极板间加上如图乙所示的周期为T的交变电压，大量比荷为k的正粒子从y轴上的M点
以相同速度v 沿y轴正向射入电容器，其中t=0时刻射入的粒子恰好在T时刻到达P点。不计粒子重力及
0
电场边缘效应和粒子间相互作用。(1)求平行板电容器板长L 及电压U 的值；
0 0
(2)若t时刻打入平行板电容器的粒子能经C点沿x轴正向射出圆形磁场，求t的可能值；
(3)若窄条形磁场的磁感应强度B 满足 （n为正整数），且 。将能打入条形磁场的粒子能到
n
达的最远磁场记为B，到达的最近磁场记为B ，求n-m的值。
n m
【答案】(1) ，
(2) ，
(3)5
【详解】（1）粒子沿y轴方向做匀速直线运动，则
粒子沿x轴方向做匀加速直线运动，t=0时刻打入的粒子在该方向v-t图像如图所示
图像面积即为0.5d，则
联立可得（2）粒子打入圆形磁场，圆周运动半径为
由磁汇聚可知粒子均汇聚到C点，沿x轴正向射出磁场的粒子，则必沿y轴正向射入磁场，即粒子在电场
中的侧移距离为零，t时刻打入电场的粒子沿x方向的v-t图像如图所示，因其侧移距离为零，由对称性易
知
或
（3）设粒子打入第n个磁场时速度与水平方向的夹角为 ，在该磁场中粒子圆周运动半径为 粒子到达
的最远磁场为第n个时，粒子是可穿过第（n-1）磁场的，如图所示
由图可得
则前n-1个式相加有
因
代入解得
前n个式相加有
故当 ，即粒子从C沿x轴正方向时取
同理，当 ，即 打入电场的粒子时取
故
