文档内容
拔高点突破 03 立体几何中的常考压轴小题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：球与截面面积问题................................................................................................................2
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题........................................................................7
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题......................................................................13
题型四：立体几何中的交线问题......................................................................................................21
题型五：空间线段以及线段之和最值问题......................................................................................25
题型六：空间角问题..........................................................................................................................29
题型七：立体几何装液体问题..........................................................................................................34
03 过关测试.........................................................................................................................................38立体几何中的常考压轴小题往往聚焦于空间几何体的性质、体积计算、空间角的求解及与球相关的综
合问题。解题时，需熟练掌握多面体（如棱柱、棱锥）和旋转体（如圆柱、圆锥）的结构特征，灵活运用
空间向量、三垂线定理等工具解决空间角问题。此外，与球相关的题型常要求通过几何关系求出球的半径，
进而解决表面积、体积等问题。解题时还需注意几何体的翻折、展开等变化过程中的不变性与不变量，以
及平行、垂直等位置关系的论证。总之，立体几何压轴小题考验的是空间想象能力和综合运用知识解决问
题的能力。
题型一：球与截面面积问题
【典例1-1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知三棱锥 为 中点，
为直二面角，且 为二面角 的平面角，三棱锥 的外接球 表面积为
，则平面 被球 截得的截面面积及直线 与平面 所成角的正切值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题知 平面 ，又 面 ，所以 ，又 为 中点，
所以 ，
取 中点为 ，连接 交 于 ，则 是 外心，又 ，
所以 ，连接 ，在 上取 为 外心，过 作平面 的垂线，过 作平面 的垂线，
两垂线的交点即为三棱锥 外接球球心 ，
则四边形 是矩形， ，
连接 ，设 外接圆半径 ，
设球 半径为 ，因为球 的表面积为 ，所以 ，得到 ，
所以在 中， ，
所以平面 截球 的截面面积 ，
在 中， ，
所以 ，
又 为直线 与平面 所成角，所以 ，
故选：D.
【典例1-2】（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正三棱柱 中 ，
的重心为 ，以 为球心的球与平面 相切．若点 在该球面上，则下列说法正确的有
（ ）
A．存在点 和实数 ，使得
B．三棱锥 体积的最大值为
C．若直线 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为
D．若 ，则所有满足条件的点 形成的轨迹的长度为
【答案】BC
【解析】方法一：对于A，
取 中点 ， 中点 ，连接 ， ，
正三棱柱 中，平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， 平面 ， ，而 为 的重心，
， 到平面 的距离为 ，而 到平面 的距离为 ，
球 与平面 相离，则不存在这样的 和实数 ，使 ，A错．
对于B， 到平面 的距离为 ，球 半径 ，则 到平面 的最大距离为 ，
，B正确．
对于C，设 为球的的上顶点， 平面 于点 ， 与球 相切且 与平面 共面，
， ，
设 ，则有 ，得 ，
，C正确．
对于 ，过 且与 垂直的平面为平面 ，
到平面 的距离等于 倍的 到平面 的距离，即 ，而球 半径 ，则平面 截球 的截面圆半径 ，
所以截面圆周长即 的轨迹长度为 ，D错.
故选：BC．
方法二：
对于A，如图：
左图中 为 中点， 为 在平面 上的投影．
右图为俯视图下看的球，由于 为重心，在俯视图看来就是正三角形的中心，
所以球实际上与三个侧面均相切，则易得半径 ．
而 ，因此球与底面 不相交，因此 是错的；
对于B，有 ，正确；
对于C，作出平面 的截面如下图：
当 最大时 的位置如上图所示，不难计算出 ，
所以 ，
那么此时 ，所以C正确；
对于D，轨迹即过B且垂直于 的平面与球的交线圆，而 ，
此式右边是球面上的大圆的周长，所以是不可能的，所以D错．故选：BC．
【变式1-1】（2024·全国·模拟预测）已知某圆柱的高与底面圆的直径均为4，则该圆柱的外接球的体
积为 ； 是圆柱下底面圆的直径， 是圆柱上底面圆周上一点．记该圆柱的内切球为球 ，则平面
截球 所得截面面积的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题可知，圆柱的外接球的直径为 ，
则圆柱的外接球的体积为 ．
如图，四边形 是圆柱的一个轴截面，
圆柱上、下底面的圆心分别为 ，则 为线段 的中点．
连接 ，则 平面 ．过 作 于 ，
则 ．设 到平面 的距离为 ，
平面 截球 的截面圆的半径为 ，
球 的半径为 ，则
平面 截球 的截面面积最小值为
易知当直径 与 重合时，平面 截球 的截面面积最大，且最大值为
平面 截球 所得截面面积的取值范围为 ．
故答案为： ；
【变式1-2】（2024·高三·山东·期末）已知三棱锥 的四个顶点都在球 的表面上， 平面
， ， ， ， ，则：（1）球 的表面积为 ；（2）若 是 的中点，
过点 作球 的截面，则截面面积的最小值是 ．
【答案】
【解析】（1）根据垂直关系,可将三棱锥 可放入以 为长方体的长,宽,高的长方体中,则体对角线为外接球直径,进而求解即可；
（2）易得 为底面 的外接圆圆心,当 截面时,截面面积最小,即截面为平面 ,求解即可.（1）
由题,根据勾股定理可得 ,则可将三棱锥 可放入以 为长方体的长,宽,高的长方体
中,则体对角线为外接球直径,即 ,则 ,所以球的表面积为
；
（2）由题,因为 ,所以 为底面 的外接圆圆心,当 截面时,截面面积最小,即截面为平面
,则外接圆半径为 ,故截面面积为
故答案为：（1） ；（2）
题型二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题
【典例2-1】已知正方体 的棱长为 ， 是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点 在线段 上运动，则总有 ；
②若点 在线段 上运动，则三棱锥 体积为定值；
③若点 在线段 上运动，则直线 与平面 所成角为定值；
④若点 满足 ，则过点 ， ， 三点的正方体截面面积的取值范围为 .
其中所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【解析】对①，如图，
连接 ， ，在正方体中， ， ， ， 平面 ，所以
平面 ，又 平面 ，所以 ，又正方体中， ，所以 ，故①
正确；
对②，如图，因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以 到平面 的距离为定值，因为 ，而 为定值，所以 为定值，故三棱锥
体积为定值，故②正确；
对③，如图，
在正方体中， ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 到平面
的距离 为定值，设直线 与平面 所成角为 ，而 ， 不是定值，所以 不为定值，故
③错误；
对④，因为 ，且 ，所以点 在线段 上运动，
在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
易知 ，且 ，即 四点共面，即过 ， ， 三点的截面为截面 .
以点 为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：则 ，
因为 ， ，
所以截面 的面积为
，
当 时， ，当 或 时， ，所以过 ， ， 三点的正方体截面面积最小值
为 ，最大值为 ，过点 ， ， 三点的正方体截面面积的取值范围为 ，故④正确.
故答案为：①②④
【典例2-2】如图，正方体 的棱长为1，线段 上有两个动点 ，且 ，给
出下列三个结论：
①
② 的面积与 的面积相等
③三棱锥 的体积为定值其中，所有正确结论是 ．
【答案】①③
【解析】对于①,根据题意,结合图形知, 面 ,
而BE包含于平面 ,
,命题①正确;
对于②, 点B到直线EF的距离（为 的长度）与点A到直线EF的距离（ 到线段 的中点连线的长
度）不相等,
与 的面积不相等,命题②错误;
对于③,三棱锥 的体积为 ,
三棱锥A-BEF的体积为定值,命题③正确;
故答案为：①③.
【变式2-1】（多选题）（2024·高三·贵州贵阳·开学考试）如图，在长方体 中，
，点 为线段 上动点（包括端点），则下列结论正确的是（ ）
A．当点 为 中点时， 平面
B．当点 为 中点时，直线 与直线 所角的余弦值为
C．当点 在线段 上运动时，三棱锥 的体积是定值
D．点 到直线 距离的最小值为
【答案】ACD
【解析】在长方体 中，以点 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，设 ，
对于A， ， ， ， ，
，即 ，
而 平面 ，因此 平面 ，A正确；
对于B， ， ，B错误；
对于C，由选项A知，点 到平面 的距离为 ，而 的面积 ，
2
因此三棱锥 的体积 是定值，C正确；
3
对于D， ，则点 到直线 的距离
，当且仅当 时取等号，D正确.
故选：ACD
【变式2-2】（多选题）（2024·高三·广东深圳·开学考试）如图，矩形ABCD中，M为BC的中点，将
沿直线AM翻折成 ，连接 ，N为 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是
（ ）
A．不存在某个位置，使得
B．翻折过程中，CN的长是定值
C．若 ，则
D．若 ，当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积是
【答案】ABD
【解析】对于A，取AD的中点为E，连接CE交MD于F，则四边形 为平行四边形，如图，F为MD的中点，由于N为 的中点，则 ，
如果 ，则 ，
由于 ，则 ，
由于 共面且共点，故不可能有 ， 同时成立，
即不存在某个位置，使得 ，A正确
对于B，结合A的分析可知 ，且 ，
在 中， ，
由于 均为定值，故 为定值，
即翻折过程中，CN的长是定值，B正确；
对于C，如图，取AM中点为O，由于 ，即 ，则 ，
若 ，由于 平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，则 ，
由于 ，故 ， ，则 ,
故 ，与 矛盾，故C错误；
对于D，由题意知，只有当平面 平面 时，三棱锥 的体积最大；
设AD中点为E，连接 ，由于 ，则 ，
且 ，而平面 平面 ， 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ，
则 ，从而 ，则 ,
即AD的中点E即为三棱锥 的外接球球心，球的半径为1，
故外接球的表面积是 ，D正确，
故选：ABD
题型三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题
【典例 3-1】（多选题）已知边长为 2 的等边三角形 ，点 均在平面 的上方，
，且 与平面 所成角分别为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．四面体 的体积为定值
B． 面积的最小值为
C．四面体 体积的最大值为1
D．当四面体 的体积最大时，其外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】由题意知， 与 是共轴的圆锥母线，如图所示，
对于A项，由题意知 ，
因为 且 与平面 所成角为 ，
所以点 到平面 的距离为定值 ，
所以四面体ABCM的体积为定值 ，故A项错误；
对于B项， 与 是共轴的圆锥母线，所以 ，即 ，
当 时， 的面积最小，最小值为 ，故B项正确；对于C项，当 时， 的面积最大，最大值为 ，
当 所在平面旋转至与 垂直时，四面体ABMN的高最长，最长值为2，
所以体积的最大值为 ，故C项正确；
对于D项，当四面体 体积最大时，线段 ， ， 两两垂直，
所以其外接球直径 ，
所以外接球的表面积为 ，故D项正确．
故选：BCD．
【典例3-2】（多选题）（2024·广东惠州·三模）在四面体 中， ，
， ， ， 分别是棱 ， ， 上的动点，且满足 均与面 平
行，则（ ）
A．直线 与平面 所成的角的余弦值为
B．四面体 被平面 所截得的截面周长为定值1
C．三角形 的面积的最大值为
D．四面体 的内切球的表面积为
【答案】CD
【解析】对于A，取 中点 ， 中点 ，连接 ,
由于 ，故 ，
而 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
则 即为直线 与平面 所成的角，
又 ,而 ，
故 ，则 ,所以 ，故错误；对于B，设平面 棱 的交点为 ，
因为 ∥平面 且 平面 ,平面 平面 ,
所以 ∥ ，
由题意可知 ，否则 ， 重合，不合题意，
故四边形 为梯形，同理可得四边形 为梯形，
所以 ， ，又 ，
所以 ，所以 ，
又 ∥ ，同理可证 ∥ ，则 ∥ ，同理可证 ∥ ，
则四边形 为平行四边形，故四边形 的周长为2，
即四面体 被平面 所截得的截面周长为定值2，故错误；
对于C，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
而 ∥ ，所以 ，
同理可证 ∥ ，所以 ，结合 ,
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，
即三角形 的面积的最大值为 ，故正确；
对于D，由以上分析可知 ,
所以 ，
而 平面 ， ，故 ，
而 ,
设四面体 的内切球的半径为 ，则
即 ，解得 ，
故四面体 的内切球的表面积为 ，故正确.
故选：CD.
【变式3-1】（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知正方体 的棱长为 是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A．若点 在正方形 内部，异面直线 与 所成角为 ，则 的范围为
B．平面 平面
C．若 ，则 的最小值为
D．若 ，则平面 截正方体 所得截面面积的最大
值为
【答案】BCD
【解析】对于 ，如图：
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，
则 ，
则
则 ，
因为
所以 ，
故 ，则 的取值范围为 ，故A不正确；
对于B，在正方体 中，平面 平面 ，显然成立.故B正确；
对于C：正方体 的棱长为2， 为空间中的一动点，在 上取点 ，使 ，在
上取点 ，使 ,如图：由 得 ，即 ，故 为线段 上一点.
将平面 沿 展开至与平面 共面，如下图：
易知： ，
则 .
在平面图中，当 三点共线时， 取得最小值，为 ，故C正确；
对于D：因为 ，所以 ，又 ，可知 是线段 上一点，
如图：
连接 并与 交于点 .
当 与 重合时，平面 与平面 重合，此时截面面积为4.
当 在线段 （不含点 ）上时，平面 截正方体所得截面为三角形，且当 与 重合时，截面为
，此时截面面积最大，由三边长均为 ，故此时截面面积最大值为 .
当 在线段 （不含点 ）上时，如图：延长 与 交于点 ，作 平行于 并与 交于点 ，则截面为等腰梯形 ，设
，则 ，梯形 的高 ，面积为
.
由图可知：梯形 的面积一定小于矩形 的面积，且矩形 面积为 ，
所以 .
当 与 重合时，截面为矩形 ，面积为 .
故平面 截正方体所得截面面积的最大值为 ，故D正确.
故选：BCD
【变式3-2】（多选题）（2024·河北秦皇岛·三模）在长方形 中， ， ，点 在线段
上（不包含端点），沿 将 折起，使二面角 的大小为 ， ，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得直线 平面
C．四棱锥 体积的最大值为
D．当 时，线段 长度的最小值为
【答案】ACD
【解析】设点A在平面 上的投影为 ，即 ，
而当 时， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
这种情况显然存在，故A正确；
若 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，显然矛盾，故B错误；
设 ， ，则点A到 的距离为 ， ， ，要使得四棱锥 的体积最大，则 ，
此时四棱锥 的体积 ，
， 在 上单调递
减，
且当 时， .
令 ， ，则 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
即四棱锥 体积的最大值为 ，C正确.
过A， 作 的垂线，垂足分别为 ， ，从而得到 ， ，
又 ，
所以
.
因为二面角 的大小为 ，所以 与 的夹角为120°.
设 ， ，则 ，
， ， ， ，
所以 ，
所以
.
故当 时， 有最小值28，故线段 长度的最小值为 ，D正确.
故选：ACD【变式3-3】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图， 为圆锥 的底面圆 的直径，点 是圆 上异
于 ， 的动点， ，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥 的侧面积为
B．三棱锥 的体积的最大值为
C． 的取值范围是
D．若 ， 为线段 上的动点，则 的最小值为
【答案】D
【解析】在 中， ，则圆锥的母线长 ，半径 ，
对于A，圆锥 的侧面积为： ，故A错误；
对于B，当 时， 的面积最大，此时 ，
则三棱锥 体积的最大值为 ，故B错误；
对于C，因为 为等腰三角形， ，又 ，所以 ，
当点 与点 重合时， 为最小角，当点 与点 重合时 ，达到最大值，
又因为 与 不重合，则 ，又 ，可得 ，故C错误；
对于D，由 ，得 ，又 ，
则 为等边三角形，则 ， 将 以 为轴旋转到与 共面，得到 ，则 为等边三角形， ，如图可知 ，
因为 ，
，
则 ，故D正确；
故选：D.
题型四：立体几何中的交线问题
【典例4-1】（2024·福建福州·三模）如图，在圆台OO 中， ，点C是底面圆周上异于A、B
1
的一点， ，点D是BC的中点，l为平面 与平面 的交线，则交线l与平面 所成角的
大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，因为 ，D分别是 ，BC的中点，所以 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，平面 平面 ，
所以 ， ，所以 ，
所以直线l与平面 所成角即直线 与平面 所成角，
因为 为直径，所以 ，因为 ，即 ，
又因为 平面 ，平面 ，所以 ， 平面 ，
所以 平面 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ，所以 ， ，
， 平面 ，所以 平面 ，
所以 为交线l与平面 所成角，
因为 ， ，
.
所以，结合图知 .
故选：B.
【典例4-2】已知在正方体 中， ，点 ， ， 分别在棱 ， 和 上，
且 ， ， ，记平面 与侧面 ，底面 的交线分别为 ， ，则（ ）
A． 的长度为 B． 的长度为
C． 的长度为 D． 的长度为
【答案】A
【解析】如图所示，
连接 并延长交 的延长线于 ，连接 并延长交 于点 ，
交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 ，则 即为 ， 即为 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，故C，D项错误；
由 ，得 ，
又易知 ，得 ，所以 ，
所以 ，故A项正确，B项错，
故选：A.
【变式4-1】（2024·安徽·一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中
国四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体 .已知该正方体中，
点 分别是棱 的中点，过 三点的平面与平面 的交线为 ，则直线 与直线 所成
角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示，在平面 中，连接 与 交于 ，则 ，在平面 中，连接 与 交于 ，则 ，
则 为平面 与平面 的交线 ，且 ，
而在等边 中 与 所成的角为 ，
故 与直线 所成角 .
故选：
【变式4-2】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在正方体 中， 为 中点，过
的截面 与平面 的交线为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取 的中点 ，如下图，连接 ，
因为 ，所以 四点共面，
所以过 的截面 即为平面 ，
截面 与平面 的交线为 即为 ，
取 的中点 ，连接 ，因为 ，
所以 （或其补角）为异面直线 与 所成角，
设正方体的棱长为 ，所以 ，
所以 .
则异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.题型五：空间线段以及线段之和最值问题
【典例5-1】在正方体 中， 为棱 的中点， 分别为 上的动点，
则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】将正方体的侧面 与 展开到同一平面
在同一平面内可知 的最小值就是点 到 的距离，
正方体 中， 为棱 的中点，所以 ， ，
是正方形，所以
故答案为：
【典例5-2】在棱长为4的正方体 中， 分别为线段 上的动点，点 为侧
面 的中心，则 的周长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图①，设侧面 的中心为 ，根据正方体的结构特征可得 ，
则 周长的最小值即 的最小值.
将侧面 绕着 旋转至与平面 在同一平面上，
将平面 绕着 旋转至与平面 在同一平面上，
过点 作 ⊥ 于点 ，则 ，其中 ，
如图②，则 ，
故 的周长的最小值为 .故答案为：
【变式5-1】正三棱柱 的底面边长是4，侧棱长是6， ， 分别为 ， 的中点，
若 是侧面 上一点，且 平面 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】
【解析】取 的中点为 ，连接 ，
因为 ， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
又 ， 平面 ，
由面面平行的判定可知，平面 平面 ，
因为 是侧面 上一点，且 平面 ，
所以点 在线段 上，
当 时，线段 最短， ，
即 ， ，
， ，
故答案为： .
【变式5-2】如图，棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点， ， 分别为线段和棱 上的动点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 是 的中点， ，
所以 ，则 .
对任一点 ， 的最小值是 到直线 的距离，
过 作 ，交 于 ，
过 作 ，交 于 ，连接 ，
由于 ，所以 平面A B C D ， 平面A B C D ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
则 ，易得 .
， ，
，
所以 ，
当 三点共线，且 是 的中点， 是 与 的交点，
此时 取得最小值为 ，所以 的最小值为 .
故答案为：【变式5-3】如图，已知正方体 的棱长为4，点 在棱 上，且 ，在侧面
内作边长为1的正方形 ， 是侧面 内的动点，且点 到平面 的距离等于线段
的长．当点 运动时， 的最小值是 ．
【答案】
【解析】依题意知，正方体 中，点 到平面 的距离等于线段 的长
即点 到点 的距离与到直线 的距离相等，
∴点 的轨迹是以 为焦点、 为准线的抛物线．
如图，作 于点 ，则 ，而 平面 ，
故 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ，则 ,
则当 最小时， 最小．
以 的中点为原点O，以 所在直线为x轴，以 的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则 ，设 ，
由于点 的轨迹是以 为焦点、 为准线的抛物线，故抛物线方程为 ，
则 ，
当 时， 取到最小值 ，符合题意，
即 ，∴ 的最小值为22，即 ，
故答案为：
题型六：空间角问题
【典例6-1】如图，斜三棱柱 中，底面 是正三角形， 分别是侧棱
上的点，且 ，设直线 与平面 所成的角分别为 ，平面 与底
面 所成的锐二面角为 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面
EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得
.
过A作 面EFG，垂足为P，过A作 ，垂足为Q，连接 ，易得 即为直线 与
平面 所成的角 ，
则 ，又 面EFG， 面EFG，则 ，又 ， 面 ，
，
所以 面 ， 面 ，则 ，则 即为平面 与底面 所成的锐二面角 ，
则 ，
又 ，则 ，同理可得 ，则
，
又由
，
，
则 ，故 ，A，C错误；
故 ，由 可知 ，所以 ，
即 ，整理可得
，
即 ，即 ，
故 ，又 ，故 ，
B正确，D错误.
故选：B.
【典例6-2】设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），
记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及
各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图
形特征，则可事倍功半.方法1：如图 为 中点， 在底面 的投影为 ，则 在底面投影 在线段
上，过 作 垂直 ，易得 ，过 作 交 于 ，过 作 ，交 于 ，
则 ，则 ，即 ，
，即 ，综上所述，答案为B.
方法2：由最小角定理 ，记 的平面角为 （显然 ）由最大角定理 ，故选B.
方法3：（特殊位置）取 为正四面体， 为 中点，易得
，故选B.
【变式6-1】如图，已知正三棱柱 ，E，F分别是棱 上的点．记 与
所成的角为 ， 与平面 所成的角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，过点 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
故选：A．
【变式6-2】（2024·浙江·二模）已知三棱柱 的所有棱长均相等，侧棱 平面 ，
过 作平面 与 平行，设平面 与平面 的交线为 ，记直线 与直线 所成锐角分别
为 ，则这三个角的大小关系为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如图， ，设 为 的中点， 为 的中点，
由图可知过 且与 平行的平面 为平面 ，所以直线 即为直线 ，
由题易知， 的补角， 分别为 ，
设三棱柱的棱长为2，
在 中， ，
；
在 中， ，
；
在 中， ，，
.
故选：B
题型七：立体几何装液体问题
【典例7-1】（多选题）（2024·山东菏泽·一模）透明塑料制成的正方体密闭容器 的
体积为 注入体积为 的液体.如图，将容器下底面的顶点 置于地面上，再将容器倾斜.随着倾
斜度的不同，则下列说法正确的是（ ）
A．液面始终与地面平行
B． 时，液面始终是平行四边形
C．当 时，有液体的部分可呈正三棱锥
D．当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积最大值为
【答案】ACD
【解析】液面始终是水平面，与场面平行，A正确；
时，体积是正方体的一半，如液面正好过棱 的中点，此时液面是正六边形，
不是平行四边形，B错；
液面过 的中点时，此时 ，有液体的部分是正三棱锥，C正确；
当液面与正方体的对角线 垂直时，液面面积的液面面积最大时就是B中所列举的正六边形（此时液体
体积是正方体体积的一半），面积为 ， D正确．故选：ACD．
【典例7-2】（多选题）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（ ）的液体，旋转容器，
下列说法正确的是（ ）
A．当 时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
B．不管注入多少液体，液面都可以成正三角形形状
C．液面可以是正六边形，其面积为
D．当液面恰好经过正方体的某条体对角线时，液面边界周长的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，当 时，题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部分，
根据对称性知两部分完全相同，所以A正确；
对于B，取 ，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，所以B错误；
对于C，当液面与正方体的体对角线垂直时，液面为如图所示正六边形时面积最大，
其中正六边形的顶点均为对应棱的中点，
所以液面面积的最大值为 ，C正确；
对于D，当液面过 时，截面为 ，将A B C D 绕 旋转 ，如图所示；
1 1 1 1
则 ，
当D、N、 三点共线时等号成立，所以液面周长最小值为 ，D错误.
故选：AC.
【点晴】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
【变式7-1】（2024·湖北宜昌·一模）已知一个放置在水平桌面上的密闭直三棱柱 容器，
如图1，ΔABC为正三角形， ， ，里面装有体积为 的液体，现将该棱柱绕 旋转至图2.在旋转过程中，以下命题中正确的个数是（ ）
①液面刚好同时经过 ， ， 三点；
②当平面 与液面成直二面角时，液面与水平桌面的距离为 ；
③当液面与水平桌面的距离为 时， 与液面所成角的正弦值为 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】①若液面刚好同时经过 , , 三点,则液体的体积为四棱锥 ,
因为 ,所以①正确；
②当平面 与液面成直二面角时,即为图2的位置,设液面与直三棱柱 的交点为 ,如
图所示,
因为直三棱柱 的体积为 ,
所以直棱柱 的体积为 ,
所以 ,即 ,则在 中 边上的高为 ,
因为在 中 边上的高为 ,所以液面与水平桌面的距离为 ,所以②正确；
③当液面刚好同时经过 , , 三点时,如图所示,此时 ,则 ,
易得 ,则 中 边上的高为 ,
所以 ,
设点 到平面 的距离为 ,则 ,即 ,
即液面与水平桌面的距离为 ,
由棱柱的对称性可得点 到平面 的距离为 ,设 与液面所成角为 ,
则 ,所以③正确,
所以①②③正确,
故选:D
【变式7-2】（2024·广西南宁·模拟预测）一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方
体的棱长为1，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，正方体 ，若要使液面形状不可能为三角形，则当平面 平行于水平面放
置时，液面必须高于平面 ，且低于平面 .若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可
能为三角形.设液体的体积为 ，则 ，而 ，
，所以液体的体积的取值范围为 .
故选：B.【变式7-3】一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为2，如果任意转动
该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体的体积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，若要使液面的形状都不可能为三角形，则液体的体积应大于三棱锥 的体积，
小于多面体 的体积.求解即可.如图正方体 ，连接 .
若要使液面的形状都不可能为三角形
则液体的体积应大于三棱锥 的体积，小于多面体 的体积.
设液体的体积为 ，则 .
因为 ， .
所以液体的体积的取值范围为 .
故选：D
1．（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥 ，底面 是边长为2的正三角形，且 平面为 的中点， 为平面 内一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】
平面 平面 平面 平面 .
如图，设点 关于平面 对称的点为 ，连接 ， ，
则四边形 为平行四边形且 .
连接 （当且仅当 三点共线时取等号）.
取 的中点 ，连接 ，
则 平面 平面 .
在 中，由余弦定理，得 ，
， 的最小值为 .
故选：A.
A B C D
2．在棱长为1的正方体 中， 分别为 的中点，则点 为正方形 内一
1 1 1 1
点，当 平面 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，分别取 的中点 ，连接 ，则 ，所以 ，
易知四边形 为平行四边形，故 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，因为 平面 ，故 平面 ，
又点 为正方形A B C D 内一点，平面 平面 ，
1 1 1 1
所以点 在线段 上，
又 ,当 即点 即为 的中点，也即点 为 的交点时，
此时 最短，
因为 的中点分别是 ，
所以 ， ，所以 .
故选：C.
3．在长方体 中，已知 ， ， ，点 为底面 内一点，若 和底
面A B C D 所成角与二面角 的大小相等，点 在底面A B C D 的投影为点 ，则三棱锥
1 1 1 1 1 1 1 1
体积的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由题意， 平面A B C D ，所以 和底面A B C D 所成角为 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
过Q作 ，垂足为M，连接 ，
由于 平面A B C D ， 平面A B C D ，故 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
平面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，
则 为二面角 的平面角，即 ，
故 ，故 ，
则Q点在平面A B C D 内的轨迹为以 为焦点， 为准线的抛物线，
1 1 1 1如图以 为原点 所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为 ，直线 的方程为 ，
设抛物线的和 平行的切线方程为 ，
联立 ，得 ，
令 ，解得 ，
即得 和 之间的距离为 ，
即Q点到 的最短距离为 ，
而 的长为 ，则 面积的最小值为 ，
P点到平面 的距离为4，故三棱锥 体积的最小值为 ，
故选：D
4．在棱长为2的正方体 中，P，Q，R分别为线段 ， ， 上的动点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】在正方体 中， ，在平面 内过 作 于 ，作 于 ，设 ，显然 ，则 ，
四边形 为矩形，于是 ，
由 ，得 平面 ，由 ，得 平面 ，
则 ，当 确定后， 最小时， 最小，当 时， 最小，
而 ，则 ，
同理 ，当 确定后， 最小， 最小，则当 时， 最小，
而 ，则 ，
因此 ，令 ，
求导得 ，由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，即函数 在 上递减，在 上递增，
则 ，所以 的最小值为 .
故选：A
5．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化学式为 ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气
体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面
都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面
体 的棱长为 ，下列说法中正确的个数有（ ）
①异面直线 与 所成的角为45°；
②此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ；
③若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 ；
④若点 为四边形 的中心，点 为此八面体表面上动点，且 ，则动点 的轨迹长度为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】对①：连接 ，取 中点 ，连接 、 ，
由题意可得 、 为同一直线， 、 、 、 四点共面，
又 ，故四边形 为菱形，
故 ，故异面直线 与 所成的角等于直线 与 所成的角，
即异面直线 与 所成的角等于 ，故①错误；
对②：由四边形 为正方形，有 ，
故四边形 亦为正方形，即点 到各顶点距离相等，
√2a2 √2a
即此八面体的外接球球心为 ，半径为R= = ，
2 2
设此八面体的内切球半径为 ，
√6
则有 ，化简得r= a，
6
则此八面体的外接球与内切球的体积之比为 ，故②正确；
对③：将 延 折叠至平面 中，如图所示：
则在新的平面中， 、 、 三点共线时， 有最小值，
则 ，故③错误.
对于④，设三角形 的内切圆半径为 ，则由等面积法，有 ，解得 ，
√6
由②可知，点 到平面 的距离为r= a，
6
所以 ，
这表明当点 在平面 内时，点 在三角形 的内切圆上运动，
它的周长是 ，
根据对称性可知动点 的轨迹长度为 ，故④正确.
正确的编号有②④.
故选：B.
6．（2024·浙江杭州·模拟预测）以半径为1的球的球心 为原点建立空间直角坐标系，与球 相切的平面
分别与 轴交于 三点， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．18 D．
【答案】C
【解析】根据对称性，不妨设 、 、 均在正半轴，设球 与平面 切于点 ，连接 并延长交
于点 ，连接 ，
则 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 ， ，所以 ，则 ，
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，
所以
，又 ，即 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
即 的最小值为 .
故选：C
7．如图，若P是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．当P在平面 内运动时，四棱锥 的体积变化
B．当P在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．使直线 与平面 所成的角为45°的点P的轨迹长度为
D．若F是棱 的中点，当P在底面 内运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是
【答案】D
【解析】对于A，因为底面正方形 的面积不变，点P到平面 的距离为正方体棱长，
所以四棱锥 的体积不变，故A错误；
对于B，如图①，以D为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角
坐标系，
可得 ， ， .设 ， ，
则 ， .设直线 与 所成角为θ，则 ，
图①
因为 ，当 时，可得 ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的取值范围是 ，所以B错误；
对于C，已知直线 与平面 所成的角为45°，若点P在平面 和平面 内，
因为 ， 最大，点P仅在点 ；若点P在平面 内，
则点P的轨迹长度是 ；若点P在平面 内，则点P的轨迹长度是 ；
A B C D
若点P在平面 内，作 平面 ，如图②所示，
1 1 1 1
因为 ，所以 .
图②
因为 ，所以 ，所以 ，
所以点P的轨迹是以点A 为圆心，以2为半径的四分之一圆，
1
所以点P的轨迹长度为 .
综上，点P的轨迹总长度为 ，故C错误；
对于D，如图③，由前面建系得 ， ， ， ，
设 ， ， ，
则 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，所以 .
图③
因为 平面 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
当 时，等号成立，故D正确．
故选：D.
8．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知正四棱锥 的8条棱长均相等， 为顶点 在底面的射影，则
（ ）
A．侧棱 与底面 所成角的大小为
B．设 ， 为正方形 边上的两点，则二面角 的值大于
C．侧面 与底面 所成角的大小为
D．设 为正方形 上的点，则直线 与底面所成角的最大值为
【答案】B
【解析】依题意 ， 平面 ，
平面 ，则 .
，
对于A，依题意可知 是侧棱 与底面 所成的角，
， 为锐角，且 ，则A选项错误.
对于B，过 作 ，垂足为 ，由于 平面 ，
则 ，由于 平面 ，
则 平面 ，由于 平面 ，则 ，
则二面角 的平面角为 ，
由于 平面 ，则，当 时， 平面 ，则平面. .平面 ，
此时二面角 为直角，
当 时， ，由于 是正方形 边上的两个点，
则 ，则 ，
则二面角 的值大于 .则B选项正确.
对于C，设 是 的中点，连接 ，由于 ，
侧面 与底面 的交线为 ，
则侧面 与底面 所成角的平面角为 ，
由于 平面 ，则 ， ，
则 ，则侧面 与底面 所成的角大于 ，则C选项错误.
对于D，当 点与 点重合时，直线 与底面所成角为 ，则D选项错误.
故选：B
9．（2024·山西吕梁·三模）在四面体 中， 与 互相垂直， ，且
，则四面体体积的最大值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．4.5
【答案】A
【解析】
由题可知，点 在平面 内以 为焦点的椭圆上，点 在平面 内以 为焦点的椭圆上，
所以焦距为 ，即 ，由椭圆定义可知长轴长为 ，即 ，
所以 到 中点 距离的最大值为短半轴长 ，
所以 中， ， ，
所以 ，又 ，
所以当AD垂直平面 时四面体体积最大，最大值为 ，
故选：A.
10．（2024·山东·模拟预测）已知圆台上、下底面的半径分别为3和5，母线长为4， 为上底面圆的一
条直径， 是下底面圆周上的一个动点，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取上下底面圆心 、 ，连接 、 、 ，
由圆台性质可知 ，且 ，
又 ，故 ，
则当 为 以 为底的高时， 面积最大，
且其最大值为 .
故选：A.
11．（2024·浙江·模拟预测）正四面体 ， 为棱 的中点，过点 作平面 的平行平面，该平
面与平面 、平面 的交线分别为 ，则 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设所作的平面为 ，则由 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，得 ，同理可得 ，
所以 所成的角等于 与 所成的角，即 （或补角）．
设正四面体 的棱长为2，则 ， ，在 中由余弦定理，得 ，
则 .
故选：A
12．（2024·全国·一模）已知三棱锥 为正三棱锥，且 ， ，点 、 是线段 、
的中点，平面 与平面 没有公共点，且 平面 ，若 是平面 与平面 的交线，则直线 与
直线 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
取 中点 ，连接 ， ，
、 分别为 、 的中点，则 ，所以 ，同理 ，
所以异面直线 和 所成角即为 或其补角.
取 中点 ，则 ， ，又 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 .
在 中， ， ，所以 .所以直线 和 所成角的正切值为 ，
故选：D.
13．（2024·湖南湘潭·三模）在棱长为1的正方体 中，E为 的中点，过点A．C．E的
截面与平面 的交线为m，则异面直线m与 所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
平面ACE可以延展为平面ACEF，O， 分别为上下底面中心， ， ，
∴平面 平面 ，
∵ ，
∴ 为异面直线m、 所成角．
E，F分别为 ， 的中点，
∵G为 的中点，
∴
∴ ，
在 中， ．
故选：D．
14．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知四面体 的顶点 ， ， ， 均在球 的球面上，
是边长为2的等边三角形， ，棱 ， ， 的中点分别为 ， ， ，过 ， ，
三点的平面截四面体所得截面四边形的对角线互相垂直，则（ ）
A．
B． 与 所成角不可能为90°
C．直线 与平面 所成的角为30°D．球 的表面积为
【答案】ABD
【解析】对于A，如图，连接 ， ，则 ，且 ，
取 的中点 ，连接 ， ，
则 ，且 ，所以 且 ，
所以过 ， ， 三点的平面截该四面体所得截面为平行四边形 ，
又 ，则四边形 为菱形，
所以 ，则 ，A正确；
对于B，若 与 所成角为90°，则 ，由 ，得 ，得 平面 ，
所以 ，则 ，这与 矛盾，
所以 与 所成角不可能为90°，B正确；
对于C，取 的中点 ，连接 ，因为 是边长为2的等边三角形，所以 ，
则 ，连结 ，因为 ，则 ，所以 ，
则 ，又 平面 ，
所以 平面 ，则 为棱 与平面 所成角，
则 ，所以直线 与平面 所成角为60°，C错误；
对于D，由以上分析， 平面 ，因为 为直角三角形，且 为斜边，
所以四面体 外接球的球心为 的外接圆的圆心，则球的半径 ，
所以四面体 外接球的表面积为 ，D正确.
故选：ABD.
15．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）在棱长为2的正方体 中，M为
边的中点，下列结论正确的有（ ）A． 与 所成角的余弦值为
B．过三点A、M、 的截面面积为
C．四面体 的内切球的表面积为
D．E是 边的中点，F是 边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
【答案】AD
【解析】对于A，以 为坐标原点，以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
，则 ,
则 ，
与 所成角的范围为 ，故 与 所成角的余弦值为 ，A正确；
对于B，设N为 的中点，连接MN，则 ，且 ，
则梯形 即为过三点A、M、 的截面，
，则梯形高为 ，
故梯形面积为为 ，B错误；对于C，如图，四面体 的体积等于正方体体积减去四个角上的直三棱锥的体积，
即 ，
该四面体的棱长为 ，其表面积为 ，
设四面体内球球半径为r，则 ，
故四面体 的内切球的表面积为 ，C错误；
对于D，如图，延长ME和 的延长线交于J，则 ≌ ，
则 ，设H为 的中点，则 ，
连接HJ，则 ≌ ，则 ，
故G为 的中点，故 ，
同理延长 交于L，连接LH，交 于K，
K即为 的中点，则K，E在 确定的平面内，
则六边形 即过E、M、F三点的截面，是六边形，D正确，
故选：AD
16．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知平面 平面 ，且均与球 相交，得截面圆 与截面
圆 为线段 的中点，且 ，线段 与 分别为圆 与圆 的直径，则（ ）
A．若 为等边三角形，则球的体积为B．若 为圆 上 的中点， ，且 ，则 与 所成角的余弦值为
C．若 ，且 ，则
D．若 ，且 与 所成的角为 ，则球 的表面积为 或
【答案】BCD
【解析】由球心 为线段 的中点，可知圆 、圆 的半径相同．设球 的半径为 ，
圆 与圆 的半径为 .
对于A，由题意， .因为 ，所
以 ，解得 （负值已舍去）.
所以 ，解得 （负值已舍去），所以 ，故A错误.
对于B，因为 ，所以 三点在同一平面内.
因为点 分别为线段 的中点，所以 为 的中位线，所以 ，
所以 为 与 所成的角.因为 ，所以 .
又 ，所以 ，所以 ，故B正确.
对于C，因为 ，所以以 为原点，分别以 ， 所在直线为 轴、 轴，
以圆 中垂直于 的直径所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，故C正确.
对于D，以 为原点，以 ， 所在直线分别为 轴、 轴，
以圆 中垂直于 的直径所在的直线为 轴，建立空间直角坐标系，如上图，
则 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 （负值已舍去）或 （负值已舍去）.
当 时，球 的半径为 ，所以球 的表面积 ；
当 时，球 的半径为 ，所以球 的表面积 ，故D正确.
故选：BCD.
17．（多选题）（2024·江苏泰州·模拟预测）在正方体 中，P为线段 上的动点，
则（ ）
A． 平面 B． 平面ACD
1
C．直线AP与 所成角的取值范围是 D．三棱锥 的体积为定值
【答案】ABD
【解析】对于选项A， ，
四边形 是平行四边形， 平面 ， 平面 ， 平面 ；
，
四边形 是平行四边形， 平面 ， 平面 ， 平面 ；
又 ，且 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，而 为线段 上的动点， 平面 ，
平面 ，A正确；
对于选项B， 平面 ， 平面 ， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
而 平面 ， ，
同理可证， ，又 ， 平面 ，
平面 ，B正确；
对于选项C， ，直线 与 所成角即直线 与 所成角，
在 中，当点 与 或 重合时，直线 与 所成角取到最小值 ，
当点 在线段 中点时，直线 与 所成角取到最大值 ，
所以直线 与 所成角的取值范围为 ，故C错误.
对于选项D，
三棱锥 的体积即为三棱锥 的体积，
由选项A可得， 平面 ，平面 平面 ，
则 到平面 的距离为定值，又底面积为定值，
所以三棱锥 的体积为定值，D正确；
故选：ABD.
18．（多选题）（2024·贵州贵阳·模拟预测）在正三棱柱 中， ，点P满足
，其中 ，则（ ）
A．当 时， 最小值为
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，平面AB P⊥平面
1
D．若 ，则P的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】对于A中，当 时， ，可得点 在 上，
以 为轴，把平面 与平面 展在一个平面上，如图所示，
连接 交 于点 ，此时 最小值为 ，所以A错误；对于B中，当 时， ，可得点 在 上，
取 的中点 ，在等边 中，可得 ，且 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
即 为三棱锥 的高，
所以三棱锥 的体积为 为定值，所以B正确；
1
对于C中，当 时，⃗BP=⃗BC+ ⃗BB ，可得点 为 的中点，
2 1
如图所示，取 的中点 ，分别连接 ，
可得 且 ，所以 为平行四边形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以AB P⊥平面 ，所以C正确；
1对于D中，由点P满足 ，其中 ，
可得点 在矩形 内（包含边界），
取 的中点 ，连接 和 ，
因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ， 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，且 ，
在直角 中，可得 ，
所以点 的轨迹是以 为圆心，半径为 的半圆，其轨迹长度为 ，所以D正确.
故选：BCD
19．（多选题）（2024·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为棱
的中点，点 满足 ， 则下列说法中正确的是（ ）
A． 平面
B．若 平面 ，则动点 的轨迹是一条线段
C．若 ，则四面体 的体积为定值
D．若 为正方形 的中心，则三棱锥 外接球的体积为
【答案】BC【解析】
对于A，如图1，假设 平面 ，因 平面 则 ①；
因正方形 ,可得 ,又 平面 , 平面 ,则 ,
又 平面 ，故 平面 ，
因 平面 ，故 ②，
又 平面 ,故由① ，② 可得 平面 ，
显然该结论不成立，故 错误；
对于B，如图2，取 中点 ，连接 ，
易得 ,且 ，故得 ,
则有 ，因 平面 , 平面 ,故 平面 ③；
又 ,同理可得 ,则 ,故有 ，同法可得 平面 ④ ,
因 平面 ，则由③ ，④ 可得平面 平面 ，
而 平面 ，则点 在平面 内，而点 又在平面 内，
故点 的轨迹为线段 ，B正确；
对于C，如图2， // ，
因为 ， ，
所以 ，故 三点共线，
所以点 在 上，而 // ，且 平面 ， 平面 ,所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，因为 的面积为定值，
所以四面体 的体积为定值， 正确；
对于 ：如图3，因 为正方形 的中心，则 ,故 的外心为 的中点，
又 ,故 的外心为 中点 ,又因平面 平面 ,
故点 即为三棱锥 的外接球的球心，其半径 ，
此外接球的体积 .故D不正确.
故选：BC.
20．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为 分别为棱
的中点，动点 在线段 上，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线 与平面 所成角为
B．直线 与直线 所成角的余弦值为
C．三棱锥 的体积为定值
D．点 在正方体内部或正方体的表面上，且 平面 ，则动点 的轨迹所形成的区域面积为
【答案】BCD
【解析】对于选项A，设 ，连接 ，
因为 平面A B C D ， 平面A B C D ，则 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
因为 ， ，所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
由题易知 ，所以 ，
所以直线 与平面 所成角为 ，故选项A错误；对于选项B，取棱 的中点 ，连接 ，易知 ，
则 为直线 与直线 所成的角或其补角，
在 中，易知 ， ，
由余弦定理可得 ，故选项B正确；
对于选项C，三棱锥 的体积 ，
因为 平面 ，点 在线段 上，
所以点 到平面 的距离为定值 ．
又因为底面 的面积为定值，所以三棱锥 的体积为定值，故选项C正确；
对于选项D，分别取棱 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，
连接 ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ，
因此易知动点 的轨迹所形成的区域是边长为 的正六边形 及内部，
其面积为 ，故选项D正确.
故选：BCD．
21．（多选题）（2024·江苏南京·二模）在棱长为1的正方体 中， 、 分别为 、
的中点，点 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则三棱锥 外接球的表面积为
B．若 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为
C．若 ，则 面积的最小值为D．若存在实数 使得 ，则 的最小值为
【答案】AD
【解析】A：由题意， 与 重合，
故三棱锥 的外接球与以 为长宽高的长方体的外接球相同，
故半径 ，表面积为 ，故 对；
B：以 为原点建系， ， ， ， ， ，
由 ，所以 ，
， ， ，故B错；
C：由 得， 在线段 上运动，设 在底面 的投影为 ，连接 ，
由于 ，所以 ，故 ，
连接 相交于 ，连接 ，
，当 重合时取等号，故C错；
D：由
得 ， ， ， ，
由 可得 ，所以 ， ， ，
当 时， ，故D正确.
故选：AD.
22．（多选题）（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体 中，M为平
面ABCD内一动点，则（ ）
A．若M在线段AB上，则 的最小值为
B．平面 被正方体内切球所截，则截面面积为
C．若 与AB所成的角为 ，则点M的轨迹为椭圆
D．对于给定的点M，过M有且仅有3条直线与直线 ， 所成角为
【答案】ABD
【解析】对于A，延长 到 使得 ，则 ，等号在
共线时取到；故A正确；
对于B，由于球的半径为 ，球心到平面 的距离为 ，故被截得的圆的半径为 ，故面
积为 ，故B正确；
对于C， 与 所成的角即为 和 所成角，所以 ，易知 平面 ，当 位于线段 上时，则 平面 ，得 ，所以 的轨迹为直线 ，故C错误；
对于D，显然过 的满足条件的直线数目等于过 的满足条件的直线 的数目，
在直线 上任取一点 ，使得 ，不妨设 ，
若 ，则 是正四面体，所以 有两种可能，直线 也有两种可能，
若 ，则 只有一种可能，就是与 的角平分线垂直的直线，
所以直线 有三种可能，故D正确.
故选：ABD
23．（2024·山东青岛·三模）已知长方体 中， ，点 为矩形
A B C D 内一动点，记二面角 的平面角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，若 ，
1 1 1 1
则三棱锥 体积的最小值为 .
【答案】
【解析】如图，作 平面 ，垂足为 ，再作 ，垂足为 ，
连接 ，则 ， ，由 ，则 ，
又 、 平面 ，故 ， ，则 ，
由抛物线定义可知， 的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线一部分，
所以 的轨迹为以 为焦点，以 为准线的抛物线一部分，
当点 到线段 距离最短时，三角形 面积最小，即三棱锥 体积最小，
取 中点 为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则 ， ， ，
则直线 的方程为： ，即 ，
抛物线的方程为 ，则 ，
由题意，令 ，得 ，代入 ，得 ，所以点 的坐标为 ，所以 到直线 的最短距离为：
，因为 ，
所以 ，
所以三棱锥 体积的最小值为 .
故答案为： .
24．（2024·安徽·三模）已知四棱锥 的底面 为矩形，其中 ，点
平面 ，点M，N分别在线段 ， 上（不含端点位置），其中 ，则四面体 的体
积最大值为 .
【答案】
【解析】在 上取点 ，使得 ，
由 ，设 ， ，其中 ，
又由 ， ，且 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
可得 ，且 ， ， ，
因为 ，且 平面 ，所以 平面 ，在 中，由 ，可得 ，则 的面积为 ，
故 ，
当且仅当 时等号成立，所以四面体 的体积最大值为 .
故答案为： .
