专题 03 力与曲线运动
目录
01考情透视·目标导航..........................................................................................................2
02知识导图·思维引航..........................................................................................................3
03核心精讲·题型突破..........................................................................................................4
题型一 运动的合成与分解..............................................................................................................................4
【核心精讲】...............................................................................................................................................................................................4
考点1 曲线运动的四大特点............................................................................................................................................................4
考点2 小船渡河问题..........................................................................................................................................................................4
考点3关联速度.....................................................................................................................................................................................5
【真题研析】...............................................................................................................................................................................................6
【命题预测】...............................................................................................................................................................................................6
考向1 曲线运动及运动的合成与分解........................................................................................................................................6
考向2 小船渡河.................................................................................................................................................................................7
考向3 关联速度.................................................................................................................................................................................7
题型二 抛体运动............................................................................................................................................8
【核心精讲】...............................................................................................................................................................................................8
考点1 平抛运动问题的求解思路...................................................................................................................................................8
考点2 平抛运动的推论......................................................................................................................................................................8
考点3 平抛运动与各种面结合问题..............................................................................................................................................9
考点4 平抛运动问题的求解思路................................................................................................................................................10
【真题研析】............................................................................................................................................................................................11
【命题预测】............................................................................................................................................................................................12
考向1 平抛运动的规律及推论.....................................................................................................................................................12
考向2 平抛运动与各种面的结合................................................................................................................................................13
考向3 斜抛运动的规律及应用.....................................................................................................................................................14
题型三 圆周运动..........................................................................................................................................15
【核心精讲】............................................................................................................................................................................................15
考点1 圆周运动的求解思路..........................................................................................................................................................15
考点2 水平面内圆周运动的动力学问题..................................................................................................................................15
考点3 竖直面内圆周运动的解题思路.......................................................................................................................................16
考点4 常见的传动方式及特点.....................................................................................................................................................16
【真题研析】............................................................................................................................................................................................17
【命题预测】............................................................................................................................................................................................19
考向1 水平面内圆周运动的动力学问题..................................................................................................................................19
考向2 竖直面内圆周运动..............................................................................................................................................................19
考向3 常见的传动方式及特点.....................................................................................................................................................20
难点突破 圆周运动的临界问题.......................................................................................................................20
【核心精讲】............................................................................................................................................................................................20
考点1 水平面内圆周运动的临界问题.......................................................................................................................................20
考点2 竖直面内圆周运动的临界问题.......................................................................................................................................20
考点3 斜面上圆周运动的临界问题............................................................................................................................................22
【真题研析】............................................................................................................................................................................................22
【命题预测】............................................................................................................................................................................................23
考向1 水平面内圆周运动的临界问题.....................................................................................................................................23
考向2 竖直面内圆周运动的临界问题.....................................................................................................................................23
考向3 斜面上圆周运动的临界问题.........................................................................................................................................24命题统计
2024 2023年 2022年
命题要点
运动的合成
2023•浙江•合运动与分运动
与分解 2024•安徽•合运动与分运动 2023•江苏•合运动与分运动
2023•全国•合运动与分运动
2022•河北•平抛运动的规律及推
论
2023•浙江•平抛运动的规律及
2022•山东•平抛运动的规律及推
推论
2024•浙江•平抛运动的规律及推论 论
2023•全国•平抛运动的规律及
2024•海南•平抛运动的规律及推论 2022•重庆•平抛运动的规律及推
推论
2024•安徽•平抛运动的规律及推论 论
2023•浙江•平抛运动的规律及
2024•湖北•平抛运动的规律及推论 2022•北京•平抛运动的规律及推
推论
2024•新疆•平抛运动的规律及推论 论
热 抛体运动 2024•浙江•平抛运动的规律及推论 2023•山东•平抛运动的规律及 2022•湖北•平抛运动的规律及推
推论
2024•江西•平抛运动的规律及推论 论
2023•全国•平抛运动的规律及
考 2024•北京•平抛运动的规律及推论 2022•全国•平抛运动的规律及推
推论
2024•江苏•斜抛运动的规律及应用 论
2023•辽宁•斜抛运动的规律及
角 2024•山东•斜抛运动的规律及应用 考向二 平抛运动与各种面的结合
应用
2024•福建•斜抛运动的规律及应用 2022•广东•平抛运动与各种面的
2023•湖南•斜抛运动的规律及
结合
度 应用
2022•广东•平抛运动与各种面的
结合
2023•北京•水平面内圆周运动
2024•广东•水平面内圆周运动的动
的动力学问题
力学问题 2022•山东•水平面内圆周运动的
2023•全国•水平面内圆周运动
2024•江苏•水平面内圆周运动的动 动力学问题
的动力学问题
力学问题 2022•福建•水平面内圆周运动的
圆周运动 2024•甘肃•水平面内圆周运动的动 2023•福建•水平面内圆周运动 动力学问题
的动力学问题
力学问题 2022•辽宁•水平面内圆周运动的
2023•重庆•水平面内圆周运动
2024•江西•水平面内圆周运动的动 动力学问题
的动力学问题
力学问题
2023•江苏•水平面内圆周运动
2024•辽宁•常见的传动方式及特点
的动力学问题
2024•江苏•水平面内圆周运动的 2022•北京•竖直面内圆周运动的
临界问题 2023•湖南•竖直面内圆周运动 临界问题
圆周运动的 2024·贵州·竖直面内圆周运动的临 的临界问题 2022·全国·竖直面内圆周运动的临
临界问题 界问题 2023·广东·竖直面内圆周运动 界问题
2024·安徽·竖直面内圆周运动的临 的临界问题 2022·浙江·竖直面内圆周运动的临
界问题 界问题
命题规律 ①运动的合成与分解；②平抛运动与斜抛运动；③圆周运动.
本专题属于热点内容；高考命题以选择题或计算题的形式出现；
平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角速度、线速度和向心加速度是近几年命题的热点，尤其
是几个热点模型（绳、杆速度分解模型，与斜面或圆弧面有关的平抛运动，圆锥摆模型，水平面内、
考向预测 竖直面内圆周运动的临界问题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型）结合功能关系、牛顿运动定律综合考
查，也可与电场力、洛伦兹力联系起来考查．可能单独考察某一种运动形式，也可能是多个运动的集
合的多过程运动（平抛运动+圆周运动，多个圆周运动，斜面+平抛运动+圆周运动等）。此外生活中的
圆周运动命题范围很大，需灵活运用
命题情境 生活中的抛体运动，自行车、汽车、火车转弯等动力学及临界问题，水流星，体育运动中的圆周运动
问题
运动的合成与分解（小船过河、抛体运动）；牛顿运动定律（分析圆周运动的瞬时问题）；动能定理
常用方法 （分析竖直平面内圆周运动的过程问题）；模型（小船渡河模型，绳、杆速度分解模型，与斜面或圆
弧面有关的平抛运动，圆周运动的传动问题，圆锥摆模型，水平面内、竖直面内圆周运动的临界问
题，圆周运动中的轻绳、轻杆模型）；多过程问题分析方法.题型一 运动的合成与分解
考点1 曲线运动的四大特点
1. 运动学特点:由于做曲线运动的物体的瞬时速度方向沿曲线上物体位置的切线方向,所以做曲线运动的物
体的速度方向时刻发生变化,即曲线运动一定为变速运动.
2. 动力学特征:由于做曲线运动的物体的速度时刻变化,说明物体具有加速度,根据牛顿第二定律可知,物体所
受合外力一定不为零且和速度方向始终不在一条直线上(曲线运动条件).合外力在垂直于速度方向上的分力
改变物体速度的方向,合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.
3. 轨迹特征:曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间,而且向合力的一侧弯曲,或者说合力的方向
总指向曲线的凹侧.轨迹只能平滑变化,不会出现折线.若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的
大致方向，如平抛运动的轨迹向下弯曲，圆周运动的轨迹总向圆心弯曲等.
4. 能量特征:若物体所受的合外力始终和物体的速度垂直,则合外力对物体不做功,物体的动能不变;若合外力
不与物体的速度方向垂直,则合外力对物体做功,物体的动能发生变化.
考点2 小船渡河问题
1.解决这类问题的关键:正确区分船的分运动和合运动.船的 航行方向也就是船头指向 , 是分运动 ;船的运动方
向也就是船的实际运动方向 , 是合运动 ,一般情况下与船头指向不一致.
2.运动分解的基本方法:按实际效果分解,一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向进行分解.
模型解读 分运动1 分运动2 合运动
运动 船相对于静水的划行运动 船随水漂流的运动 船的实际运动
速度本质 v v 船相对于岸的速度v
发动机给船的速度 1 水流给船的速度 2
速度方向 沿船头指向 沿水流方向 合速度方向,轨迹(切线)方向①渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有
关,与水流速度无关
渡河时间 ②渡河时间最短:船头正对河岸时,渡河时间最短,
d
t =
min v
1 (d为河宽)
①若v >v ，当船头方向与上游河岸夹角θ满
船 水
足v cos θ＝v 时，合速度垂直河岸，渡河位移
船 水
最短，且x ＝d
min
渡河位移
②若v <v ，合速度不可能垂直于河岸，无法
船 水
垂直渡河．当船头方向(即v 方向)与合速度方向
船
垂直时，渡河位移最短，且x ＝＝
min
考点3关联速度
1．定义：两物体通过不可伸长的轻绳(杆)相连，当两物体都发生运动，且物体运动的方向不在绳(杆)的直
线上，两物体的速度是关联的．
2. 处理关联速度问题的方法：首先认清哪个是合速度、哪个是分速度．物体的实际速度一定是合速度，把
物体的实际速度分解为 垂直于绳 ( 杆 )和 平行于绳 ( 杆 )两个分速度，根据 沿绳 ( 杆 ) 方向的分速度大小相等 求解.
3. 常见的速度分解模型
情景图示 定量结论
v＝v cos θ
物
v ′＝v ＝v cos θ
物 ∥ 物
v ＝v ′
∥ ∥
即v cos θ＝v ′cos α
物 物
v ＝v ′
∥ ∥
即v cos α＝v ′cos β
物 物1．（2024·安徽·高考真题）（多选）一倾角为 足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立
Oxy直角坐标系，如图（1）所示。从 开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块
施加沿x轴正方向的力 和 ，其大小与时间t的关系如图（2）所示。已知物块的质量为1.2kg，重力加
速度g取 ，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动 B． 时，物块的y坐标值为2.5m
C． 时，物块的加速度大小为 D． 时，物块的速度大小为
考向 1 曲线运动及运动的合成与分解
1．（2025届高三上学期·辽宁本溪·一模）一质量为0.2kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图
像分别如图所示，由图可知错误的是（ ）A．开始4s内物体的位移为
B．从开始至6s末物体一直做曲线运动
C．开始4s内物体所受合外力为0.2N
D．开始4s内物体做曲线运动，接着2s内物体做直线运动
考向 2 小船渡河
2．（2024·广东深圳·二模）（多选）一只小船渡河，船头方向始终垂直于河岸，水流速度各处相同且恒定
不变。现小船相对于静水以初速度v 分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，运动轨迹如图所示，可以判
0
断（ ）
A．小船沿三条不同轨迹渡河的时间相同
B．小船沿AC轨迹渡河的时间最小
C．小船沿三条不同轨迹到达河对岸时的速率相同
D．小船沿AD轨迹运动到达河对岸时的速率最小
考向 3 关联速度
3．（2025届高三上学期·贵州·模拟预测）火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一
种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上
向右以 匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为h，当 时，
被救人员向B点运动的速率是（ ）A． B． C． D．
题型二 抛体运动
考点1 平抛运动问题的求解思路
1.若知道速度的大小和方向,则首先考虑分解速度.
2.若知道位移的大小和方向,则首先考虑分解位移.
3.两种分解方法:
①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动;
②沿斜面方向的匀加速运动和垂直于斜面方向的匀减速运动.
4. 对于平抛或类平抛运动与圆周运动组合的问题，应用“合成与分解的思想”，分析这两种运动转折点的
速度是解题的关键．
考点2 平抛运动的推论
√2h
t=
g
1.飞行时间:由 知,飞行时间取决于下 落高度 h ,与初速度v 无关.
0
√2h
x=v t=v
0 0 g
2.水平射程: ,即水平射程由 初速度 v 和下落高度 h 共同决定,与其他因素无关.
0
v= √v2 +v2 = √v2 +2gh
3.落地速度: x y 0 ,以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角,有
v √2gh
tanθ= y =
v v
x 0 ,所以落地速度只与初速度v 和下落高度h有关.
04.速度改变量:物体在任意相等时间内的速度改变量
Δv=gΔt
相同,方向恒为竖直向
下.
平抛运动的速度均匀变化，速率不是均匀变化。
5.平抛运动的两个重要结论
①做平抛运动的物体在任意时刻(任意位置)处，有
tanθ=2tanα
.
推导：
v
gt }
y
tanθ=
= ¿ ¿¿⇒
tanθ=2tanα¿
v v
0 0
②做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过水平位移的中点，
x =2x
如图所示，即 A B.
推导：
y
}
A
tanθ= ¿ ¿¿⇒x =2x ¿
x −x A B
A B
考点3 平抛运动与各种面结合问题
1.平抛与竖直面结合
{ 水平：d = v t ¿¿¿
¿
0
2.平抛与斜面结合
①顺着斜面平抛
情形一：落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下
处理方法：分解位移．{x=v t ¿¿¿
¿
0 ¿
2v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
情形二：物体离斜面距离最大，已知速度方向沿斜面向下
处理方法：分解速度
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
②对着斜面平抛：垂直打在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下
处理方法：分解速度．
{v =v ¿¿¿
¿
x 0 ¿
v
¿ t= 0
gtanθ
可求得 .
3.平抛与圆面结合
①小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．
处理方法：由半径和几何关系制约时间t：
{ 1
h=
gt2
¿ ¿¿¿
2
联立两方程可求t.
②小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时半径OB垂直于速度方向，圆心角α与速度的偏向角
相等．
处理方法：分解速度．
{v
=
v
¿¿¿
¿
x 0 ¿
v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
③小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等．
处理方法：分解速度．{v
=
v
¿¿¿
¿
x 0 ¿
v tanθ
¿ t= 0
g
可求得 .
4. 与圆弧面有关的平抛运动：题中常出现一个圆心角，通过这个圆心角，就可找出速度的方向及水平
位移和竖直位移的大小，再用平抛运动的规律列方程求解．
考点4 平抛运动问题的求解思路
1.常见的三种临界特征
①有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述的过程中存在着临界点.
②若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述的过程中存在着“起止点”,
而这些起止点往往就是临界点.
③若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述的过程中存在着极值,这个极值点
往往是临界点.
2.平抛运动临界问题的分析方法
①确定研究对象的运动性质;
②根据题意确定临界状态;
③确定临界轨迹,画出轨迹示意图;
④应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解.
1．（2024·浙江·高考真题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，
在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水
口的速度大小为（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·山东·高考真题）（多选）如图所示，某同学将离地 的网球以 的速度斜向上击出，
击球点到竖直墙壁的距离 。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为 的P点。网球与
墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取
，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·高考真题）（多选）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v 大小为
0
20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取
10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动时间为
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45m考向 1 平抛运动的规律及推论
1．（2022·全国·高考真题）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔
发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的
第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度 和 之
比为3：7。重力加速度大小取 ，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。
2．（2025届高三上学期·湖南郴州·一模）我国运动员郑钦文获得2024年巴黎奥运会网球女子单打金牌，
她的成功是勤奋训练的结果。如图所示，她在某次训练中将离地1.25m的网球以13m/s的速度斜向上击出，
击球点到竖直墙壁的距离为4.8m。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为8.45m的P点。网球
碰墙后垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍，平行墙面的速度分量不变。已知重力加速度g取 。
则下列正确的是（ ）A．网球从击球点到P点的时间为1.3s B．网球达到P点时速度大小为5m/s
C．网球碰墙后速度大小为3m/s D．网球落地点到墙壁的距离为3.6m
考向 2 平抛运动与各种面的结合
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）（多选）如图所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初
速度水平抛出，小球均落在斜面上。当抛出的速度为 时，从抛出至落到斜面的运动时间为 ，位移大小
为 ，离斜面的最远距离为 ，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为 ；当抛出速度为 时，从抛
出至落到斜面的运动时间为 ，位移大小为 ，离斜面的最远距离为 ，小球到达斜面时速度方向与斜面
的夹角为 ，不计空气阻力，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川遂宁·模拟预测）（多选）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道 竖直固定放置，轨
道半径为 ，圆心为A点， 分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平
向右的速度 （未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的 点，重力加速度为 ，小球可视为质点，
下列说法正确的是（ ）A．若 ，小球运动到 点时速度与水平方向的夹角为 ，则有
B．若小球从A到 运动时间为 ，则
C．改变 的大小，小球落到圆弧 上的速度最大值为
D．改变 的大小，小球落到圆弧 上速度的最小值为
考向 3 斜抛运动的规律及应用
5．（2023·湖南·高考真题）如图（a），我国某些农村地区人们用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次抛出的
谷粒中有两颗的运动轨迹如图（b）所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为 ，且轨迹交于 点，
抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为 和 ，其中 方向水平， 方向斜向上。忽略空气阻力，关于两
谷粒在空中的运动，下列说法正确的是（ ）
A．谷粒1的加速度小于谷粒2的加速度 B．谷粒2在最高点的速度小于
C．两谷粒从 到 的运动时间相等 D．两谷粒从 到 的平均速度相等
6．（2025届高三上学期·吉林长春·一模）郑钦文在2024年巴黎奥运会为我国赢得首枚奥运网球单打金牌。
比赛中在网球距地面高度为h时，她以斜向上方速度 将网球击出， 方向与水平方向夹角为θ。忽略空
气阻力，网球从被击出到第一次落地过程中，下列说法正确的是（ ）A．网球在空中的运动时间与h有关，与 无关
B．网球落地前速度的反向延长线过水平位移的中点
C．保持h和 的大小不变，当 时，网球水平位移最大
D．保持 的大小不变，h越小，最大水平位移对应的θ越接近
题型三 圆周运动
考点1 圆周运动的求解思路
1.一审题：审题意，确定研究对象（以做圆周运动的物体为研究对象）
2.二确定：确定圆周运动的轨道平面，确定圆心
3.三分析：
①分析几何关系，求半径
②分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源（关键）
③分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度等相关量，确定向心加速度的表达式
4.列方程：根据牛顿运动定律合圆周运动知识列方程
考点2 水平面内圆周运动的动力学问题
运动模型 汽车在水平路面转弯 水平转台（光滑） 圆锥摆向心力的来源图示
运动模型 飞车走壁 火车转弯 飞机水平转弯
向心力的来源图示
圆锥摆模型
①如图所示，向心力F ＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，联立解得v＝，ω＝.
向
②稳定状态下，θ角越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和运动所需的
向心力也越大．
考点3 竖直面内圆周运动的解题思路
1.定模型:首先判断是绳子模型还是轻杆模型.
v =√gr
2.确定临界点: 临 ,对绳子模型来说是能否通过最高点的临界点,而对轻杆模型来说是F 表现为支
N
持力还是拉力的临界点.
3.研究状态:通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.F =F
4.受力分析:对物体在最高点或最低点时进行受力分析,根据牛顿第二定律列出方程, 合 向.
5.过程分析: 竖直平面内圆周运动的最高点和最低点的速度关系通常利用动能定理来建立联系。.
考点4 常见的传动方式及特点
v =v
1.皮带传动：如图甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即 A B.
2.摩擦传动和齿轮传动：如图甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相
v =v
等，即 A B
3.同轴转动：如图甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，
ω
A
=ω
B，由
v=ωR
知v与R成
正比．
1．（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面
内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为 、劲度系数为k
的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，
插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁·高考真题）“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动
时，球面上P、Q两点做圆周运动的（ ）
A．半径相等 B．线速度大小相等
C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等
3．（2024·江西·高考真题）雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动。如图
（a）、（b）所示，传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。圆盘边缘
A处固定连接一轻绳，轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度与圆盘角速度相
等。转椅与雪地之间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）在图（a）中，若圆盘在水平雪地上以角速度 匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕O点做半
径为 的匀速圆周运动。求 与 之间夹角 的正切值。
（2）将圆盘升高，如图（b）所示。圆盘匀速转动，转椅运动稳定后在水平雪地上绕 点做半径为 的匀
速圆周运动，绳子与竖直方向的夹角为 ，绳子在水平雪地上的投影 与 的夹角为 。求此时圆盘
的角速度 。考向 1 水平面内圆周运动的动力学问题
1．（2024·全国·模拟预测）“指尖篮球”是花式篮球表演中的常见技巧。如图所示，半径为 的篮球在指
尖绕竖直轴转动，若此时篮球下半球部分表面有一些小水滴，当篮球角速度达到一定值时，小水滴将被甩
出。已知小水滴质量为 ，篮球对小水滴的最大吸附力为 ，重力加速度为 ，若小水滴仅受重力和篮
球的吸附力作用，篮球对小水滴的吸附力时刻指向球心，则小水滴被篮球甩出时篮球的角速度 、小水滴
和球心的连线与水平方向的夹角 应满足（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
考向 2 竖直面内圆周运动
2．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，轻杆的一端固定在水平转轴O上，另一端固定一小球，轻杆随转轴
在竖直平面内做匀速圆周运动，位置A与O等高，不计空气阻力，关于杆对球的作用力F，下列说法正确
的是（ ）
A．小球运动到最高点时，F方向竖直向上B．小球运动到最低点时，F大于小球重力
C．小球运动到位置A时，F方向指向圆心D．小球运动到位置A时，F小于小球重力
考向 3 常见的传动方式及特点
3．（2025届高三上学期·陕西榆林·一模）如图所示、甲、乙两位同学握住绳子A、B两端摇动，A、B两端
近似不动，且A、B两点连线始终沿水平方向，绳子上P、Q等各点均同步在竖直面做匀速圆周运动。当绳
子在空中转到如图所示位置时，则（ ）A．P点的线速度方向沿绳子切线 B．P点的线速度等于Q点的线速度
C．P点的角速度等于Q点的角速度 D．P点所受合外力方向一定垂直于绳斜向下
难点突破 圆周运动的临界问题
考点1 水平面内圆周运动的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。
1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝mv2r，静摩擦力的方向一定指向圆心。
2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内
滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离
圆心和沿半径指向圆心。
2．与弹力有关的临界极值问题
1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。
3. 物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
考点2竖直面内圆周运动的临界问题
1．竖直面内圆周运动的特点
1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动，通常只涉及最高点和最低点的两种情形，利用动能定理
来建立联系，然后结合牛顿第二定律进行动力学分析．
2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒。
3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题（关键是确定临界状态，找准受力的
临界条件，结合牛顿第二定律分析），又有能量守恒的问题（通常用动能定理解决，也可以用机械能守恒
或设计摩擦力的用能量守恒解决），要注意物体运动到圆周最高点时的速度。
2. 绳子模型与轻杆模型对比
绳模型 杆模型
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动球与杆连接、球在光滑管道中运动等
的“过山车”等常见
类型
均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力
示意图
F 向下或等于零
弹 F 向下、等于零或向上
弹
力学
mg＋F ＝m mg±F ＝m
弹 弹
方程
F =0
弹 v=0
过最高
v2
点的临 mg=m min 即
F
向
=0
R
界条件 F =mg
v =√gR 弹
min
①当
v=0
时,
F
弹
=mg
,
F
弹为支持
力,沿半径背离圆心
v≥√gR 0<v<√gR
①过最高点时, , ②当 时,
v2 v2
F +mg=m -F +mg=m
弹 R ,绳、圆轨道对 弹 R , F 弹背离圆心,随v
讨论
F 的增大而减小
分析 球产生弹力 弹
v=√gR F =0
v<√gR ③当 时, 弹
②不能过最高点时, ,
v>√gR
在到达最高点前小球已经脱离了圆
④当 时,
轨道
v2
F +mg=m
弹 R , F 弹指向圆心并随v
的增大而增大
考点3斜面上圆周运动的临界问题
斜面上圆周运动的临界问题：物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为 θ，重力垂直斜面的分力
与物体受到的支持力大小相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化．物体在转动过程中，转动越快，最容易滑动的位置是最低点，恰好滑动时：μmgcos θ－mgsin θ＝
mω2R.
1．（2024·江苏·高考真题）如图所示是生产陶瓷的工作台，台面上掉有陶屑，与工作台一起绕OO'匀速转
动，陶屑与桌面间的动摩因数处处相同（台面够大）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（ ）
A．越靠近台面边缘的陶屑质量越大 B．越靠近台面边缘的陶屑质量越小
C．陶屑只能分布在工作台边缘 D．陶屑只能分布在某一半径的圆内
2．（2023·湖南·高考真题）（多选）如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组
成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为θ，BC段圆心为O，最高点为C，A与C的高度差等于圆弧轨
道的直径2R。小球从A点以初速度v 冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（ ）
0
A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大
B．小球从A到C的过程中，重力的功率始终保持不变
C．小球的初速度
D．若小球初速度v 增大，小球有可能从B点脱离轨道
0考向 1 水平面内圆周运动的临界问题
1．（2025届高三上学期·四川泸州·一模）（多选）如图所示，水平地面上有一个可以绕竖直轴匀速转动的
圆锥筒，筒壁与水平面的夹角为 ，内壁有一个可视为质点的物块始终随圆锥筒一起做匀速圆
周运动，物块受到的最大静摩擦力是正压力的0.6倍。当物块做圆周运动的半径为r，受到的摩擦力恰好为
零时，角速度为 。忽略空气阻力，取 。则下列说法中正确的是（ ）
A．当r越大，则 越大
B．当r越大，则 越小
C．当 时，最大角速度
D．当 时，最大角速度
考向 2 竖直面内圆周运动的临界问题
2．（2025届高三上学期·广西柳州·模拟预测）如图为一小朋友在一个空心水泥管里玩“踢球”游戏，将该
过程简化为竖直面内半径为r的固定圆环，在圆环的最低点有一质量为m的小球，现给小球一水平向右的
瞬时速度v．小球沿圆环内侧运动，重力加速度为g，不计小球与圆环间的摩擦。下列说法正确的是（
）A．若 ，小球可以通过圆环最高点
B．若 ，小球在最低点对圆环压力大小为4mg
C．若 ，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为
D．若 ，小球脱离圆环的位置与圆心的连线与水平方向夹角的正弦值为
考向 3 斜面上圆周运动的临界问题
2．（2024·山东·一模）（多选）如图所示，在某行星表面有一倾斜的圆盘，绕垂直于盘面的固定对称轴以
恒定角速度转动，盘面与水平面的夹角为30°，质量为m的小物块(可视为质点)距转轴距离为L，与圆盘保
持相对静止。已知角速度为 时，小物块恰好相对滑动，物块与盘面间的动摩擦因数为 （最大静摩擦
力等于滑动摩擦力），星球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是（ ）
A．当物块以角速度 随圆盘匀速转动到最高点时，物块所受摩擦力方向沿盘面向下
B．当物体以角速度 随圆盘匀速转动到最高点时，物块所受摩擦力大小
C．该行星的第一宇宙速度为
D．该行星的密度为
