文档内容
专题 09 电场 带电粒子在电场中的运动
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：电场的性质..................................................................................................2
题型二：静电场中三类常见图像..............................................................................8
题型三：带电粒子（带电体）在电场中的运动....................................................14
题型四：计算大题专练（带电粒子（带电体）在电场中的平衡、运动）........25
02 重难创新练.............................................................................................................30题型一：电场的性质
1．（2024·四川德阳·模拟预测）边长为2L的正方形abcd，点M、N、P、S分别为边ab、cd、ad、bc的中
点，点O为直线PS和MN的交点，a、M、b、N、d五点处固定有电荷量为 的点电荷，点c处固定有电
荷量为 的点电荷，已知 、 、 分别表示点P、O、S三点处的电势，E表示点O处的电场强度大
小，静电力常量为k，则（ ）
A．
B．
C．将一带负电的检验电荷沿着直线PS从P点移动到S点过程中电场力先不做功再做负功
D．将一带正电的检验电荷沿着直线PS从P点移动到S点过程中电场力先做正功再做负功
【答案】B
【详解】A．b、c两点的等量异种电荷形成的电场中，P点和O点电势相等，另外四个正电荷形成的电场
中，在P点和O点的电势也相等，所以
B．根据对称性M、N两点的正电荷形成的电场在O点场强为0，同理b、d两点的正电荷在O点的场强也为0；O点场强等于a、c两点的等量异种电荷在O场强的场强 故B正确；
C．将一带负电的检验电荷沿着直线PS从P点移动到S点过程中，b、c两点的等量异种电荷形成的电场对
其不做功，再根据对称性，另外四个正电荷对此负电荷的电场力先做正功再做负功，C错误；
D．同理，将一带正电的检验电荷沿着直线PS从P点移动到S点过程中，电场力先做负功再做正功，D错
误；故选B。
2．（2024·天津蓟州·三模）如图所示，电场中的一簇电场线关于y轴对称分布，O点是坐标原点，M、N、
P、Q是以O为圆心的圆周上的四个点，其中M、N在y轴上，Q点在x轴上，下列说法正确的是（ ）
A．P点电场强度的大小可能等于Q点电场强度的大小
B．M点电势可能等于Q点电势
C．电荷在N点的电势能可能小于在M点的电势能
D．电荷从N点运动到O点电场力做的功等于从O点运动到M点电场力做的功
【答案】C
【详解】A．根据电场线的疏密程度可知，P点的电场强度小于Q点的电场强度，故A错误；
B．根据沿电场方向电势降低，结合等势面与电场方向垂直，可知M点电势低于Q点电势，故B错误；
C．根据沿电场方向电势降低，结合等势面与电场方向垂直，可知N点的电势高于M点的电势，根据
若电荷带负电，则电荷在N点的电势能小于在M点的电势能，故C正确；
D．根据电场分布可知，OM间的平均电场强度比NO之间的平均电场强度小，故由公式 可知，OM
间的电势差小于NO间的电势差，根据 可得电荷从N到O过程中电场力做的功大于从O到M过程
中电场力做的功，故D错误。故选C。
3．（2024·湖北·三模）如图所示，边长为L的正四面体ABCD的中心为O，A、B两点分别固定等量异种
点电荷 、 ，下列说法正确的是（ ）A．C、D两点电场强度大小相等，方向不同
B．C、D两点电势相等
C．将一试探电荷 从C点沿直线移到D点，电场力先做负功后做正功
D．O点场强大小为
【答案】B
【详解】A．A、B两点分别固定等量异种点电荷，则C、D两点电场强度大小相等，方向也相同，故A错
误；
BC．空间中C、D两点连线在等量异种点电荷连线的垂直平分面上，故在同一个等势面上，即 ，
将一试探电荷 从C点沿直线移到D点电场力一直不做功，故B正确，C错误；
D．O点是正四面体的中心，其外接球的半径为 ， 在O点场强大小为 设两等大场
强的夹角为 ，根据几何关系可知 ， 合成后O点场强大小为 故
D错误。故选B。
4．（2024·浙江宁波·一模） 三个点电荷周围的电场线和等势线分布如图中实线所示，虚线为一电
子只受静电力作用的运动轨迹， 是电子运动轨迹上的两点，下列说法正确的是（ ）A．点电荷 带负电 B． 两点的电场强度大小
C． 两点的电势高低 D．电子从 点运动到 点，电势能增大
【答案】D
【详解】A．根据电子的运动轨迹，结合电子轨迹要夹在合力和速度之间，且合力指向轨迹凹的一侧，可
判断知点电荷A带正电，故A错误；
B．根据等势线的疏密同时也可表示电场线的疏密，由电场线的疏密表示电场强度的大小，由图可判断知
故B错误；
C．根据沿电场线方向电势逐渐降低，由题图可知 故C错误；
D．电子从 点运动到 点，根据 电场力对电子做负功，电子的电势能增加，
故D正确。故选D。
5．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）如图所示，在直角坐标系中，先固定一不带电金属导体球B，半
径为L，球心O'坐标为（2L，0）。再将一点电荷A固定在原点O处，带电量为+Q。a、e是x轴上的两点，
b、c两点对称地分布在x轴两侧，点a、b、c到坐标原点O的距离均为0.5L，Od与金属导体球B外表面相
切于d点，已知金属导体球B处于静电平衡状态，k为静电力常量，则下列说法正确的是（ ）
A．图中a、b两点的电势相等，d点电势高于e点
B．b、c两点处电场强度相同C．金属导体球B上的感应电荷在外表面d处的场强大小一定为
D．金属导体球B上的感应电荷在球心O'处产生的电场强度一定为
【答案】D
【详解】A．由于感应电荷对场源电荷的影响，沿着电场线方向电势逐渐降低，可得 ，
A错误；
B．b、c两点处电场强度大小相等，方向不同，B错误：
C．点电荷A在d处的场强大小 但金属导体球外表面场强不为零，则金属导体球B
上的感应电荷在外表面d处的场强大小不等于 ，C错误；
D．点电荷A在O'处的场强大小 方向沿x轴正方向，金属导体球内部电场强度为零，则金属导体球
上的感应电荷在球心O'处产生的电场强度为 ，方向沿x轴负方向，D正确。故选D。
6．（2024·全国·高考真题）在电荷量为Q的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距离该
点电荷r处的电势为 ，其中k为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电荷单
独存在的该点的电势的代数和。电荷量分别为 和 的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所示
（图中数字的单位是伏特），则（ ）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】根据两点电荷周围的电势分布可知 带正电， 带负电；由图中电势为0的等势线可知
由图中距离关系可知 联立解得 故选B。
7．（2024·浙江温州·一模）图甲是一种静电除尘装置图，图乙为其俯视图，固定在玻璃瓶中心的竖直铜线
A与起电机负极相连，包裹在玻璃瓶周围的铜片B与起电机正极相连。图乙中P、Q为一带负电的尘埃颗
粒运动轨迹上的两点，忽略颗粒重力和颗粒间的相互作用，颗粒运动过程中电荷量不变。下列说法正确的
是（ ）
A．P点电势比Q点电势高
B．颗粒在P点速度比Q点速度大
C．颗粒在P点电势能比Q点电势能大
D．铜片B表面的电场线可能与其表面不垂直
【答案】C
【详解】A．由于A带负电，B带正电，根据沿电场方向电势降低，可知离A越近电势越低，离B越近电
势越高，则P点电势比Q点电势低，故A错误；
BC．轨迹弯向合外力方向，所以受到的电场力指向正电荷，粒子带负电，根据 可知，在P点电势
能比Q点电势能大，根据能量守恒可知，P点动能比Q点动能小，P点速度比Q点速度小，故B错误，C正确；
D．导体表面是等势面，所以电场线与铜片B表面垂直，故D错误。故选C。
8．（2024·山东济南·模拟预测）（多选）如图所示为两个点电荷的电场线分布，图中M、N两点到点电荷
（带电荷量为 ）的距离和R、S两点到点电荷 （带电荷量为 ）的距离相等，M、N两点与点电荷
共线，且M、N两点和R、S两点均关于两点电荷的连线对称，左边半圆（图示虚线）是正检验电荷的
运动轨迹。下列说法正确的是（ ）
A．
B．M、N两点的电场强度可能不同，R、S两点的电势一定不同
C．正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，可能只受电场力作用做匀速圆周运动
D．正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，其电势能先增大后减小
【答案】AD
【详解】A．由题图可知， 为正电荷， 为负电荷，且由电场线的疏密程度得 ，故A正确；
B．由对称性可知，M、N两点的电场强度大小相等，方向不同，R、S两点的电势一定相同，故B错误；
D．若只有点电荷 ，正检验电荷的运动轨迹为等势面，现由于点电荷 的影响，M、N处电场线发生弯
曲，题图中半圆虚线上，M、N两点电势最低，因此正检验电荷从M点沿半圆轨迹运动到N点，其电势能
先增大后减小，故D正确；
C．由于半圆轨迹不是等势线，正检验电荷不可能只受电场力而做匀速圆周运动，故C错误。
故选AD。题型二：静电场中三类常见图像
9．（2025·湖南永州·一模）假设某空间有一静电场的电势 随 变化情况如图所示，且带电粒子的运动只
考虑受电场力，根据图中信息可以确定下列说法中正确的是（ ）
A．从 到 ，场强的大小均匀增加
B．正电荷沿 轴从 运动到x 的过程中，做匀加速直线运动
1
C．负电荷沿 轴从 移到 的过程中，电场力做正功，电势能减小
D． 处场强大小为 ， 处场强大小为 ，则
【答案】D
【详解】A．根据 可知 图像中图线的斜率表示静电场的电场强度，由图可知，沿x轴方向，从
到 ，场强的大小恒定。故A错误；
B．同理可知 沿x轴方向的电场强度为零，正电荷沿 轴从 运动到x 的过程中，沿x轴方向的电场
1
力为零，一定不做匀加速直线运动。故B错误；
C．由图可知， 移到 的过程中电势降低，根据 可知负电荷沿 轴从 移到 的过程中，电场力
做负功，电势能升高。故C错误；
D．根据A选项分析可知， 处图线斜率绝对值大于 处图线斜率绝对值，所以 故D正确。故选
D。
10．（2024·北京海淀·二模）地球表面与大气电离层都是良导体，两者与其间的空气介质可视为一个大电
容器，这个电容器储存的电荷量大致稳定，约为 其间的电场，称为大气电场。设大地电势为零，
晴天的大气电场中，不同高度h处的电势 的变化规律如图所示，不考虑水平方向电场的影响。根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．这个大电容器所储能量约为
B．高度 处电场强度约为40V/m
C．高度 处电场强度约为19V/m
D．一带正电尘埃下落过程中大气电场对其的静电力做负功
【答案】C
【详解】A．这个大电容器所储能量 故A错误；
BC． 斜率的倒数代表电场强度，高度 处电场强度 故B错误，
C正确；
D．高度越高，电势越高，一带正电尘埃下落过程中大气电场对其的静电力做正功，故D错误。
故选C。
11．（2024·湖南·高考真题）真空中有电荷量为 和 的两个点电荷，分别固定在x轴上 和0处。设
无限远处电势为0，x正半轴上各点电势 随x变化的图像正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据点电荷周围的电势公式 ，设 处 的电势为0，得 解得
故可知当 时， ；当 时， 。故选D。12．（2024·山东·模拟预测）（多选）点电荷A、B分别固定在x轴上 和 处，规定无穷远处
电势为零，x轴正半轴上电势与位置坐标的关系图像如图所示。则（ ）
A．点电荷A、B带电荷量大小之比为1：4
B．除无穷远处，x轴上有3处电势为零的点
C．除无穷远处，x轴上只有1处场强为零的点
D．从 处静止释放的负试探电荷能再次经过该点
【答案】AC
【详解】A． 图线上某点切线的斜率表示该点的电场强度，结合题图可知， 处的合场强为零，
且点电荷A带负电，点电荷B带正电，设点电荷A、B带电荷量分别为 和 ，结合点电荷场强公式和矢
量合成有 可得 故A正确；
B．将点电荷B拆成带电荷量大小等于 的正点电荷 和带电荷量大小等于 的正点电荷 ， 和A构
成等量异种点电荷模型，结合电势分布特点可知，x轴上 左侧电势一定大于零，与 产生的电势叠加后
也大于零； 和A间存在电势小于零且与 产生的电势叠加后等于零的位置，则除无穷远处，x轴上有2
处电势为零的点，故B错误；
C．同理，结合场强分布规律可知，除无穷远处，x轴上只有1处场强为零的点，故C正确；
D． 处场强沿x轴负方向，负试探电荷释放后沿x轴正方向运动，运动到 处时动能最大，之后动
能减小，根据能量守恒可知电荷速度减为零时，电势为零，即试探电荷将一直沿x轴正方向运动到无穷远
处，故D错误。故选AC。13．（2024·四川眉山·模拟预测）（多选）点电荷Q、Q 固定在x轴上，其中Q 在坐标原点O，取无穷远
1 2 1
处为零电势点，则电子在x轴正半轴上的电势能与位置坐标的关系曲线如图所示。已知电子与点电荷Q相
距r时，电子的电势能为 ，下列说法正确的是（ ）
A．Q 带正电，Q 带负电
1 2
B．Q 一定带正电且在x轴负半轴上
2
C．Q 所带的电荷量是Q 的4倍
2 1
D．电子在x=-6x 处受到的电场力为零
0
【答案】BC
【详解】AB．由图可知，电子从x=0到x=3x，电势能不断减小，x>3x，电势能不断增大，则电场力先做
0 0
正功后做负功，可知电场强度的方向先沿x轴负方向后沿x轴正方向，可知Q 带负电，Q 带正电，且Q
1 2 2
位于x轴负半轴上，故A错误，B正确；
C．在x=x 处，有 在x=3x 处，有 联立可得 ， 故
0 0
C正确；
D．由以上分析可知，Q 位于x=-3x 处，则x=-6x 处的电场强度为
2 0 0
所以电子在x=-6x 处受到的电场力不为零，故D错误。
0
故选BC。
14．（2024·河北·二模）空间存在沿x轴方向的电场，从O点沿x轴正方向释放一质量为m、电荷量为q的
带正电粒子，粒子只在电场力作用下刚好运动到 处，粒子在运动过程中电势能随位置变化的关系如图所
示，下列说法正确的是（ ）A．由图可知，粒子在x 处受到的电场力最大
1
B．电场中x 点的电势低于x 点
2 1
C．粒子释放时的动能为
D．粒子经过x 处的动能为
2
【答案】D
【详解】A． 图像的斜率表示 由于x 处的斜率为零，则粒子在x 处受到的电场力为零，故A
1 1
错误；
B．粒子带正电，粒子在电势高处电势能大，因为 故 故B错误；
CD．粒子运动过程中能量守恒 解得粒子释放时的动能为 粒子经过
x 处的动能为 故D正确，C错误。故选D。
2
15．（23-24高三上·贵州贵阳·期末）工业生产中有一种叫电子束焊接机的装置，其核心部件由如图所示的
高压辐向电场组成。该电场的电场线如图中带箭头的直线所示。一电子在图中H点从静止开始只在电场力
的作用下沿着电场线做直线运动。取大地或无穷远处电势为零，下列关于电子电势能随位移变化的图像可
能正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，电子向圆心运动过程中，电场力做正功，其电势能减小，由图可知，电场强度增大，根
据 可知电势能图线的斜率增大，同时电子运动路径上电势高于0，所以电子电势能始终为负。故
选C。
16．（2024·吉林长春·模拟预测）如图甲，电荷均匀分布的固定绝缘细圆环，圆心为O，轴线上的电场强
度如图乙所示。现有一带正电粒子，以大小为 的初速度沿轴线仅在电场力作用下由P点运动到Q点，
。以x轴的正向为电场强度的正方向，则（ ）
A．细圆环带负电
B．OP两点间电势差 小于OQ两点间电势差
C．该粒子将会在PQ两点之间做往复运动
D．该粒子由P点运动到Q点的过程，电势能先增大后减小
【答案】D
【详解】A．以x轴的正向为电场强度的正方向，结合图乙中电场的正负可知，圆环带正电，故A错误；
B．根据对称性结合OP=OQ=L，可知OP两点间电势差U 等于OQ两点间电势差U ，故B错误；
OP OQ
C．根据对称性结合 ，可知粒子到达Q点时的速度大小为v，粒子不会在PQ两点之间做往复
0
运动，故C错误；
D．该粒子由P点运动到Q点的过程，电场力先做负功，后做正功，则电势能先增大后减小，故D正确。故选D。
17．（2025·四川·一模）（多选）三角形OPN是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为 ，以O点为
坐标原点，沿斜面向下为 轴正方向，如图1所示，沿斜面加一静电场，其电场强度 随 变化的关系如
图2所示，设 轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为 ，电荷量为 的带电小球从O静止释放，
且小球释放后沿斜面向下运动，已知 。则下列说法正确的是（ ）
A．小球一定带负电
B．小球在 处的动能为
C．小球沿斜面向下运动过程中最大速度为
D．小球沿斜面向下运动的最大位移为
【答案】AC
【详解】A．由题知，取沿斜面向下为 轴正方向，故最开始的电场强度方向沿斜面向上，若小球带正电，
则最开始所受电场力沿斜面向上，又 大于重力沿斜面向下的分力 ，故小球刚开始不
可能沿斜面向下运动，所以小球带负电，故A正确；
B．当小球运动 处时，电场强度为0，根据动能定理有 解得此时的动能为
故B错误；
C．小球沿斜面向下运动过程中，当有最大速度时加速度为零，则有 解得 由图2可知，设此时电场强度对应的横坐标为x，则有 解得 从最开始到最大速度，根据动能定理有
解得 故C正确；
D．当小球的速度为零时，小球沿斜面向下运动到最大位移，设为 ，对应的电场强度为 ，由图2可知
从最开始运动到最大位移，根据动能定理有 联立解
得 故D错误。故选AC。
题型三：带电粒子（带电体）在电场中的运动
18．（2024高三上·河北邢台·模考）在无重力空间，电场强度为E的足够大的匀强电场中，有一条与电场
线平行的直线，如图中虚线所示，直线上有两个静止的小球A和B，质量均为m，A球带电荷量 ，B球
不带电。开始时两球相距L，在电场力作用下，A球开始沿直线运动，并与B球发生正碰，碰撞中A、B
两球的总动能无损失，设在每次碰撞过程中，A、B间无电量转移，且不考虑重力及两球间的万有引力，
则两球发生第6次碰撞到发生第7次碰撞之间的时间间隔是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A球在电场力作用下做匀加速直线运动，由牛顿第二定律 可得，A球的加速度为设A球与B球碰前的速度为 ，由运动学公式 可得 所用时间 因为A球
和B球质量相等，所以每次碰撞后交换速度，B球碰后做匀速直线运动，作出两球运动的 图像，如图
所示
初始时刻斜线表示A球，水平线表示B球，两球在 、 、 、 ……时刻发生碰撞。由此可得，两球
发生第6次碰撞到发生第7次碰撞之间的时间间隔 故选C。
19．（2024·浙江·一模）图甲为直线加速原理示意图，它由多个截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，奇
数序号与偶数序号圆筒分别与交变电源相连，交变电源两极间电压变化规律如图乙。在t=0时，奇数圆筒
比偶数圆筒电势高，此时序号为0的金属圆板中央有一电子由静止开始在各狭缝间不断加速。若电子质量
为m，电荷量为e，交变电源电压大小为U，周期为T。不考虑电子的重力和相对论效应，且忽略电子通过
狭缝的时间。下列说法正确的是（ ）
A．金属圆筒1、2、3的长度之比为1:2:3
B．电子离开圆筒1时的速度为进入时速度的两倍
C．第n个圆筒的长度应满足D．进入第n个圆筒时电子的速率为
【答案】D
【详解】由于电子每经过圆筒狭缝时都要加速，进入圆筒后做匀速运动，所以电子在筒内运动的时间均为
，电子在加速过程中加速度相同，经过n次加速后，根据动能定理 解得 不计
缝隙时间，电子在圆筒内的时间均为 ,则 所以金属圆筒1、2、3的长度之比为
，故A错误；
B．由于电子在筒内做匀速直线运动，所以电子离开圆筒1时的速度等于进入时的速度，故B错误；
CD．根据动能定理，电子进入第n个圆筒时的速度满足 所以 所以第n个圆筒的长
度为 故C错误，D正确。故选D。
20．（23-24高三上·河北衡水·模考）正对着并水平放置的两平行金属板连接在如图所示的电路中，板长为
，板间距为 ，在距离板的右端 处有一竖直放置的光屏M。D为理想二极管（即正向电阻为0，反向电
阻无穷大），R为滑动变阻器， 为定值电阻。将滑片P置于滑动变阻器正中间，闭合开关S，让一带电
荷量为 、质量为m的粒子从两板左端连线的中点N以水平速度 射入板间， 粒子未碰到极板，最后垂
直打在M上。已知重力加速度为g，在保持开关S闭合的情况下，下列分析或结论正确的是（ ）A．粒子在板间运动的过程中与它从板的右端运动到光屏的过程中速度变化量相同
B．板间电场强度大小为
C．若仅将滑片P向下滑动一段后，则粒子不会垂直打在M上
D．若仅将两平行板的间距变大一些，则粒子不会垂直打在M上
【答案】B
【详解】A．粒子先在水平放置的两平行金属板间做类平抛运动，要垂直打在M屏上，离开电场后，粒子
应打在屏的上方，做斜上抛运动，否则，粒子离开电场后轨迹向下弯曲，粒子不可能垂直打在M板上。粒
子在板间的类平抛运动和离开电场后的斜上抛运动，水平方向都不受外力，都做匀速直线运动，速度都等
于 ，而且 方向水平，粒子垂直打在M板上时速度也水平，根据粒子的轨迹弯曲方向可知两个过程粒
子的合力方向相反，加速度方向相反，则速度变化量方向相反，故A错误；
B．粒子的轨迹如图所示
设粒子在板间运动的过程中加速度大小为a，则粒子离开电场时竖直分速度大小 粒子
离开电场后运动过程其逆过程是平抛运动，则 联立解得 故B正确；C．若仅将滑片P向下滑动一段后，R的电压减小，电容器的电压要减小，电荷量要减小，由于二极管具有
单向导电性，所以电容器不能放电，电荷量不变，板间电压不变，所以粒子的运动情况不变，再让该粒子
从N点以水平速度 射入板间，粒子依然 会垂直打在光屏上，故C错误；
D．若仅将两平行板的间距变大一些，电容器电容减小，由 知U不变，电荷量要减小，但由于二极
管具有单向导电性，所以电容器不能放电，电荷量不变，根据推论可知板间电场强度不变，所以粒子的运
动情况不变，再让该粒子从N点以水平速度 射入板间，粒子依然会垂直打在光屏上，故D错误。故选
B。
21．（2024·辽宁·一模）如图（a）所示，两平行正对的金属板间距为d，两板间所加电压如图（b）所示。
在两板左侧中间位置O点有一个粒子源，能沿两板中轴线 向外持续射出质量为m、电荷量为 初速
度为 的粒子。已知极板长度为4d，不计粒子重力及粒子间的相互作用， 时刻两板间电场方向竖直向
下，此时射入板间的粒子恰好能从极板右侧射出，则（ ）
A． 时刻射入极板间的粒子离开电场时沿电场方向的位移为d
B． 时刻射入极板间的粒子离开电场时速度方向仍沿 方向
C． 时刻射入极板间的粒子将打在极板上
D．粒子从右侧射出时的最大动能为
【答案】B
【详解】A．粒子在电场中运动的时间为 时刻射入极板间的粒子竖直方向先向下加速，后向下减速，因粒子恰能从极板右侧射出，则离开电场时沿电场方向的位移为 d，故A错误；
B．由对称性可知， 时刻射入极板间的粒子离开电场时沿电场方向的速度减为零，则速度方向仍沿
方向，故B正确；
C． 时刻射入极板间的粒子竖直方向先向上加速时间为 ，然后向上减速时间 ，则最终粒子恰
能从上极板边缘飞出，故C错误；
D．由运动的对称性可知，无论何时进入电场的粒子，竖直方向都要经过先加速后减速到零，然后反向加
速后反向减速到零，即粒子出离电场时沿电场方向的速度均为零，可知粒子从右侧射出时的动能均为
故D错误。故选B。
22．（2023·浙江·高考真题）如图所示，示波管由电子枪竖直方向偏转电极YY′、水平方向偏转电极XX′和
荧光屏组成。电极XX′的长度为l、间距为d、极板间电压为U，YY′极板间电压为零，电子枪加速电压为
10U。电子刚离开金属丝的速度为零，从电子枪射出后沿OO′方向进入偏转电极。已知电子电荷量为e，质
量为m，则电子（ ）
A．在XX′极板间的加速度大小为
B．打在荧光屏时，动能大小为11eU
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小为
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切
【答案】D
【详解】A．由牛顿第二定律可得，在XX′极板间的加速度大小 ，A错误；
B．电子电极XX′间运动时，有v = at 电子离开电极XX′时的动能为
x x电子离开电极XX′后做匀速直线运动，所以打在荧光屏时，动能大小为
，B错误；
C．在XX′极板间受到电场力的冲量大小 ，C错误；
D．打在荧光屏时，其速度方向与OO′连线夹角α的正切 ，D正确。故选D。
23．（2024·河北·模拟预测）质量1kg的带正电滑块，轻轻放在传送带底端。传送带与水平方向夹角为
，与滑块间动摩擦因数为 ，电动机带动传送带以3m/s速度顺时针匀速转动。滑块受到沿斜
面向上的4N恒定电场力作用，已知重力加速度为g=10m/s2，则1s内（ ）
A．滑块动能增加4J B．滑块机械能增加12J
C．由于放上滑块电机多消耗电能为12J D．滑块与传送带间摩擦产热为4J
【答案】C
【详解】A．分析滑块，由牛顿第二定律得 解得 ，1s末，滑块末速
度为 位移为 传送带位移为 则，滑块动能为 故A错
误；
B．滑块机械能增加 故B错误；
C．电机多消耗电能 故C正确；
D．滑块与传送带间摩擦产热为 故D错误。故选C。24．（23-24高三上·浙江·阶段练习）粒子直线加速器原理示意图如图1所示，它由多个横截面积相同的同
轴金属圆筒依次组成，序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电
压变化规律如图2所示。在 时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号
为0）的中央有一自由电子由静止开始发射，之后在各狭缝间持续加速。若电子质量为 ，电荷量为 ，
交变电源电压为 ，周期为 。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒狭缝的时间。下列说
法正确的是（ ）
A．要实现加速，电子在圆筒中运动的时间必须为
B．电子出圆筒2时的速度为出圆筒1时速度的两倍
C．第 个圆筒的长度应满足
D．要加速质子，无须改变其他条件但要在 到 时间内从圆板处释放
【答案】C
【详解】A．电子每经过圆筒狭缝时都要加速，然后进入圆筒做匀速运动，所以电子在筒内运动的时间必
须为 ，A错误；
B．由动能定理得电子出圆筒1时的速度为 解得 由动能定理得电子出圆筒2时速度为
解得 ，B错误；
C．由动能定理得电子进圆筒n时的速度为 第 个圆筒的长度为 解得 ，C
正确；
D．如果要加速质子，质子的比荷比电子的比荷要小，则质子进入圆筒的速度比电子进入圆筒的速度要小，则圆筒的长度需要相应的变短，释放的时间应该在 到 时间内释放，D错误。故选C。
25．（2024·陕西安康·模拟预测）如图所示，圆形区域内存在着与圆平面平行的匀强电场，直径MN与水
平直径PQ间的夹角为45°，圆心O处有一粒子源，在圆形平面内沿不同方向发射速率均为 的完全相同
的带正电粒子，发现两个特点：速度方向垂直于MN斜向右上方发射的粒子最终从Q点射出圆形区域；所
有射出圆形区域的粒子中从N点射出的粒子的速度最大。不计粒子重力及粒子之间的相互作用力，下列说
法正确的是（ ）
A．电场线方向沿ON方向 B．粒子可能从M点射出圆形区域
C．粒子可能从P点射出圆形区域 D．从Q点射出圆形区域的粒子，其出射速度都相同
【答案】A
【详解】A．由于从N点射出的粒子的速度最大，由动能定理可知， 间电势差最大，由 ，可知
电场 沿 方向，故A正确；
B．速度方向垂直于MN斜向右上方发射的粒子最终从Q点射出圆形区域，其轨迹类似于平抛，从 到
合位移为圆半径 ，由平抛规律可知，沿初速度方向有 沿电场方向 可知电场中粒子
加速度为 当粒子沿 方向射出时，有 可得 所以不能从 点射出圆形
区域，故B错误；
C．由于 之间电势差为 沿 方向上入射的粒子最大距离为 ，对应电势差故无论从哪个角度射出，都不能通过点 ，故C错误；
D．只要从 点射出，由于电势差相等，电场力做功相同，由动能定理可知，出射速度大小相等，但方向
不同，故D错误。故选A。
26．（2024·宁夏银川·模拟预测）（多选）图甲中的水平平行金属板M、N间加有图乙所示的变化电压，
后电压消失。当电压稳定时，板间为匀强电场。O位于M、N板间中点，可以向外释放初速度为
零的带电液滴。在 时，均带负电的液滴甲、乙从O由静止进入板间，甲液滴的质量为m，乙液滴的比
荷是甲液滴的1.5倍，忽略两个带电液滴间的相互作用及其电荷量的变化。已知 时间里甲处于静止状
态， 时刻甲恰好到达下极板附近。重力加速度大小为g，则在图中所示的时间段内，下列说法正确的是
（ ）
A．两板间距为
B．甲液滴在图示所示时间段内的最大动能为
C．甲液滴在 时刻恰好到达上极板附近D．乙液滴在 时刻打到上极板
【答案】ABD
【详解】ABC．由于 时间里甲液滴处于静止状态，则有 解得 则有
在 时间内，甲液滴做自由落体运动，在 时间内做匀减速直线运动，
在 时刻，甲液滴的速度为 时刻，甲液滴恰好到达下极板附近，则有 解得
在 时间内有 解得 时刻，甲液滴开始向上加速，加速时间为 ，加速结
束时的速度为 则此速度为甲液滴在图示所示时间段内的最大速度，则甲液滴最大动能
为 向上移动的距离为 可知，甲液滴在 时刻恰好回到
点，故AB正确，C错误；
D．乙液滴在 时间内，根据牛顿第二定律 可得 向上运动的距离
时间内运动的位移 此时的速度 此时
距离上极板的距离 在 后，根据牛顿第二定律 解得
根据 解得 （另一解为负舍去）乙粒子在打到上极板的时刻
，D正确。故选ABD。27．（2024·辽宁沈阳·三模）（多选）如图所示，质量 、带电量 的小球（视为质点）与长
的绝缘轻绳相连，轻绳另一端固定在O点，整个系统处在与竖直方向夹角为 、场强大小
的匀强电场中。AB为水平直径，CD为竖直直径，EF直径过O点且与CD夹角为 。当
小球绕O点在竖直平面内做圆周运动时，取 ，下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到D点时，动能最小
B．小球运动到A点时，动能最小
C．小球从A点运动到B点时，动能增加了
D．小球从F点运动到E点时，机械能增加了
【答案】BCD
【详解】对小球受力分析
电场力 重力 可得二力合力如图指向水平方向，即等效重力水平向右，大小。
AB．A点为圆周运动的等效最高点，也即速度最小。故A错误，B正确；
C．小球从A点运动到B点时，动能增加量等于合力做的功 故C正确；
D．小球从F点运动到E点时，机械能增加量等于电场力做的功 故D正确；故选
BCD。
28．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中
有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖
直方向成 角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度
为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．匀强电场的电场强度
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【答案】B
【详解】A．小球静止时细线与竖直方向成 角，对小球进行受力分析，如图所示由平衡关系可知 解得 故A错误；
B．小球静止时细线与竖直方向成 角，则A点为小球绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等
效最高点
A点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可知 动能 联立解得
故B正确；
C．由机械能守恒定律可知，机械能的变化量等于除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功，此处即电场力
做的功。由题意可知，当小球运动到最左边与O点等高时，电场力做负功最多，机械能最小，故C错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功后做负功再做正功，所以电
势能先减小后增大再减小，故D错误。
故选B。
题型四：计算大题专练（带电粒子（带电体）在电场中的平衡、运动）
29．如图，倾角为 的斜面与水平地面平滑连接，在水平地面上方存在着与地面成 角斜向上的匀强电
场。质量为0.4kg、带电量为 的绝缘物块恰能沿斜面匀速下滑，进入水平地面后仍能匀速滑行。
已知物块与斜面及水平地面间的动摩擦因数相等，重力加速度 取 ，运动
过程中物块所带电量保持不变。(1)求匀强电场的电场强度大小；
(2)若匀强电场的电场强度方向可以变化，为使该带电物块仍能在水平地面上匀速滑行，求电场强度的最小
值。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）物块沿斜面匀速下滑，由平衡条件 解得 物块沿水平面做匀
速直线运动，水平方向有 竖直方向有 联立解得
（2）木块沿水平面做匀速直线运动，设场强与水平方向角度为 、电场力大小为 ，水平方向
竖直方向 整理得 所以，当 时，电场力 最小，
最小值为 此时场强大小为
30．某装置用电场控制带电粒子运动，工作原理如图所示，矩形 区域内存在两层紧邻的匀强电场，
每层的高度均为d，电场强度大小均为E，方向沿竖直方向（如图所示）， 边长为 ， 边长为 ，
质量为m、电荷量为 的粒子流从 边中点P射入电场，粒子初速度为 ，入射角为θ，在纸面内运动，
不计粒子重力及粒子间相互作用。
(1)当 时，若粒子能从 边射出，求该粒子通过电场的时间t；(2)当 时，若粒子从 边射出电场时与轴线 的距离小于d，求入射角θ的范围。
【答案】(1) (2)
【详解】（1）依题粒子进入磁场后，受到竖直方向的电场力，故水平方向做匀速直线运动，根据几何关
系可知，粒子在水平方向的速度 水平方向匀速直线运动，故该粒子通过电场的时间
（2）粒子进入电场时，竖直方向的速度为 分析易得，粒子竖直方向加速度为 若粒子从
边射出电场时与轴线 的距离小于d，由 整理可得 故 解得
故θ的取值范围是
31．如图所示，光滑水平面与半径为R的光滑竖直半圆轨道在B点平滑连接。在过圆心O的界面 的下
方与水平轨道之间分布有水平向右的匀强电场。现将质量为m、电量为 的小球甲从水平轨道上的A点由
静止释放，与质量为m、被静止在B点的不带电的小球乙碰撞后瞬间粘在一起形成小球丙，丙球运动到C
点离开圆轨道后，做平抛运动恰好经过界面 上的P点，P点在A点的正上方。已知A、B间的距离为
，重力加速度为g，甲、乙、丙小球均可视为质点，不计空气阻力，求：
（1）丙经过轨道C点时对轨道的作用力；
（2）匀强电场的场强大小；
（3）丙在半圆轨道运动时的最大动量。【答案】（1） ，方向竖直向上；（2） ；（3） ，方向斜向上与水平方向
的夹角为
【详解】（1）设小球丙过C点时的速度为 ，由平抛运动可得 C点由牛顿第二定律
联立解得
由牛顿第三定律，小球丙经过轨道C点时对轨道的作用力为 ，方向竖直向上。
（2）小球甲从A到B的过程中由动能定理得 小球甲和小球乙碰撞 小球丙从B到
C的过程中由动能定理得 联立解得
（3）设小球运动到圆弧上的D点时的速度为 ， 与竖直方向的夹角为 ，由动能定理
化简得 由
数学知识可得由此可得 小球丙在半圆轨道运动时的最大动量
方向斜向上与水平方向的夹角为 ，根据几何关系有 解得 。
32．如图甲所示，接有交变电压的竖直放置的两平行板AD、BC间形成了交变电场，其电场强度E（规定
水平向右为正方向，E 已知）与时间t的关系图像如图乙所示。不带电的1号球从左板上边缘A点以初速
0
度v 水平向右抛出，经过时间T恰好从右板下边缘C点离开；带电量为+q的2号球从左板上边缘A点由静
0
止释放，在 时刻释放时，其运动轨迹在1号球轨迹的左侧，两球轨迹恰好相切一次，且两球过切点时的
速度相同。两球（均可视为质点）的质量均为m，其轨迹在同一竖直平面内，重力加速度为g，不计空气
阻力。求：
（1）2号球在 时刻释放时，其离开电场区域时的速度；
（2）2号球在 时刻释放时，两球轨迹的切点与A点的水平距离和竖直距离；（3）2号球在0～ 时间内的什么时间释放，其能从两板下边界CD离开（运动过程中2号球打在左、右
两板上都会被板捕获而不能从下边界CD离开）。
【答案】（1）gT，方向竖直向下；（2） ， ；（3）见解析
【详解】（1） 时刻，由静止释放2号球，其水平方向的运动为： 时间内向右加速， 时间
内向右减速到零， 时间内向左加速， 时间内向左减速到零，所以一个周期后2号球的水平速
度为零，水平位移也为零，在竖直方向上有 故2号球从D点离开电场区域，其速度大小为gT，方
向竖直向下；
（2）如图甲所示
小球所受水平方向电场力提供的加速度为 时刻，由静止释放2号球，其轨迹在1号球轨迹的左侧，
运动过程中两球轨迹相切一次，切点处两球有相同的速度，设2号球从A点到切点处用时∆t，水平方向有
1
解得 故切点与A点的水平距离为 与A点的竖直距离为
（3）如图乙所示
设2号球轨迹与右板相切时，能从M点离开下边界CD且离D点最远，水平方向上，先向右加速运动 ，
再向右减速运动 ，两运动过程分别用时∆t，则有 解得 故在 到
2
时间内释放的2号球，可以从下边界CD离开。
33．如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一弹性挡板，整个空间存在一沿
斜面向上的匀强电场，足够长不带电的木板放在斜面上，其下端距挡板距离 ，木板上端放一带正
电小物块，物块可视为质点，已知物块与木板间的动摩擦因数 。物块和木板的质量均为 ，物块所
受电场力始终为 ，重力加速度 现将物块与木板由静止释放，木板每次与挡板碰后将以原
速率反弹，求：
（1）木板第一次与挡板碰撞时物块的速度大小；
（2）木板第二次与挡板碰撞时物块的速度大小；
（3）若要满足物块始终没有从木板上滑出，则木板最小长度为多少？【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）假设物块和木板由静止释放后保持相对静止下滑，则对二者整体由牛顿第二定律得
其中 解得 再对木板由牛顿第二定律得 解得
， 故假设成立，物块和木板一起做匀加速直线运动，有 可得
（2）木板与挡板碰撞后先向上减速运动后向下加速运动，物块向下做匀减速直线运动，分别对物块和木
板由牛顿第二定律有 ， 解得 ，
设经时间t后二者再次共速，则有 ， 解得 ， 设共速时，
木板下端距挡板距离为 ，共速后二者一起匀加速下滑，在第二次碰撞前有 对木板在两次
碰撞之间的过程，有 联立可得 ，
（3）设木板与挡板第一次碰撞后到第二次碰撞前，物块相对木板的位移为 ，则有
同理，设经时间t 后二者再次共速，则有 ， 解得
1
， 由二者运动的规律可知，每次碰后的相对位移为等比数列，即 其中 故木板的最小长度 因 可得
。
34．（24-25高三上·江浙皖·联考）如图所示，半径为 的金属圆环固定在水平平面上，金属环均匀带电，
带电量为 ，另一个质量为 的带电小球，稳定悬浮在圆环圆心O点正上方 高度的位置上，已知静电常
量为 ，重力加速度为 ，若取无穷远为零电势面，下列说法正确的是（ ）
A．将小球从P向下移动至O点，电场力一直变小
B．金属环在P点的电场强度为
C．小球的带电量为
D．将小球P下压一小段距离后释放，小球会做简谐运动
【答案】C
【详解】B．在金属环上取电量为∆q的一小段，则该小段电荷在P点的场强为 则整个金属环在P点的电场强度为 选项B错误；
C．由平衡可知 可知小球的带电量为 选项C正确；
AD．小球在距离O点x处的电场强度为
由数学知识可知E随x并非单调减小，可知将小球从P向下移动至O点，电场力不是一直变小，电场力F
随x不满足F=-kx关系，可知将小球P下压一小段距离后释放，小球不会做简谐运动，选项AD错误。
故选C。
35．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，一足够大的空间内有一无限长的均匀带正电的导体棒水平放
置，导体棒所在的竖直平面内放有三个质量相同、电荷量分别为q、2q、3q 的微粒，通过多次摆放
发现，当三个微粒均静止时，它们距导体棒的距离之比总是 ，不考虑微粒间的相互作用。现撤去该
三个微粒，在导体棒所在的竖直平面内距导体棒1.5h、2.5h处分别放有电子A、B（不计重力），给它们
各自一个速度使其以导体棒为轴做匀速圆周运动，则A、B做圆周运动的线速度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设q、2q、3q所在位置对应的电场强度为 ，的由平衡条件得
即 而它们距导体棒的距离之比总是 ，可知某点电场
强度的大小与该点到导体棒的距离成反比。则任意一点的电场强度大小可写成 （k为常量）由于电子绕导体棒做匀速圆周运动，则 ， 解得 故选A。
36．（2023·河北·三模）平面直角坐标系 内存在一静电场，取O点电势为0，其电势沿水平方向变化
的 图像如图甲所示，沿竖直方向变化的 图像如图乙所示。现有一质量为m、电荷量为q的带负
电粒子，从O点由静止释放，不计粒子重力，下列说法正确的是（ ）
A．释放瞬间，粒子的加速度为
B．刚开始释放的一段时间内，粒子沿与x轴夹角为60°的方向斜向上做直线运动
C．粒子运动到横坐标为d的点时，其速度大小为
D．粒子运动到横坐标为 的点时，其纵坐标为
【答案】C
【详解】AB．O点水平方向的电场强度 方向水平向左；竖直方向的电场强度 方向竖直向下；
释放后粒子将向与x轴负方向夹角为45°的方向斜向上做直线运动，其加速度大小为 故
AB错误；
C．粒子运动到横坐标为d的点时，竖直方向运动到纵坐标为d的点，其速度大小
故C正确；
D．粒子从O点在水平方向运动到横坐标为 的点的过程中，水平方向先加速后减速，加速减速时间相同，
竖直方向一直做加速运动，根据匀加速运动的规律可知，粒子竖直方向的坐标为 ，故D错误。
故选C。37．（2024·广东湛江·模拟预测）（多选）静电喷涂是一种利用高压静电场使带负电的涂料微粒定向运动，
并吸附在工件表面的喷涂方法。如图为静电喷涂装置简化图，接上高压电源后在喷口和被涂物间产生强电
场，虚线为等势面。带负电液滴从喷口飞向被涂物，a、b、c是其中一条路径上的三点，b是a、c连线的
中点，液滴重力不计，下列说法正确的是（ ）
A．a点附近的电场强度比b点附近的小
B．b点的电势是a、c两点电势之和的一半
C．同一带负电液滴在a点的加速度大于在c点的加速度
D．同一带负电液滴从喷口飞向被涂物过程中，电势能减小
【答案】CD
【详解】A．根据等势面画出电场线如图所示
a点附近电场线比b点附近的密，a点附近的电场强度比b
点附近的大，故A错误；
B．a、c间的电场非匀强电场，故b点的电势并不是a、c两点电势之和的一半，故B错误；C．由于a点附近的电场强度比c点附近的大，根据 得 同一带负电液滴在a点的加速度大于
在c点的加速度，故C正确；
D．同一带负电液滴从喷口飞向被涂物过程中，电场力做正功，电势能减小，故D正确。故选CD。
38．（2024·江西·一模）（多选）心脏细胞兴奋时，在细胞膜内外产生等量异种电荷，将人体的心脏理想
化为如图甲所示的模型，当心脏细胞规律性兴奋时，产生的电荷量为正常值，当心脏发生房颤时产生的电
荷量减少而不能达到所需的电压值，在没有及时抢救的情况下，通常患者会在10min内死亡。如图乙，
AED（自动体外除颤器）通过贴片产生强电场，使兴奋无序的心肌细胞快速回归到有序状态，使心脏兴奋
时的电荷量恢复正常值，实现抢救。下列说法正确的是（ ）
A．贴片1为正极，贴片2为负极
B．实施抢救过程中，电子从人体的左侧移动到右侧
C．实施抢救过程中，人体心脏的电场对移动电荷做负功
D．抢救成功后，人体心脏的电场强度变弱
【答案】ABC
【详解】A．当心脏发生房颤时产生的电荷量减少而不能达到所需的电压值，AED（自动体外除颤器）则
在人体外加强电场，使心脏兴奋时的电荷量恢复正常值，即必须在人体左侧形成更多的正电荷，右侧形成
更多的负电荷，贴片1为正极，贴片2为负极，故A正确；
B．实施抢救过程中，电子从人体的左侧移动到右侧，故B正确；
C．实施抢救过程中，人体心脏的电场对移动电荷做负功，电荷移动是外界电场做正功，故C正确；
D．抢救成功后，人体心脏的电场强度变强，故D错误。
故选ABC。
39．（2024·河北·模拟预测）人类为了开发外太空，需要模拟各种等效重力场下的逃生方式。如图所示，
水平面xOy和竖直面yOz内分别固定着两个半径均为R的半圆形光滑绝缘轨道OMN和OPQ，整个空间存
在着方向沿y轴正方向的匀强电场，质量分别为0.5m、m的逃生球A、B套在轨道上，其中绝缘的A球不带电，B球的电荷量为 。已知匀强电场的电场强度大小为 （g为重力加速度），B球从OMN轨
道进入OPQ轨道时无能量损失，初始时B球静止在OMN轨道的中点处，A球以大小为 的初速
度从N点滑上轨道，A、B两球之间的碰撞为弹性碰撞，且碰撞过程中B球的电荷量不变，A、B两球均可
视为质点，碰后A球被锁定。求：
(1)B球到达O点的速度大小；
(2)B球在OPQ轨道上的最小动能；
(3)B球从Q点脱离轨道后，经过y轴时的坐标。
【答案】(1) (2) (3)（ ， ， ）
【详解】（1）A、B球碰撞过程，设碰撞后A、B球的速度分别为 、 ，根据动量守恒和机械能守恒
可得 ， 解得 从M点到O点，设B球到O点
的速度为 ，对B球，根据动能定理可得 解得
（2）对B球，当动能最小时在图中K点从O点到K点，根据动能定理可得 解得
（3）设B球经过Q点时的速度为 ，从O点到Q点，有 解得 ，B球离
开Q点后，设到达y轴所需要的时间为t，则有 解得 即经过y轴上
时的坐标为（ ， ， ）。
