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第 10 讲 曲线运动 运动的合成与分解
题型一 曲线运动的条件和特征
题型二 运动的合成与分解
题型三 牵连速度问题
题型四 小船渡河模型
课标要求 命题预测 重难点
1.理解物体做曲线运动的
条件，掌握曲线运动的特
点.
2.会用运动的合成与分解 生活中的曲线运动，自行车、
（1）掌握运动的合成与分解的方法。
处理小船渡河、关联速度 汽车、火车转弯等动力学及临
（2）理解牵连速度的意义。
等问题. 界问题。
3.理解运动的合成与分解
是处理曲线运动的一种重
要思想方法.
题型一 曲线运动的条件和特征
【典型例题剖析】
【例1】 (2023·全国乙卷·15)小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的
线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是( )【高考考点对接】
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
2．曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动。
(1)a恒定：匀变速曲线运动；
(2)a变化：非匀变速曲线运动。
【解题能力提升】
1.运动轨迹的判断
(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动.
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动.
2.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
(1)速度方向与运动轨迹相切；
(2)合力方向指向曲线的“凹”侧；
(3)运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间.
3.合力方向与速率变化的关系
【跟踪变式训练】
【变式1-1】 (2020·浙江杭州市建人高复模拟)如图所示，一热气球在匀加速竖直向上运动的同时随着
水平气流向右匀速运动，若设竖直向上为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，则热气球实际运动的轨
迹可能是( )【变式1-2】 (2021·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高三月考)物体沿轨迹从M点向N点做减速圆周运动的过
程中其所受合力方向可能是下列图中的( )
【变式1-3】 (2024·江西省模拟)潜艇从海水的高密度区驶入低密度区，浮力急剧减小的过程称为“掉
深”。如图a所示，某潜艇在高密度区水平向右匀速航行，t＝0时，该潜艇开始“掉深”，潜艇“掉
深”后其竖直方向的速度v 随时间t变化的图像如图b，水平速度v 保持不变，若以水平向右为x轴正
y x
方向，竖直向下为y轴正方向，则潜艇“掉深”后的0～30 s内能大致表示其运动轨迹的图形是( )
题型二 运动的合成与分解
【典型例题剖析】
【例2】(2019·江西宜春市第一学期期末)如图所示是物体在相互垂直的x方向和y方向运动的v－t图象.
以下判断正确的是( )
A.在0～1 s内，物体做匀速直线运动
B.在0～1 s内，物体做匀变速直线运动
C.在1～2 s内，物体做匀变速直线运动D.在1～2 s内，物体做匀变速曲线运动
【高考考点对接】
1．基本概念
(1)运动的合成：已知分运动求合运动.
(2)运动的分解：已知合运动求分运动.
2．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循 平行四边形定则 .
3．运动分解的原则
根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解法.
4．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止.
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响.
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的 效果 .
【解题能力提升】
1.运动性质的判断
加速度(或合外力)
加速度(或合外力)方向与速度方向
2.判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线.
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
如果v 与a 共线，为匀变速直线运动
合 合
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v 与a 不共线，为匀变速曲线运
合 合
动
【跟踪变式训练】
【变式2-1】(多选)(2020·江苏南京市高三月考)如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：
用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖.若该
同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则关于笔尖的实际
运动，下列说法中正确的是( )A.笔尖做匀速直线运动
B.笔尖做匀变速直线运动
C.笔尖做匀变速曲线运动
D.笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小
【变式2-2】如图所示，从广州飞住上海的波音737航班上午10点到达上海浦东机场，若飞机在降落过
程中的水平分速度为60 m/s，竖直分速度为6 m/s，已知飞机在水平方向做加速度大小等于2 m/s2的匀
减速直线运动，在竖直方向做加速度大小等于0.2 m/s2的匀减速直线运动，则飞机落地之前( )
A.飞机的运动轨迹为曲线
B.经20 s飞机水平方向的分速度与竖直方向的分速度大小相等
C.在第20 s内，飞机在水平方向的分位移与竖直方向的分位移大小相等
D.飞机在第20 s内，水平方向的平均速度为21 m/s
【变式2-3】 (2023·河南新乡市检测)快递公司推出了用无人机配送快递的方法。某次配送快递无人机
在飞行过程中，水平方向速度v 和竖直方向速度v 与飞行时间t的关系图像分别如图甲、乙所示。规定
x y
竖直向上为v 的正方向，下列关于无人机运动的说法正确的是( )
y
A．0～t 时间内，无人机做曲线运动
1
B．t 时刻，无人机运动到最高点
2
C．t～t 时间内，无人机做匀变速直线运动
3 4
D．t 时刻，无人机的速度大小为
2
题型三 牵连速度问题
【典型例题剖析】
【例3】 (2024·四川广安第二中学月考)质量为m的物体P置于倾角为θ 的固定光滑斜面上，轻细绳跨
1过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线
运动。当小车与滑轮间的细绳和水平方向所成夹角为θ 时(如图)，下列判断正确的是( )
2
A．P的速率为v
B．P的速率为vsin θ
2
C．P处于超重状态
D．P处于失重状态
【解题能力提升】
1．题型特点
与绳(杆)相连的物体运动方向与绳(杆)不在一条直线上。
2．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
3．解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分速度，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求
解，常见的模型如图所示。
【跟踪变式训练】
【变式3-1】(2023·河南南阳市检测)甲、乙两光滑小球(均可视为质点)用铰链与轻直杆连接，乙球处于
光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为 4 m。无初速度释放，使得乙球
沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，甲球的速度为v，乙球的速度为v，如图所示，下列说
1 2
法正确的是( )A．v∶v＝∶3
1 2
B．v∶v＝3∶7
1 2
C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D．甲球即将落地时，乙球的速度达到最大
【变式3-2】 如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当汽车匀速向左运动时，物体 M的受
力和运动情况是( )
A.绳的拉力等于M的重力
B.绳的拉力大于M的重力
C.物体M向上做匀速运动
D.物体M向上做匀加速运动
【变式3-3】 (2019·山东济南市3月模拟)曲柄连杆结构是发动机实现工作循环，完成能量转换的主要
运动零件，如图所示，连杆下端连接活塞Q，上端连接曲轴P.在工作过程中，活塞Q在汽缸内上下做
直线运动，带动曲轴绕圆心O旋转，若P做线速度大小为v 的匀速圆周运动，则下列说法正确的是(
0
)
A.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度等于v
0
B.当OP与OQ垂直时，活塞运动的速度大于v
0
C.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度等于v
0
D.当O、P、Q在同一直线时，活塞运动的速度大于v
0
题型四 小船渡河模型
【典型例题剖析】
【例4】 (2020·广东惠州一中模拟)河水速度与河岸平行，v的大小保持不变，小船相对静水的速度为v.一小船从A点出发，船头与河岸的夹角始终保持不变，如图所示，B为A的正对岸，河宽为d，则(
0
)
A.小船不可能到达B点
B.小船渡河时间一定等于
C.小船一定做匀速直线运动
D.小船到达对岸的速度一定大于v
0
【高考考点对接】
1．合运动与分运动
合运动→船的实际运动v →平行四边形对角线
合
2．两类问题、三种情景
当船头方向垂直河岸时，渡河时
渡河时间最短
间最短，最短时间t ＝
min
如果v >v ，当船头方向与上游
船 水
河岸夹角θ满足v cos θ＝v
船 水
时，合速度垂直河岸，渡河位移
最短，等于河宽d
渡河位移最短
如果v <v ，当船头方向(即v
船 水 船
方向)与合速度方向垂直时，渡河
位移最短，等于
【跟踪变式训练】
【变式4-1】 如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v ，各点到较
水
近河岸的距离为x，v 与x的关系为v ＝x (m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，
水 水
小船划水速度大小恒为v ＝4 m/s，则下列说法中正确的是( )
船
A.小船渡河的轨迹为直线
B.小船在河水中的最大速度是5 m/s
C.小船在距南岸200 m处的速度小于在距北岸200 m处的速度D.小船渡河的时间是160 s
【变式4-2】 (多选)(2023·福建泉州市二模)如图，小船以大小为v＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角
1
的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下
列说法中正确的是( )
A．河中水流速度为2.5 m/s
B．小船以最短位移渡河的时间为24 s
C．小船渡河的最短时间为24 s
D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m
【变式4-3】 有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河.小明驾着小船渡河，去程时船头指
向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直.去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度
大小相同，则小船在静水中的速度大小为( )
A. B. C. D.
1．如图所示是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图，箭头表示物体在该点的速度方向．已知物体在B
点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法正确的是( )
A.C点的速率小于B点的速率
B.A点的加速度比C点的加速度大
C.C点的速率大于B点的速率
D.从A点到C点加速度方向与速度方向的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
2．(2019·北京市十九中学月考)如图所示，旋臂式起重机的旋臂保持不动，可沿旋臂“行走”的天车有两
个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿旋臂水平运动.现天车吊着货物正在沿水平方
向向右匀速行驶，同时启动天车上的起吊电动机，使货物沿竖直方向做匀加速运动.此时，我们站在地
面上观察到货物运动的轨迹可能是图中的( )3．路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯．若车匀速向左运动的同时梯子匀速上升，则关于梯
子上的工人的描述正确的是( )
A.工人相对地面的运动轨迹为曲线
B.仅增大车速，工人相对地面的速度将变大
C.仅增大车速，工人到达顶部的时间将变短
D.仅增大车速，工人相对地面的速度方向与竖直方向的夹角将变小
4．(多选)(2019·广东肇庆市期末)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度—时间图象
和y方向的位移—时间图象如图所示，下列说法中正确的是( )
A.质点的初速度为3 m/s
B.质点做匀变速曲线运动
C.质点所受的合外力为3 N
D.质点初速度的方向与合外力方向垂直
5．(多选)如图所示，小船自A点渡河，航行方向与上游河岸夹角为α时，到达正对岸B点.现在水流速度变
大，仍要使船到达正对岸B点，下列可行的办法是( )
A.航行方向不变，船速变大B.航行方向不变，船速变小
C.船速不变，减小船与上游河岸的夹角α
D.船速不变，增大船与上游河岸的夹角α
6．(2020·浙江杭州二中3月模拟)光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，在五个恒定的水平共点力的作用
下处于平衡状态，现同时撤去大小分别为8 N和16 N的两个水平力而其余力保持不变，关于此后物体
的运动情况的说法中正确的是( )
A.一定做匀变速直线运动，加速度大小可能是4 m/s2
B.可能做匀减速直线运动，加速度大小可能是2 m/s2
C.一定做匀变速运动，加速度大小可能是10 m/s2
D.可能做匀速圆周运动，向心加速度大小可能是8 m/s2
7．．如图所示，悬线一端固定在天花板上的O点，另一端穿过一张CD光盘的中央小孔后拴着一个橡胶
球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿.现将CD光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速
度v匀速移动，移动过程中，CD光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为 θ时，
小球上升的速度大小为( )
A.vsin θ B.vcos θ C.vtan θ D.
8．民族运动会上有一骑射项目如图所示，运动员骑在奔跑的马上，弯弓放箭射击侧向的固定目标．假设
运动员骑马奔驰的速度为v，运动员静止时射出的弓箭速度为v，跑道离固定目标的最近距离为d.要想
1 2
命中目标且射出的箭在空中飞行时间最短，则( )
A.运动员放箭处离目标的距离为
B.运动员放箭处离目标的距离为
C.箭射到固定目标的最短时间为
D.箭射到固定目标的最短时间为
