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专题 05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一
个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成
立，则只需 ．
③求最值.
二、典型题型
1．（2024·全国·模拟预测）不等式 在 上恒成立，则实数a的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】首先要分离参数，然后同构变换得到 ，根据 ，得出
，从而得解.
【详解】 ，即 ，
设 ，
则 ，令 得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
则 ，当且仅当 时，取等号，
又易知 单调递增， ， ，
所以 在 上存在唯一零点，故 ，
又 恒成立，则 .故答案为： ．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间和极值；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 的单调递减区间为： ；递增区间为： ，
的极大值为 ，无极小值
(3)
【分析】（1）利用已知确定切点，导数的几何意义确定斜率，求出切线方程即可.
（2）利用导数先求解单调性，再确定极值即可.
（3）利用分离参数法结合导数求解参数范围即可.
【详解】（1）当 时， ，
则 ， ， ，
所以切线方程为 ．
（2）当 时， ， ．
令 ， ，
故 在R上单调递减，而 ，因此0是 在R上的唯一零点
即：0是 在R上的唯一零点
当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x 0
0
极大值
的单调递减区间为： ；递增区间为：的极大值为 ，无极小值
（3）由题意知 ，即 ，即 ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 ， ， 单调递增，
当 ， ， 单调递减，
所以 ，
所以
3．（2024·浙江丽水·二模）设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围.（其中 是
自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得 在 上恒成立，设 ，
，利用导数说明函数的单调性，即可得到 且
，利用导数求出 的范围，即可求出 的范围.
【详解】（1）当 时 定义域为 ，
且 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）函数 定义域为 ，
依题意 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，
设 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
且当 时 ，当 时 ，
所以 使得 ，即 ，
所以 ，
则当 时 ，即 单调递减，
当 时 ，即 单调递增，
所以
，
令 ，则 且 ，
所以 为增函数，
由 ，所以 ，
又 与 均为减函数，所以 在 上单调递减，
所以当 时 ，
所以实数 的取值范围为 .
4．（2024·山西长治·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)0；
(2) .
【分析】（1）当 时，利用导数探讨单调性，求出最小值.
（2）由（1）的信息，利用不等式性质可得当 时，不等式恒成立，当 时，利
用导数探讨存在实数使得 得解.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得
，
显然函数 在 上单调递增，而 ，
则当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 .
（2）函数 的定义域为 ，
当 时， ， ，则 ，
由（1）知， ， ，而 ，即有 ，
因此 恒成立，此时 ；
当 时， ，由（1）知，函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，
则 ，而 恒成立，不等式 不恒成立，
所以实数a的取值范围是 .
5．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据导数的几何意义即得切线方程；
（2）先将不等式变形，将条件转化为 对 恒成立，再通过导数研究
的单调性即知 的取值范围.【详解】（1）当 时， ，
可得 ，
所以 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）由条件知 ，即 ，即 ，即 ，
当 时，不等式恒成立；
当 时，我们有 ．
所以命题等价于 对 恒成立，
令 ，则：
，
而当 时， ，故，
当 时， ，故 在区间 上单调递增；
当 时， ，故 在区间 上单调递减，
所以 ．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 .
(1)求 时， 在 处的切线方程；
(2)讨论 在 上的最值情况；
(3) 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)【分析】（1）由已知，求出 ，再求出 和 ，再由点斜式写出方程；
（2）对求 导，得到导函数等于0时的两根，然后对函数的极值分类讨论，然后讨论
在 上的最值情况；
（3）通过对函数适当放缩，讨论两个函数的大小关系，再通过函数的单调性得出
，从而得到的参数的取值范围.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
则 ， ，
又当 时 ，所以 在 处的切线方程为： .
（2）由 得
①当 ，即 时， 在 上单调递增，函数 无最值；
②当 ，即 时，由 ，
解得 ，
+ 0 - 0 +
极小
单调递增 极大值 单调递减 单调递增
值
由 得 ，
③当 ，即 时，
，且 时， 时， ，此时 无最值；
④当 ，即 时，
，且 时， 时， ，所以 有最小值，无最大
值.
综上可知，当 时， 有最小值，无最大值；当 时， 无最值.
（3）由 ， ， ，
所以 是 在 处的切线，若 ，则当 ，且 时
所以此时 ，所以存在 x使得 ，不符合条件；
当 时，
设
现证明 ，
得 ，故 在 上单调递增，在 上单调
递减，
所以，当 时， ，
当 或 时， ，所以成立.
综上，实数 的取值范围是 .
三、专项训练
一、单选题
1．（2022·福建南平·三模）对任意的 ，当 时， 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将不等式等价变形，构造函数 ，再借助函数单调性、最值求解作
答.
【详解】依题意， ，令 ，
，
则对任意的 ，当 时， ，即有函数 在 上单调递减，因此， ， ，而 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
2．（2024·河南·模拟预测）若关于x的不等式 在
上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将原不等式变形为 ，令
，根据题意和函数的单调性可知 在 上恒成立，进而得出结果.
【详解】依题意， ，
则 （*）．
令 ，则（*）式即为 ．
又 在 上恒成立，
故只需 在 上单调递增，
则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，解得 ．
故选：D.
3．（2024高二·江苏·专题练习）已知函数 ，若对任意两个不等的正数
， ，都有 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将已知条件转化为 时 单调递增，利用导数结合参数分离的
方法求出a的取值范围．【详解】对任意 都有 恒成立，不妨设 ，
则不等式变形为 ，
设函数 ，该函数在定义域的任意子区间内不是常函数，
则 ， 在 上单调递增，
所以 在 上恒成立，
，当 时恒成立，
，当 时恒成立，
，
故选：A
4．（2024·广西·模拟预测）已知 ，设函数 ，若关于 的不等
式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二次函数性质及不等式恒成立易得 ，当 时对 求导研究单调性求
最小值，结合恒成立求参数范围即可.
【详解】当 时， 的开口向上且对称轴 ，
此时 ，要使 恒成立，则 ，
当 时 ， 上 ，即 递减， 上 ，即
递增；
所以 ，要使 ，则 ，即 ，故 ；
综上， 的取值范围为 ．
故选：C
5．（2024年新高考Ⅰ卷浙大优学靶向精准模拟数学试题（五））已知函数
，若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】方法一：利用导数研究函数 的单调性，结合题意得 ，等
价变形得 ，设 ，利用单调性得 ，求解
值域即可得解；方法二：原不等式化为 ，利用反函数性质得
，分离参数，构造函数 ，利用导数求解最值即可求解；方法三：
原不等式化为 ，构造函数 ，利用导数研究函
数单调性，即可转化为 ，分离参数，构造函数 ，利用导数求解最
值即可求解.
【详解】方法一： ，显然 在 上单调递增，
故存在唯一的 ，使得 ，即 ，
且当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
因此 的最小值为 ，
则 ，即 .
对 两边取对数得 ，则 ，
代入 得 .
设 ，则 ，
所以 在 单调递减且 ，
可知不等式 的解为 ，
因此 .
又 ，则 .方法二： 即 ，即 ，
而 与 互为反函数，
根据互为反函数的函数图象关于直线 对称，问题转化为 即可，
即 恒成立.
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
故 ，即得 .
方法三：
，
构造 ，则转化为 .
，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 有极小值 ，且 ，
则 转化为 ，
即 ，设 ，则 ，
当 时， ，则 单调递减，
当 时， ，则 单调递增，
故 ，即得 .
故选：C
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到
分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问
题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对不等式分离参数得到 ，令 ，构造函数 ，
，则 ，通过导数研究 单调性求出最大值即可.
【详解】由不等式 恒成立，且 ，
分离参数得 ，所以 ，即 ，
设 ，得 ， ，设 ， ，则 .
，由 得 ，当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减；
所以 .
所以 .
故选：C.
7．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若对任意的 ，且 ，都有
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 变形为 ，构造函数 ，可判
断 在 上单调递减，进而利用导数求出 的递减区间，列出不等式，即可得答
案.
【详解】由题意知 ，且 ，
故 ，即 ，故 ，令 ，则 在 上单调递减，
又 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
故 ，则 ，
即 的最小值是 ，
故选：B
8．（2024·陕西·二模） ，有 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】参变分离可得 在 上恒成立，令 ，
，利用导数求出函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出参数的取值范
围.
【详解】因为 ，有 恒成立，
所以 在 上恒成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，得 ，当 时， ，故 在 上单调递增，
当 时， ，故 在 上单调递减，
则 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .故选：C．
二、多选题
9．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数 ，若不等式
对任意的 恒成立，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】求得 ，得到函数 的单调性，把
转化为 在 上恒成立，结合二
次函数的性质和不等式的解法，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
因为 ，且 ，则 且 ，
所以不等式 ，
即为 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，当 时，可得 ，
所以 ，解得 ，即 ，
结合选项，可得选项C、D符合题意.
故选：CD.
10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数 ，在其图象上任取两
个不同的点 ， ，总能使得 ，则实数a的取值可
以为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】BCD
【分析】根据 结合 ，可得出 ，可知函数 在 上为增函数，可得出 ，结合参变量分离法可求得实
数 的取值范围.
【详解】由 以及 ， ，
所以 ，
构造函数 ，则 ，
所以函数 在 上为增函数，
由于 ，则 对任意的 恒成立，
由 ，可得 ，
当 时，则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，因此实数 的取值范围是 .
故A错误，BCD正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（23-24高二下·浙江·期中）已知不等式 在 上恒成立，则 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式 转化为 ，构造函数
，求导确定其单调性，从而将不等式再转化为 ，设 ，求导
讨论单调性得最值，即可打求得 的取值范围.
【详解】 整理得 ，即 ，
设 ，则 恒成立，所以 在 上单调递增，
则由不等式 即为 恒成立，所以 在 上恒成
立，
故 ，设 ，则 ，
当 时， 恒成立， 在 上单调递增，则 ，符合题意；
当 时， 时， ， 单调递减， 时， ， 单
调递增，
则 ，解得 ；综上， 的取值范围是 .
故答案为： .
12．（2024·全国·模拟预测）不等式 在 上恒成立，则实数a的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】首先要分离参数，然后同构变换得到 ，根据 ，得出
，从而得解.
【详解】 ，即 ，
设 ，
则 ，令 得 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
则 ，当且仅当 时，取等号，
又易知 单调递增， ， ，
所以 在 上存在唯一零点，故 ，
又 恒成立，则 .
故答案为： ．
13．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知函数 ，若 恒成立，
则实数 的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数最小值，依题意 ，即可得到关
于 的不等式，解得即可．
【详解】∵ 的定义域为 ，
∴ ，
令 ， ，
又易知 在 上单调递增，又 ， ，
∴ ，使得 ，
∴ 时 ，即 单调递减；
当 时 ，即 单调递增；
∴ 的最小值为 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ 的最小值为 ，
又 恒成立，
∴ ，∴ ，
故实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
四、解答题
14．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ），
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若 恒成立，求函数 的零点 的取值范围．
【答案】(1)1；
(2) .
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.
（2）由（1）的结论，按 分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨
单调性建立不等式求解即得.
【详解】（1）函数 的定义域为R，求导得 ，而 ，
由 得 ，由 得 ，因此函数 在 上递减，在
递增，
又当 时， 恒成立， ，因此函数 在 存
在唯一零点，
所以函数 的零点个数是1.
（2）由（1）知函数 存在唯一零点 ，且 ，①当 时， ，由 得： ，即
，
设 ，求导得 ，
在 上单减，则 ，解得 ；
②当 时，由 得： ，即 ，
设 ，求导得 ，而 ，
则 ， 在 上单增，则 ，解得
，
综上得 的取值范围是 .
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范
围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分
离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，
就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
15．（2024·浙江丽水·二模）设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围.（其中 是
自然对数的底数）
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解；
（2）依题意可得 在 上恒成立，设 ，
，利用导数说明函数的单调性，即可得到 且
，利用导数求出 的范围，即可求出 的范围.【详解】（1）当 时 定义域为 ，
且 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
（2）函数 定义域为 ，
依题意 在 上恒成立，
设 ， ，则 ，
设 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增，
且当 时 ，当 时 ，
所以 使得 ，即 ，
所以 ，
则当 时 ，即 单调递减，
当 时 ，即 单调递增，
所以
，
令 ，则 且 ，
所以 为增函数，
由 ，所以 ，
又 与 均为减函数，所以 在 上单调递减，所以当 时 ，
所以实数 的取值范围为 .
16．（2024·山西长治·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)0；
(2) .
【分析】（1）当 时，利用导数探讨单调性，求出最小值.
（2）由（1）的信息，利用不等式性质可得当 时，不等式恒成立，当 时，利
用导数探讨存在实数使得 得解.
【详解】（1）当 时，函数 的定义域为 ，求导得
，
显然函数 在 上单调递增，而 ，
则当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取得最小值 .
（2）函数 的定义域为 ，
当 时， ， ，则 ，
由（1）知， ， ，而 ，即有 ，
因此 恒成立，此时 ；
当 时， ，由（1）知，函数 在 上单调递减，在 上单调递
增，
则 ，而 恒成立，不等式 不恒成立，
所以实数a的取值范围是 .
17．（2024·安徽安庆·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)递增区间为 ，递减区间为(2)
【分析】（1）求出导函数后借助导函数的正负即可得原函数的单调性；
（2）可借助 ，得到 ，在 的情况下，借助
，从而构造函数 ，结合该函数的单调
性及最值即可得解；亦可通过参变分离，得到 对任意的 恒成立，
通过研究 得解.
【详解】（1）当 时， ，其定义域为 ，
，
令 ，得 （ 舍去），
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减．
所以函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
（2）方法1：由条件可知 ，于是 ，解得 ．
当 时， ，
构造函数 ， ，
，
所以函数 在 上单调递减，于是 ，
因此实数m的取值范围是 ．
方法2：由条件可知 对任意的 恒成立，
令 ， ，只需 即可．
，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
于是 ，所以函数 在 上单调递增，
所以 ，于是 ，因此实数m的取值范围是 ．
