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专题 05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
二、典型题型
1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数 ，对任意实数 ，使得不等式 恒
成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若 恒成立，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．3．（2023·江西九江·统考一模）若对 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若对于任意的 ，都有 ，则
实数 的取值范围是 .
【点睛】恒成立问题方法指导：
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2) 恒成立 ；
恒成立 ⇔ ；
能成立 ⇔ ；
能成立⇔ .
方法2：根据不等⇔式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求
解．
5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数 ，当 时，恒有 ，则实数t
的取值范围 ．
6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数 在 时有极小值.曲线 在点
处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)若对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二
是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知 ，且 恒成立，则k的值不可以是（
）
A．－2 B．0 C．2 D．4
2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式 在 上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知 ， 为实数，不等式 在
上恒成立，则 的最小值为（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知 ，则 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·海南·模拟预测）若 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的值可以为
（ ）
（附： ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数 ，若
对 恒成立，则实数a的取值范围是 ．
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数 ， ，若 时，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
四、问答题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)当 时，讨论函数 在 上的单调性；
(2)若对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数a，b的值；
(2)若 ，对任意的 ，且 ，不等式 恒成立，求m的取值范围．11．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)若当 时， ，求 的取值范围．
12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的零点；
(2)讨论 在 上的最大值；
(3)是否存在实数 ，使得对任意 ，都有 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由．
