文档内容
专题 05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一
个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成
立，则只需 ．
③求最值.
二、典型题型
1．（2024·全国·模拟预测）不等式 在 上恒成立，则实数a的取值
范围是 ．
2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间和极值；
(3)若对任意 ，有 恒成立，求 的取值范围．
3．（2024·浙江丽水·二模）设函数 .(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围.（其中 是
自然对数的底数）
4．（2024·山西长治·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
5．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，若 恒成立，求实数 的取值范围．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数 .(1)求 时， 在 处的切线方程；
(2)讨论 在 上的最值情况；
(3) 恒成立，求实数 的取值范围.
三、专项训练
一、单选题
1．（2022·福建南平·三模）对任意的 ，当 时， 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南·模拟预测）若关于x的不等式 在
上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二·江苏·专题练习）已知函数 ，若对任意两个不等的正数
， ，都有 恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·广西·模拟预测）已知 ，设函数 ，若关于 的不等
式 在 上恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024年新高考Ⅰ卷浙大优学靶向精准模拟数学试题（五））已知函数，若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）若对于任意正数 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若对任意的 ，且 ，都有
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西·二模） ，有 恒成立，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）设函数 ，若不等式
对任意的 恒成立，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数 ，在其图象上任取两
个不同的点 ， ，总能使得 ，则实数a的取值可
以为（ ）
A． B．1 C． D．2
三、填空题
11．（23-24高二下·浙江·期中）已知不等式 在 上恒成立，则 的取
值范围是 .
12．（2024·全国·模拟预测）不等式 在 上恒成立，则实数a的取
值范围是 ．13．（22-23高二下·广东深圳·期中）已知函数 ，若 恒成立，
则实数 的取值范围 ．
四、解答题
14．（2024·四川泸州·三模）已知函数 （ ），
(1)讨论函数 的零点个数；
(2)若 恒成立，求函数 的零点 的取值范围．
15．（2024·浙江丽水·二模）设函数 .
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若对定义域内任意的实数 ，恒有 ，求实数 的取值范围.（其中 是
自然对数的底数）
16．（2024·山西长治·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数a的取值范围．17．（2024·安徽安庆·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若不等式 对任意的 恒成立，求实数m的取值范围．
