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专题05 利用函数极值求参(取值范围)
一、单选题
1．函数 在 处有极大值 ，则 的值等于（ ）
A．0 B．6 C．3 D．2
【解析】 ，因为 在 处有极大值 ，
所以 ，解得 ，所以 ，故选：A
2．已知f(x)＝ x3＋(a－1)x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
【解析】由 得 ，
根据题意得 ，解得 ．故选：C
3．若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵ 有两个不同的极值点，
∴ 在 有2个不同的零点，
∴ 在 有2个不同的零点，∴ ，解得 ．故选：D.
4．若 ， 是函数 两个相邻的极值点，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【解析】由题意得， 是函数 周期的一半，则 ，得 ．故选：B5．已知 没有极值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ；
在 上没有极值， ，即 ，
解得： ，即实数 的取值范围为 .故选：C.
6．设函数f(x)＝ln x＋ 在 内有极值，求实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，
因为函数f(x)＝ln x＋ 在 内有极值，所以 在 内有解，
即 在 内有解， ，
设 ，
当 时， 单调递减，所以 ，
要想方程 在 时有解，只需 ，故选：A
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为（ ）
A．(－3,3) B．(－11,4)
C．(4，－11) D．(－3,3)或(4，－11)
【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得 即解得 或
当 时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，
所以数对 为(4,-11)，选项C正确.故选：C.
8．已知函数 ，若 是 的极小值点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 得 ，令
，
若 ，则 ，此时在 单调递增，在 单调递减，这与
是 的极小值点矛盾，故舍去.
若 ，可知 是 的极大值点，故不符合题意.
若 ， ，此时 在 单调递增，在 单调递减，
可知 是 的极大值点，故不符合题意.
当 ，， ，此时 在 单调递增，在 单调递减，
可知 是 的极小值点，符合题意.
若 ， 在定义域内单调递增，无极值，不符合题意，舍去.综上可知： ，故选：B
9．若函数 在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数 求导得： ，因函数 在R上有小于0的极值点，
则 有小于0的根，即当 时， ，而函数 在R上单调递增，
则当 时， ，于是得 ，
经验证，当 时，函数 在R上有小于0的极值点，
所以实数a的取值范围是 .故选：C
10．已知函数 在区间 有且仅有2个极值点，则 m 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由 ，
，
因为 在区间 有且仅有2个极值点，
所以令 ，解得 ，因此有 ，故选：A
11．已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】对原函数求导得， ，因为函数 有两个极值点，
所以 有两个不等实根，即 有两个不等实根，
亦即 有两个不等实根.令 ，则
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，即a的范围是 .故选：B
12．已知函数 在其定义域的一个子区间 上有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，令 ，即 ，解得 ，且 ， ；
， ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 有极大值 ，∴ ，∴ ，故选：A.
13．已知函数 在 处取极小值，且 的极大值为4，则 （ ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【解析】 ，所以
，
因为函数 在 处取极小值，所以，
，所以 ， ，，
令 ，得 或 ，当 时， ，所以 在 单调递增，当
时， ，所以 在 单调递增，当 时， ，所以
在 单调递增，所以 在 处有极大值为 ，解得 ，所以 .故选：B
14．已知 为常数，函数 有两个极值点，其中一个极值点 满足 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，由函数 有两个极值点，
则等价于 有两个解，即 与 有两个交点，
所以 .直线 过点
由 在点 处的切线为 ，显然直线 过点
当 时，直线 与曲线 交于不同两点（如下图），且 ，
，
令 ，则 ，
所以 单调递增， ，即 ，故选： D.15．已知函数 有两个极值点m，n，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 得：
m，n是 两个根，由根与系数的关系得： ，故
，令
记 ，则 ，
故 在 上单调递减. 故选：C
二、多选题
16．已知函数 ，若函数 在 上有极值，则实数 可以取（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】由题意知， 在 上有变号零点，
又易知 在 上单调递增，故 ，
可得 ，解得 ，故 可取2，3.故选：BC.
17．函数 在 处取得极大值，则a的值可以是（ ）
A．-1 B．0 C．3 D．4
【解析】 ， .
当 时，令 ， ，
， ， 单调递增， ， ， 单调递减，则 在 处取得极大值；
当 时，令 ， ， .
当 时， ， ， 单调递增，在 ， ， 单调递减，
则 在 处取得极大值；
当 时，若 ，即 时，在 ， ， 单调递增， ， ，
单调递减，则 在 处取得极小值，不合题意，舍去；若 ，即 时， 恒成立，
单调递增，不合题意，舍去；若 ，即 时，在 ， ， 单调递
增， ， ， 单调递减，则 在 处取得极大值；
综上所述： 时，函数 在 处取得极大值.故选：AB.
三、填空题
18．已知函数 在 处取得极值，则a＝______.
【解析】由 知： .因为 是 的极值点，
故
19．若函数 在区间 上恰有一个极值点，则 的取值范围是___________.
【解析】二次函数 的对称轴为： ，
要想函数 在区间 上恰有一个极值点，只需 ，
故答案为：20．若函数 在区间 上有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 上有两个极值点，即 在 上有两个不等的实数根，
即 在 上有两个不等的实数根，即函数 和 的图象有两个交点，
又由 ，可得 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，且当 时， ，当 时， ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
21．已知函数 （ ）在 处有极大值，则实数 的值为______．
【解析】 ，由题意得： ，解得： 或2，
当 时，由定义域可知： ，
恒成立，故 不是极大值，不合题意，舍去；
当 时，由定义域可知： ，
，当 时， ，当 时， ，
所以 在 处有极大值，满足要求.故答案为：2
22．若函数 在区间 内存在极小值，则 的取值范围是___________.
【解析】因为 ，则 ，令 可得 或 ，列表如下：增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的极小值点为 ，由题意可得 ，解得 .
故答案为： .
23．函数 在 上存在极值点，则a的取值范围是______ ．
【解析】由 ，得 ，
∴ ，函数 单调递减， ，函数 单调递增，
由函数 在 上存在极值点，可得 ，∴ ，
∴实数a的取值范围是 ．
24．设函数 ，若 是函数 的一个极大值点，则实数b的取值范围为
__________．
【解析】因为 ，
所以
，设 ，则 ，
所以 有两个不相等的实根．于是可设 ， 是 的两实根，且 ，
①当 或 时，则 不是 的极值点，此时不合题意；
②当 且 时，由于 是 的极大值点，故 ，即 ，
即 ，所以 ，所以 的取值范围是 ．
25．已知函数 在 上恰有一个极值，则 ___________.
【解析】因为 ，所以 .因为 在 上恰有一个极值，所以 在 上恰有一个变号零点，
即函数 上恰有一个变号零点.
令 ，则 .
当 时， ；当 时， .
故 在 ， 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ， ， ，所以 的大致图象如图所示，
因为函数 在 恰有一个变号零点，所以 ，
此时函数 在 上恰有一个极值.
26．若函数 在 处取得极小值，则实数m的取值范围为______．
【解析】记 ，则 ，
当 时， ，
所以函数 在R上单调递增．若 ，则 ；
若 ，则 ，所以 的单调递增区间是 ，单调减区间是 ，
所以 在 处取得极小值，符合题意当 时， ，所以函数 在R上单调递减．
若 ，则 ；若 ，则 ，所以 的单调减区间是 ，单调
增区间是 ，所以 在 处取得极大值，不符合题意
当 时， ，使得 ，即 ，但当 时， ，即
，所以函数 在 上单调递减，所以 ，
即函数 在 上单调递减，不符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是 ．
四、解答题
27．已知定义在R上的函数 ，在 处取得极值.
(1)求 的解析式；
(2)讨论 在区间 上的单调性.
【解析】(1)∵函数f(x)在 处取极值，∴ .
，
∴ ， .∴ ，
验证： ，可知 是导数的变号零点，可知成立；
(2) .
令 =0，得 ， ，
x -3 (-3，-1) -1 (-1，2) 2 （2，3） 3
- 0 + 0 -f(x) 45 减 -7 增 20 减 9
∴函数f(x)在［-3，-1］和［2，3］上是减函数， 函数f(x)在［-1，2］上是增函数.
28．已知函数
(1)当 ，证明： ；
(2)若函数 在 上恰有一个极值，求a的值．
【解析】(1)由题设 且 ，则 ，
所以 在 上递增，则 ，得证.
(2)由题设 在 有且仅有一个变号零点，
所以 在 上有且仅有一个解，
令 ，则 ，而 ，
故 时 ， 时 ， 时 ，
所以 在 、 上递增，在 上递减，
故极大值 ，极小值 ， ，
要使 在 上与 有一个交点，则 或 或 .
经验证， 或 时 对应零点不变号，而 时 对应零点为变号零点，
所以 .
29．已知函数 ．
(1)当 时，证明：当 时， ；(2)若 ，函数 在区间 上存在极大值，求a的取值范围．
【解析】(1)由题意得 ，则 ，当 时， ，
在 上是减函数，∴ ，设 ， 在 上是增函数，
∴ ，∴当 时， ．
(2) ，且 ，令 ，得 或a，
①当 时，则 ， 单调递减，函数 没有极值；
②当 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
∴ 在 取得极大值，在 取得极小值，则 ；
③当 时，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
∴ 在 取得极大值，在 取得极小值，由 得： ，
综上，函数 在区间 上存在极大值时，a的取值范围为 ．
30．若函数 ，当 时，函数 取得极值 .
(1)求函数 的解析式；
(2)若方程 有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.
【解析】(1)对 求导，得 ，由题意，得 ,解得 ,∴ .
(2)由（1）可得 ,令 ，得 或 ,
∴当 时， ；当 时， ；当 时， .
因此，当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值 ,
函数 的大致图象图如所示.:
要使方程 有3个不同的实数根，由图可知，实数k的取值范围是 .
31．已知函数 （其中 ， …为自然对数的底数）
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，若 是 的两极值点且 ，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当 时， ，
∵ ，∴当 时， 恒成立，
∴ 在 上单调递增，无单调递减区间；
当 时，令 ，即 ，∴ ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减．综上，当 时，函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
当 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
(2)①当 时， 有两个极值点 ，
所以 在R上有两个不等实数根 ，
设 ，则 ，
设 ， ，∴ 在 上单调递增，
又 ，∴ 时，
∴ 在 上单调递增，同理 在 上单调递减，
∴ ，当 ， ；当 ， ；
要使 在R上有两个不同的实根，则 ，即 ．
所以当 函数 有两个不相等的零点 ，
即 有两个极值点 和 ．∴若有两个极值点，则 ·
32．设函数 .
(1)若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求 ；
(2)若 在 处取得极大值，求 的取值范围.
【解析】(1) 定义域为R， .
由题设知 ,即(1-a)e=0,解得：a=1此时f(1)=3e≠0.
所以a的值为1(2)由(1)得 .
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单减，在 上
单增，所以 在x=2处取得极小值，不合题意，舍去；
若 时,则 恒成立，所以 在R上单增，所以 在x=2处不能取得极值，不合题意，舍
去；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单增，在
上单减，所以 在x=2处取得极大值，符合题意；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单增，在
上单减，所以 在x=2处取得极大值，符合题意；
若 时,则当 时, ;当 时, ，所以 在 上单减，在
上单增，所以 在x=2处取得极大值，符合题意.
综上所述： .即实数a的范围为 .
33．已知函数 .
(1)当 时，求函数 的单调递增区间；
(2)设函数 ，若 在 上存在极值，求a的取值范围.
【解析】(1)当 时，函数 ，其定义域为 ，可得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)解：由 ，
可得 ，
设 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上，单调递减，
且 ，显然 ，
若 在 上存在极值，则满足 或 ，解得 ，
综上可得，当 时， 在 上存在极值，所以实数 的取值范围为 .
34．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 存在两个极小值点 ，求实数 的取值范围.
【解析】(1)当 时，函数 ，
可得 ，令 ，可得 ，所以函数 单调递增，
因为 ，所以 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
(2)由函数 ，
可得 ，令 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
当 时，可得 ，所以 ，
①当 时， ，此时当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以函数 的极小值为 ，无极大值；
②当 时， ，
又由 在 上单调递增，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，
因为当 时，令 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ， ，
因为 在 上单调递减，所以 在 上有唯一的零点 ，且 ，所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以函数 有两个极小值点，故实数 的取值范围为 .
35．已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 有且只有一个极值点，求a的取值范围．
【解析】(1)由题意知： ，
当 时，因为 ，所以 在 上恒成立，所以 在 上是减函数；
当 时，由 得： ，所以 ，所以 在
上是增函数，在 上是减函数.
(2) ， ，因为 有且只有一个极值点，
即 图象只穿过 轴一次，即 为单调减函数或者 的极值同号；
（i） 为单调减函数， 在 上恒成立，则 ，解得 ；
（ii） 的极值同号时，设 为极值点，则 ， 有两个不同的解
，则 ，且有 ，
所以 ，同理 ，
所以 ，化简得： ，即 ；
当 ， ， ， 有且只有一个极值点.综上：a的取值范围是 .
36．已知函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为0．
(1)求b的值；
(2)若函数 的极大值为 ，证明： ．
【解析】(1)依题意 ，由题设知 ，解得 ．
(2) 的定义域为 ，由（1）知 ．
①若 ，则当 时 ；当 时 ．
故 在 单调递增，在 单调递减．
此时 有唯一极值 ．
令 ，解得 与 矛盾，故舍去；
②若 ，则 ，当 时 ；
当 时 ；当 时 ．
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
此时 有唯一极大值 ．
令 ，解得 与 矛盾，故舍去；
③若 ，则 ，当 时 ，
故 在 上单调递增无极大值；
④若 ，则 ，当 时 ；当 时， ，当 时 ．
故 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增．
此时 有唯一极大值
令 ，化简得 （*）
令 ，则 ，记函数 ， ，
则 在其定义域上恒成立，所以 在其定义域上单调递增，
又因为 ， ，
所以 在区间 内存在零点 使得方程（*）成立．
所以 ，所以 .
37．已知函数f(x)＝ax2＋xlnx－ex，其中e是自然对数的底数．
(1)求证：当 时，函数f(x)是减函数；
(2)若函数f(x)存在极值，求实数a的取值范围．
【解析】(1) ，当 时， ，
因为 在 上是减函数，且 ，所以 时， 时，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 ，所以 ，所以函数f(x)在 是减函数；
(2)①当 时，由（1），f(x)在 是减函数，不存在极值；
②当 时， ，
易知 在 上是减函数，且在 上图象不间断，因为 ， ， ，
所以 在 上存在唯一零点，记为 ，
则 ，即 ，
且 时， 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递
减，所以 ，令 ，则
，所以函数 在 上单调递增，所以 时， ，所以
所以 ，所以函数 在 上是减函数，不存在极值.
③当 时，
因为 时， ，且 ，所以
结合 在 上是减函数，且在 上图象不间断
所以 在 上存在唯一零点，记为 ，则 ，与②同理
又 时， ，且 ，所以 ，结合
，得 ，又 在 上图象不间断
所以 在 上存在唯一零点，记为 ，则结合 在 上是减函数，得
极大值即 时，函数 存在极值.综上，实数 的取值范围为 .
38．已知函数 ， ， ．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 ，且 的极大值大于0，求实数 的取值范围．
【解析】(1)函数 的定义域为 ，当 时， ，
，
①当 时，在 上 ， 在 上单调递增．
②当 时，令 ，得 ，
在 上， ，在 上， ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 的单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
(2)由（1）知当 时， 有极大值为 ，
设 ，
， ，即 在 上恒成立．
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，令 ，得 ，在 上， ，在 上， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极小值 ， ， 在 上单调递增，
， ， 的取值范围为 ．
39．已知函数 ．（其中 ， …为自然对数的底数）
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)当 时，若 ， 是 的两极值点且 ，
①求实数a的取值范围；
②证明： ．
【解析】(1)当 时， ，
∵ ，∴当 时， 恒成立，∴ 单调递增为 ，无单调递减区间；
当 时，令 ，即 ，∴ ，
∴ 在 上单调递增， 上单调递减．
综上，当 时，函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间；
当 时，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ．
(2)当 时， 有两个极值点 ， ，所以 在R上有两个不等实数根 ， ，
①设 ，则 ，
设 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，又 ，
∴ 时， ； 时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，∴ ，
要使 在R上有两个不同的实根，则 ，即 ．
②∵ ，由前面的推导知： ，
且 在 单调递增， 单调递减， 单调递增．
设 ，
∴ ，
设 ，
，
∴ 在 上单调递增，即 ．∴ 在 单调递增，
∴ ，∴ ，又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴原不等式成立．
40．已知 .
(1)若 恒有两个极值点 ， （ ），求实数a的取值范围；(2)在（1）的条件下，证明 .
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ，
则方程 有两个不同的正根，
即函数 与 图像有两个交点，
，令 ，令 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，且当 时， ，
当 时， ，如图，
由图可知 ；
(2)设 ，则 ，
在 单调递增，故 ，即 .
而 ，故 ，
又 ， ， 在 单调递减，故 ，即 ；
由 知 ；
由(1)知， ， 为函数 的极值点，
当 时 ，函数 单调递减，当 时 ，函数 单调递增，时 ，函数 单调递减，
所以 ，故 ，
令 （ ）.
，
，令 ，故当 时，
单调递增，且 ，所以 ，故 单调递减，
由 ，得 ，
即 ，即 .
