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专题 05 利用导函数研究恒成立问题
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化：若 )对 恒成立，则只需 ；若 对 恒成立，则只需
．
③求最值.
二、典型题型
1．（2023·上海崇明·统考一模）若存在实数 ，对任意实数 ，使得不等式 恒
成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】不等式 等价于 即 ，
原命题等价于存在实数 ， ，对任意实数 不等式 恒成立，
等价于存在实数 ， ，不等式 成立，
记 ，则 ，
（1）当 时，对任意 ， 恒成立，即 在 上单调递减
①当 ，即 时， ，
②当 ，即 时， ，
从而当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
（2）当 时，令 ，解得 ，
在区间 上单调递增，在 上单调递减，
， ， ，
①当 时 ，此时 ，
当 即 时， ，
当 即 时， ，
从而当 时， ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增,
所以 ；
令 ，则 ， ，记 ，
则 ，
当 时， 恒成立，
即 在区间 上单调递减，即 ，
即 ；
②当 时 ，此时 ，
当 即 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 即 时， ，
从而当 时， ，
则 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ；
（3）当 时，对任意 ， 恒成立，即 在 上单调递增，
①当 ，即 时， ，
②当 ，即 时， ，
从而当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ；
综上所述， ，
所以 .
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 ；
（4）若 ， ，有 ，则 的值域是 值域的子集 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）若 恒成立，则 的取值范围
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当 时， ，则 ，不符合题意；
当 时， ，
恒成立，
即 恒成立，
设 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减.
故当 时， 取得最大值 ，
所以 ，解得 ，
故选：C．
3．（2023·江西九江·统考一模）若对 ，不等式 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由已知得： ，由 ，得
即 ，可得 ．
令 ， ，则 ，
求导得 ， ，解得 ； ，解得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
且当 时 ；当 时， ，函数图像如图所示．
， ， ，
由 及 的图像可知， 恒成立，即 成立，
而 ， ，实数 的取值范围是 .
故选：C．
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，若对于任意的 ，都有 ，则
实数 的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于任意的 ，都有 ，即 ，
令 ，
则 ，且对于任意的 ，都有 .
①当 时， ， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，符合题意；
②当 时，令 ，则 ，令 ，得
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，则 ，
所以当 时， 在 上单调递减，
所以当 时， ，即 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，这与 矛盾，不符合题意；
当 时，则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减， ，符合题意.
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】恒成立问题方法指导：
方法1：分离参数法求最值
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2) 恒成立 ；
恒成立 ⇔ ；
能成立 ⇔ ；
能成立⇔ .
方法2：根据不等⇔式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求
解．
5．（2023·湖南永州·统考一模）若函数 ，当 时，恒有 ，则实数t
的取值范围 ．
【答案】
【详解】因为 时，恒有 ，所以 ，
即 恒成立.
设 ，则 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，则 ，
所以当 时， ， 在 单调递减；当 时， ， 在 单调递增；
所以 ，
所以 在 恒成立，故 在 单调递增，
所以 恒成立，即 ，所以 恒成立，
令 ，则 ， ，
所以当 时， ， 在 单调递增；当 时， ， 在 单调递
减；所以 .
所以 .
故答案为： .
6．（2023·四川雅安·统考一模）已知函数 在 时有极小值.曲线 在点
处的切线方程为 .
(1)求 的值；
(2)若对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意， ，
在 中， ，
在 时有极小值.曲线 在点 处的切线方程为 .
∴ 即 ，
， ，
当 时， 在 上单调递增.
当 时， 在 上单调递减.
当 时， 在 时有极小值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 符合题意，即为所求.
（2）由题意及（1）得， ，
在 中， ，即 对任意实数 恒成立，
设 ，则 .
当 时， ，则 ，故 在 上单调递增；
当 时， ，则 ，故 在 上单调递减；
当 时， ，则 ，
故 时 有极小值，也就是 的最小值 ，
故 即为所求.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的求导，导数法判断函数单调性，导数法解决函数恒成立问题，构造
函数法，考查学生的计算能力和逻辑思维能力，具有很强的综合性.
7．（2023·四川内江·统考一模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
【详解】（1）当 时， ，则 ，
由 ，得到 ，又 ，当 时， ， 时， ，
所以 在 处取到极小值，极小值为 ，无极大值.
（2）由 恒成立，得到 恒成立，即 恒成立，
又 ，所以 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 恒成立，
即 在区间 上单调递减，
又 ，所以当 时， ， 时， ，
即 时， ， 时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
故 ，所以 ，即 ，
所以，实数 的取值范围为 .
【点睛】方法点晴，第（2）问中的恒成立问题，常用的方法，一是直接构造函数，求出函数的最值；二
是通过参变分离，再构造函数，通过求函数最值来解决问题.
三、专项训练
一、单选题
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知 ，且 恒成立，则k的值不可以是（
）
A．－2 B．0 C．2 D．4
【答案】D
【详解】由 ，知 ， ，则 ，即
，
令 ，则 ，令 ，则 ，
函数 在 上单调递增，于是 ，即 ，
从而 ，令 ，则 ，
则当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
因此 在 时取得最小值2，即 ，
所以 ，即 可取 ，不能取4.
故选：D
2．（2023·江西南昌·江西师大附中校考三模）若不等式 在 上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】不等式 在 上恒成立，
两边同除 得 在 上恒成立，
令 ，则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，
令 ， ，
即 在 上恒成立，
所以只需 即可，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立， 单调递增，
又因为 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，即 ，
故选：B
3．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知 ， 为实数，不等式 在
上恒成立，则 的最小值为（ ）
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
【答案】C
【详解】设 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
此时， 在 不恒成立，不合题意
当 时，
时， ，函数在 上单调递增，
时， ，函数在 上单调递减，
所以 在 时取得最大值，
由题意不等式 在 恒成立，只需
即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
，
设 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
所以 在 取得最小值为 ，
所以 最小值为 ，
故选：C
二、多选题
4．（2023·山西·校联考模拟预测）已知 ，则 的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】已知 ，
当 时， 成立；
当 时， 恒成立或 恒成立；
即 恒成立或 恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设
单调递减；
单调递增；
无最大值.
当 时， 成立或 成立；
当 时， 成立或 无解；
当 时， 恒成立或 恒成立；
即 恒成立或 恒成立；
设
单调递减；
单调递增；
无最小值.
设
单调递减；
无最小值.
当 时， 恒成立或 成立；
当 时， 成立；或 无解；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
故选：BD .
5．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知函数 ，若 恒成立，则实数 的可能
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】 ，
故 恒成立，转化成 恒成立，
记 ，则 在 单调递增，故由 得 ，
故 恒成立，
记 ，故当 时， 单调递减，当 时， 单调递
增，故当 时， 取最大值 ，
故由 恒成立，即 ,故 ，
故选：AD
6．（2023·海南·模拟预测）若 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的值可以为
（ ）
（附： ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题意知：当 时， 恒成立；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递增， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，即实数 的取值范围为 .
， ， ， .
故选：BD.
三、填空题
7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中学校考阶段练习）已知函数 ，若
对 恒成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】易知 ，由 可得 ，
即 ，则有 ，
设 ，易知 在 上单调递增，
故 ，所以 ，即 ，
设 ，令 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则有 ，解之得 ．
故答案为： .
8．（2023·河南洛阳·统考模拟预测）已知函数 ， ，若 时，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【详解】 ，则 ，
则 时， ， 单调递增.
时， 恒成立，即 恒成立，
则 在 上恒成立，
则 即 在 上恒成立，
令 ， ，则
则当 时， ， 单调递减；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ， 单调递增.
则当 时 取得最小值 ，则
则实数 的取值范围是
故答案为：
四、问答题
9．（2023·全国·模拟预测）已知函数 （其中 为自然对数的底数）．
(1)当 时，讨论函数 在 上的单调性；
(2)若对一切 ， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)函数 在 上单调递减，在 上单调递增
(2)
【详解】（1）当 时 ，则 ．
记 ，则 ．
令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 在 上单调递减，在 上单调递增．
又 ， ， ，
所以当 时， ；当 时， ．
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）当 时， 恒成立，即 恒成立．
①当 时， ，此时 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 时， ，即
记 ， ，则 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，所以 ，
综上可知，实数m的取值范围为 ．
10．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数a，b的值；
(2)若 ，对任意的 ，且 ，不等式 恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1) ， ；
(2) .
【详解】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
由曲线 在 处的切线方程为 ，得 ，解得 ， ，
所以 ， .
（2）当 时，函数 ，求导得 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
不妨设 ，则 ， ，
不等式 恒成立，即 恒成立，
则 恒成立，设 ，
于是 ， 恒成立
则 在 上单调递增，于是 在 上恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 在 上恒成立， ，当且仅当 时取等号，因此 ，
所以m的取值范围为 ．
11．（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 在区间 上的单调性；
(2)若当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1) 在 上单调递增，在 上单调递减
(2)
【详解】（1）当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）设 ，由题意知当 时， ．
求导得 ．
设 ，则 ，
令 ，则 ，当 当 故函数 在 单调递增，在
单调递减，所以 ；
令 ，可得 ，故 在 单调递增时， ．
所以当 时， ．
故 在 上单调递增，
当 时， ，且当 时， ．
若 ，则 ，函数 在 上单调递增，
因此 ， ，符合条件．
若 ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，此时 ，不符合条件．
综上，实数 的取值范围是 ．
12．（2023·北京西城·北师大实验中学校考三模）已知函数 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)当 时，求 的零点；
(2)讨论 在 上的最大值；
(3)是否存在实数 ，使得对任意 ，都有 ？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)存在， 的取值范围是
【详解】（1） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
又因为当 时 ， ， ，
所以 仅有一个零点， .
（2） ，令 ，解得 ，
在区间 内，
单调递
极大值 单调递减
增
当 （即 ）时，在 上 单调递减， ，
当 （即 ）时，在 上 单调递增， ，
当 （即 ）时，在 上 单调递增，在 上 单调递减，
．
综上所述，当 时， 的最大值为 ，当 时， 的最大值为 ，当 时， 的
最大值为 .
（3）由（2）知在 上， ，
构造函数 ，由题意应使 ，
，令 ，解得 ．
1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】极小
单调递减 单调递增
值
所以 ，
所以使 的实数 只有 ，即 的取值范围是 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
