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第二十一章 一元二次方程·培优卷
【人教版】
参考答案与试题解析
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·山东泰安·期中）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（）
(1) 2 1
A．x2+1=0 B． + −2=0
x x
C．ax2+bx+c=0 D．❑√x2+❑√x−2=0
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程，且未知数的最高次数为
2，二次项系数不为0），逐一分析选项即可．
【详解】A．x2+1=0：是整式方程，仅含未知数x，且最高次数为2，二次项系数为1（非零），符合定
义．
(1) 2 1 1
B． + −2=0：含分式 ，属于分式方程，非整式方程，不符合定义．
x x x
C．ax2+bx+c=0：未限定a≠0，当a=0时方程变为一次方程，不一定是二次方程．
D．❑√x2+❑√x−2=0：含根号❑√x和绝对值（❑√x2=|x)），属于根式方程，非整式方程，不符合定义．
故选A．
2．（3分）（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）关于x的一元二次方程(4−a)x2+a2x=16x+1化为一
般形式后不含一次项，则a的值为（ ）
A．0 B．±4 C．4 D．−4
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为
0且二次项系数不为0，求解即可．
【详解】解：(4−a)x2+a2x=16x+1，(4−a)x2+(a2−16)x−1=0
∵一元二次方程不含一次项，
∴a2−16=0，a=±4，
4−a≠0，a≠4，
解得a=−4，
故选：D．
3．（3分）（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于x的方程(x−1)(x−m)=0与(x−2m) 2=c的解完全
相同，则常数c的值为（ ）
1 1
A． B． C．1 D．4
4 9
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数．
【详解】解：方程(x−1)(x−m)=0的解为x=1和x=m，
方程(x−2m) 2=c的解为x=2m±❑√c（需c≥0），
因为两方程解完全相同，故根的和与积相等：
∴1+m=(2m+❑√c)+(2m−❑√c)=4m，
1
解得：m= ，
3
1⋅m=(2m+❑√c)(2m−❑√c)=4m2−c，
1 (1) 2 1
代入m= 得：4× −c= ，
3 3 3
4 3 1
解得c= − = ，
9 9 9
故选：B．
1
4．（3分）（24-25八年级下·山东威海·期末）关于x的一元二次方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0有实数
4
根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k>−1 B．k≥−1 C．k>−1且k≠1 D．k≥−1且k≠1
【答案】C【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的情况确定参数k
的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当方程有两
个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0．
1
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(k2−1)x2+(k+1)x+ =0有实数根，
4
{ Δ=(k+1) 2−4(k2−1)× 1 ≥0) {k≥−1)
∴ 4 ，解得： ，
k≠±1
k2−1≠0
∴k>−1且k≠1，
故选：C．
5．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，则
a2−b+2025的值是（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由a是方程x2+x−3=0的一个实数根，可得
1
a2=−a+3．由根与系数的关系，可得a+b=− =−1．代入a2−b+2025即可求解．
1
【详解】解：∵ a是方程x2+x−3=0的一个实数根，
∴ a2+a−3=0，
∴ a2=−a+3．
∵ a，b是方程x2+x−3=0的两个实数根，
1
∴ a+b=− =−1．
1
∴ a2−b+2025 =(−a+3)−b+2025=−(a+b)+2028=1+2028=2029，
故选A．
6．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种
植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，
则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：1+x+x2=57，
整理得：x2+x−56=0，
解得：x =−8（不合题意，舍去），x =7．
1 2
故选：B．
7．（3分）（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则a=
（ ）
❑√5−1 1+❑√5 1−❑√5 1+❑√5 1−❑√5
A． B． C． D． 或
2 2 2 2 2
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可
【详解】解：依题意得：(a+1)(a−1)=a，
整理得：a2−a−1=0，
1+❑√5 1−❑√5
解得：a = ,a = <0（舍去）
1 2 2 2
故选：B
8．（3分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程x2−x=1.2的一个近似解
是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
x2−x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44
A．x≈0.11 B．x≈1.69 C．x≈1.71 D．x≈1.19
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给
出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解．
利用表格中的数据得到x=1.7时，x2−x=1.19，x=1.8时，x2−x=1.44；于是可判断一元二次方程
x2−x=1.2的一个解在1.7与1.8之间，更接近1.7，故可得解．
【详解】解：∵x=1.7时，x2−x=1.19，x=1.8时，x2−x=1.44；
∴一元二次方程x2−x=1.2的一个解为1.70 x +x =4>2 x x =a>0
1 2 1 2
解得：a<4，
∵方程 的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，
(x−2)(x2−4x+a)=0
∴ ，
|x −x )<2
1 2
∴ ，
❑√(x +x ) 2−4x x =❑√16−4a<2
1 2 1 2
∴0≤16−4a<4，解得：3n))，若
x⊗(−1)=1 ，则实数x的值为 ．
m2+m+n(m≤n)
【答案】−2或0或1
【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键．分两种情况：当x>−1时，当x≤−1时，根据新定义列方程，求解即可．
【详解】解：∵x⊗(−1)=1，
∴当x>−1时，
x2−x+1=1，
即x2−x=0，
解得：x =1，x =0，
1 2
当x≤−1时，
x2+x−1=1，
即x2+x−2=0，
解得：x =1（舍去），x =−2，
1 2
综上，实数x的值为−2或0或1．
故答案为：−2或0或1．
16．（3分）（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm
，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA方向运动；同时动点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC方
向运动．则运动 秒后 P、Q两点相距25cm．
【答案】10
【分析】本题考查了动点问题、勾股定理及解一元二次方程，根据题意用时间准确表示出CP，CQ的长并
找到等量关系是解题的关键．设运动时间为x秒，则CP=2xcm，CQ=(25−x)cm，根据图形知
QP=25cm，根据勾股定理列出方程，解出即可．
【详解】解：设运动x秒后P、Q两点相距25cm，
则CP=2xcm，CQ=(25−x)cm，
由题意，得 ，
(2x) 2+(25−x) 2=252
整理得：x2−10x=0，
解得：x =10，x =0(不合题意，舍去)，
1 2故答案为：10．
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山东泰安·期末）解下列方程：
(1)4t2−4t+1=0；
(2)2x2−5x−7=0．
1
【答案】(1)t =t = ；
1 2 2
7
(2)x = ，x =−1．
1 2 2
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公
式法、分解因式法．
1
(1)利用完全平方公式分解因式，可得：(2t−1) 2=0，从而可得方程的解为t =t = ；
1 2 2
(2)用十字相乘法分解因式，可得：(2x−7)(x+1)=0，因为两个数的乘积为0，所以这两个因数中致少有
一个为0，可得：2x−7=0或x+1=0，分别解这两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解．
【详解】（1）解：4t2−4t+1=0，
分解因式可得： ，
(2t−1) 2=0
1
解得：t =t = ；
1 2 2
（2）解：2x2−5x−7=0，
分解因式可得：(2x−7)(x+1)=0，
∴2x−7=0或x+1=0，
7
解得：x = ，x =−1．
1 2 2
18．（6分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的
m 1
方程x2−mx+ − =0的两个实数根，
2 4
(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．
(2)若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【答案】(1)见解析(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．
（1）根据根的判别式证明即可；
5 5
（2）先由AB的长为2求出m= ，进而可知原方程为x2− x+1=0，根据根与系数的关系求出AB、BC
2 2
的和，即可求出平行四边形的周长.
【详解】（1）证明：∵Δ=(−m) 2−4
(m
−
1)
=m2−2m+1=(m+1) 2≥0，
2 4
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
m 1
（2）解：∵AB、BC的长是关于x的方程x2−mx+ − =0的两个实数根，AB的长为2，
2 4
m 1
∴4−2m+ − =0，
2 4
5
解得：m= ，
2
5
即x2− x+1=0，
2
5
∴AB、BC的和=x +x = ，
1 2 2
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，BC=AD，
5
∴平行四边形ABCD的周长=2× =5．
2
19．（8分）（24-25八年级下·山东济南·期末）商场销售一批衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40
元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，
商场平均每天可多售出10件．
(1)若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？
(2)要使商场平均每天盈利1400元，可能吗？请说明理由．
【答案】(1)15元
(2)不可能；理由见解析
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用和根的判别式，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×
每件盈利=每天销售的利润是解题关键．
（1）利用衬衣每件盈利×平均每天售出的件数=每天销售这种衬衣利润，列出方程解答即可．（2）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．
【详解】（1）解：设每件衬衫应降价x元．
( x )
根据题意，得：(40−x) 20+ ×10 =1250，
5
整理，得：x2−30x+225=0，
解得x =x =15，
1 2
答：每件衬衫应降价15元．
（2）解：不可能．理由如下：
设每件衬衫应降价x元，
( x )
(40−x) 20+ ×10 =1400，
5
整理得x2−30x+300=0，
∵△=900−4×300<0，方程无实数根．
∴商场平均每天不可能盈利1400元．
20．（8分）（24-25九年级上·江苏扬州·期中）定义：设m，n是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数
根，若满足|m+n|=|mn|，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程x2−4x+4=0是“同步方
程”．
(1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）；
①x2=0，②x2−x−1=0，③x(x−3)=0；
(2)若方程x2−(a+3)x+3a=0是“同步方程”，求a的值；
(3)若方程2x2+bx+3c=0(a≠0)为“同步方程”，直接写出b、c满足的数量关系．
【答案】(1)①②
3 3
(2) 或−
2 4
(3)b=±3c
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次
方程根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果；
（2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到|a+3)=|3a)，从而得到a的值；
（3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果．
【详解】（1）解：①∵x2=0，
∴x =x =0，
1 2∴|x +x |=|x x |=0，
1 2 1 2
∴x2=0是“同步方程”；
②∵x2−x−1=0，
∴x +x =1，x x =−1，
1 2 1 2
∴|x +x |=|x x |=1，
1 2 1 2
∴x2−x−1=0是“同步方程”；
③∵x(x−3)=0，
∴x =0，x =3，
1 2
∴x +x =3，x x =0，
1 2 1 2
∴|x +x |≠|x x |，
1 2 1 2
∴x(x−3)=0不是“同步方程”，
故答案为：①②；
（2）解：∵x2−(a+3)x+3a=0是“同步方程”，
∴x +x =a+3，x x =3a，
1 2 1 2
∴|a+3)=|3a)，
3
∴当a+3=3a时，a= ，
2
3
当a+3=−3a时，a=− ，
4
3 3
故a= 或− ；
2 4
（3）解：∵2x2+bx+3c=0(a≠0)为“同步方程”，
b 3c
∴x +x =− ，x x = ，
1 2 2 1 2 2
| b) |3c)
∴ − = ，
2 2
∴b=±3c．
21．（10分）（24-25六年级下·山东威海·期末）在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单．
例如，在计算(x−y−3)(x−y+3)时就可以将x−y看成一个整体，式子转化为：
．请借助整体思想完成：
(x−y) 2−32=x2−2xy+ y2−9
(1)(x+ y−3)(x−y+3)=___________；(2) ，求 ___________；
(x2+ y2+2)(x2+ y2−2)=77 x2+ y2=
(3)已知 ，求
(x+2024) 2+(x+2026) 2=100 x+2025
【答案】(1)x2−y2+6 y−9
(2)9
(3)±7
【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，解高次方程和一元二次方程的方法，学会整体代入
思想是解题的关键．
（1）把(y−3)看成一个整体，利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）把 看成一个整体，利用平方差公式计算解方程即可；
(x2+ y2)
（3）把(x+2025)看成一个整体，利用完全平方公式计算解方程即可．
【详解】（1）解：(x+ y−3)(x−y+3)
=x2−(y−3) 2
=x2−(y2−6 y+9)
=x2−y2+6 y−9；
（2）解： ，
(x2+ y2+2)(x2+ y2−2)=77
，
(x2+ y2) 2 −4=77
，
(x2+ y2) 2 =81
∵x2+ y2≥0，
∴x2+ y2=9；
（3）解：令x+2025=a，
原方程变形为： ，
(a−1) 2+(a+1) 2=100
a2−2a+1+a2+2a+1=100，
2a2+2=100，
a2=49，
a=±7，∴x+2025=±7．
22．（10分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2−3=0．
(1)当m为何值时，该方程有两个实数根？
(2)若边长为❑√13的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值．
13
【答案】(1)m≥−
4
(2)m=−3
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应
用；
（1）根据Δ≥0，再建立不等式求解即可；
（2）设方程的两根分别为a、b，由根与系数的关系得：a+b=−2m−1,ab=m2−3，结合菱形的边长为
，两条对角线的长为 ，满足 ，即： ，再建立方程求解并检验
❑√13 2a,2b a2+b2=(❑√13) 2 (a+b) 2−2ab=13
即可．
【详解】（1）解：∵方程x2+(2m+1)x+m2−3=0有两个实数根，
，
∴Δ=(2m+1) 2−4(m2−3)=4m2+4m+1−4m2+12=4m+13≥0
13
解之得：m≥− ．
4
13
∴当m≥− 时，方程有两个实数根；
4
（2）解：设方程的两根分别为a、b，
由根与系数的关系得：a+b=−2m−1,ab=m2−3，
由题意可知：菱形的边长为❑√13，两条对角线的长为2a,2b，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴其半对角线长与边长构成直角三角形，
∴ ，
a2+b2=(❑√13) 2
即 ，
(a+b) 2−2ab=13
，
∴(−2m−1) 2−2×(m2−3)=13
解之得：m=−3或m=1．∵a>0，b>0，
∴a+b>0，ab>0，
当 时， ， ．
m=−3 a+b=−2m−1=−2×(−3)−1=5>0 ab=m2−3=(−3) 2−3=6>0
当m=1时，a+b=−2m−1=−2×1−1=−3<0，
∴m=1不合题意，舍去，
13
又由（1）知：m≥− ，
4
∴m=−3．
23．（12分）（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用
长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其
他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为60平方米，求此时花圃的长与宽；
(3)建成花圃的面积能为61平方米吗？请说明理由．
【答案】(1)27−3x
(2)宽为5米，长为12米
(3)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元
二次方程是解题的关键．
（1）由题意列出代数式即可．
（2）根据花圃的面积刚好为60平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
（3）设花圃的一边AB长为y米，则AD=25+1+1−3 y=27−3 y (m)，根据花圃的面积为61平方米，列
出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽AB长为x米，
∴另一边AD的长为AD=BC=25−3x+2=27−3x米，
故答案为：27−3x；
（2）解：∵花圃的面积刚好为60平方米，∴x(27−3x)=60，
化简得：x2−9x+20=0，
解得：x =4，x =5，
1 2
∵墙的最大可用长度为14米，
当x=4时，27−3x=15>14，不符合题意，舍去；
当x=5时，27−3x=12<14，符合题意；
答：此时花圃的长与宽边分别为12米和5米；
（3）解：建成花圃的面积不可能为61平方米，理由如下：
设花圃的一边AB长为y米，
则AD=25+1+1−3 y=27−3 y (m)，
根据题意可得：y(27−3 y)=61，
整理得：3 y2−27 y+61=0，
∵ ，
Δ=(−27) 2−4×3×61=−3<0
∴方程无解，
∴建成花圃的面积不可能为61平方米．
24．（12分）（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方
式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求
值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
①用配方法分解因式：a2+6a+5
解：原式
=a2+6a+9−4=(a+3)2−4=(a+3+2)(a+3−2)=(a+5)(a+1)
②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值．
解： ，因为不论a取何值， 总是非负数，即
a2+6a+5=a2+2a⋅3+32−32+5=(a+3) 2−4 (a+3) 2
，所以 ，所以当 时， 有最小值，最小值是 ．
(a+3) 2≥0 (a+3) 2−4≥−4 a=−3 a2+6a+5 −4
【应用】根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2−12x+________=（x- ）2；
（2）将 变形为 的形式，并求出 的最小值；
x2−3x+66 (x+m) 2+n x2−3x+66
【探究】若M=5a2+9a+6，N=4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由．( 3) 2 255 255
【答案】【应用】（1）36，6；（2） x− + ，最小值 【探究】M>N，见解析
2 4 4
【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键．
（1）根据完全平方公式的特征求解．
（2）先配方，再求最小值．
探究：作差后配方比较大小．
【详解】应用：（1）∵
x2−12x+36=(x−6) 2
故答案为：36，6．
（2）x2−3x+66=x2−3x+ 9 − 9 +66= ( x− 3) 2 + 255
4 4 2 4
( 3) 2
∵ x− ≥0，
2
3 255
∴当x= 时，原式有最小值 ．
2 4
【探究】因为M=5a2+9a+6，N=4a2+5a，
M−N=5a2+9a+6−(4a2+5a)
=5a2+9a+6−4a2−5a
=a2+4a+6
；
=(a+2) 2+2
因为 ，
(a+2) 2≥0
所以 ，
(a+2) 2+2>0
所以M−N>0，
即M>N．
