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第二十一章 一元二次方程·拔尖卷
【人教版】
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第Ⅰ卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于x的方程(k+2)x|k)+x+1=0是一元二次方程，则k
的值应为（ ）
A．±2 B．−2 C．2 D．不能确定
2．（3分）（24-25九年级上·四川成都·期末）小颖在探索一元二次方程x2+3x−5=0的近似解时做了下
表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（ ）
x −1 0 1 2
x2+3x−5 −7 −5 −1 5
A．−1 B．0 C．1 D．2
1
3．（3分）（24-25九年级下·浙江衢州·自主招生）若分式 总有意义，则m的取值范围是（ ）
x2−6x+m
A．m>9 B．m≥9 C．m<9 D．m≤9
4．（3分）（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）设a，b是关于x的一元二次方程
x2+x+m2+2m−1=0的两个实数根，且a2−b+2m=1，则m的值为（ ）
A．−1或−2 B．−1 C．±1 D．−2
5．（3分）（2025·河北邯郸·二模）已知x =−1是关于x的方程x2+bx+c=0的一个解，该方程的另一个
1
解为x ，则下列说法正确的是（ ）
2
A．b−c=−1 B．b2≤4c
C．b=1−x D．c=x
2 2
6．（3分）（24-25九年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足a2+2ab+b2−3a−3b+2=0，且a+b为整数，设x=a+b，则x的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（3分）（2025·内蒙古·模拟预测）如图1，有一张长32cm、宽16cm的矩形硬纸片，裁去角上2个小正
方形和2个小矩形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，
则纸盒的高为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．21cm
8．（3分）满足方程x2−4xy+19 y2=151的整数对(x,y)有（ ）
A．0对 B．2对 C．4对 D．6对
9．（3分）（2024九年级上·江苏·专题练习）已知方程x2−2|x)−15=0，则此方程的所有实数根的和为
（ ）
A．0 B．−2 C．2 D．8
10．（3分）（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形
组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为❑√10−2，则这块地砖的面
积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（24-25九年级上·山西太原·期中）关于x的一元二次方程(m−3)x2+x+m2−8m+15=0的常
数项是0，则m的值为 ．
12．（3分）（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）已知α，β是一元二次方程x2+x−3=0的两根，求
α6−40β+3的值为13．（3分）（24-25九年级上·全国·期中）设x ，x 是关于x的方程x2−2x−m=0的两根，且2x +x =0
1 2 1 2
，则m的值是 ．
14．（3分）（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程
之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对
于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知
关于x的一元二次方程x2−4x+c=0和一元一次方程2x−6=0为“相伴方程”，则c的值为 ．
15．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）实数a，b，c满足b+c−1=0,a−bc−1=0．
（1）当b=2时，则a= ；
（2）实数a的取值范围是 ．
16．（3分）（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出
的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的
AE
25倍，那么 = ．
DE
第Ⅱ卷
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）按要求解下列关于x的一元二次方程：
(1)2x2−4x−1=0（公式法）
(2) （因式分解法）
3(x−2) 2=x2−4
18．（6分）（24-25八年级下·浙江宁波·期末）小明准备进行如下实验操作：把一根长为32cm的铁丝剪成
两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于34cm2，则这两个正方形的边长各是多少？
(2)小明认为，这两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．你认为他的说法正确吗？请说明理由．
19．（8分）（24-25八年级下·安徽滁州·期末）已知关于x的一元二次方程mx2−(2m+1)x+2=0．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为
x ,x
，求代数式
m(x5+x5)−(2m+1)(x4+x4)+2(x3+x3)
的值．
1 2 1 2 1 2 1 2
20．（8分）（24-25八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点
P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，
当其中一点到达终点运动即停止．设运动时间为t秒．
(1)在运动过程中，PQ的长度能否为3❑√5cm？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(2)在运动过程中，△PDQ的面积能否为10 cm2？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
(3)取PQ的中点M，运动过程中，当∠AMD=90°时，求t的值．
21．（10分）（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程ax2+(b−2)x−4=0两根分别为x ,x 且（
1 2
x 3，所以一元二次
1 2 −3
方程x2+13x+30=0不是“2−3限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程x2+13x+22=0______“2−3限制方程”（填“是”或“不是”）；(2)若关于x的一元二次方程x2+(k+9)x+k2+8=0是“2−3限制方程”，且方程的两根x ,x 满足
1 2
，求k的值；
(x +11)(x +11)=0
1 2
(3)若关于x的一元二次方程x2+(2−m)x−2m=0是“2−3限制方程”，求m的取值范围．
23．（12分）（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足
，试求 的值.
(2m2+n2+1)(2m2+n2−1)=80 2m2+n2
解：设2m2+n2=t，则原方程变为(t+1)(t−1)=80，整理得t2−1=80，t2=81，
∴t=±9，∵2m2+n2≥0，∴2m2+n2=9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运
算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化.
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.
(1)已知实数x，y满足 ，求 的值；
(2x2+2y2+3)(2x2+2y2−3)=27 x2+ y2
(2)设a，b满足等式 ，求 的值；
(a2+b2)(2a2+2b2−1)=3 3a2+3b2−1
(3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数.
24．（12分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数
学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2−2x=0，可以通过因式分解把它转化为
，解方程 和 ，可得方程 的解．
x(x2+x−2)=0 x=0 x2+x−2=0 x3+x2−2x=0
（1）方程x3+x2−6x=0的解是x =0，x =______，x =_______；
1 2 3
（2）用“转化”思想求方程❑√2x+8=x的解；
（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=14m，宽AB=12m，小华把一根长为28m的绳子的一端固定
在点B处，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边沿PD、
DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长．
