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2016 年临沂市初中学生学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分:120分 时间:120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共42分)
一、选择题(本大题共14小题,每小题3分,共42分)在每小题所给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的.
1.四个数-3,0,1,2,其中负数是( )
A.-3 B.0 C.1 D.2
2.如图,直线AB∥CD,∠A=40°,∠D=45°,则∠1的度数是( )
A.80° B.85° C.90° D.95°
3.下列计算正确的是( )
A.x3-x2=x B.x3·x2=x6
C.x3÷x2=x D.(x3)2=x5
{3x<2x+4,
4.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是( )
3-x
≥2
3
5.如图是一个空心圆柱体,其主视图正确的是( )6.某校九年级共有1、2、3、4四个班,现从这四个班中随机抽取两个班进行一
场篮球比赛,则恰好抽到1班和2班的概率是( )
1 1 3 1
A. B. C. D.
8 6 8 2
7.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于( )
A.108° B.90° C.72° D.60°
8.为了绿化校园,30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵,女生每人种2
棵.设男生有x人,女生有y人,根据题意,所列方程组正确的是( )
{ x+ y=78 { x+ y=78
A. B.
3x+2y=30 2x+3 y=30
{ x+ y=30 { x+ y=30
C. D.
2x+3 y=78 3x+2y=78
9.某老师为了解学生周末学习时间的情况,在所任班级中随机调查了10名学生,
绘成如图所示的条形统计图,则这10名学生周末学习的平均时间是( )
A.4小时 B.3小时 C.2小时 D.1小时
10.如图,AB是☉O的切线,B为切点,AC经过点O,与☉O分别相交于点D,C.若
∠ACB=30°,AB=√3,则阴影部分的面积是( )√3 π √3 π √3 π
A. B. C. - D. -
2 6 2 6 3 6
11.用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形,则第n个图形中小正方形
的个数是( )
A.2n+1 B.n2-1 C.n2+2n D.5n-2
12.如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,连接AD,BD.则下列结
论:①AC=AD;②BD⊥AC;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
13.二次函数y=ax2+bx+c,自变量x与函数y的对应值如下表:
x … -5 -4 -3 -2 -1 0 …
y … 4 0 -2 -2 0 4 …
下列说法正确的是( )
A.抛物线的开口向下 B.当x>-3时,y随x的增大而增大
5
C.二次函数的最小值是-2 D.抛物线的对称轴是x=-
2
k
14.如图,直线y=-x+5与双曲线y= (x>0)相交于A,B两点,与x轴相交于C点,
x
5 k
△BOC的面积是 .若将直线y=-x+5向下平移1个单位,则所得直线与双曲线y=
2 x
(x>0)的交点有( )A.0个 B.1个
C.2个 D.0个,或1个,或2个
第Ⅱ卷(非选择题,共78分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
15.分解因式:x3-2x2+x= .
a2 1
16.计算: + = .
a-1 1-a
17.如图,在△ABC中,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.若
AB=8,BD=3,BF=4,则FC的长为 .
18.如图,将一矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG.若
AB=4,BC=8,则△ABF的面积为 .
19.一般地,当α,β为任意角时,sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公
式求得:sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β;sin(α-β)=sin α·cos
β-cos α·sin β.例如√3 √3
sin 90°=sin(60°+30°)=sin 60°·cos 30°+cos 60°·sin 30°= × +
2 2
1 1
× =1.类似地,可以求得sin 15°的值是 .
2 2
三、解答题(本大题共7小题,共63分)
20.(本小题满分7分)
计算:|-3|+√3tan 30°-√12-(2 016-π)0.
21.(本小题满分7分)
为了解某校九年级学生的身高情况,随机抽取部分学生的身高进行调查,利用所
得数据绘成如下统计图表:
频数分布表
身高分组 频数 百分比
x<155 5 10%
155≤x<160 a 20%
160≤x<165 15 30%
165≤x<170 14 b
x≥170 6 12%
总计 100%
(1)填空:a= ,b= ;
(2)补全频数分布直方图;(3)该校九年级共有600名学生,估计身高不低于165 cm的学生大约多少人.
22.(本小题满分7分)
一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯塔20海里的A处,它向东航行多少
海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处(参考数据:√3≈1.732,结果精确到
0.1)?
23.(本小题满分9分)
如图,A,P,B,C是圆上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,AP,CB的延长线相交于点D.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若∠PAC=90°,AB=2√3,求PD的长.24.(本小题满分9分)
现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高速发展.小明计划给朋友快递
一部分物品,经了解有甲、乙两家快递公司比较合适.甲公司表示:快递物品不超
过1千克的,按每千克22元收费;超过1千克,超过的部分按每千克15元收费.乙
公司表示:按每千克16元收费,另加包装费3元.设小明快递物品x千克.
(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千克)之间的
函数关系式;
(2)小明选择哪家快递公司更省钱?
25.(本小题满分11分)
如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别是边BC、AB上的点,且CE=BF.连接DE,过
点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC.
(1)请判断:FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)如图2,若点E、F分别是CB、BA延长线上的点,其他条件不变.(1)中结论是
否仍然成立?请作出判断并给予证明;
(3)如图3,若点E、F分别是BC、AB延长线上的点,其他条件不变.(1)中结论是
否仍然成立?请直接写出你的判断.26.(本小题满分13分)
如图,在平面直角坐标系中,直线y=-2x+10与x轴、y轴相交于A、B两点.点C
的坐标是(8,4),连接AC,BC.
(1)求过O、A、C三点的抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)动点P从点O出发,沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动;同时,动点
Q从点B出发,沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动.规定其中一个动点
到达端点时,另一个动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值
时,PA=QA?
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使以A、B、M为顶点的三角形是等腰三
角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析：一、选择题
1.A 小于0的数是负数,0既不是正数也不是负数,大于0的数是正数.
2.B ∵AB∥CD ∴∠C=∠A=40°(两直线平行,内错角相等),
∴∠1=∠D+∠C=45°+40°=85°.
3.C x3与x2不是同类项,不能合并,故A选项错误;x3·x2=x3+2=x5 ,故B选项错误;x3÷x2=
x3-2=x,故C选项正确;(x3)2=x6,故D选项错误.
故选C.
评析 本题主要考查了合并同类项,同底数幂的乘除法法则,幂的乘方运算,熟练掌握运算法
则是解题的关键.
3-x
4.A 由3x<2x+4得x<4;由 ≥2得3-x≥6,解得x≤-3.
3
故不等式组的解集为x≤-3.故选A.
评析 本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集,把每个不等式的
解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画).在表示解集时“≥”“≤”要用实心圆点
表示,“<”“>”要用空心圆圈表示.熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小
找不到”的原则是解答本题的关键.
5.B 由主视图的定义可知选B.
6.B 列表如下:
1 2 3 4
1 (1,2) (1,3) (1,4)
2 (2,1) (2,3) (2,4)
3 (3,1) (3,2) (3,4)
4 (4,1) (4,2) (4,3)
1
则恰好抽到1班和2班的概率是 .故选B.
6
7.C 设这个正多边形的边数为n,则有(n-2)·180°=540°,解得n=5.
因为多边形的外角和为360°,且正多边形的每一个外角都相等,所以这个正多边形的每一
个外角为360°÷5=72°.故选C.
8.D 根据学生总人数为30可列方程x+y=30,男生x人可植树3x棵,女生y人可植树2y棵,
一共可植树(3x+2y)棵,则3x+2y=78,故选D.
9.B 根据条形统计图可知,10名学生中学习1小时的有1人;学习2小时的有2人;学习3
小时的有4人;学习4小时的有2人;学习5小时的有1人,则这10名学生周末学习的平均时
1×1+2×2+3×4+4×2+5×1 30
间为 = =3小时.故选B.
1+2+4+2+1 10
10.C 连接OB,
∵AB是☉O的切线,B为切点,∴∠OBA=90°,
又∠AOB=2∠ACB=60°,
∴∠OAB=30°.
在Rt△ABO中,设OB=x,则OA=2x,∵OB2+AB2=OA2,
∴x2+(√3)2=(2x)2,解得x=1(负值舍去),
1 60×π×12 1 π √3 π
∴S =S -S = ·AB·OB- = ×√3×1- = - .故选C.
阴影 △OAB 扇形BOD 2 360 2 6 2 6
评析 本题考查了切线的性质、扇形的面积公式.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注
意数形结合思想的应用.11.C 每个图形可分解成一个n×n的大正方形与上方n个及右方n个小正方形,即第1个
图形中小正方形的个数为1×1+1+1=3;
第2个图形中小正方形的个数为2×2+2+2=8;
第3个图形中小正方形的个数为3×3+3+3=15;
……
第n个图形中小正方形的个数为n×n+n+n=n2+2n.
故选C.
12.D ∵等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,
∴AC=BC=CD=CE,∠BCD=120°,
∵∠ACB=60°,∴∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形,∴AC=AD,∴①正确;
∵AC=CE=DE=AD=CD,
∴四边形ACED是菱形,∴③正确;
由AB=BC,得B在AC的垂直平分线上,
由AD=CD,得D在AC的垂直平分线上,
∴BD垂直平分AC,∴②正确.
13.D 由题表中数据可求得二次函数的解析式为y=x2+5x+4,即y=( 5) 2-9,故抛物线的
x+
2 4
5 9 5
开口向上,对称轴是x=- ,二次函数的最小值是- ,当x>- 时,y随x的增大而增大,当x<-
2 4 2
5
时,y随x的增大而减小.故选D.
2
14.B 由题意得C(5,0),设点B的坐标为(a,-a+5),a>0,
5
∵△BOC的面积是 ,
2
1 5
∴ ×5×(-a+5)= ,解得a=4,则B(4,1),
2 2
4
∴k=4,则y= (x>0),
x
将直线y=-x+5向下平移1个单位得到直线y=-x+4,
4 4
令 =-x+4,整理得x2-4x+4=0,解得x=2,即直线y=-x+4与双曲线y= (x>0)只有一个交点,为
x x
(2,2),故选B.
评析 根据题意得出反比例函数的解析式是解答本题的关键.
二、填空题
15.答案 x(x-1)2
解析 x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.
评析 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,注意分解要彻底.
16.答案 a+1
a2 1 a2 1 a2-1 (a+1)(a-1)
解析 + = - = = =a+1.
a-1 1-a a-1 a-1 a-1 a-1
12
17.答案
5解析 由已知得AD=AB-BD=8-3=5.
∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形BFED是平行四边形,
则DE=BF=4,
AD DE 5 4 32
由DE∥BC得△ADE∽△ABC,则 = ,即 = ,解得BC= ,
AB BC 8 BC 5
32 12
∴FC=BC-BF= -4= .
5 5
18.答案 6
解析 由折叠知AF=FC,设BF=x,则AF=FC=8-x,在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,即42+x2=(8-x)2,解
1
得x=3.所以S = AB·BF=6.
△ABF
2
√6-√2
19.答案
4
√2 √3 √2
解析 sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°·sin 30°= × - ×
2 2 2
1 √6-√2
= .
2 4
三、解答题
20.解析 |-3|+√3tan 30°-√12-(2 016-π)0
√3
=3+√3× -2√3-1(4分)
3
=3+1-2√3-1(5分)
=3-2√3.(7分)
21.解析 (1)10;28%.(2分)
(2)
(4分)
14+6
(3)600× =240(人).
50
故身高不低于165 cm的学生大约240人.(7分)
22.解析 过点P作PC⊥AB,交AB的延长线于点C.
在Rt△ACP中,∠ACP=90°,∠APC=60°,PA=20,PC AC
∵cos∠APC= ,sin∠APC= ,
PA PA
1
∴PC=PA·cos 60°=20× =10,(2分)
2
√3
AC=PA·sin 60°=20× =10√3.(4分)
2
在Rt△BCP中,∠BCP=90°,∠BPC=45°.
∴BC=PC=10.(5分)
∴AB=AC-BC=10√3-10
≈10×1.732-10
≈7.3.
答:轮船向东航行约7.3海里到达位于灯塔P南偏西45°方向上的B处.(7分)
23.解析 (1)证明:∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,(2分)
∴∠ACB=60°,(3分)
∴△ABC是等边三角形.(4分)
(2)解法一:∵∠PAC=90°,∠APC=∠ACB=60°,
∴∠D=∠DAB=∠PCB=30°,
∴BD=AB=2√3.(6分)
又∵∠PBD=∠PAC=90°,
2√3
BD
∴PD= = √3 =4.(9分)
cos30°
2
解法二:∵∠PAC=90°,∠APC=∠ACB=60°,
∴∠ACP=∠PCB=∠D=30°,
∴PD=PC.(6分)
由(1)知△ABC是等边三角形,∴AC=AB=2√3,
2√3
AC
∴在Rt△PAC中,PC= = √3 =4.
cos30°
2
∴PD=4.(9分)
{22x,01.
y =16x+3,x>0.(3分)
乙
1
(2)解法一:若0y ,即22x>16x+3时,x> ;
甲 乙 2
1
当y =y ,即22x=16x+3时,x= ;
甲 乙 2
1
当y 1,当y >y ,即15x+7>16x+3时,x<4;
甲 乙
当y =y ,即15x+7=16x+3时,x=4;
甲 乙
当y 4.
甲 乙1
因此,当快递物品少于 千克或者多于4千克时,选择甲公司省钱;
2
1
当快递物品等于 千克或者4千克时,两家公司一样;
2
1
当快递物品多于 千克而少于4千克时,选择乙公司省钱.(9分)
2
{22x,00的图象.(5分)
甲 15x+7,x>1 乙
分别解二元一次方程组
{ 1
{ y=22x, {y=15x+7,得 x= , {x=4,
2
y=16x+3, y=16x+3, y=67.
y=11,
因此两图象的交点分别是(1 ),(4,67),(7分)
,11
2
由图象可以看出:
1
当04时,选择甲公司省钱;
2
1
当x= 或x=4时,两家公司一样;
2
1
当
