文档内容
21.2.1 解一元二次方程（配方法）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.2.1 配方法第2课时，内容包括：利用配方法解一元二次方程。
2.内容解析
通过第一课时的学习，学生已经掌握了如何通过直接开平方法解一边是完全平方式的一元二次方程的
方法，而本节课要学的方程不具备上述结构特点，学生要学会如何通过转化的方法利用配方法求解一元二
次方程。配方法是初中阶段的重要内容，也是一种重要的学习方法。对于一元二次方程，配方法是解法中
的通法，它的推导建立在直接开平方的基础上，同时它又是推导公式法的基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用配方法解一元二次方程。
二、目标和目标解析
1.目标
（1）掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤。
（2）通过配方法将一元二次方程变形,让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能
力，激发学生学习的兴趣。
2.目标解析
用配方法解一元二次方程的关键是将一元二次方程配成完全平方形式，如何将方程的一边配成完全平
方形式就是本节课学习的内容。对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方
的基础上，同时它又是推导公式法的基础。通过配方法将一元二次方程变形，进一步让学生体会解一元二
次方程时降次的基本策略和转化思想。
达成（1）目标的标志是：熟练运用配方法解形如(x＋n)2＝p的方程。
达成（2）目标的标志是：通过配方法可以将左侧不是完全平方式的一元二次方程转化为(x＋n)2＝p
的方程，体会了可以把一些问题转化为已经掌握的知识、方法来解决问题的思想方法。
三、教学问题诊断分析
在教学中最关键的是让学生掌握配方法，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全
平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式。对学生来说，要理解和掌
握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中常发现学生出现以下几个问题：
1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。3.当一元二次方程有二次项的系数不为 1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为 1，就直接加上一
次项系数一半的平方。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：通过配方法将一元二次方程转化为形如(x＋n)2＝p的方程。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
完全平方公式： =
(a+b) 2 ____________________
=
(a−b) 2 ____________________
答案：a2+2ab+b2；a2- 2ab+b2
【练习1】x2+6x+9 =__________________
答案：
(x+3) 2
【练习2】在下列等式内填上适当的数，使等式成立
1) x2 + 2x+ = (x+ )2; 2) x2 + 12x+ = (x+ )2;
3) x2﹣4x+ = (x﹣ )2; 4)x2﹣6x+ = (x﹣ )2;
7
5)x2 +3x+ = (x+ )2; 6)x2﹣ x+ = (x﹣ )2.
2
3 3 7 7
答案：1）12、1 2）62、6 3）22、2 4）32、3 5）( )2、 6）( )2、
2 2 4 4
师生活动：师生共同回顾完全平方公式的相关知识，通过配套练习，让学生理解它的结构特点为：
“首平方，尾平方，2倍首尾放中间”，从而引出本节课所学内容。
【设计意图】先回顾完全平方公式的知识，为本节课的学习利用配方法解一元二次方程做好铺垫。通
过配套练习，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情。
（二）探究新知
【问题】已知长方形面积为12 平方米，长比宽多4米，求长方形的宽？
师生活动：学生思考，独立完成。
【提问1】尝试求方程x2+4x=12的解？
师生活动：学生思考，积极回答，教师引导与总结，最后得出方法为：
将x2+4x=12转化为(x＋n)2＝p的形式。
师生活动：教师板演，针对求得的结果，教师需提示学生：用方程解决实际问题时，要考虑所求得结
果在实际问题是否有意义。
【思考】为什么在方程两边同时加4？可以加其它数吗？师生活动：学生思考，积极回答。
【设计意图】将学生放置在实际问题的背景下，激发学生的主动性和求知欲。本题数量关系较简单，
学生很容易列出相应的方程。但通过观察方程结构，暂时无法求解，让学生感受到问题的存在。再通过提
问环节，引导学生初步思考、回顾已有的知识，主动参与到本节课的学习中来。
【提问2】尝试求方程x2+6x+4=0的解？
师生活动：以小组为单位，通过探讨解方程。教师在此环节中注意指导，必要时进行点拨。
【设计意图】通过小组讨论，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程中做到有的放矢，
对症下药。
师：尝试用自己的语言描述配方法的概念。
师生活动：先由学生尝试归纳总结，再由教师给出配方法的概念：
将方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。配方是为了降次，把一个一元
二次方程转化成两个一元一次方程来解。
用配方法解一元二次方程的关键：将一元二次方程配成完全平方形式。
【提问】简述通过配方法解一元二次方程的步骤。
师生活动：先由学生尝试归纳总结，再由教师给出配方法解一元二次方程的步骤：
1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；
5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解；
若p<0，原方程无实数根。
【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2
.
【设计意图】教师引导学生归纳配方法解一元二次方程的步骤及注意事项。使学生巩固对课堂知识的
理解和掌握，同时进一步让学生体会解一元二次方程时“降次”的基本策略和转化思想。
（三）知识归纳
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根x＝-n-❑√p，x＝-n+ ❑√p；
1 22)当p＝0时，方程①有两个相等的实数根x＝x＝-n；
1 2
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程①无实数根。
（四）典例分析
例1 解下列一元二次方程:
1）x2﹣8x+1=0 2） 3x2﹣6x+4=0 3）2x2﹣5x+2=0
1
答案：1）x=4+ ❑√15 ，x=4- ❑√15 2）原方程无实数根 3）∴ x= ，x=2
1 2 1 2
2
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一步的计算依据。
【针对训练】
1.用配方法解方程2x2−x−1=0，变形结果正确的是（ ）
1 3 1 3
A．(x− ) 2= B．(x− ) 2=
2 4 4 4
1 17 1 9
C．(x− ) 2= D．(x− ) 2=
4 16 4 16
2. 用配方法将方程 变形为 ，则m的值是( )
x2−4x−2=0 (x−2) 2=m
A．4 B．5 C．6 D．7
答案：1.D 2.C
【能力提升】
1．若函数y＝(m－3) 是二次函数，则m＝______.
xm2＋2m－13
[解析]∵函数y=（m－3） 是二次函数，∴m2+2m-13=2且m-3≠0 解得：m=-5.
xm2＋2m－13
2. 已知等腰三角形的一边长为 6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为
_____．
[解析]解：x2﹣6x+9＝0，解得x＝x＝3，因为3+3＝6，不能构成三角形，
1 2
所以等腰三角形的腰为6，底边长为3，所以三角形的周长＝6+6+3＝15．故答案为：15．
3．已知方程 可以配方成 ，则 （ ）
x2+4x+n=0 (x+m) 2=3 (m−n) 2015=
A．1 B．－1 C．0 D．4
[解析]由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，∴2m＝4，m2﹣3＝n，∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2015＝1，故选：A．
4．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）A． b 2 b2−4ac B． b 2 4ac−b2
(x+ ) = (x+ ) =
2a 4a2 2a 4a2
C． b 2 b2−4ac D． b 2 4ac−b2
(x− ) = (x− ) =
2a 4a2 2a 4a2
[解析]∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx=−c，∴x2+bx=−c，∴x2+bx+ b2 =−c+ b2 ，∴(x+ b )2=b2−4ac
a a a 4a2 a 4a2 2a 4a2
.故选A.
师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。
【设计意图】通过配套练习，使学生加强对二次项系数不为1，配方后方程无意义等问题的理解和解
决方法。把研究的对象从具体数字抽象到字母表示的数字，体现从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程，
巩固对配方法的认识，同时为后续学习用配方法推导求根公式做铺垫。
（五）直击中考
1．（2022年山东省东营市中考数学真题）一元二次方程x2+4x−8=0的解是（ ）
A． B．
x =2+2❑√3,x =2−2❑√3 x =2+2❑√2,x =2−2❑√2
1 2 1 2
C． D．
x =−2+2❑√2,x =−2−2❑√2 x =−2+2❑√3,x =−2−2❑√3
1 2 1 2
答案：D
2．（2022年山东省聊城市中考数学真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为
的形式，则 的值为（ ）
(x+a) 2=b a+b
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
1
[解析]∵3x2+6x−1=0，∴3x2+6x=1，x2+2x= ，
3
1 4 4 7
则x2+2x+1= +1，即(x+1) 2= ，∴a=1，b= ，∴a+b= ．故选：B．
3 3 3 3
3．（湖北省荆州市2021年中考数学真题）已知：a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请
用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0．
[解析] 解：∵5(a-2)+8<6(a-1)+7；∴ ；
5a−10+8<6a−6+7
∴−a<3；∴a＞-3 ∵a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，∴a=-2；∴关于 的方程 ；∴ ；∴ ；
x x2-4x−1=0 x2-4x+4=5 (x-2) 2=5
∴ ；∴ ， ．
x-2=±❑√5 x =2+❑√5 x =2-❑√5
1 2
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点。
（六）归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述配方法解一元二次方程的基本步骤吗？
2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
（七）布置作业
P9：练习2(5) (6)
P16：习题21.2： 第3题
【课外思考】根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
[详解] （1）① x ＝1，x ＝1 ；② x ＝1，x ＝2 ；③ x ＝1，x =3 ．
1 2 1 2 1 2
（2）① ；② ．
x ＝1，x ＝8 x2－(1＋n)x＋n＝0
1 2
（3）x2－9x＋8＝0
移项得 x2－9x＝－8
81 81
配方得x2－9x＋ ＝－8＋
4 4
9 49
整理得(x－ )2＝
2 4
9 7
由此可得x－ ＝± ．
2 2
∴x ＝1，x ＝8．
1 2
五、教学反思
