文档内容
21.2.1 解一元二次方程（配方法）导学案
学习目标
1. 掌握用配方法解一元二次方程的基本步骤。
2. 通过配方法将一元二次方程变形,让学生进一步体会转化的思想，增强他们的数学应用意识和能力，激
发学生学习的兴趣。
重点难点突破
★知识点1： 配方法解一元二次方程的步骤
1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；
5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解；
若p<0，原方程无实数根。
【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 .
★知识点2： 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根x＝-n-❑√p，x＝-n+ ❑√p；
1 2
2)当p＝0时，方程①有两个相等的实数根x＝x＝-n；
1 2
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程①无实数根。
核心知识
1.配方法解一元二次方程的步骤
1）移项：将含有x的项移到方程的_________，常数项移到方程的________；
2）二次项系数化为1：两边同除以_______________；
3）配方：方程_________都加上____________________；
4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；
5）判断右边代数式的符号，若p______0，可以利用_______________求解；
若p______0，原方程_____________实数根。【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 .
2.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)当p_____0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根_______________________；
2)当p_____0时，方程①有两个相等的实数根_______________；
3)当p_____0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2_____0，所以方程①______实数根。
思维导图
复习巩固
完全平方公式： =
(a+b) 2 ____________________
=
(a−b) 2 ____________________
【练习1】x2+6x+9 =__________________
【练习2】在下列等式内填上适当的数，使等式成立
1) x2 + 2x+ = (x+ )2; 2) x2 + 12x+ = (x+ )2;
3) x2﹣4x+ = (x﹣ )2; 4)x2﹣6x+ = (x﹣ )2;
7
5)x2 +3x+ = (x+ )2; 6)x2﹣ x+ = (x﹣ )2.
2
新知探究
【问题】已知长方形面积为12 平方米，长比宽多4米，求长方形的宽？【问题2】尝试求方程x2+6x+4=0的解？
【问题3】简述通过配方法解一元二次方程的步骤？
典例分析
例1 解下列一元二次方程:
1）x2﹣8x+1=0 2） 3x2﹣6x+4=0 3）2x2﹣5x+2=0
【针对训练】
1.用配方法解方程2x2−x−1=0，变形结果正确的是（ ）
1 3 1 3
A．(x− ) 2= B．(x− ) 2=
2 4 4 4
1 17 1 9
C．(x− ) 2= D．(x− ) 2=
4 16 4 16
2. 用配方法将方程 变形为 ，则m的值是( )
x2−4x−2=0 (x−2) 2=m
A．4 B．5 C．6 D．7
【针对训练】
1．若函数y＝(m－3) 是二次函数，则m＝______.
xm2＋2m－13
2. 已知等腰三角形的一边长为6，另一边长为方程x2﹣6x+9＝0的根，则该等腰三角形的周长为 _____．
3．已知方程 可以配方成 ，则 （ ）
x2+4x+n=0 (x+m) 2=3 (m−n) 2015=
A．1 B．－1 C．0 D．4
4．用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A． b 2 b2−4ac B． b 2 4ac−b2
(x+ ) = (x+ ) =
2a 4a2 2a 4a2C． b 2 b2−4ac D． b 2 4ac−b2
(x− ) = (x− ) =
2a 4a2 2a 4a2
直击中考
1．（2022年山东省东营市中考数学真题）一元二次方程x2+4x−8=0的解是（ ）
A． B．
x =2+2❑√3,x =2−2❑√3 x =2+2❑√2,x =2−2❑√2
1 2 1 2
C． D．
x =−2+2❑√2,x =−2−2❑√2 x =−2+2❑√3,x =−2−2❑√3
1 2 1 2
2．（2022 年山东省聊城市中考数学真题）用配方法解一元二次方程3x2+6x−1=0时，将它化为
的形式，则 的值为（ ）
(x+a) 2=b a+b
10 7 4
A． B． C．2 D．
3 3 3
3．（湖北省荆州市2021年中考数学真题）已知：a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，请用配
方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0．
归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述配方法解一元二次方程的基本步骤吗？
2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
课外思考
根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
1 2（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【参考答案】
核心知识
1.配方法解一元二次方程的步骤
1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；
5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解；
若p<0，原方程无实数根。
【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 .
2. 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x＋n)2＝p ①
的形式，那么就有：
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根x＝-n-❑√p，x＝-n+ ❑√p；
1 2
2)当p＝0时，方程①有两个相等的实数根x＝x＝-n；
1 2
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(x＋n)2≥0，所以方程①无实数根。
复习巩固
答案：a2+2ab+b2；a2- 2ab+b2
【练习1】
(x+3) 2
3 3 7 7
【练习2】1）12、1 2）62、6 3）22、2 4）32、3 5）( )2、 6）( )2、
2 2 4 4
新知探究
【问题】设长方形的宽为x 米，则长为（x+4）米
x（x+4）=12 ① 整理，得x2+4x=12
4
两边加4，即( )2使左边配成x2 +2bx+b2的形式 x2+4x+4 =12+4
2使等式左边可以写出完全平方的形式 =16
(x+2) 2
降次x+2=4 x+2=−4
解一元一次方程x =2 x =-6
1 2
因为宽不能是负值，所以长方形的宽为2 m
【问题2】x2+6x+4=0
移项得x2+6x=﹣4
6
两边加9，即( )2使左边配成x2 +2bx+b2的形式 x2+6x+9 =﹣4+9
2
使等式左边可以写出完全平方的形式 =5
(x+3) 2
降次x+3=❑√5，x+3=❑√5
解一元一次方程 =- =-
x 3+❑√5，x 3−❑√5
1 1
【问题3】
1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4）将原方程变成(x＋n)2＝p的形式；
5）判断右边代数式的符号，若p≥0，可以利用直接开方法求解；
若p<0，原方程无实数根。
【注意】配方的关键：利用已知两项a2±2ab来确定第三项，只要二次项系数为1，则第三项一定是b2 .
典例分析
1
答案：1）x=4+ ❑√15 ，x=4- ❑√15 2）原方程无实数根 3）∴ x= ，x=2
1 2 1 2
2
【针对训练】答案：1.D 2.C
【针对训练】
[解析1]∵函数y=（m－3） 是二次函数，∴m2+2m-13=2且m-3≠0 解得：m=-5.
xm2＋2m－13
[解析2]解：x2﹣6x+9＝0，解得x＝x＝3，因为3+3＝6，不能构成三角形，
1 2
所以等腰三角形的腰为6，底边长为3，所以三角形的周长＝6+6+3＝15．故答案为：15．
[解析3]由（x+m）2＝3，得：x2+2mx+m2﹣3＝0，∴2m＝4，m2﹣3＝n，∴m＝2，n＝1，
∴（m﹣n）2015＝1，故选：A．[解析4]∵ax2+bx+c=0，∴ax2+bx=−c，∴x2+bx=−c，∴x2+bx+ b2 =−c+ b2 ，∴(x+ b )2=b2−4ac.故
a a a 4a2 a 4a2 2a 4a2
选A.
直击中考
1. D
1
2. ∵3x2+6x−1=0，∴3x2+6x=1，x2+2x= ，
3
1 4 4 7
则x2+2x+1= +1，即(x+1) 2= ，∴a=1，b= ，∴a+b= ．故选：B．
3 3 3 3
3.解：∵5(a-2)+8<6(a-1)+7；∴5a−10+8<6a−6+7；
∴−a<3；∴a＞-3 ∵a是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整数解，∴a=-2；
∴关于 的方程 ；∴ ；∴ ；
x x2-4x−1=0 x2-4x+4=5 (x-2) 2=5
∴ ；∴ ， ．
x-2=±❑√5 x =2+❑√5 x =2-❑√5
1 2
课外思考
[详解] （1）① x ＝1，x ＝1 ；② x ＝1，x ＝2 ；③ x ＝1，x =3 ．
1 2 1 2 1 2
（2）① ；② ．
x ＝1，x ＝8 x2－(1＋n)x＋n＝0
1 2
（3）x2－9x＋8＝0
移项得 x2－9x＝－8
81 81
配方得x2－9x＋ ＝－8＋
4 4
9 49
整理得(x－ )2＝
2 4
9 7
由此可得x－ ＝± ．
2 2
∴x ＝1，x ＝8．
1 2
