文档内容
21.2.1 解一元二次方程（直接开平方法）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.2.1 配方法第1课时，内容包括：利用直接开平方法解一元二次方程。
2.内容解析
教材通过引入实际问题，利用方程的思想建立数学模型，结合我们已学平方根的相关知识，介绍求解
形如x2＝p(p≥0方程的方法。再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。求解形如(mx＋
n)2＝p(p≥0)的方程的实质是将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元
一次方程来求一元二次方程的解。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：利用直接开平方法解一元二次方程。
二、目标和目标解析
1.目标
通过平方根的意义，解形如x2＝p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)
的方程，提高学生转化的能力，从而完成新知识的学习。
2.目标解析
本节课我们用到之前所学平方根的知识，通过平方根的意义，尝试求解形如 x2＝p(p≥0)的方程。在
此基础上，我们想要求解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，就需要借助数学转化的思想，将未知内容转化为
已知知识，加以解决。利用转化的思想，在解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)方程的过程中，我们可以令
mx+n=t，将方程转化为t2＝p(p≥0)，则t=±❑√p，所以mx＋n=±❑√p，即解(mx＋n)2＝p(p≥0)方程的实质
是将一元二次方程转化为两个一元一次方程，并求解的过程。通过本节课的学习，锻炼学生将未知问题转
化为已经掌握的知识、方法来解决的能力，理解数学转化思想。
达成目标的标志是：熟练运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程。
三、教学问题诊断分析
对于直接开平方法解一元二次方程的探索，教材中通过具体问题，利用方程的思想建立数学模型，再
经历观察、探索、归纳小结等过程，结合平方根的意义，得到求解形如 x2＝p(p≥0)方程的方法。再通过
转化的思想，将解形如(mx＋n)2＝p (p≥0)方程转化为解两个一元一次方程的过程。解形如(mx＋n)2＝p
(p≥0)方程如何“降次”，成了求解此类方程的关键，首先需要判断p的取值范围。
一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②，❑√p−n −❑√p−n
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个不相等的实数根x＝ , x ＝ ；
1 2
m m
n
2)当p＝0时方程②有两个相等实数根x＝x＝− ；
1 2
m
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ≥0，所以方程② ≥实数根。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：如何通过“降次”的方法求解形如(mx＋n)2＝p (p≥0)方
程。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.任何数都有平方根吗？
答案：平方根；±❑√a；负数没有平方根
【提问】求下列各数的平方根
4 1
1） 1692） 3）0.36 4） 2
25 4
答案： (1)因为(±13)2=169，所以169的平方根是±13．
2 4 4 2
(2)因为(± )2= ，所以 的平方根是± ．
5 25 25 5
(3)因为(±0.6)2 = 0.36，所以0.36的平方根是±0.6．
3 1 1 3
(4)因为(± )2 =2 ，所以2 的平方根是± ．
2 4 4 2
师生活动：师生共同回顾平方根的相关知识，从而引出本节课所学内容。
【设计意图】先回顾平方根的知识，为本节课的学习利用直接开平方的方法解一元二次方程做好铺垫。
通过问题引入课题，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情。
（二）新知探究
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表
面，你能算出盒子的棱长吗?
师生活动：学生思考，独立完成，教师板演。针对求得的结果，教师需提示学生：用方程解决实际问
题时，要考虑所求得结果在实际问题是否有意义。
【设计意图】利用现实生活中实例，让学生通过观察思考，感受列方程并求解的过程，体会生活中处
处有数学，引起学生的探究欲望和学习兴趣，从而引出本节课所学内容。
（三）新知讲解一般地，对于方程x2＝p ①，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________；
2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。
答案：1）不相等、x ＝-❑√p , x ＝ ❑√p；2）相等、x ＝x ＝0；3）≥、无
1 2 1 2
师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善，最后给出具体答案。
【设计意图】让学生经历观察、发现、归纳等过程，结合平方根的意义，理解如何通过直接开平方法
解一元二次方程，培养学生通过观察，归纳总结的能力。
（四）典例分析
例1 方程9x2=16的解是（ ）
4 3 4 3
A． B． C．± D．±
3 4 3 4
答案：C
师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。
【针对训练】
1．方程ax2=c有实数根的条件是（ ）
c
A．a≠0 B．ac≠O C．ac≥O D． ≥O
a
2．方程x2﹣4＝0的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2，x＝﹣2 D．x＝4
1 2
3．方程3x2+9=0的根为（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
答案：
c
1.∵ax2=c，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0，∴ ≥0.故选D.
a
2. C
3.原方程可化为：x2=−3，∵负数没有平方根，∴原方程无实数根.故选D.
师生活动：学生思考，独立完成，教师借助多媒体展示具体求解过程。
【设计意图】通过练习使学生掌握利用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)方程的方法。
（五）探究新知
【问题】尝试解(x＋3)2＝5
师：我们刚才尝试求解形如x2=p（p≥0）的式子，如何求解形如(x＋a)2＝p（p≥0）的式子。
师生活动：让学生积极回答问题，课堂上允许学生有不同的见解，调动学生学习数学的兴趣。由教师给出数学转化思想的内容：
转化思想内容：针对未知的、陌生的、复杂的问题，通过已知的、熟悉的知识将它转化为简单的问题，
并尝试解决它。
转化的目的：不断发现问题，分析问题和最终解决问题。学会数学转化，有利于实现学习迁移，从而
可以较快地提高学习质量和提升学习数学能力。
师：要想解决问题，可以先将形如(x＋a)2＝p（p≥0）的式子转化为形如x2=p（p≥0）的式子。
师生活动：先让学生以小组为单位积极讨论，再由学生代表给出答案，教师借助多媒体展示具体求解
过程。
求解过程：令x+3=a，则原式变形为： a2=5，整理，得a=±❑√5
即 = -3 方程 两个根为 = -3
x =❑√5-3，x −❑√5 (x+3) 2=5的 x =❑√5-3，x −❑√5
1 2 1 2
【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质是什么？
师生活动：让学生积极回答问题，课堂上允许学生有不同的见解，教师引导与纠正，最后得到答案：
将一个一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方程来求一元二次方
程的解。
【设计意图】通过将解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程转化为解形如x2＝p(p≥0)的方程，提高学生转
化的能力，从而完成新知识的学习。
（六）新知讲解
一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根______________________；
2)当p＝0时方程②有两个_______的实数根_______________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ____0，所以方程② _______实数根。
❑√p−n −❑√p−n n
答案：1）不相等、x ＝ , x ＝ ；2）相等、x ＝x ＝− ；3）≥、无
1 m 2 m 1 2 m
师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善，最后给出具体答案。
【设计意图】让学生经历观察、发现、归纳等过程，结合平方根的意义，理解如何通过直接开平方法
解一元二次方程，培养学生通过观察，归纳总结的能力。
（七）典例分析
例2 一元二次方程(x-1)2=9的解为（ ）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．3或-3
答案：C
例3 若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（ ）A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或5
答案：B
师生活动：先由学生回答，最后给出具体答案。
【针对训练】
1. 一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另
(x+6) 2=16 x+6=4
一个一元一次方程是（ ）
A．x−6=−4 B． x-6=4 C． x+6=4 D． x+6=-4
答案：D
师生活动：先由学生回答，最后给出具体答案。
【当堂巩固】
用直接开平方法解下列方程：
1）2x2-50=0 2）4x2+12x+9=1
答案：1）x=5，x=-5 2）x=-1，x=-2
1 2 1 2
师生活动：学生进行交流讨论，尝试解决，请学生板演，然后师生共同纠错，同时引导学生每一步的
计算依据。
（八）能力提升
1．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）
1 1
① x2=1；②（x﹣2）2=5；③ （x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；
3 4
⑥y2﹣2y﹣3=0
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
1 ❑√2
A．x=± B．x＝±1 C．± . D．±❑√2
2 2
3. 若(a+b﹣1)(a+b+1)﹣4＝0，则a+b的值为( )
A．2 B．±2 C．❑√5 D．±❑√5
答案：1.D；2.C；3.D
【设计意图】通过练习，加深学生理解通过直接开平方解一元二次方程的方法，使学生牢固的掌握本
节课所学内容，为后续学习通过其它方法解一元二次方程打基础。
（九）直击中考
1．（2019·湖南怀化·统考中考真题）一元二次方程x2+2x+1=0的解是（ ）
A．x =1,x =−1 B．x =x =1
1 2 1 2C．x =x =−1 D．x =−1,x =2
1 2 1 2
答案：∵ ，∴ ，则 ，解得 ，故选C．
x2+2x+1=0 (x+1) 2=0 x+1=0 x =x =−1
1 2
2．（2020·江苏扬州·中考真题）方程 的根是_____．
(x+1) 2=9
答案：由原方程得x+1=±3．解得x =2,x =−4．
1 2
3．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有一个根为
(a−1)x2−2x+a2−1=0
x=0，则a=______．
答案：将x=0代入方程，得：a2−1=0，解得：a=±1，
又∵ 是一元二次方程，
(a−1)x2−2x+a2−1=0
∴a−1≠0，a≠1，∴a=−1；故答案为：-1．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
(2x+3) 2=(3x+2) 2
答案：∵ ∴ 或
(2x+3) 2=(3x+2) 2 2x+3=−3x−2 2x+3=3x+2
解得x =−1，x =1．
1 2
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.
（十）归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述如何通过直接开平方法解一元二次方程？
2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？
（十一）布置作业
P4：练习(4) (6)
P16：习题21.2： 第1题
五、教学反思
