文档内容
21.2.1 解一元二次方程（直接开平方法）导学案
学习目标
通过平方根的意义，解形如x2＝p(p≥0)的方程，再通过数学转化的思想，解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)
的方程，提高学生转化的能力，从而完成新知识的学习。
重点难点突破
★知识点1： 一般地，对于方程x2＝p ①，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个不相等的实数根x ＝-❑√p , x ＝ ❑√p；
1 2
2)当p＝0时，方程①有两个相等的实数根x ＝x ＝0；
1 2
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程①无实数根。
★知识点2： 一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②，
❑√p-n -❑√p-n
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个不相等的实数根x ＝ , x ＝ ；
1 2
m m
n
2)当p＝0时方程②有两个相等的实数根x ＝x ＝- ；
1 2
m
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ≥0，所以方程②无实数根。
核心知识
一般地，对于方程x2＝p ①，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程①有两个____________的实数根______________________；
2)当p＝0时，方程①有两个______的实数根_____________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2____0，所以方程① _______实数根。
一般地，对于方程(mx＋n)2＝p ②，
1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程②有两个________的实数根______________________；
2)当p＝0时方程②有两个_______的实数根_______________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ____0，所以方程② _______实数根。
思维导图复习巩固
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.任何数都有平方根吗？
【提问】求下列各数的平方根
4 1
1） 1692） 3）0.36 4） 2
25 4
新知探究
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表
面，你能算出盒子的棱长吗?
尝试归纳求解形如x2＝p(p≥0)方程的方法？
典例分析
例1 方程9x2=16的解是（ ）
4 3 4 3
A． B． C．± D．±
3 4 3 4
【针对训练】
1．方程ax2=c有实数根的条件是（ ）
c
A．a≠0 B．ac≠O C．ac≥O D． ≥O
a2．方程x2﹣4＝0的根是（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2，x＝﹣2 D．x＝4
1 2
3．方程3x2+9=0的根为（ ）
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
探究新知
【问题】尝试解(x＋3)2＝5
【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质是什么？
尝试归纳求解形如(mx＋n)2＝p (p≥0)方程的方法？
典例分析
例2 一元二次方程(x-1)2=9的解为（ ）
A．4 B．-2 C．4或-2 D．3或-3
例3 若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（ ）
A．±4 B．3或﹣5 C．﹣3或5 D．3或5
【针对训练】
1. 一元二次方程 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 ，则另一个
(x+6) 2=16 x+6=4
一元一次方程是（ ）
A．x-6=-4 B． x-6=4 C． x+6=4 D． x+6=-4
【当堂巩固】
用直接开平方法解下列方程：
1）2x2-50=0 2）4x2+12x+9=1能力提升
1．下列方程中，适合用直接开方法解的个数有（ ）
1 1
① x2=1；②（x﹣2）2=5；③ （x+3）2=3；④x2=x+3；⑤3x2﹣3=x2+1；
3 4
⑥y2﹣2y﹣3=0
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
1 ❑√2
A．x=± B．x＝±1 C．± . D．±❑√2
2 2
3. 若(a+b﹣1)(a+b+1)﹣4＝0，则a+b的值为( )
A．2 B．±2 C．❑√5 D．±❑√5
直击中考
1．（2019·湖南怀化·统考中考真题）一元二次方程x2+2x+1=0的解是（ ）
A．x =1,x =-1 B．x =x =1
1 2 1 2
C．x =x =-1 D．x =-1,x =2
1 2 1 2
2．（2020·江苏扬州·中考真题）方程 的根是_____．
(x+1) 2=9
3．（2020·山东枣庄·中考真题）已知关于x的一元二次方程 有一个根为 ，
(a-1)x2-2x+a2-1=0 x=0
则a=______．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）解方程：
(2x+3) 2=(3x+2) 2
归纳小结
1. 本节课学习，你有哪些收获？请你用自己的语言描述如何通过直接开平方法解一元二次方程？
2. 通过本节课的学习，你领悟到哪些数学思想方法？【参考答案】
核心知识
答案1：1）不相等、x ＝-❑√p , x ＝ ❑√p；2）相等、x ＝x ＝0；3）≥、无
1 2 1 2
❑√p-n -❑√p-n n
答案2：1）不相等、x ＝ , x ＝ ；2）相等、x ＝x ＝- ；3）≥、无
1 m 2 m 1 2 m
复习巩固
答案：1.平方根；2.±❑√a；3.负数没有平方根
(1)因为(±13)2=169，所以169的平方根是±13．
2 4 4 2
(2)因为(± )2= ，所以 的平方根是± ．
5 25 25 5
(3)因为(±0.6)2 = 0.36，所以0.36的平方根是±0.6．
3 1 1 3
(4)因为(± )2 =2 ，所以2 的平方根是± ．
2 4 4 2
新知探究
设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为 6x2 dm2，
10×6x2=1500 ①，整理，得x2=25
根据平方根的意义，得x=±5,即x1=5, x2=﹣5
可以验证，x1=5和x2=﹣5是方程①的两个根
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm
典例分析
答案：C
【针对训练】
答案：
c
1.∵ax2=c，若方程有解，∴a≠0，并且ac≥0，∴ ≥0.故选D.
a
2. C
3.原方程可化为：x2=-3，∵负数没有平方根，∴原方程无实数根.故选D.
探究新知【问题】尝试解(x＋3)2＝5
令x+3=a，则原式变形为： a2=5，整理，得a=±❑√5
即 = -3 方程 两个根为 = -3
x =❑√5-3，x -❑√5 (x+3) 2=5的 x =❑√5-3，x -❑√5
1 2 1 2
【提问】你觉得解方程(x＋3)2＝5的实质是什么？
将一个一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，这样我们就可以通过解一元一次方程来求一元二次方
程的解。
典例分析
答案：C；B
【针对训练】
答案：D
【当堂巩固】
答案：1）x=5，x=-5 2）x=-1，x=-2
1 2 1 2
能力提升
答案：1.D；2.C；3.D
直击中考
1.∵ ，∴ ，则 ，解得 ，故选C．
x2+2x+1=0 (x+1) 2=0 x+1=0 x =x =-1
1 2
2. 由原方程得x+1=±3．解得x =2,x =-4．
1 2
3. 将x=0代入方程，得：a2-1=0，解得：a=±1，
又∵ 是一元二次方程，
(a-1)x2-2x+a2-1=0
∴a-1≠0，a≠1，∴a=-1；故答案为：-1．
4. ∵ ∴ 或
(2x+3) 2=(3x+2) 2 2x+3=-3x-2 2x+3=3x+2
解得x =-1，x =1．
1 2
