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第二十一章 一元二次方程（复习讲义）
1．了解一元二次方程的概念和意义，体会其在数学中的整体联系。
①了解一元二次方程的定义及其一般形式。
②理解一元二次方程的解（根）的意义，知道一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解。
③体会一元二次方程的概念、解法和应用之间的整体联系。
2．能用多种方法解一元二次方程。
①掌握直接开平方法解一元二次方程。
②熟练运用配方法解一元二次方程。
③理解并应用公式法解一元二次方程。
④学会因式分解法解一元二次方程。
3．理解并利用一元二次方程解决实际问题。
①掌握列一元二次方程解决实际问题的一般步骤。
②能够识别并解决一元二次方程应用题中常见的问题。
③通过实际问题的解决，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。
通过以上目标的复习，学生能够全面掌握一元二次方程的相关知识，提升解题能力和应用能力。
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的
最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形
式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任
意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
二、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x，x 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）
1 2
的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax2+bx+c=0（a≠0），ax2+bx+c=0（a≠0）．
1 1 2 2
三、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=± ；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2、解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
3、解一元二次方程-公式法
−b± √b2 −4ac
x=
2a
（1）把 （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4、解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得
到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
四、一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次
增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，
列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
题型一 判断是否是一元二次方程
【例1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．其中一定是一元
二次方程的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若 是一元二次方程，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型二 一元二次方程的一般形式
【例2】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、
常数项分别是（ ）
A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5
【变式2-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）将一元二次方程 化为一般形式后，其二次项系
数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．1，2，6 B．1， ，6 C．1， ， D．1，2，【变式2-2】（24-25八年级下·江西宜春·期中）把一元二次方程 化成一般式，则 ， ， 的
值分别是 )
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【变式2-3】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）将方程 化成一元二次方程的一般形式后，
它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A． B． C． D．
题型三 解一元二次方程
【例3】用适当的方法解下列方程：
(1) ．
(2) ．
【变式3-1】（24-25八年级下·山东淄博·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）选择适当的方法解方程：
(1)
(2)
【变式3-3】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）用合适的方法解方程：
(1) ；
(2) ．
【变式3-4】（23-24九年级上·广东江门·期中）用适当的方法解下列一元二次方程：
(1) ；(2) ；
(3)
题型四 解一元二次方程错解复原问
题
【例4】（24-25九年级上·河北保定·期末）习题课上，数学老师展示了解方程 时的两种
错误解答过程：
甲：原方程可变形为：
乙：原方程可变形为：
第一步
第一步
第二步
第二步
第三步
则 或 第三步
第四步
∴ ，
则 第五步
第四步
∴ ， 第六步
(1)分别写出甲，乙的解答过程中是从第几步开始出现错误的；
(2)请写出正确的解答过程．
【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小明在学习一元二次方程解法时，解方程 的
过程如下：
解：
…第一步
…第二步
…第三步
． …第四步
∴原方程没有实数根．
根据小明的解题过程，解答下列问题：(1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误．
(2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法），
【变式4-2】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）阅读下列关于解方程： 的解题过程，解决
下列问题．
解：移项得， ①
两边同除以2得， ②
配方得， ③
即，
或 ④
， ⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；
(2)请你写出正确的解答过程．
【变式4-3】（24-25九年级上·广东清远·期末）下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅
读并完成相应的任务．
解： ．
移项，得 ．…………………………………………第一步
配方，得 ，即 ………………第二步
由此，可得 ．…………………………………………第三步
……………………………………第四步
请完成下列任务：
(1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是
_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
(2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程．
题型五 根据判别式判断一元二次方程根的情况【例5】（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程 的根的情况，下列结论正确的是
（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【变式5-1】（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【变式5-2】（24-25八年级下·上海金山·期末）若 ，关于 的一元二次方程 的根的情况
是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【变式5-3】（24-25九年级下·河南周口·期中）定义运算： ．例如：
．方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【变式5-4】（2025·上海·中考真题）已知关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范
围是 ．
【变式5-5】若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
【变式5-6】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取
值范围是 ．
题型六 一元二次方程根与系数的关系
【例6】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ， 是方程 的两个实数根，则．
【变式6-1】一元二次方程 两个实数根为 ，则 ＝ ．
【变式6-2】设 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【变式6-3】已知关于 的一元二次方程 ，两实数根为 和 ，则代数式
．
题型七 用一元二次方程解决实际问题
【例7】一人一盔，安全守规，为保证市民安全出行，某商店以每顶50元的价格购进一批头盔，售价为每
顶80元时，每月可售出200顶，在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价
10元，每月可多售出200顶．
(1)头盔每降价1元，每月可多售出 顶；
(2)若该商店每月获得的利润为8000元，求每顶头盔的售价是多少元？
【变式7-1】（24-25八年级下·广西百色·期中）活动背景：制作无盖方形纸盒．
现有相同的长方形硬纸板2张（如图①），已知纸板的长与宽之比是 ．小成将纸板的四个角各剪裁去
一个相同大小的小正方形（如图②），围城一个无盖的方形纸盒（如图③）．
任务1：小成将其中一张硬纸板围成一个高是 、容积 的方形纸盒．求原硬纸板的长和宽分
别是多少？
任务2：在任务1的结论下，小成用另外一张纸板进行同样方法操作．他能否做成一个底面面积是
的方形纸盒．若可以，请求出剪裁的小正方形的边长．若不可以，请说明理由．
【变式7-2】在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统
文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随
如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况．(1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是
7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能
销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定
降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？
【变式7-3】（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形 中，
， 点P从点A出发，以 的速度向点D运动；点Q
从点C同时出发，以 的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运
动，设运动时间为 秒.
(1)当 时， 平分四边形 的面积.
(2)当 与四边形 的某一边平行时，求 的值.
(3)连接 ，是否存在 为等腰三角形？若存在请求出 值，若不存在，说明理由.
【变式7-4】（24-25八年级下·广西梧州·期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为
元，当售价为 元时，平均每天能售出 双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量
（双）与降低价格 （元）之间存在如图所示的函数关系．(1)求出 与 的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到 元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元?
(3)在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 的前提下，公司每天能否获得 元的利润?若能，求出
定价：若不能，请说明理由．
基础巩固通关测
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
n
A． B． C． D．
2．将一元二次方程 化成一般形式后，常数项是 ，则二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3， B．3，1 C．3， D．3，0
3．用配方法解方程 时，配方后正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． B． C． D．
5．矩形的周长为 ，其中一边长为 ，面积为 ，则列出关于 的方程为（ ）
A． B． C． D．二、填空题
6．若关于x的一元二次方程 有一个根为 ，则 ．
7．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值
是 ．
8．原来商场将进价为每件80元的某商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经调查发现，每件
该商品降价1元，销量可增加10件，商场想获利2250元．设将该商品每件降价x元，根据题意，可列方
程为 ．
9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个根，则
．
10．（24-25九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶ ．判定关于
x的方程 的根的情况： ．
三、解答题
11．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程：
(1) ；
(2)
12．解下列方程：
(1) ．
(2) （用配方法）．
(3) （用公式法）．
13．阅读下列关于解方程： 的解题过程，解决下列问题．
解：移项得， ①
两边同除以2得， ②
配方得， ③即，
或 ④
， ⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；
(2)请你写出正确的解答过程．
14．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃 ，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为 ），
另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留 宽的门（门不用木栏）．
已知建成后所用木栏总长为 ，当 的长是多少时，矩形苗圃 的面积最大？最大面积是多少？
15．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于 的一元二次方程
(1)求证：无论 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求 的值．
16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售 个，7
月份销售 个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但
如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若
增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？
能力提升进阶练
一、单选题
1．若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则方程的两个根为（ ）
A． B． C． D．2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知 是方程 的两个实数根，则 的值是
（ ）
A．2029 B．2028 C．2027 D．2026
3．若m为实数， ，则P，Q的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若关于 的一元二次方程方程 有实数根，则 的
取值范围是（ ）
A． 且 B． ，且
C． D．
二、填空题
5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）关于 的方程 是一元二次方程，则 的
值为 ．
6．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知 、 是方程 的两个实数根，则
．
7．如图，某小区规划在一个长14米，宽11米的矩形场地 上，修建同样宽的小路，使其中两条与
平行，另一条与 平行，其余部分种草，若平均每块草坪面积为20平方米，则小路的宽度为
．
8．定义 ，则方程 的解为 ．
三、解答题
9．用合适的方法解下列方程：
(1)(2)
(3)
(4)
10．（24-25八年级下·广东湛江·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有一根为 ，求 的值及另一根的值；
(2)若方程有两个不等实根，求实数 的取值范围；
11．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于 的一元二次方程 ．
(1)证明：不论 为何值，方程总有两个不相等的实数根．
(2)在 中，斜边 ， 、 的长恰是方程 的两个根，求
的面积．
12．（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)当方程有两个实数根时，求 的取值范围．
(2)当方程的两个根 满足 时，求 的值．
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）某景区5月份的游客人数比4月份增加 ，6月份的游客人数比
5月份减少 ．
(1)设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表：
4
月份 5月 6月
月
游客人 ①___________ ②___________
a
数/万人 _ _
(2)求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率；
(3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过
市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快
销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
4
月份 5月 6月
月游客人数/万
a
人
14．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次
方程 （a≠0）的两个实数根为x，x，则 ，这就是一元二次方程根与
1 2
系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：∵一元二次方程 的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程 的两根为 ， ，则： ____， _____；
(2)一元二次方程 的两个根为 ， ，求 的值；
(3)若 ， 是关于x的方程 的两个实数根且 ，求m的值．
