文档内容
人教版七年级数学上册全册教案
第一章 有理数
1．1正数和负数
第一课时
三维目标
一．知识与技能
能判断一个数是正数还是负数，能用正数或负数表示生活中具有相反意义的量．
二．过程与方法
借助生活中的实例理解有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性
三．情感态度与价值观
培养学生积极思考，合作交流的意识和能力．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解负数的意义，掌握判断一个数是正数还是负数的方法．
2．难点：正确理解负数的概念．
3．关键：创设情境，充分利用学生身边熟悉的事物，加深对负数意义的理解
教学过程
四、课堂引入
我们知道，数是人们在实际生活和生活需要中产生，并不断扩充的．人们由记数、排序、
产生数1，2，3，…；为了表示“没有物体”、“空位”引进了数“0”，测量和分配有时不
能得到整数的结果，为此产生了分数和小数．
在生活、生产、科研中经常遇到数的表示与数的运算的问题，例如课本第2页至第3页
中提到的四个问题，这里出现的新数：-3，-2，-2.7%在前面的实际问题中它们分别表示：零
下3摄氏度，净输2球，减少2.7%．
五、讲授新课
（1）、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数）叫
做负数．而3，2，+2.7%在问题中分别表示零上3摄氏度，净胜2球，增长2.7%，它们与负数
具有相反的意义，我们把这样的数（即以前学过的0以外的数）叫做正数，有时在正数前面
1 1
也加上“＋”（正）号，例如，+3，+2，+0.5，+ ，…就是3，2，0.5， ，…一个数前面的
3 3
1“＋”、“－”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号．
(2)、中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．
(3)、数0既不是正数，也不是负数，但0是正数与负数的分界数．
(4) 、0可以表示没有，还可以表示一个确定的量，如今天气温是0℃，是指一个确定的温度
海拔0表示海平面的平均高度．
用正负数表示具有相反意义的量
（5）、 把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量．正数和负数在许多
方面被广泛地应用．在地形图上表示某地高度时，需要以海平面为基准，通常用正数表示高
于海平面的某地的海拔高度，负数表示低于海平面的某地的海拔高度．例如：珠穆朗玛峰的
海拔高度为8844m，吐鲁番盆地的海拔高度为-155m．记录账目时，通常用正数表示收入款额，
负数表示支出款额．
（6）、 请学生解释课本中图1．1-2，图1．1-3中的正数和负数的含义．
（7）、 你能再举一些用正负数表示数量的实际例子吗？
（8）、例如，通常用正数表示汽车向东行驶的路程，用负数表示汽车向西行驶的路程；用正
数表示水位升高的高度，用负数表示水位下降的高度；用正数表示买进东西的数量，用负数
表示卖出东西的数量．
六、巩固练习
课本第3页，练习1、2、3、4题．
七、课堂小结
为了表示现实生活中的具有相反意义的量，我们引进了负数．正数就是我们过去学过
的数（除0外），在正数前放上“－”号，就是负数，但不能说：“带正号的数是正数，带负
号的数是负数”，在一个数前面添上负号，它表示的是原数意义相反的数．如果原数是一个
负数，那么前面放上“－”号后所表示的数反而是正数了，另外应注意“0”既不是正数，
也不是负数．
八、作业布置
1．课本第5页习题1．1复习巩固第1、2、3题．
九、板书设计
1．1正数和负数
第一课时
1、像-3，-2，-2.7%这样的数（即在以前学过的0以外的数前面加上负号“－”的数）叫做负
2数．而3，2，+2.7%在问题中分别表示零上3摄氏度，净胜2球，增长2.7%，它们与负数具有
相反的意义，我们把这样的数（即以前学过的0以外的数）叫做正数，有时在正数前面也加
1 1
上“＋”（正）号，例如，+3，+2，+0.5，+ ，…就是3，2，0.5， ，…一个数前面的“＋”、
3 3
“－”号叫做它的符号，这种符号叫做性质符号．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.1正数和负数
第二课时
三维目标
一．知识与技能
进一步巩固正数、负数的概念；理解在同一个问题中，用正数与负数表示的量具有相同
的意义．
二．过程与方法
经历举一反三用正、负数表示身边具有相反意义的量，进而发现它们的共同特征．
三．情感态度与价值观
鼓励学生积极思考，激发学生学习的兴趣．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解正、负数的概念，能应用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．
2．难点：正数、负数概念的综合运用．
3．关键：通过对实例的进一步分析，使学生认识到正负数可以用来表示现实生活中具
有相反意义的量.
教学过程
四、复习提问课堂引入
1．什么叫正数？什么叫负数？举例说明，有没有既不是正数也不是负数的数？
2．如果用正数表示盈利5万元，那么-8千元表示什么？
五、新授
3例1．一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这
个月的体重增长值．
2．2001年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中
国增长7.5%．
写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率．
分析：在一个数前面添上负号，它表示的是与原数具有意义相反的数．“负”与
“正”是相对的，增长-1，就是减少1；增长-6.4%就是减少6.4%，那么什么情况下增长率是
0？当与上年持平，既不增又不减时增长率是0．
解：1．这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg．
2．六个国家2001年商品进出口总额的增长率分别为：
美国-6.4%，德国1.3%，法国-2.4%，英国-3.5%，意大利0.2%，中国7.5%．
归纳：在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义，如盈利-2千元，
就是亏本2千元；前进-3米，就是后退3米；浪费-14元，就是节约14元；向南走-7米，就
是向北走7米，因此盈利2千元与盈利-2千元具有相反的意义．
六、巩固练习
1．课本第5页的第8题．
点拨：增长-3.4%，就是减少3.4%，所以这一年里这六国中中国、意大利的服务出口额
增长了，美国、德国、英国、日本的服务出口额都减少了，意大利增长最多，日本减少最多．
2．补充练习．
若向西走10米，记作-10米，如果一个人从A地先走12米，再走-15米，你能判断此人
这时在何处吗？
解：向西走10米，记作-10米，那么这人走12米，则表示向东走12米，再走-15米，表
示向西走了15米，即这个人从A地先向东走12米，接着再向西走15米，此人这时应该在A
地的西方3米处．
七、课堂小结
通过本节课的学习，你对正数、负数的概念是否有了进一步理解？请你用正负数表示
身边具有相反数的量．
八、作业布置
1．课本第5页习题1．1第4、5、6、7题．
九、板书设计
4九、板书设计
1．1正数和负数
第二课时
1、复习巩固，例题讲解。
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1．2 有理数
第一课时
三维目标
一、 知识与能力
理解有理数的概念，懂得有理数的两种分类方法：会判别一个有理数是整数还是分数，
是正数、负数还是零．
二、过程与方法
经历对有理数进行分类的探索过程，初步感受分类讨论的思想．
三、情感态度与价值观
通过对有理数的学习，体会到数学与现实世界的紧密联系．
教学重难点及突破
在引入了负数后，本课对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念．
分类是数学中解决问题的常用手段，通过本节课的学习，使学生了解分类的思想并进行简
单的分类是数学能力的体现，教师在教学中应引起足够的重视．关于分类标准与分类结果
的关系，分类标准的确定可向学生作适当的渗透，集合的概念比较抽象，学生真正接受需要
很长的过程，本课不宜过多展开．
教学过程
四、课堂引入
1、我们把小学里学过的数归纳为整数与分数，引进了负数以后，我们学过的数有哪些？
将如何归类？
2．举例说明现实中具有相反意义的量．
53．如果由A地向南走3千米用3千米表示，那么-5千米表示什么意义？
4．举两个例子说明+5与-5的区别．
5．数0表示的意义是什么？
二、自主探究
在学生讨论的基础上，引导学生自己进行有理数的分类，我们学过的数就可以分为以
下几类：
正整数，如1，2，3，…；
零：0；
负整数，如-1，-2，-3，…；
1 22 1
正分数，如 ， ，4.5（即4 ）；
3 7 2
1 2 3 3
负分数，如- ，-2 ，-0.3（即- ），- ……
2 7 10 5
正整数、零和负整数统称整数，正分数、负分数统称分数，整数和分数统称有理数．
回答下列各题：
（1）0是不是整数？0是不是有理数？
（2）-5是不是整数？-5是不是有理数？
（3）-0.3是不是负分数？-0.3是不是有理数？
2．你能对以上各种数作出一张分类表吗（要求不重复不遗漏）？
让学生把自己作出的分类表进行分类，可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必
须对讨论对象不重不漏地分类．把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．所有
的有理数组成的数集叫做有理数集．类似的，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数
组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，如此等等．
五、题例精解
22 3
例 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：-18， ，3.1416，0，2001，- ，
7 5
0.142857，95%
6六、随堂练习
一、判断
1．自然数是整数． （ ） 2．有理数包括正数和负数．（ ）
3．有理数只有正数和负数．（ ） 4．零是自然数． （ ）
5．正整数包括零和自然数．（ ） 6．正整数是自然数． （ ）
7．任何分数都是有理数． （ ） 8．没有最大的有理数． （ ）
9．有最小的有理数． （ ）
七、课堂小结：（提问式）
1．有理数按正、负数，应怎样分类？
2．有理数按整数、分数，应怎样分类？
3．分类的原则是什么？
八、课后作业：
1．课本第14页习题1．2第1题．
九、板书设计：
1．2 有理数
第一课时
1、复习巩固，例题讲解。
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
71.2.2 数轴
第二课时
三维目标
一．知识与技能
（1）掌握数轴三要素，能正确地画出数轴．
（2）能准备地将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数．
二、过程与方法
经历从实际问题中抽象出数学问题的过程，初步学会数学的类比方法和数形结合的思
想方法．
三、情感态度与价值观
体会知识源于生活，并应用于生活．
教学重、难点与关键
1．重点：理解数形结合的数学方法，掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数．
2．难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系．
3．关键：掌握数形结合的数学方法.
教学过程
四、复习提问、新课引入
1．有理数包括哪些数？有理数是怎样分类的？
2．回顾小学数学是如何利用数轴表示正数和零的？
五、新授
引入负数后，又如何利用数轴表示有理数呢？让我们先看一个问题．
在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一
棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
1．画一条直线表示马路，从左到右表示从西到东的方向．
2．因为柳树、杨树都在汽车站的东面，即在汽车站的右边．槐树、电线杆在汽车站的西
面，即在汽车站的左边，它们都相对汽车站而言，所以在直线上任取一个点O表示汽车站的
位置，规定1个单位规定．（线段OA的长代表1m长）（如下图）
83．分别标出柳树、杨树、槐树、电线杆的位置．
在点O右边，与O距离3个单位长度的点B表示柳树的位置：点O右边，与O点距离
7.5个单位长度的点C表示杨树的位置；点O左边，与点O距离3个单位长度的点D表示槐
树位置；点O的左边，与点O距离4.8个单位长度的点E表示电线杆的位置．
问：怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系？（方向、距离）
为了使表达更清楚、更简洁，我们把点O左右两边的数分别用正数和正数表示．符号表
示方向，点O的左边表示负数，点O的右边表示正数．
这样就可以简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系了．
这里，-4.8中的负号“－”表示汽车站（点O）的左边，4.8表示与点O的距离为4.8
个单位长度．
说明：以上分析，教师应边讲边画，分步进行．
观察后回答：（课本第11页）温度计可以看作表示正数、0和负数的直线吗？它和课本
图1．2-1有什么共同点，有什么不同点？
答：可以，课本图1．2-2也是把正数、o和负数用一条直线上的点表示出来，它是向上
方向为正（即0的上方表示正数，0的下方表示负数），只要把温度计水平放下就与课本图
1．2-1相同了．
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，
这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，记为0；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依
次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…．
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．
单位长度的大小可以根据不同的需要选择．
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如3.5，数轴上从原点向右3.5个单位长
1 1 1
度的点表示3.5，又如要表示-2 ，从原点向左2 个单位长度的点就表示-2 ，如下图．
3 3 3
归纳：先由学生填空，然后教师加以讲评．
9六、巩固练习
1．请同学们在练习本上画一条数轴．
2．下面的各图是不是数轴？为什么？
3．在数轴上画出表示下列各数的点．
1 1
（1）4，-2，-4，1 ，0，-2
3 3
（2）-100，100，-250，-400，0，2.5
4．指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数？
5．在数轴上与表示-1的点的距离为2个单位长度的点有几个？请你在数轴上把它们
画出来，它们分别表示什么数？
学生独立完成后，老师讲解，给出正确的答案．
七、课堂小结
数轴是非常重点的数学工具，它的出现对数学的发展起了重要作用，它揭示了数和形
之间的内在联系，很多数学问题都可以以它为基础，借助图直观地表示，为研究问题提供了
新方法．
八、作业布置
1．课本第10页练习1、2题，第14页习题1．2的第2题．
九、板书设计：
1.2.2 数轴
第二课时
1、像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素，缺一不可．
单位长度的大小可以根据不同的需要选择．
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，例如3.5，数轴上从原点向右3.5个单位长
1 1 1
度的点表示3.5，又如要表示-2 ，从原点向左2 个单位长度的点就表示-2 ，如下图．
3 3 3
102、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.3 相反数
第三课时
三维目标
一．知识与技能
（1）借助数轴了解相反数的概念，知道两个互为相反数的位置关系．
（2）给出一个数，能求出它的相反数．
二、过程与方法
借助数轴，通过观察特例，总结出相反数的概念．从数和形两个侧面理解相反数．
三、情感态度与价值观
鼓励学生积极进行归纳、比较交流等活动．
教学 重、难点与关键
1．重点：理解相反数的意义，会求一个数的相反数．
2．难点：理解和掌握双重符合的简化．
3．关键：通过观察特例，以及互为相反数的两个数在数轴上的位置，理解相反数．
教学过程
四、复习提问课堂引入
1 1 1 1
在数轴上，画出表示6，-6，2 ，-2 ，4 ，-4 各数的点．
2 2 3 3
五、新授
请同学们观察后回答：
1 1 1 1
1．上述中6和-6；2 和-2 ，4 和-4 每对数有什么特点？
2 2 3 3
2．每对数在数轴上所表示的点有什么特点？
3．再观察课本第8页的图1．2-1中点D和点B，它们的位置关系如何？它们各表示的
数有什么特点？
概括：
11（1）每一对数，只有符号不同．
（2）在数轴上表示每一对数的两个点分别在原点的两边，并且离开原点的距离相等．
（3）点D和点B分别位于原点的两边，且与原点的距离相等，它们分别表示-3和3．
思考：数轴上与原点的距离是2的点有几个？这些点表示的数是什么？与原点的距
离是5的点呢？
归纳：
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，
表示-a和a，那么称这两个点关于原点对称，如下图：
-a -2 0 2 a
1 1
像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如6和-6，2 和-2 ，都是互为相
2 2
1 1
反数，也就是说6的相反数是-6，-2 的相反数是2 ．
2 2
一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数仍是0．
问：数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？
答：数轴上表示相反数的两个点是关于原点对称，是在原点的两旁（除0外），并且与
原点的距离相等．
注意相反数与倒数的区别，若两个数只有符号不同，那么这两个数叫做互为相反数；若
两个数的乘积等于1，则这两个数叫互为倒数．任何有理数都有相反数，零的相反数是零，
而零没有倒数．
例1：分别写出下列各数的相反数．
1
5，-7，-3 ，+11.2，0．
2
解：5的相反数是-5；-7的相反数是7；-3的相反数是3；+11.2的相反数是-11.2；0的
相反数是0．
强调书写格式，防止出现如“5=-5”的错误．
容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数．在任意一个数的前面
添上“－”号，新的数就表示原数的相反数．
1 1
例如：-（+5）=-5，-（-7）=7，-（-3 ）=3 ，-（+11.2）=-11.2，-0=0．
2 2
我们知道一个正数，前面的“＋”号可以写也可以不写，所以在一个数的前面添上
12“＋”号，表示这个数没有变化，还是它本身．
例如：+（-4）=-4，+（+12）=12，+0=0
六、课堂练习
1．写出下列各数的相反数．
1 4
+2 ，-2.5，0，
3 3
2．化简下列各数．
2
-（-30），-（+3），-（-38.2），+（-5），+（+ ）．
7
3．指出下列各对数，哪些是相等的数？哪些是互为相反数？
1 1
+（-3）与-3，-（+3）与3，-（-7 ）与-7 ．
2 2
4．如果a=-a，那么表示a的点在数轴上的什么位置？
5．你会化简下列各数吗？试试看．（本题可根据学生实际情况选用）
-[+（-2）]，-[-（-6）]．
提示：
因为任意数a是-a的相反数，所以表示a的点在数轴上与表示-a的点关系原点对称，
这两个点分别在原点左、右两边且与原点距离相等．
七、课堂小结
本节课我们学习了相反数的概念、相反数的求法和双重符号的简化．理解相反数的意
义，相反数总是一正一反成对出现（零除外），从数轴上看，表示互为相反数的两个点，分别
在原点的两边，且到原点距离相等．要表示一个数的相反数，只要在这个数前面添“－”
号，-a表示a的相反数，当a是正数时，-a表示一个负数；当a是负数时，则-a表示正数．此
外我们还应该注意相反数和倒数的区别．
八、作业布置
1．课本第11页练习1、2、3题，第15页习题1．2第3题．
九、板书设计：
1.2.3 相反数
第三课时
1、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左
右，表示-a和a，那么称这两个点关于原点对称，如下图：
13-a -2 0 2 a
1 1
像这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数，例如6和-6，2 和-2 ，都是互为相
2 2
1 1
反数，也就是说6的相反数是-6，-2 的相反数是2 ．
2 2
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.4 绝对值
第四课时
三维目标
一、知识与技能
（1）借助数轴初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
（2）通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
二、过程与方法
通过观察实例及绝对值的几何意义，探索一个数的绝对值与这个数之间的关系，培养
学生语言描述能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极参与探索活动，体会数形结合的方法．
教学重、难点与关键
1．重点：正确理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值．
2．难点：正确理解绝对值的几何意义和代数意义．
3．关键：借助数轴理解绝对值的几何意义，根据绝对值定义和相反数的概念，理解绝
对值的代数意义．
14四、教学过程
一、复习提问，新课引入
1．什么叫互为相反数？
2．在数轴上表示互为相反数的两个点和原点的位置关系怎样？
五、新授
在一些量的计算中，有时并不注意其方向，例如，为了计算汽车行驶所耗的油量，起作
用的是汽车行驶的路程而不是行驶的方向．
1．观察课本第11页图1．2-5，回答：
（1）两辆汽车行驶的路线相同吗？
（2）它们行驶路程的远近相同吗？
这两辆车行驶的路线不同（方向相反），但行驶的路程的远近相同，都是10km．
课本图1．2-5中表示-10的点B和表示10的点A离开原点的距离都是10，我们就把
这个距离10叫做数-10、10的绝对值．
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作│a│．
这里的数a可以是正数、负数和0．
例如上述的10和-10的绝对值记作│10│=10，│-10│=10，同样在数轴上表示+6
和-6 的两个点，离开原点的距离都是 6，即 6 和-6 的绝对值都是 6，记作│6│=6，
│-6│=6．数轴上表示数0的点与原点的距离是0，所以│0│=0．
2．试一试：
1
（1）│+2│=______，│ │=_____，│+10.6│=________．
5
（2）│0│=_______．
1
（3）│-12│=_______，│-20.8│=_______，│-32 │=_______．
7
3．你能从上面解答中发现什么规律吗？
学生若有困难，教师可提示：所得的结果与绝对值符号内的数有什么关系？
从而得出绝对值的代数意义：
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）零的绝对值是零；
（3）一个负数的绝对值是它的相反数．
我们用a表示任意一个有理数，上述式子可以表示为：
①当a是正数时，│a│=_______；
15②当a是负数时，│a│=_______；
③当a=0时，│a│=_______．
以上先让学生填空，然后让学生给a取一些具体数值检验所填写的结果是否正确．
教师问：
（1）任何一个有理数都有绝对值吗？一个数的绝对值有几个？
（2）有没有一个数的绝对值等于-2？任何一个数的绝对值一定是怎样的数？
（3）绝对值等于2的数有几个？它们是什么？
归纳：
①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或0，不可能是负数，
即对任意有理数a，总有│a│≥0．
②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
③因为0的绝对值是0，而0的相反数是它本身0，因此可知绝对值等于它本身的数是
正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．
六、巩固练习
1．课本第12页练习1、2题．
第1题强调书写格式，防止出现“-8=8”的错误．
第2题（1）错，如3与-2的符号相反，但它们不是互为相反数，应改为“只有大小相等
符号相反的数是互为相反数”．（2）正确．（3）错，因为这个点也可能越靠左，应改为：“一
个数的绝对值越大，表示它的点离原点越远．”（4）正确．
七、课堂小结
理解绝对值的几何意义和代数意义．从几何意义可知，一个数的绝对值是表示该数的
点与原点的距离，因为距离总是正数和零，所以有理数的绝对值不可能是负数，从绝对值的
代数定义也可进一步理解这一点．
引入绝对值概念后，有理数可以理解为由性质符号和绝对值两部分组成的，如-5就是
由“－”号和它的绝对值5两部分组成．
八、作业布置
1．课本第15页习题1．2第4、7、10题．
九、板书设计：
1.2.4 绝对值
第四课时
①任何有理数都有唯一的绝对值，任意一个数的绝对值总是正数或0，不可能是负数，即对
16任意有理数a，总有│a│≥0．
②两个互为相反数的绝对值相等，即│a│=│-a│．
③因为0的绝对值是0，而0的相反数是它本身0，因此可知绝对值等于它本身的数是
正数或者零，绝对值等于它的相反数的数是负数或零．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.2.4 绝对值
第五课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数的大小比较的两种方法──利用数轴和绝对值．
二、过程与方法
经历利用绝对值以及利用数轴比较有理数的大小，进一步体会“数形结合”的数学方
法，培养学生分析、归纳的能力．
三、情感态度与价值观
会把所学知识运用于解决实际问题，体会数学知识的应用价值．
教学 重、难点与关键
1．重点：会利用绝对值比较有理数的大小．
2．难点：两个负数的大小比较．
3．关键：正确理解绝对值的概念．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
用“>”、“<”号填空．
2 3
1．5.7______6.3； 2． _____ ； 3．0.03_______0；
7 8
172 3
4．│-3│_______│2│； 5．│- │_______│- │．
3 2
五、新授
引入负数后，如何比较两个有理数的大小呢？让我们从熟悉的温度来比较，大家观察
课本第12页中“未来一周天气预报”．
1．课本图1．2-6中共有14个温度，其中最低的是多少？最高的是多少？
2．请你将这14个温度按从低到高的顺序排列．
课本图1．2-6中的14个温度按从低到高排列为：
-4℃，-3℃，-2℃，-1℃，0℃，1℃，2℃，3℃，4℃，5℃，6℃，7℃，8℃，9℃．
按照这个顺序排列的温度，在温度计上所对应的点是从下到上的，按照这个顺序把这
些数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从左到右的，如课本图1．2-7，这就是说在
数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数，
因此，我们可以利用数轴比较有理数的大小．
例如在数轴上表示-6的点在表示-5的点的左边，所以-6<-5．
1
同样-5<-4，-3 <-3，-2<0，-1<1，…
2
从数轴上可知：
表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．
因此有正数大小0，0大于负数，正数大于负数．
两个正数的大小比较小学已学过，不画数轴你会比较两个负数的大小吗？
探索：
我们知道，在数轴上越靠左边的点所表示的数越小，而这个点与原点的距离越大，即这
个点所表示的数的绝对值越大，因此，我们还可以利用绝对值比较两个负数的大小．
即两个负数，绝对值大的反而小．
例如：│-2│=2，│-5│=5，即│-2│<│-5│，因此-2>-5．
同样│-1│<│-3│，所以-1>-3．
例1：比较下列各对数的大小：
8 3 1
（1）-（-1）和-（+2）； （2）- 和- ； （3）-（-0.3）和│- │．
21 7 3
解：（1）先化简，-（-1）=1，-（+2）=-2，
正数大于负数，1>-2．
即 -（-1）>-（+2）．
（2）这是两个负数比较大小，要比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．
188 8 3 3 9
│- │= ，│- │= = ．
21 21 7 7 21
8 9 8 3
因为 < ，即│- │<│- │，
21 21 21 7
8 3
所以- >- ．
21 7
1 1
.
（3）先化简，-（-0.3）=0.3，│- │= = ，
0.3
3 3
1
0.3<0.3，即-（-0.3）<│- │．
3
初学时，要求学生按以上步骤进行，能化简的要先化简，然后按照有理数的大小比较
法则：异号两数比较大小，要考虑它们的正负，根据“正数大于负数”，同号两数比较大小
要考虑它们的绝对值，特别是两个负数大小比较，先各自求出它们的绝对值，然后依法则：
两个负数，绝对值大的反而小，比较绝对值大小后，即可得出结论．
例2：已知a>0，b<0且│b│>│a│，比较a，-a，b，-b的大小．
解：方法一，可通过数轴来比较大小，先在数轴上找出a，-a，b，-b的大致位置，再比较．
由 a>0，b<0 可知表示 a 的点在原点的右边，表示 b 的点在原点的左边；由
│b│>│a│，可知表示b的点离开原点的距离更远，即它应在表示a的点的左边，然后
再根据两个互为相反数在数轴上所表示的点在原点两边，且与原点距离相等即可得到下图
b -a 0 a -b
根据数轴上，较左边的点所表示的数较小，可得：
b<-a”或“<”号填空．
b a
-1 0 1
191 1
①a_____b； ②│a│_____│b│； ③-a_____-b； ④ _____ ．
a b
七、全课小结（提问式）
比较有理数的大小有哪几种方法？
有两种方法，方法一：利用数轴，把这些数用数轴上的点表示出来，然后根据“数轴上
较左边的点所表示的数比较右边的点所表示的数小”来比较．
方法二：利用比较法则：“正数大于零，负数小于零，两个负数比较绝对值大的反而
小”来进行．
在比较有理数的大小前，要先化简，从而知道哪些是正数，哪些是负数．
八、作业布置
1．课本第15页习题1．2第5、6、8题．
九、板书设计：
1.2.4 绝对值
第五课时
1、表示正数的点都在原点的右边；表示负数的点都在原点左边．
因此有正数大小0，0大于负数，正数大于负数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.1 有理数的加法（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数的加法运算．
二、过程与方法
引导学生观察符号及绝对值与两个加数的符号及其他绝对值的关系，培养学生的分类
归纳、概括能力．
三、情感态度与价值观
20培养学生主动探索的良好学习习惯．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数加法法则，会进行有理数的加法运算．
2．难点：异号两数相加的法则．
3．关键：培养学生主动探索的良好学习习惯．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．有理数的绝对值是怎样定义的？如何计算一个数的绝对值？
2．比较下列每对数的大小．
（1）-3和-2； （2）│-5│和│5│； （3）-2与│-1│；（4）-（-7）和-│-7│．
五、新授
在小学里，我们已学习了加、减、乘、除四则运算，当时学习的运算是在正有理数和零的
范围内．然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数范围，例如，足球循环赛中，可以
把进球数记为正数，失球数记为负数，它们的和叫做净胜球数．本章前言中，红队进4个球，
失2个球；蓝队进1个球，失1个球，那么哪个队的净胜球多呢？
要解决这个问题，先要分别求出它们的净胜球数．
红队的净胜球数为：4+（-2）；
蓝队的净胜球数为：1+（-1）．
这里用到正数与负数的加法．
怎样计算4+（-2）呢？
下面借助数轴来讨论有理数的加法．
看下面的问题：
一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负、向右为正．
（1）如果物体先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动后总的结果是什么？
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答．
这里两次都是向右运动，显然两次运动后物体从起点向右运动了8m，写成算式就是：
5+3=8 ①
这一运算在数轴上可表示，其中假设原点为运动的起点．（如下图）
（2）如果物体先向左运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后总的结果是什么？
显然，两次运动后物体从起点向左运动了8m，写成算式就是：
21（-5）+（-3）=-8 ②
这个运算在数轴上可表示为（如下图）：
（3）如果物体先向右运动5m，再向左运动3m，那么两次运动后物体与起点的位置关系
如何？
在数轴上我们可知物体两次运动后位于原点的右边，即从起点向右运动了2m．（如下
图）
写成算式就是：5+（-3）=2 ③
探究：
还有哪些可能情形？请同学们利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结果：
（4）先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向______运动了______m．
要求学生画出数轴，仿照（3）画出示意图．
写出算式是：3+（-5）=-2 ④
（5）先向右运动5m，再向左运动5m，物体从起点向_____运动了_____m．
先向右运动5m，再向左运动5m，物体回到原来位置，即物体从起点向左（或向右）运动
了0m，因为+0=-0，所以写成算式是：
5+（-5）=0 ⑤
（6）先向左运动5m，再向左运动5m，物体从起点向________运动了_______m．
同样，先向左边运动5m，再向右运动5m，可写成算式是：
（-5）+5=0 ⑥
如果物体第1秒向右（或左）运动5m，第2秒原地不动，两秒后物体从起点向右（或
左）运动了多少呢？请你用算式表示它．
可写成算式是：5+0=5或（-5）+0=-5 ⑦
从以上写出的①～⑦个式子中，你能总结出有理数加法的运算法则吗？
引导学生观察和的符号和绝对值，思考如何确定和的符号？如何计算和的绝对值？
22算式是小学已学过的两个正数相加．观察算式②，两个加数的符号相同，都是“－”号，
和的符号也是“－”号与加数符号相同；和的绝对值 8等于两个加数绝对值的和，即
│-5│+│-3│=│-8│．
由①②可归结为：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
例如（-4）+（-5）=-（4+5）=-9．
观察算式③、④是两个互为相反数相加，和为0．
由算式③～⑥可归结为：
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去
较小的绝对值，互为相反数相加得0．
由算式⑦知，一个数同0相加，仍得这个数．
综合上述，我们发现有理数的加法法则，让学生朗读课本第18页中“有理数的加法法
则”．
一个有理数由符号与绝对值两部分组成，进行加法运算时，必先确定和的符号，再确定
和的绝对值．
例1：计算．
1
（1）（-3）+（-5）； （2）（-4.7）+2.9； （3） +（-0.125）．
8
分析：本题是有理数加法，所以应遵循加法法则，按判断类型，确定符号、计算绝对值的
步骤进行计算．（1）是同号两数相加，按法则1，取原加数的符号“－”，并把绝对值相加．
（2）是绝对值不相等的异号两数相加．（3）是绝对值相等的两数相加，根据法则2进行计算．
解：（1）（-3）+（-5）=-（3+5）=-8；
（2）（-4.7）+2.9=-（4.7-2.9）=-1.8；
1 1 1
（3） +（-0.125）= +（- ）=0．
8 8 8
例2：足球循环赛中，红队胜黄队4：1，黄队胜蓝队1：0，蓝队胜红队1：0，计算各队的
净胜球数．
分析：净胜球数是进球数与失球数的和，我们可以分别用正数、负数表示进球数和失球
数．红队胜黄队4：1表示红队进4球，失1球，黄队进1球失4球．
解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数．
三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为：
（+4）+（-2）=+（4-2）=2；
23黄队共进2球，失4球，净胜球数为：新 课 标 第 一 网
（+2）+（-4）=-（4-2）=-2；
蓝队共进1球，失1球，净胜球数为：
（+1）+（-1）=0．
以上讲解有理数加法时，严格按照：先判断类型，然后确定和的符号，最后计算和的绝
对值，这三步骤进行．
六、巩固练习
课本第18页练习1、2题．
七、课堂小结
有理数的加法法则指出进行有理数加法运算，首先应该先判断类型，然后确定和的符
号，最后计算和的绝对值．类型为异号两数相加，和的符号依法则取绝对值较大的加数的符
号，并把绝对值相减，因为正负互相抵消了一部分．有理数加法还打破了算术数加法中和一
定大于加数的常规．
八、作业布置
1．课本第24页习题1．3第1题．
九、板书设计：
1.3.1 有理数的加法（1）
第一课时
1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较
小的绝对值，互为相反数相加得0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.1 有理数的加法（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能运用加法运算律简化加法运算．
24（2）理解加法运算律在加法运算中的作用，培养学生的观察能力和思维能力．
二、过程与方法
经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力．
三、情感态度与价值观
体会有理数加法运算律的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：有理数加法运算律．
2．难点：灵活运用加法运算律．
3．关键：正确理解加法运算律在加法运算中的作用.
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．叙述有理数的加法法则．
2．在小学里，数的加法有哪些运算律？
五、新授
在小学里，数的加法满足交换律、结合律．
如：5+3.5=3.5+5，（5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5）．
引进负数后，这些运算律还适用吗？
探索：
例1．计算：30+（-20），（-20）+30．
两次所得的和相同吗？
换几个加数试一试，让学生自己得出：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置
和不变，即
加法交换律：a+b=b+a．
例2．计算：[8+（-5）]+（-4），8+[（-5）+（-4）]．
两次所得的和相同吗？换几个加数再试一试．
从而得到：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，
和不变，即
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
上述a、b、c表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数．
这样，多个有理数相加可以任意交换加数位置，也可以先把其中的几个数相加，使计算
简化．
例3．计算：16+（-25）+24+（-35）．
25分析：先观察题目中数据特点，根据运算律，选择合理途径．
本题采用正、负数分开相加的方法．
解：原式＝（16+24）+[（-25）+（-35）]
=40+（-60）
=-20
例4．每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如课本图1．3-3所示（课本
第19页），与标准重量比较，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦的总
重量是多少？
分析：怎样求这10袋小麦的总重量呢？这是有理数加法在实际中的应用，本题有两
种解法，教学时可先让学生相互交流，提出自己的想法，对不同的解法进行比较．
解法1：先计算10袋小麦的总重量．
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4，
再计算标准重量：90×10=900．
所以这10袋小麦总计超过905.4-900=5.4（千克）
解法2：先计算总误差，然后再求10袋小麦的总重量．
将每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10袋小麦的对
应的数为+1，+1，+1.5，-1，+1.2，+1.3，-1.3，-1.2，+1.8，+1.1.
???+1+1+1.5+（-1）+1.2+1.3+（1.3）+（-1.2）+1.8+1.1
=[1+（-1）]+[1.2+（-1.2）]+[1.3+（-1.3）]+（1+1.5+1.8+1.1）
=5.4
90×10+5.4=905.4
所以10袋小麦总计超过标准5.4千克，总重量为905.4千克．
五、巩固练习
1．课本第20页，练习1、2．
六、课堂小结
本节课我们探索了有理数加法的运算律，灵活运用加法的运算律使运算简便．一般情
况下，将互为相反数的数结合相加；同分母的分数能凑整的数结合；正数、负数分别相加，以
使计算简便．
七、作业布置
1．课本第25页习题1．3第2题，第26页第9、10、12题．
九、板书设计：
1.3.1 有理数的加法（2）
26第二课时
1、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．
上述a、b、c表示任意有理数，可以是正数，也可以是负数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.2 有理数的减法（1）
第三课时
三维目标
一、知识与技能
（1）理解并掌握有理数的减法法则，能进行有理数的减法运算．
（2）通过把减法运算转化为加法运算，让学生了解转化思想．
二、过程与方法
经历探索有理数的加法运算律的过程，培养学生的观察能力和思维能力．
三、情感态度与价值观
体会有理数加法运算律的应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数减法法则，能进行有理数的减法运算．
2．难点：探索有理数减法法则，能正确完成减法到加法的转化．
3．关键：正确完成减法到加法的转化．
四、教学过程
一、复习提问，新课引入
1．计算．
3 2
（1）（-5.2）+（-4.8）； （2）（-4 ）+5 ；
5 5
5 5 3
（3）（-13 ）+13 ； （4）（+4 ）+（-7.5）．
7 7 4
272．填空．
（1）_______+3=10； （2）30+_______=27；
（3）______+（-3）=10； （4）（-13）+____=6．
五、新授
实际问题中有时还要涉及有理数的减法，例如，某地一天的气温是-3℃～4℃，这天的
温差（最高气温减最低气温，单位：℃）就是4-（-3），这里用到正数与负数的减法，你会计
算它吗？（鼓励学生探索）
可以先从温度计看出4℃比-3℃高7℃．
另外，我们知道减法和加法是互为逆运算．计算4-（-3），就是要求出一个数x，使x
与-3的和等于4，因为7+（-3）=4，所以
4-（-3）=7 ①
另外4+（+3）=7， ②
比较①、②两式，你发现了什么？
发现：4-（-3）=4+（+3）．
这就是说减法可以转化为加法，如何转化呢？
减-3相当于加3，即加上“-3”的相反数．
换几个数再试一试，把4换成0，-1，-5，用上面的方法考虑．
0-（-3），（-1）-（-3），（-5）-（-3）．
因为（+3）+（-3）=0，所以0-（-3）=+3，
又0+（+3）=+3，所以0-（-3）=0+（+3），
同样，可得（-1）-（-3）=（-1）+（+3），（-5）-（-3）=（-5）+（+3）
这些数减-3的结果与它们加+3的结果仍然相同．
计算：
（1）9-8，9+（-8）；（2）15-7，15+（-7），从中又发现了什么？
通过计算发现：
9-8=9+（-8），15-7=15+（-7）．
归纳：通过上述讨论，得出：
有理数的减法可以转化为加法来进行．“相反数”是转化的桥梁．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
用式子表示为：a-b=a+（-b）．
例5：计算：
28（1）（-3）-（-5）； （2）0-7；
1 1
（3）7.2-（-4.8）； （4）（-3 ）-5 ．
2 4
分析：以上是有理数的减法，按减法法则，把减法转化为加法．
1 1 1 1 3
（4）（-3 ）-5 =（-3 ）+（-5 ）=-8
2 4 2 4 4
强调：减号变加号、减数变相反数，必须同时改变，（4）题中减数的符号为“＋”号，
省略没有定．
六、课堂练习
1．课本第23页练习1、2题，第26页第7、8题．
2．差数一定比被减数小吗？
提示：不一定，例如（-7）-（-5）=（-7）+（+5）=-2，-2>-7．
七、课堂小结
引进负数后，任意两个有理数都可以求出它们的差，结果可能为正数（大数减去小数），
也可能为负数（小数减去大数），还可能为0（相等的两数相减），学习有理数减法，关键在
于处理好两个“变”字；（1）改变运算符号──即把减法转化为加法．（2）改变减数的符
号──即减数变为它的相反数，这两个“变”要同时进行，而被减数不变．
八、作业布置
1．课本第25页至第26页，习题1．3第3、4、11、12题．
九、板书设计：
1.3.2 有理数的减法（1）
第三课时
1、有理数的减法可以转化为加法来进行．“相反数”是转化的桥梁．
有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
29用式子表示为：a-b=a+（-b）．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.3.2 有理数的减法（2）
第四课时
三维目标
一、知识与技能
理解有理数加减法可以互相转化，能把有理数加减混合运算统一为加法运算，灵活
应用运算律进行计算．
二、过程与方法
经历综合运用有理数加减法解决实际问题的过程，培养学生分析问题解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
体会数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣．
教学重点、难点与关键
1．重点：有理数加减法统一为加法运算，掌握有理数加减混合运算．
2．难点：省略括号和加号的加法算式的运算方法．
3．关键：理解加减混合运算可以统一成加法，以及正确理解省略加号的有理数加法形
式．
四、教学过程
一、复习提问，引入新课
1．叙述有理数的加法、减法法则．
2．计算．
（1）（-8）+（-6）； （2）（-8）-（-6）； （3）8-（-6）；
（4）（-8）-6； （5）5-14．
五、新授
我们已学习了有理数加、减法的运算，今天我们来研究怎样进行有理数的加减混合运
算．
30例6：计算：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）．
分析：这个式子中有加法，也有减法，可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算．也可
以用有理数的减法法则，则它改写为（-20）+（+3）+（+5）+（-7）使问题转化为几个有理数的
加法．
解：（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
=（-20）+（+3）+（+5）+（-7）
=[（-20）+（-7）]+[（+3）+（+5）]
=-27+（+8）
=-19
把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使计算简便．
归纳：加减混合运算可以统一为加法运算．
用式子表示为a+b-c=a+b+（-c）．
式子（-20）+（+3）+（+5）+（-7）是-20，+3，+5，-7这四个数的和，为了书写简单，可以省
略式子中的括号和加号，把它写为：-20+3+5-7．
这个式子读作“负20、正3、正5、负7的和”或读作“负20加3加5减7”．
例6的运算过程也可简写为：
（-20）+（+3）-（-5）-（+7）
=（-20）+（+3）+（+5）+（-7） （加减法统一为加法）
=-20+3+5-7 （省略式子中的括号和括号前面的加号）
=-20-7+3+5 （加法交换律交换时，要连同符号一起交换）
=-19 （异号两数相减）
六、巩固练习
1．课本第24页练习．
（1）题是已写成省略加号的代数和，可运用加法交换律、结合律．
原式=1+3-4-0.5=0-0.5=-0.5
（2）题运用加减混合运算律，同号结合．
原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0
（3）题先把加减混合运算统一为加法运算．
原式=（-7）+（-5）+（-4）+（+10）
=-7-5-4+10 （省略括号和加号）
=-16+10
=-6
31七、课堂小结
有理数加减混合运算通常统一成加法运算，运算时常用交换律和结合律使计算简便，
一般情况采用：（1）凡相加是整数的，可以先加；（2）分母相同或易于通分的分数相结合；
（3）有互为相反数可以互相抵消的，先相加；（4）正、负数分别相加．总之要认真观察，灵活
运用运算律．
八、作业布置
1．课本第25页第26页习题1．3第5、6、13题．
九、板书设计：
1.3.2 有理数的减法（2）
第四课时
1、把有理数加减混合运算转化为加法后，常用加法交换律和结合律使计算简便．
归纳：加减混合运算可以统一为加法运算．
用式子表示为a+b-c=a+b+（-c）．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
经历探索有理数乘法法则过程，掌握有理数的乘法法则，能用法则进行有理数的乘法．
二、过程与方法
经历探索有理数乘法法则的过程，发展学生归纳、猜想、验证等能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极探索精神，感受数学与实际生活的联系．
教学重、难点与关键
1．重点：应用法则正确地进行有理数乘法运算．
2．难点：两负数相乘，积的符号为正与两负数相加和的符号为负号容易混淆．
3．关键：积的符号的确定。
四、教学过程
一、引入新课
32在小学，我们学习了正有理数有零的乘法运算，引入负数后，怎样进行有理数的乘法运
算呢？
五、新授
课本第28页图1．4-1，一只蜗牛沿直线L爬行，它现在的位置恰在L上的点O．
l
0
（1）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？
（2）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？
（3）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？
（4）如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？
分析：以上4个问题涉及2组相反意义的量：向右和向左爬行，3分钟后与3分钟前，为
了区分方向，我们规定：向左为负，向右为正；为区分时间，我们规定：现在前为负，现在后
为正，那么（1）中“2cm”记作“+2cm”，“3分后”记作“+3分”．
（1）3分后蜗牛应在L上点O右边6cm处．（如课本图1．4-2）
这可以表示为
（+2）×（+3）=+6 ①
（2）3分后蜗牛应在L上点O左边6cm处．（如课本图1．4-3）
这可以表示为
（-2）×（+3）=-6 ②
（3）3分前蜗牛应在L上点O左边6cm处．（如课本图1．4-4）
[讲问题（3）时可采用提问式：已知现在蜗牛在点O处，而蜗牛是一直向右爬行的，那
么3分前蜗牛应在什么位置？]
33这可以表示为（+2）×（-3）=-6 ③
（4）蜗牛是向左爬行的，现在在O点，所以3分前蜗牛应在L上点O右边6cm处（如课
本图1．4-5）．
这可以表示为（-2）×（-3）=+6 ④
观察①～④，根据你对有理数乘法的思考，完成课本第39页填空．
归纳： 两个有理数相乘，积仍然由符号和绝对值两部分组成，①、④式都是同号两数相
乘，积为正，②、③式是异号两数相乘，积为负，①～④式中的积的绝对值都是这两个因数绝
对值的积．
也就是两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
此外，我们知道2×0=0，那么（-2）×0=？
显然（-2）×0=0．
这就是说：任何数同0相乘，都得0．
综上所述，得有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何
数同0相乘，都得0．
进行有理数的乘法运算，关键是积的符号的确定，计算时分为两步进行：第一步是确
定积的符号，在确定积的符号时要准确运用法则；第二步是求绝对值的积．
如：（-5）×（-3），……（同号两数相乘）
（-5）×（-3）=+（ ），……得正
5×3=15，……把绝对值相乘
所以 （-5）×（-3）=15
又如：（-7）×4……________
（-7）×4=-（ ），……_________
7×4=28，……__________
所以 （-7）×4=-28
例1：计算：
1
（1）（-3）×9； （2）（- ）×（-2）；
2
341 2 1
（3）0×（-53 ）×（+25．3）； （4）1 ×（-1 ）．
7 3 5
例1可以由学生自己完成，计算时，按判定类型、确定积的符号，求积的绝对值．（3）
题直接得0．（4）题化带分数为假分数，以便约分．
小学里，两数乘积为1，这两个数叫互为倒数．
在有理数中仍然有：乘积是1的两数互为倒数．
1 3 5
例如：- 与-2是互为倒数，- 与- 是互为倒数．
2 5 3
注意倒数与相反数的区别：两数互为倒数，积为1，它们一定同号；两数互为相反数，
和为零，它们是异号（0除外），另外0没有倒数，而0的相反数为0．
数a（a≠0）的倒数是什么？
1
1除以一个数（0除外）得这个数的倒数，所以a（a≠0）的倒数为 ．
a
例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负，登山队攀登一座山峰，每登
高1km气温的变化量为-6℃，攀登3km后，气温有什么变化？
解：本题是关于有理数的乘法问题，根据题意，
（-6）×3=-18
由于规定下降为负，所以气温下降18℃．
六、巩固练习
课本第30页练习．
1．第2题：降5元记为-5元，那么-5×60=-300（元）
与按原价销售的60件商品相比，销售额减少了300元．
1 1
2．第3题：1和-1的倒数分别是它们的本身； ，- 的倒数分别为3，-3；5，-5的倒数
3 3
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
分别为 ，- ； ，- 的倒数分别是 ，- ；此外，1与-1， 与- ，5与-5， 与- 是互为
5 5 3 3 2 2 3 3 3 3
相反数．
七、课堂小结
1．强调运用法则进行有理数乘法的步骤．
2．比较有理数乘法的符号法则与有理数加法的符号法则的区别，以达到进一步巩固
有理数乘法法则的目的．
八、作业布置
1．课本第38页习题1．4第1、2、3题．
35九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（1）
第一课时
1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同0相乘，都得0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能确定多个因数相乘时，积的符号，并能用法则进行多个因数的乘积运算．
（2）能利用计算器进行有理数的乘法运算．
二、过程与方法
经历探索几个不为0的数相乘，积的符号问题的过程，发展观察、归纳验证等能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探索，积极思考的学习兴趣．
教学重、难点与关键
1．重点：能用法则进行多个因数的乘积运算．
2．难点：积的符号的确定．
3．关键：让学生观察实例，发现规律．
教具准备
投影仪．
四、 教学过程
1．请叙述有理数的乘法法则．
1
2．计算：（1）│-5│（-2）； （2）（- ）×（-9）； （3）0×（-99．9）．
7
五、新授
361．多个有理数相乘，可以把它们按顺序依次相乘．
2 1 5 6
例如：计算：1 ×（-1 ）×（-7）= ×- ×（-7）=-2×（-7）=14；
3 5 3 5
1
又如：（+2）×[（-78）× ]=（+2）×（-26）=-52．
3
我们知道计算有理数的乘法，关键是确定积的符号．
观察：下列各式的积是正的还是负的？
（1）2×3×4×（-5）； （2）2×3×4×（-4）×（-5）；
（3）2×（-3）×（-4）×（-5）；（4）（-2）×（-3）×（-4）×（-5）．
易得出：（1）、（3）式积为负，（2）、（4）式积为正，积的符号与负因数的个数有关．
教师问：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
学生完成思考后，教师指出：几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，与
正因数的个数无关，当负因数的个数为负数时，积为负数；当负因数的个数为偶数时，积为
正数．
2．多个不是0的有理数相乘，先由负因数的个数确定积的符号再求各个绝对值的积．
例3：计算：
5 9 1
（1）（-3）× ×（- ）×（- ）；
6 5 4
4 1
（2）（-5）×6×（- ）× ．
5 4
解：（1）（负因数的个数为奇数3，因此积为负）
5 9 1
原式=-3× × ×
6 5 4
9
=-
8
（2）（负因数的个数是偶数2，所以积为正）
4 1
原式=5×6× × =6
5 4
观察下式，你能看出它的结果吗？如果能，说明理由？
7.8×（-5.1）×0×（-19.6）
归纳：几个数相乘，如果其中有因数为0，积等于0，这是因为任何数同0相乘，都得0．
六、课堂练习
课本第32页练习．
思路点拨：先观察题目是什么类型，然后按有理数的乘法法则进行，（1）、（2）题都是多
37个不是0的数相乘，要先确定积的符号，再求积的绝对值，（3）题是几个数相乘，且其中有
一个因数为0，所以直接得结果0．
七、课堂小结
本节课我们通过观察实例，归纳出几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数
确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正；几个不等于零
的数相乘，先确定积的符号，再把各个数的绝对值相乘；几个数相乘，有一个因数是0，积就
为零．
八、作业布置
1．课本第38页习题1．4第7题第（1）、（2）、（3）题．
九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（2）
第二课时
1、几个不是0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，与正因数的个数无关，当负因数的
个数为负数时，积为负数；当负因数的个数为偶数时，积为正数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.1 有理数的乘法（3）
第三课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能用乘法的三个运算律来进行乘法的简化运算．
（2）能进行乘法及加减法的混合运算．
二、过程与方法
经历探索有理数乘法运算律的过程，发展学生观察、归纳、验证等能力．
三、情感态度与价值观
鼓励学生积极思考，并与同伴进行交流的思想，体会运算律对简化运算的作用．
教学重、难点与关键
381．重点：能运用乘法运算律进行乘法运算．
2．难点：灵活运用运算律进行乘法运算．
3．关键：掌握乘法运算律以及运算法则．
四、教学过程
1．有理数的乘法法则是什么？
2．在小学里学过正有理数乘法有哪些运算律？
五、新授
在小学里，数的乘法满足交换律，例如8×3=3×8．
还满足结合律，例如（4×6）×3=4×（6×3）．
引入负数后，乘法交换律、结合律是否还成立？
规定有理数乘法法则后，显然乘法交换律、结合律仍然成立．
例如：5×（-6）=-30，（-6）×5=-30
即 5×（-6）=（-6）×5
[3×（-4）]×（-5）=（-12）×（-5）=60
3×[（-4）×（-5）]=3×（+20）=60
即 [3×（-4）]×（-5）=3×[（-4）×（-5）]
大家可以再任意取一些数，试一试．
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
乘法交换律：ab=ba．
说明：a×b可以写成a·b或ab．当用字母表示乘法时“×”号可写成“·”或省略．
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
乘法结合律：（ab）c=a（bc）．
1 1 1 1
在小学里，乘法还满足分配律，例如6×（ + ）=6× +6× ．
2 3 2 3
任意选取三个有理数（至少有一个负数）分别填入下列□、○和△内，并比较两个运算
结果，你能发现什么？
1 1
所以：-5×[ +（-2）]=-5× +（-5）×（-2）
5 5
39这就是说，有理数的乘法仍满足分配律．
一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
分配律：a（b+c）=ab+ac．
以上表示乘法运算律的式子中，a、b、c表示任意有理数．
乘法的运算律与加法运算律类似，也可以推广到多个数的情况．
在代数学的研究中，运算律是很重要的内容．在计算时运用运算律，往往能使计算简便．
1 1 1
例4：用两种方法计算（ ＋ － ）×12．
4 6 2
解法1：按运算顺序，先计算小括号内的数．
1 1 1
（ ＋ － ）×12
4 6 2
3 2 6
=（ ）×12
12 12 12
1
=- ×12=-1
12
解法2：运用分配律．
1 1 1
（ ＋ － ）×12
4 6 2
1 1 1
= ×12+ ×12- ×12
4 6 2
=3+2-6=-1
思考：比较以上两种方法，哪种解法运算量小？
显然解法2运算量小，它不需要通分．
六、课堂练习
1．课本第33页练习．
（1）-8500，运用结合律，先算（-25）×（-4）．
（2）15，运用乘法交换律和结合律．
（3）25，运用分配律．
七、课堂小结
运算律的运用十分灵活，在有理数的混合运算中，各种运算律常常是混合运用的，这就
要求我们要有较好的掌握运算律进行计算的能力，在平时的练习中，要观察题目特点，寻找
最佳解题方法，这样往往可以减少计算量．
八、作业布置
1．课本第39页，习题1．4第7题第（1）、（2）、（3）小题．
40九、板书设计：
1.4.1 有理数的乘法（3）
第三课时
1、一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
2、一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
3、随堂练习。
4、小结。
5、课后作业。
十、课后反思
1.4.2 有理数的除法（1）
第四课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算以及分数的化简．
二、过程与方法
通过学习有理数除法法则，体会转化思想，会将乘除混合运算统一为乘法运算．
三、情感态度与价值观
培养学生勇于探索积极思考的良好学习习惯．
教学重、难点与关键
1．重点：正确应用法则进行有理数的除法运算．
2．难点：灵活运用有理数除法的两种法则．
3．关键：会将有理数的除法转化为乘法．
四、教学过程，课堂引入
1．小学里，除法的意义是什么？它与乘法有什么关系？
已知两数的积与一个因数，求另一个因数。用除法，乘法与除法互为逆运算除以一个数
等于乘以这个数的倒数．
2．求下列各数的倒数：
412 3
（1）- ； （2）-0.125； （3）-1 ．
5 7
五、新授w
引入负数后，如何计算有理数的除法呢？
例如8÷（-4）．
根据除法意义，这就是要求一个数，使它与-4相乘得8．
因为 （-2）×（-4）=8
所以 8÷（-4）=-2 ①
1
另外，我们知道，8×（- ）=-2 ②
4
1
由①、②得 8÷（-4）=8×（- ） ③
4
1
③式表明，一个数除以-4可以转化为乘以- 来进行，即一个数除以-4，等于乘以-4
4
1
的倒数- ．
4
1
探索：换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a（a≠0）可以转化为乘以 呢？
a
[例如（-10）÷（-4）]
从而得出有理数除法法则：
除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数．
这个法则也可以表示成：
1
a÷b=a· （b≠0），
b
其中a、b表示任意有理数（b≠0）
例如：
两数相除的商仍有符号和绝对值两部分组成，由于除法可转化为乘法，因此商的符号
确定与有理数乘法类似，你能否得到与有理数乘法法则类似的除法法则吗？
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
零除以任何一个不等于零的数，都得零．
42这是有理数除法法则的另一种说法，具体采用哪一种方法，灵活选用．
12 3
例5：计算：（1）（-36）÷9；（2）（- ）÷（- ）．
25 5
分析：（1）题，36能被9整除，可以用方法二，直接除；（2）题是分数除法，可转化为乘
法．
解：（1）（-36）÷9=-（36÷9）=-4（先确定符号，再求绝对值）；
12 3 12 5 4
（2）（- ）÷（- ）=（- ）×（- ）= ．
25 5 25 3 5
例6：化简下列分数：
12 45
（1） ； （2） ．
3 12
分析：分数可以理解为除法，所以要按除法法则进行，可以直接除，也可以转化为乘法，
利用乘法的运算性质简化分数．
12
解：（1） =（-12）÷3=-4；
3
45 1 15
（2） =（-45）÷（-12）=（-45）×（- ）= ．
12 12 4
例7：计算：
5 5 1
（1）（-125 ）÷（-5）；（2）-2.5÷ ×（- ）．
7 8 4
5
分析：（1）题是分数除法，应转化为乘法，由于125 化为假分数，计算量大，可以把
7
5 5
125 写成125+ 后用分配律．（2）题是乘除混合运算，应将它统一为乘法以便约分．
7 7
5
解：（1）（-125 ）÷（-5）
7
5
=125 ÷5 （先确定符号）
7
5 1 5 5
=（125+ ）× （除转化为乘，同时将125 写成125+ ）
7 5 7 7
1 5 1
=125× + × （运用分配律）
5 7 5
1 1
=25+ =25
7 7
5 1 5 8 1
（2）-2.5÷ ×（- ）= × × =1
8 4 2 5 4
43遇到乘除混合运算时，可先确定结果的符号，再将它统一为乘法，另外，既有小数，也有
分数时，通常把小数化为分数，以便约分．
六、随堂练习
课本第36页练习
七、课堂小结
本节课学习了有理数的除法法则，有理数的除法有两种方法．一是根据“除以一个数，
等于乘以这个数的倒数”，转化为乘法，按乘法法则进行．二是根据“两数相除，同号得正，
异号得负，并把绝对值相除．一般能整除时用第二种方法．乘除混合运算，先统一为乘法，再
按几个不等于0的数相乘的法则计算．
八、作业布置
1．课本第38页习题1．4第4、6、7（4）～（8）．
九、板书设计：
1.4.2 有理数的除法（1）
第四课时
1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数．
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
零除以任何一个不等于零的数，都得零．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.4.2 有理数的除法（2）
第五课时
三维目标
一、知识与技能
（1）会用计算器计算有理数的除法运算．
（2）掌握有理数的加减乘除混合运算．
二、过程与方法
通过本节课的数学活动，培养学生分析问题，综合应用知识解决实际问题的能力．
三、情感态度与价值观
培养学生动手操作能力，体会数学知识的应用价值．
44教学重、难点与关键
1．重点：掌握有理数的加减乘除混合运算．
2．难点：符号的确定．
3．关键：掌握运算顺序以及运算法则．
四、教学过程、课堂引入
1、在小学里，加减乘除四则运算的顺序是怎样的？
先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注意
灵活应用运算律． 有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运算顺序一样．
五、新授
例8．计算：（1）-8+4÷（-2）；
（2）（-7）×（-5）-90÷（-15）．
分析：（1）按运算顺序，先做除法，再做加法．（2）先算乘、除法，然后做减法．
解：（1）-8+4÷（-2）
=-8+（-2） =-10
（2）（-7）×（-5）-90÷（-15）
=35-（-6）=35+6=41
例9：某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10
月平均每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈利情况
如何？
分析：盈利与亏损是具有相反意义的量，我们把盈利额记为正数，亏损额记为负数，那
么公司去年全年亏盈额就是去年1～12月的所亏损额和盈利额的和．
解：（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2
=-4.5+6+6.8-4.6=3.7（万元）．
答：这个公司去年全年盈利3.7万元．
1 1 1 1 1
例10：计算36÷3× -[（+ ）-（- ）-（+ ）]÷（- ）．
3 7 3 5 105
1 1 1 1 1
解：原式=36× × -（ + - ）×（-105）
3 3 7 3 5
1 1 1
=4+（ + - ）×105
7 3 5
1 1 1
=4+ ×105+ ×105- ×105
7 3 5
=4+15+35-21=33
45计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算，比笔算要快
捷得多．
例如：用计算器计算例9中的：
（-1.5）×3+2×3+1.7×4+（-2.3）×2
学生阅读课本第37页有关内容，按课本介绍的方法操作．教师巡视，关注学习有困难
的学生，给予指导．
六、随堂练习
1
1．计算． （1）11+（-22）-3×（-11）； （2）（-0.1）÷ ×（-100）；
2
3 2 1 3 7 7
（3）0÷（- ）×（- - ）； （4）（ - ）÷（- ）；
4 3 3 4 8 8
七、课堂小结
对于有理数的加减乘除四则运算，首先确定运算顺序，先乘除，后加减，同级运算谁在
前先算谁，一般情况将除法转化为乘法，减法转化为加法，灵活应用运算律，有括号的应先
算括号，计算时特别注意符号的确定，注意检查，使结果正确无误．
八、作业布置
1．课本第39页至第40页习题1．4第8、11、12、13、14、15题．
九、板书设计：
1.4.2 有理数的除法（2）
第五课时
1、先乘除后加减，同级运算从左往右依次进行，有括号的，先算括号内的，另外还要注
意灵活应用运算律． 有理数加减、乘除混合运算顺序与数的运算顺序一样．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1.5.1 有理数的乘方 （ 1 ）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
46（1）正确理解乘方、幂、指数、底数等概念．
（2）会进行有理数乘方的运算．
二、过程与方法
通过对乘方意义的理解，培养学生观察比较、分析、归纳概括的能力，渗透转化思想．
三、情感态度与价值观
培养探索精神，体验小组交流、合作学习的重要性．
教学重、难点与关键
1 ．重点： 正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则．
2．难点：正确理解乘方、底数、指数的概念，并合理运算．
3．关键：弄清底数、指数、幂等概念，注意区别－an与（－a）n的意义．
四、课堂引入
1 ．几个不等于零的有理数相乘，积的符号是怎样确定的？
几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为
奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正．
2．正方形的边长为2，则面积是多少？棱长为2的正方体，则体积为多少？
五、新授
边长为a的正方形的面积是a·a，棱长为a的正方体的体积是a·a·a．
a·a简记作a2，读作a的平方（或二次方）．
a·a·a简记作a3，读作a的立方（或三次方）．
一般地，几个相同的因数a相乘，记作an．即a·a……a． 这种求n个相同因数的积
的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
在an中，a叫底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．
例如，在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或9的4次幂，它表示4个9相
乘，即9×9×9×；又如（－2）4的底数是－2，指数是4，读作－2的4次方（或－2的4次
幂），它表示（－2）×（－2）×（－2）×（－2）．
思考：32与23有什么不同？（－2）3与－23的意义是否相同？其中结果是否一样？（－
473 32
2）4与－24呢？（ ）2与 呢？
5 5
（－2）3的底数是－2，指数是3，读作－2的3次幂，表示（－2）×（－2）×（－2），结果
是－8；－23的底数是2，指数是3，读作2的3次幂的相反数，表示为－（2×2×2），结果是
－8．
（－2）3与－23的意义不相同，其结果一样．
（－2）4的底数是－2，指数是4，读作－2的四次幂，表示
（－2）×（－2）×（－2）×（－2），
结果是16；－24的底数是2，指数是4，读作2的4次幂的相反数，表示为
－（2×2×2×2），其结果为－16．
（－2）4与－24的意义不同，其结果也不同．
3 3 3 3 3 9 32
（ ）2的底数是 ，指数是2，读作 的二次幂，表示 × ，结果是 ； 表示32与5
5 5 5 5 5 25 5
33 9
的商，即 ，结果是 ．
5 5
因此，当底数是负数或分数时，一定要用括号把底数括起来．
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写．
因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘方运算来进行有理数的乘方运算．
例1：计算：
1
（1）（－4）3； （2）（－2）4； （3）（－ ）5；
2
1
（4）33； （5）24； （6）（－ ）2．
3
解：（1）（－4）3=（－4）×（－4）×（－4）=－64
（2）（－2）4=（－2）×（－2）×（－2）×（－2）=16
1 1 1 1 1 1 1
（3）（－ ）5=（－ ）×（－ ）×（－ ）×（－ ）×（－ ）=－
2 2 2 2 2 2 32
（4）33=3×3×3=27
（5）24=2×2×2×2=16
1 1 1 1
（6）（－ ）2=（－ ）×（－ ）=
3 3 3 9
例2：用计算器计算（－8）5和（－3）6．
48解：用带符号键（－）的计算器．
开启计算器后按照下列步骤进行：
（ （－） 8 ） ∧ 5 =
显示：（－8）^ 5
－32768 即（－8）5=－32768
（ （－） 3 ） ∧ 6 =
显示：（－3）^ 6
729 即（－3）6=729
用带符号转换键 +/－ 的计算器：
8 +/－ ∧ 5 =
显示：－32768
3 +/－ ∧ 6 =
显示：729
所以（－8）5=－32768 （－3）6=729
因此，可以得出：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次幂都
是正数；0的任何非零次幂都是0．
六、巩固练习
1．课本第52页练习1、2．
七、课堂小结
正确理解乘方的意义，a n表示n个a相乘的积．注意（－a）n与－a n 两者的区别及相
互关系：（－a）n的底数是－a，表示n个－a相乘的积；－a n底数是a，表示n个a相乘的积
的相反数．当n为偶数时，（－a）n与－a n互为相反数，当n为奇数时，（－a）n与－a n相等．
八、作业布置
1．课本第47页习题1．5第1题，第48页第11、12题．
九、板书设计：
1.5.1 有理数的乘方 （ 1 ）
第一课时
1、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何非零次幂都是正数；0的任
何非零次幂都是0．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
49十、课后反思
1.5.1 有理数的乘方 （ 2 ）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
掌握有理数混合运算的顺序，能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
二、过程与方法
通过例题学习，发展学生观察、归纳、猜想、推理等能力．
三、情感态度与价值观
体验获得成功的感受、增加学习自信心．
教学重、难点与关键
1．重点：能正确地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算．
2．难点：灵活应用运算律，使计算简单、准确．
3．关键：明确题目中各个符号的意义，正确运用运算法则．
四、课堂引入
1．我们已经学习了哪几种有理数的运算？
2．有理数的乘方法则是什么？
五、新授
下面的算式里有哪几种运算？
1
3+50÷22×（－ ）－1 ①
5
这个算式里，含有有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算，按怎样的顺序进行运算？
有理数的混合运算，应按以下运算顺序进行：
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左往右进行；
3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
例如上面①式
1
3+50÷22×（－ ）－1
5
1
=3+50÷4×（－ ）－1
5
501 1
=3+50× ×（－ ）－1
4 5
5
=3－ －1
2
1
=－
2
例3：计算：（1）2×（－3）3－4×（－3）+15；
（2）（－2）3+（－3）×[（－4）2+2]－（－3）2÷（－2）．
分析：分清运算顺序，先乘方，再做中括号内的运算，接着做乘除，最后做加减．计算时，
特别注意符号问题．
解：（1）原式=2×（－27）－（－12）+15
=－54+12+15
=－27
（2）原式=－8+（－3）×（16+2）－9÷（－2）
=－8+（－3）×18－（－4.5）
=－8－54+4.5=－57.5
例4：观察下面三行数：
－2，4，－8，16，－32，64，…①
0，6，－6，18，－30，66，… ②
－1，2，－4，8，－16，32，… ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
分析：（1）第行数，从符号看负、正相隔，奇数项为负数，偶数项为正数，从绝对值看，
它们都是2的乘方．
解：（1）第①行数是
－2，（－2）2，（－2）3，（－2）4，（－2）5，（－2）6，…
（2）对比①②两行中位置对应的数，你有什么发现？
220,426,826,16218,..
第②行数是第①行相应的数加2．
即 －2+2，（－2）2+2，（－2）3+2，（－2）4+2，…
对比①③两行中位置对应的数，你有什么发现？
51第③行数是第①行相应的数的一半，即
－2×0.5，（－2）2×0.5，（－2）3×0.5，（－2）4×0.5，…
（3）根据第①行数的规律，得第10个数为（－2）10，那么第②行的第10个数为（－2）
10+2，第③行中的第10个数是（－2）10×0.5．
所以每行数中的第10个数的和是：
（－2）10+[（－2）10+2]+[（－2）10×0.5]
=1024+（1024+2）+1024×0.5
=1024+1026+512=2562
六、巩固练习
课本第44页练习．
七、课堂小结
在进行有理数混合运算时，一般按运算顺序进行，但有时根据运算律会使运算更简便，
因此要在遵守运算顺序外，还要注意灵活运用运算律，使运算快捷、准确．
八、作业布置
1．课本第47页至第48页习题1．5第3、8题．
九、板书设计：
1.5.1 有理数的乘方 （ 2 ）
第二课时
1．先乘方，再乘除，最后加减；
2．同级运算，从左往右进行；
3．如果有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
4、随堂练习。
5、小结。
6、课后作业。
十、课后反思
1 . 5 . 2 科学记数法
第三课时
教学目标
一、知识与技能
借助身边熟悉的事物体会大数和小数，并会用科学记数法表示大数和小数．
52二、过程与方法
通过学生回顾10的n次幂的意义和规律，以帮助理解科学记数法．
三、情感态度与价值观
培养学生自主探索交流、尝试出表示大数和较小的数的简单方法．
教学重、难点与关键
1．重点：会用科学记数法表示较大的数．
2．难点：用科学记数法表示较小的数．
3．关键：理解乘方意义和负指数的概率．
四、课堂引入
1．乘方的意义，a表示什么意义？底数是什么？指数是什么？
五、新授．
例如第五次人口普查时，中国人口约为 1300000000人，太阳半径约为
696000000，光的速度约为300000000米/秒．读、写这样大的数有一定困难，那么有简单的
表示方法吗？
让我们先观察10的乘方有什么特点？
102=100，103=1000，104=10000，…
即10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用10的乘方表示一些大
数，例如567000000=5.67×100000000=5.67×108
读作：“5.67乘10的8次方（幂）”．
这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数．
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的
数（1≤a<10），n是正整数，这种记数方法叫科学记数法．
例如用科学记数法表示中国人口约为1.3×109人，太阳半径约为6.96×108米，光的速
度约为3×108米/秒．
例5：用科学记数法表示下列各数．
1000000，57000000，123000000000．
解：1000000=106（这里a=1省略不写）
57000000=5.7×10000000=5.7×107
123000000000=1.23×100000000000=1.23×1011
观察上面的式子，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？
1000000是7位整数，而10的指数是6，57000000是8位整数，而10的指数为7．
即等号右边10的指数比左边整数的位数小1．
53问：如果一个数是6位整数，用科学记数法表示时，10的指数是多少？如果一个数有
8位整数呢？
用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n－1．
注意：“n位整数”是指这个数的整数部分的位数．
例如：831.5的整数部分是3位，用科学记数法表示为8.315×102．
另外，用科学记数法表示一个数时，规定a必须是大于或等于1且小于10．
在生活中，我们还常常遇到一些较小的数据．例如存在于生物体内在某种细胞的直径
约为百万分之一米，即1微米，本次中特等奖的概率只有百万分之一，即0．000001，
它们也能用科学记数法表示吗？
本章引言中有1纳米=10米，这是什么意思呢？
1纳米是非常小的长度单位，1米是1纳米的10亿倍，也就是说1纳米是1米的十亿分
之一，两者之间的单位换算关系可以表示为：
1
1米=109纳米，或1纳米= 米
109
在科学记数法中，后一式子表示为 1纳米=10－9米
1
一般地，当a≠0，n是正整数时，a－n=
an
1
例如 1米=102厘米，或1厘米= 米=10－2米．
102
即0.01=10－2
六、巩固练习
1．课本第47页习题1．5第1、2题．
七、课堂小结
用科学记数法表示较大的数时，注意a×10n中a的范围是1≤a<10，n是正整数，n与原
数的整数部分的位数m的关系是m－1=n，反过来由用科学记数法表示的数写出原数时，原
数的整数部分的数位m比10的指数大1．（即m=n+1）
另外，对于绝对值较大的负数，如－729000，它可表示为－7.29×105，它的意义是
7.29×105的相反数，这里的a仍然是1≤a<10．
1
对于较小的数，如0.00012，因为0.00012=1.2÷10000=1.2÷104=1.2× =1.2×10－4．
104
八、作业布置
1．课本第47页习题1．5第4、5、9、10题．
九、板书设计：
541 . 5 . 2 科学记数法
第三课时
1． 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的
数（1≤a<10），n是正整数，这种记数方法叫科学记数法．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
1 . 5 . 3 近似数
第四课时
三维目标
一、知识与技能
（1）给了一个近似数，你能说出它精确到哪一位，有几个有效数字．
（2）给了一个数，会按照精确到哪一位或保留几个有效数字的要求，四舍五入取近似
数．
二、过程与方法
从测量引入近似数，使学生体会近似数的意义和生活中的应用．
三、情感态度与价值观
培养学生认真细致的学习态度，合作交流的意识．
教学重、难点与关键
1．重点：近似数，精确度，有效数字概念．
2．难点：由给出的近似数求其精确度及有效数字．
3．关键：理解有效数字的概念和小数点末尾的零的意义．
四、教学过程，课堂引入
1．准确数和近似数．
在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数．例如：对于参加同一个会议的人
数，有两种报道，一种报道说：“会议秘书处宣布，参加今天会议的有513人”．这里数字
513确切地反映了实际人数，它是一个准确数，另一种报道说：“约有500人参加了今天的
会议”，500这个数只能接近实际人数，但与实际人数还有差别，它是一个近似数．
例如，统计班上喜欢看球赛同学的人数是35，这个数是与实际完全符合的准确数，一个
也不多，一个也不少，又如，初一（1）班有55个学生，某工厂有126台机床，我有8本练习
本，这些数都是与实际完全符合的准确数．
55如果量得语文课本的宽为13.5cm，由于所用尺的刻度有精确度限制，而且用眼观察时
不可能非常细致，因此与实际宽度有一点偏差，这里的13.5cm只是一个与实际宽度非常接
近的数，又如，宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率约为3.14，这
些数都是近似数．
五、新授
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数．
你还能举出一些日常遇到的近似数吗？
2．关于精确度问题
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示，例如，前面的500是精确到百位的近
似数，它与准确数513的误差为13．
我们都知道圆周率=3.141592…
计算时我们需按照要求取近似数．
如果要求按四舍五入精确到个位，那么≈3；
如果要求按四舍五入精确到0.1（或精确到十分位），那么≈3.1；
如果要求按四舍五入精确到0.01（或精确到百分位），那么≈3.14；
如果要求按四舍五入精确到0.001（或精确到千分位），那么≈_______；
反过来，若≈3.1416，那么精确到________，或叫精确到_______．
一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．
3．近似数的有效数字．
一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的
有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近似数的有效数字的个数．
例如近似数0.025有两个有效数字：2，5；1500有4个有效数字：1，5，0，0；0.103有有
3个有效数字：1，0，3．
对于用科学记数法表示的数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字，例如近
似数5.104×106有4个有效数字：5，1，0，4．
规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求．
一般说，对于同一个数取近似数时，有效数字个数越多，精确程度越高．如果四舍五入
法对取近似数时，若要求保留1个有效数字，则≈3；若要求保留3个有效数字，则
≈3.14．
例6：按括号内的要求，用四舍五入法对下列数取近似数．
（1）0.0158（保留2个有效数字）；
56（2）30435（保留2个有效数字）；
（3）1.804（保留2个有效数字）；
（4）1.804（保留3个有效数字）；
（5）3.5046（精确到百分位）；
（6）2.971×104（保留2个有效数字）．
解：（1）0.0158≈0.016；
（2）30435=3.0435≈104≈3.04≈104（或3.04万）；
（3）1.804≈1.8；
（4）1.804≈1.80；
（5）3.5049≈3.50；
（6）2.971×104≈3.0×104．
思路点拨：（2）题，不能写成30435≈30400，如果这样写，那就看不出哪些是保留的有
效数字，而近似数30400是有5个有效数字，所以做这类题，先将它用科学记数法表示，再
按照规定保留有效数字，或者写成3.04万．（4）题中，1.80，这里的0不能去掉，由四舍五入
得到的1.8与1.80的精确度是不同的，前者是精确到0.1，是保留2个有效数字，而后者是
精确到0.01，保留3个有效数字，同理（6）题中3.0×104的0也不能丢了．（5）题，不能先约
等于3.505，再约等于3.51，四舍五入精确到百分位，是将千分位四舍五入，与千分位后面
的数字无关．
例7：下列是由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？保留几个有效数字？
（1）132.4； （2）0.0572； （3）2.40万； （4）3000．
解：（1）132.4是精确到0.1，保留4个有效数字．
（2）0.0572是精确到0.0001，保留3个有效数字．
（3）2.40万是精确到百位，保留3个有效数字．
（4）3000是精确到个位，保留4个有效数字．
六、巩固练习
1．课本第46页练习．
七、课堂小结
正确理解和掌握近似数、准确数和有效数字的概念，给出一个近似数，能准确地确定它
精确到哪一位，有哪几个有效数字，并能按要求求一个数的近似数．
八、作业布置
1．课本第47页至第48页习题1．5第6、7、11题．
九、板书设计：
571 . 5 . 3 近似数
第四课时
1． 一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数
的有效数字，一共包含的有效数字的个数，叫这个近似数的有效数字的个数．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
第一章有理数 复习（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
1．复习有理数的意义及其有关概念。其内容包括正负数、有理数、数轴、有理数大小的比
较、相反数与绝对值等。通过复习使学生系统掌握有理数这一章的有关基本概念；
2．使学生提高辨别概念能力；
二、过程与方法
利用数轴来认识、理解有理数的有关概念.
三、情感态度与价值观
1、鼓励学生自己回顾本单元的学习内容。并与同伴交流在本单元学习中的收获和不
足，培养他们的反思意识。
教学重难点
理解掌握有理数的有关概念
四、复习提问：
1、什么叫数轴？画出一个数轴来。
2、什么是有理数？有理数集包括哪些数？有理数和数轴上的点有什么关系？
答：整数和分数统称为有理数。有理数的分类：整数、分数统称有理数；整数又包括正整数、
零、负整数，分数又包括正分数与负分数。
58每一个有理数都可以用数轴上唯一确定的点来表示。但反过来以后可以看到，数轴上
任一点并不一定表示有理数。表示正有理数的点在原点的右边，表示零的点是原点，表示负
有理数的点在原点的左边。
3、观察数轴分别说出A,B,C,D,E,F各点表示的数是什么？
4、点A与F,点B与E所表示的数分别存在什么关系？（互为相反数）互为相反数的
几何意义？（互为相反数就是在原点两侧且到原点等距的两点所表示的数。）相反
数的性质？（只有符号不同的两个数是互为相反数，a的相反数为－a；）
各点所表示的数的绝对值是多少？绝对值的几何意义？（在数轴上，表示数a的点到原
点的距离叫做数a的绝对值）绝对值的代数意义？( a =a（a＞0），a =0（a=0），a =－a
（a＜0）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是
零。
5、说出各数的倒数？（一个数除以1所得的商是这个数的倒数，零没有倒数）
6、比较各点表示的数的大小？
方法一：零大于一切正数，而小于一切负数；
两个负数，绝对值大的反而小。
方法二：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
其余相关概念：
（1）代数和：
把有理数的加、减运算统一写成加法形式，成为几个有理数的和，通常称为代数和；省
略加号的和的形式。
（2）去括号与添括号：
去括号法则：括号前是“+”号时，将括号连同它前边的“+”号去掉，括号内各项都不
变；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内各项都要变号。
添括号法则：在“+”号后边添括号，括到括号内的各项都不变；在“－”号后边添括
号，括到括号内的各项都要变号。
五、例题讲解：
例1 下列说法是否正确，请将错误的改正过来。
⑴所有的有理数都能用数轴上的点表示； （ ）
⑵符号不同的两个数是互为相反数； （ ）
⑶两个有理数的和一定大于每一个加数； （ ）
⑷有理数分为正数和负数； （ ）
例2 用数轴上的点表示下列有理数，并求其相反数、倒数和绝对值。
－0.5，－3.5，7，－4.5，－4
例3 写出符合下列条件的数。
⑴最小的正整数； ⑵最大的负整数；⑶大于－3且小于2的所有整数；
⑷绝对值最小的有理数； ⑸绝对值大于2且小于5的所有负整数；
59例4 一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，这时蜗
牛与数轴上的田螺相距1.5个单位，求田螺表示的数
例5 观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由。
⑴－23，－18，－13， ， ；
2 3 4 5
⑵ , , , ， ， ；
8 16 32 64
⑶－2，－4，0，－2，2， ， 。
例6 某数学俱乐部有一种“秘密”的记帐方式。当他们收入300元时，记为－240；当他们
用去300元时，记为360。猜一猜，当他们用去100元时，可能记为多少？当他们收入
100元时，可能记为多少？说明你的理由。新课标第一网
例7 若 a a2,求式子1982a2006 3a2005 27的值.
全章知识点：
第一章有理数 复习（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
1.会运用有理数的运算法则、运算律,熟练进行有理数的运算；
2.用四舍五入法,按要求(有效数字或精确度)确定运算结果；
603.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律.
4. 会根据定义的一种新运算进行计算，能看懂程序，并设计运算程序.
二、过程与方法
1.在学生自主归纳的过程中，感受数学的整体性.
三、情感态度与价值观
1.鼓励学生在相互合作交流的过程中主动观察、归纳，提出猜想，从而使学生形成自己对数
学知识的理解和有效的学习策略.
教学重点、难点
有理数的运算，看懂程序，并设计运算程序，探索数与式的变化规律，探索能力的培养。
四、创设情境复习
根据知识结构复习相关的知识要点，并回答以下问题。
1．有理数的加、减、乘、除、乘方的法则各是什么？
2．在有理数运算中，有哪些运算律？混合运算的顺序是什么？
3．什么是近似数与有效数字？
五、实践应用
例1 计算：
1
（3）（－3）2＋4×（－ ）－23
2
1 1
（4）（－2）3＋ （2004－）0－－ .
2 2
例2填空：(1)504.03是由四舍五入所得的近似数，这个近似数精确到 ，
有效数字是 ，用科学记数法可表示为 .
(2)如果a为有理数,那么在|a|, -|-a|， ， , - , - 这几个数
61中,一定是非负数的是 .
(3)圆的半径 r=2.5,圆的面积 S= ( 取 3.14 结果保留两个有效数
字).
例3 当x=7，y=4，z=0时，求代数式x(2x-y+3z)的值．
解：当x=7，y=4，z=0时，
x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)
=7×(14-4)
=70．
例4 规定一种新的运算：a△b=ab-a-b+1,如3△4＝3×4－3－4＋1，请比较（－3）△4
与 4△（－3）的大小.
例5 小红家春天粉刷房间，雇佣了5个工人，干了10天完成；用了某种涂料150L，费用为
4800元；粉刷的面积是150m2，最后结算工钱时，有以下几种方案：
方案一：按工算，每个工为30元（一个工人1天是一个工）
方案二：按涂料费算，涂料费用的30％作为工钱；
方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元。
请你帮助小红家出主意，选择方案 付钱最合算。
六、交流反思小结
通过本节课的复习，你有那些收获？
本节课主要复习了有理数的运算,运算时要注意以下两点:
(1)在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，还要善于灵活运算
律简化运算；
(2)在实际运算中经常会遇到近似数，要注意按要求的精确度进行计算和保留结果．对
较大的数用科学记数法表示，既方便，又容易体现对有效数字的要求．
七、练习
1.计算：
2.用四舍五入法对下列各数按括号的要求取近似值：
(1)2.768(精确到百分位)；(2)0.009 403(保留3个有效数字)；
(3)8.965(精确到0.1)； (4)17 289(精确到千位).
3.用计算器进行下列运算(保留3个有效数字)：
(1)56.2+7.41×(-2.12)； (2) -1.68；
62(3) ÷(-5.62)+49.34.
4．（1）当x=2时，求式子x2-1的值；
5．已知 |a＋2|＋|b－3|=0，求a和b的值.
第二章 整式的加减
2.1整式（1）
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）能用代数式表示实际问题中的数量关系．
（2）理解单项式、单项式的次数，系数等概念，会指出单项式的次数和系数．
二、过程与方法
经历列式表示实际问题中的数量关系，发展符号感，通过观察代数式的特点，发现、归
纳单项式的概念，培养学生观察、分析、归纳的能力．
三、情感态度与价值观
通过列单项式表示实际问题中的数量关系，体会整式比具体数字表达的式子更具有一
般性，这给实际问题的解决带来很大方便．
重、难点与关键
1．重点：单项式的有关概念．
2．难点：负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数．
3．关键：正确理解单项式、单项式系数和次数的概念．
四、教学过程，引入新课
教师操作课件，展示章前图案以及字幕，学生观看并思考下列问题：
1．青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段，列车在冻土地段的行
驶速度是100千米/时，在非冻土地段的行驶速度可以达到120千米/时，请根据这些数据回
答下列问题：
（1）列车在冻土地段行驶时，2小时能行驶多少千米？3小时呢？t小时呢？
（2）在西宁到拉萨路段，列车通过非冻土地段所需要时间是通过冻土地段所需要时间
的2.1倍，如果通过冻土地段所需要t小时，能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？
（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段比通过非冻土地段多用0.5小时，如果通
过冻土地段需要u小时，则这段铁路的全长可以怎样表示？冻土地段与非冻土地段相差
多少千米？
分析：（1）根据速度、时间和路程之间的关系：路程=速度×时间．列车在冻土地段2小
时行驶的路程是100×2=200（千米），3小时行驶的路程为100×3=300（千米），t小时行驶
63的路程为100×t=100t（千米）．
（2）列车通过非冻土地段所需时间为2.1t小时，行驶的路程为120×2.1t（千米）；列
车通过冻土地段的路程为100t，因此这段铁路的全长为120×2.1t+100t（千米）．
（3）在格里木到拉萨路段，列车通过冻土地段要u小时，那么通过非冻土地段要
（u-0.5）小时，冻土地段的路程为100u千米，非冻土地段的路程为120（u-0.5）千米，这段
铁路的全长为[100u+120（u-0.5）]千米，冻土地段与非冻土地段相差为[100u-120（u-0.5）]
千米．
思路点拨：上述问题（1）可由学生自己完成，问题（2）、（3）先由学生思考、交流的基础
上教师引导学生分析怎样列式．
上述的3个问题中的数量关系我们分别用含有字母的式子表示，通过本章学习，我们
还可以将上述问题（2）、（3）进行加减运算，化简．
五、新授12999.com
2．下面，我们再来看几个用含字母的式子表示数量关系的问题．
用含有字母的式子填空，看看列出的式子有什么特点．
（1）边长为a的正方体的表面积为______，体积为_______．
（2）铅笔的单价是x元，圆珠笔的单价是铅笔的单价的2.5倍圆珠笔的单价是_______元．
（3）一辆汽车的速度是v千米/时，它t小时行驶的路程为_______千米．
（4）数n的相反数是_______．
教师课堂巡视，关注中下程度的学生，及时引导，学生探究交流．
上面各问题的代数式分别是：6a2，a3，2.5x，vt，-n．
观察上面各式中运算有什么共同特点？
上面各式中，数字与字母之间，字母与字母之间都是乘法运算，它们都是数字与字母
的积，例如：6a2表示6×a2，a3表示1×a3，2.5x表示2.5×x，vt表示1×v×t，-n表
示-1×n．
像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是
1 1
单项式．如：-2，a， ，都是单项式，而 ，1+x都不是单项．
3 a
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，例如：6a2的系数是6，a3的系数是1，-n
ab 1
的系数是-1，- 的系数是- ．
5 5
单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写成前面，当一个单项式的系数是1或-1
时通常省略不写．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．例如，2.5x中字母x的
指数是1，2.5x是一次单项式；vt中字母v与t的指数和是2，vt是二次单项式，-ab2c中字
母a、b、c的指数和是4，-ab2c是4次单项式．
例1．用单项式填空，并指出它们的系数和次数．
（1）每包书有12册，n包书有_______册．
（2）底边长为a，高为h的三角形的面积是______．
（3）一个长方体的长和宽都是a，高是h，它的体积是_______．
（4）一台电视机原价a元，现按原价的9折出售，这台电视机现在售价为_____元．
（5）一个长方形的长为0.9，宽是a，这个长方形的面积是_________．
教师操作投影仪，展示例1，学生思考、交流．师生互动．
强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母
的指数是1，不是“没有”．
用字母表示数后，同一个式子在不同的问题中可以表示不同的含义．例如，在问题
64（4）、（5）中，所填的结果都是0.9a，一个是表示电视机的售价，一个是表示长方形的面积，
你还能赋予0. 9a一个含义吗？
让学生交流各自想法，加深对字母表示数的理解．
六、巩固练习
1．下列各式是不是单项式？为什么？
x 4 ab
（1）x-2y； （2）- ; (3) ; (4) ； （5）-1．
5 m 5
2．判断下列各说法是否正确，错误的改正过来．
（1）单项式-xy2的系数是0，次数是2．
（2）单项式27a2的系数是2，次数是9．
3．请你写出系数为-，含有x、y，次数为4的所有单项式．
4．课本第56页练习1、2题．
七、课堂小结
师生互动，共同学习小结本节课内容．
1．什么叫单项式？举例说明．
x
2．单独的一个数或一个字母是单项式吗？ 是单项式吗？为什么？
a
3．什么叫单项式的系数？什么叫单项式的次数？举例说明．
八、作业布置
1．课本第59页至第60页，习题2．1第1、2、8题．
九、板书设计：
2.1整式（1）
第一课时
1． 像上面这样，只含有数与字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是
1 1
单项式．如：-2，a， ，都是单项式，而 ，1+x都不是单项．
3 a
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.1整式（2）
第二课时
三维目标
一、知识与技能
使学生理解多项式、整式的概念，会准确确定一个多项式的项数和次数．
二、过程与方法
通过实例列整式，培养学生分析问题、解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
65培养学生积极思考的学习态度，合作交流意识，了解整式的实际背景，进一步感受字母
表示数的意义．
教学重、难点与关键
1．重点：多项式以及有关概念．
2．难点：准确确定多项式的次数和项．
3．关键：掌握单项式和多项式次数之间的区别和联系。
四、课堂引入
一、复习提问 1．什么叫单项式？举例说明．
3ab2c
2．怎样确定一个单项式的系数和次数？- 的系数、次数分别是多少？
7
3．列式表示下列问题：
（1）一个数比数x的2倍小3，则这个数为________．
（2）买一个篮球需要x（元），买一个排球需要y（元），买一个足球需要z（元），买3个篮
球，5个排球，2个足球共需________元．
（3）如图1，三角尺的面积为________．
（4）如图2是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是________平方米．
(1) (2)
五、新授
请同学们阅读课本第57页有关内容，并回答下列问题．
1．几个单项式的和叫做_________；
2．在多项式中，每个单项式叫做_________；
3．在多项式中，不含字母的项叫做_________；
4．在多项式中，_____________________，叫做这个多项式的次数．
（2）多项式的次数与单项式的次数概念不同，但又有联系，首先求出此多项式各项（单
项式）的次数，次数最高的就是这个多项式的次数．
661
（3）一个多项式的最高次项可以不唯一，次高项也可以不唯一，如，多项式3x2y-
2
1
xy2+x2-xy-5中，最高次项为3x2y和- xy2，二次项也有2项，x2和-xy，这个多项式为二次
2
五项式．
单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z等都是整式．
例1．用多项式填空，并指出它们的项和次数．
（1）温度由t℃下降5℃后是_______℃．
1 1
（2）甲数x的 与乙数y的 的差可以表示为_________．
3 2
（3）如课本图2．1-3，圆环的面积为________．
（4）如课本图2．1-4，钢管的体积是________．
例2．一条河流的水流速度为2.5千米/时，如果已知船在静水中的速度，那么船在这
条河流中顺水行驶和逆水行驶的速度分别怎样表示？如果甲、乙两条船在静水中的速度
分别是20千米/时和35千米/时，则它们在这条河流中的顺水行驶和逆水行驶的速度各是
多少？
顺水行驶时船的速度=船在静水中的速度+水流速度
逆水行驶时船的速度=船在静水中的速度-水流速度
这里水流速度为2.5千米/时，如果，我们设船在静水中的速度为v千米/时，那么船
在顺水行驶时的速度表示为（v+2.5）千米/时船在逆水行驶时的速度为（v-2.5）千米/时．
当 v=20 时 ， 则 v+2.5=20+2.5=22.5 ， v-2.4=20-2.5=17.5 ； 当 v=35 时 ， 则
v+2.5=35+2.5=37.5，v-2.5=35-2.5=32.5．因此，甲船顺水行驶的速度是22.5千米/时，逆
水行驶的速度为17.5千米/时；乙船顺水行驶的速度是37.5千米/时，逆水行驶的速度为
32.5千米/时．
六、巩固练习
1．课本第59页练习，课本第61页第10题．
七、课堂小结
1．什么叫做多项式？多项式是整式吗？整式是多项式吗？
2．什么叫多项式的基？什么叫做常数项？什么叫做多项式的次数？
八、作业布置
1．课本第60页，习题2．1第2、3、4、5、6、7题．
九、板书设计：
672.1整式（2）
第二课时
1．单项式和多项式统称为整式，例如：100t，6a3，vt，-n，2x-3，3x+5y+2z等都是整式．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.2 整式的加减(1)
第一课时
三维目标
一、知识与技能
（1）了解同类项、合并同类项的概念，掌握合并同类项法则，能正确合并同类项．
（2）能先合并同类项化简后求值．
二、过程与方法
经历类比有理数的运算律，探究合并同类项法则，培养学生观察、探索、分类、归纳等能
力．
三、情感态度与价值观
掌握规范的解题步骤，养成良好的学习习惯，通过比较两种求代数式值的方法，体会合
并同类项的作用．
教学重、难点与关键
1．重点：掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．
2．难点：多字母同类项的合并．
3．关键：正确理解同类项概念和合并同类项法则。
四、 教学过程，新课引入
有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以加减运算呢？怎样化简呢？
我们来看本章引言中的问题（2）．
在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是 t小时，那么它通过非冻土地段
所需的时间就是2.1t小时，则这段铁路的全长是100t+120×2.1t，
即100t+252t
1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？
五、新授
（1）运用有理数的运算律计算：
100×2+252×2=______；
68100×（-2）+252×（-2）=________．
100×2+252×2=（100+252）×2=352×2
100×（-2）+252×（-2）=（100+252）×（-2）=352×（-2）
我们知道字母可以表示数，如果用 t 表示上述算术中的数 2（或-2）就有，
100t+252t=（100+252）×t=352t．
事实上，100t+252t与100×2+252×2和100×（-2）+252×（-2）有相同的结构，都是
两个数分别与同一个数乘积的和，这里 t表示同一个因数，因此根据分配律也应该有：
100t+252t=（100+252）t=352t
2．填空:
（1）100t-252t=（ ）t； （2）3x2+2x2=（ ）x2；
（3）3ab24ab2=（ ）ab2．
观察（1）中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；
（2）中的多项式的项3x2+2x2都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；（3）中的多项式
的项3ab2和-4ab2都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．
像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数
项也是同类项．
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
合并同类项后，所得项的系数、字母以及字母的指数与合并前各同类项的系数、字母及
字母的指数有什么联系？
合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．
若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab2+3ab2=
（-3+3）ab2=0·ab2=0．
多项式中只有同类项才能合并，不是同类项不能合并．新 课 标 第 一 网
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂）或者从小到大（升
幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5或写成5+5x-4x2．
例1．合并下列各式的同类项：
1
（1）xy2- xy2； （2）-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2； （3）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2．
5
1
例2．（1）求多项式2x2-5x+x24x-3x22的值，其中x= ．
2
1 1 1
（2）求多项式3a+abc- c2-3a+ c2的值，其中a=- ，b=2，c=-3．
3 3 6
69解：（1） 2 x 2-5x + x 2+4x -3 x 2-2 （仔细观察，标出同类项）
=（2+1-3）x2+（-5+4）x-2 （系数相加，字母部分不变）
=-x-2 （系数是“1”或“-1”时省略不写）
1 1 5
当x= 时，原式=- -2=-
2 2 2
1 1
（2）3a+abc c2-3a c2
3 3
1 1
=（3-3）a+abc+（- + ）c2
3 3
=abc
1 1
当a=- ，b=2，c=-3时，原式=（- ）×2×（-3）=1
6 6
例3．（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm，第二天连续上
升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
（2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的
大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？
六、巩固练习
课本第66页，练习第1、2、3题．
七、课堂小结
1．什么叫同类项？字母相同，次数也相同的项是同类项吗？举例说明．
2．什么叫合并同类项？怎样合并同类项？合并同类项的依据是什么？
八、作业布置
1．课本第71页习题2．2第1、7、10题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(1)
第一课时
1．像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项，几个常数项
也是同类项． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
702.2 整式的加减(2)
第二课时
三维目标
一、知识与技能
能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简．
二、过程与方法
经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化的规律，归纳出去括号
法则，培养学生观察、分析、归纳能力．
三、情感态度与价值观
培养学生主动探究、合作交流的意识，严谨治学的学习态度．
教学重、难点与关键
1．重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简．
2．难点：括号前面是“－”号去括号时，括号内各项变号容易产生错误．
3．关键：准确理解去括号法则。
四、 教学过程，课堂引入
利用合并同类项可以把一个多项式化简，在实际问题中，往往列出的式子含有括号，那
么该怎样化简呢？
五、新授
现在我们来看本章引言中的问题（3）：
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要t小时，那么它通过非冻土地段的时
间为（t-0.5）小时，于是，冻土地段的路程为100t千米，非冻土地段的路程为120（t-0.5）
千米，因此，这段铁路全长为
100t+120（t-0.5）千米 ①
冻土地段与非冻土地段相差
100t-120（t-0.5）千米 ②
上面的式子①、②都带有括号，它们应如何化简？
利用分配律，可以去括号，合并同类项，得：
100t+120（t-0.5）=100t+120t+120×（-0.5）=220t-60
100t-120（t-0.5）=100t-120t-120×（-0.5）=-20t+60
我们知道，化简带有括号的整式，首先应先去括号．
上面两式去括号部分变形分别为：
71+120（t-0.5）=+120t-60 ③
-120（t-0.5）=-120+60 ④
比较③、④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
特别地，+（x-3）与-（x-3）可以分别看作1与-1分别乘（x-3）．
利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得：
+（x-3）=x-3 （括号没了，括号内的每一项都没有变号）
-（x-3）=-x+3 （括号没了，括号内的每一项都改变了符号）
去括号规律要准确理解，去括号应对括号的每一项的符号都予考虑，做到要变都变；要
不变，则谁也不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项．
例1．化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）（5a-3b）-3（a2-2b）．
例2．两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度
都是50千米/时，水流速度是a千米/时．
（1）2小时后两船相距多远？
（2）2小时后甲船比乙船多航行多少千米？
六、巩固练习
1．课本第68页练习1、2题．
2．计算：5xy2-[3xy2-（4xy2-2x2y）]+2x2y-xy2． [5xy2]
七、课堂小结
去括号是代数式变形中的一种常用方法，去括号时，特别是括号前面是“－”号时，括
号连同括号前面的“－”号去掉，括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为
“－”变“＋”不变，要变全都变．当括号前带有数字因数时，这个数字要乘以括号内的每
一项，切勿漏乘某些项．
八、作业布置
1．课本第71页习题2．2第2、3、5、8题．
九、板书设计：
2.2 整式的加减(2)
第二课时
1． 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
722、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
2.2 整式的加减(3)
第三课时
三维目标
一、知识与技能
能根据题意列出式子：会进行整式加减运算，并能说明其中的算理．
二、过程与方法
经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，发展符号感，提高运算能力及综合运
用知识进行分析、解决问题的能力．
三、情感态度与价值观
培养学生积极探索的学习态度，发展学生有条理地思考及代数表达能力，体会整式的
应用价值．
教学重、难点与关键
1．重点：列式表示实际问题中的数量关系，会进行整式加减运算．
2．难点：列式表示问题中的数量关系，去掉括号前是负因数的括号．
3．关键：明确问题中的数量关系，熟练掌握去括号规律。
四、教学过程 引入新课
1．多项式中具有什么特点的项可以合并，怎样合并？
2．如何去括号，它的依据是什么？
五、新授
例1．（1）求多项式2x-3y与5x+4y的和．
（2）求多项式8a-7b与4a-5b的差．
例2．一种笔记本的单价是x（元），圆珠笔的单价是y（元），小红买这种笔记本3本，买
圆珠笔2枝；小明买这种笔记本4个，买圆珠笔3枝，买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明
共花费多少钱？
例3．做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：厘米）．
73长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
解：（1）（2ab+2ac+2bc）+（6ab+6ac+8bc）
=2ab+2ac+2bc+6ab+6ac+8bc）
=8ab+8ac+10bc
（2）（6ab+6ac+8bc）-（2ab+2ac+2bc）
=6ab+6ac+8bc-2ab-2ac-2bc
=4ab+4ac+6bc
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
1 1 3 1 2
例4．求 x-2（x- y2）+（- x+ y2）的值，其中x=-2，y= ．
2 3 2 3 3
1 1 3 1
解： x-2（x- y2）+（- x+ y2）
2 3 2 3
1 2 3 1
= x-2x+ y2- x+ y2
2 3 2 3
1 3 2 1
=（ -2- ）x+（ + ）y2
2 2 3 3
=-3x+y2
2
当x=-2，y= 时
3
2 4 4
原式=-3×（-2）+（ ）2=6+ =6
3 9 9
六、巩固练习
1．课本第70页练习1、2、3题．
四、课堂小结
整式加减是代数式的基本运算，去括号与合并同类项是整式加减的基础，在进行整式
加减时，如果遇到括号应先去括号，再合并同类项，整式运算是建立在数的运算的基础上，
因此数的运算性质在整式运算中仍适用．
五、作业布置
1．课本第71页至第72页第4，6，9题．
九、板书设计：
742.2 整式的加减(3)
第三课时
1．一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
2、随堂练习。
3、小结。
4、课后作业。
十、课后反思
第二章整式的加减（复习1）
三维目标
一、知识目标：理解整式的加减实质就是去括号，合并同类项，其结果仍然是整式；掌握学生
在掌握合并同类项、去括号与添括号的基础上，掌握整式加减的一般步骤；能够正确地进行
整式的加减运算．
二、能力目标：经历用字母表示数量关系的过程，发展符号感；培养用代数的方法解决实际
生活中的问题的能力和口头表达能力．
三、情感目标：渗透教学知识来源于生活，又要为生活而服务的辩证观点；整式的加减实质
上就是去括号，合并同类项，结果总是比原来简洁，体现了数学的简洁美．
教学重难点：利用去括号、合并同类项进行整式的加减运算；根据实际问题中的数量关系列
出算式，并求出结果；
教材处理与数学方法
1．调动学生自觉性与积极性，由浅入深地传授知识，提高学生学习兴趣。
2．运用启发式教学，让学生自行归纳出整式的加减的步骤。
3．利用不同记号标出各同类项，有助学生合并同类项。
4．让学生在实际解题过程中，体会到整式的加减实际上就是已经学过的去括号法则与合并
同类项这两个知识的综合，这样更有利于学生学会将新知转化为旧知，不断更新知识结构。
5．充分利用教学时间，在课堂上进行针对性辅导，把共性问题与典型题目展示，引导学生发
现问题与纠错能力。
四、（一）复习旧知识
1、合并同类项定义、法则；
2、去括号法则。
3、 基础训练
计算
（1）（2ｘ－3ｙ）－（5ｘ＋4ｙ）
75（2） －3ab-4a2+3 a2 -(-2ab)
(3) (3 a2 –ab+7)-(-4 a2+2ab+7)
(4) (-x+2x2+5)+(4x2-3-6x)
4、列式计算
（1） 2x2-3x+1与-3x2+5x-7 的和；
（2）-x2+3xy-2y2 与-2x2+4xy-y2 的差；
（3）一个多项式加上5x2+4x-1 得-8x2+6x+2 ，求这个多项式；
5、求值：2a2-b2+(2b2-a2)-(a2+2b2), 其中a=1/3,b=3.
五、归纳小结
1．整式的加减实际上就是______________________．
2．整式的加减的步骤，一般分为_____________________．
3．整式加减的结果是__________或__________（单项式或多项式）．结果更简单，体现
我们数学中的简洁美．
六、随堂练习:
七、布置作业：
第三章 一元一次方程
3.1从算式到方程
§3.1.1一元一次方程（一）
教学目标：
知识与技能：
通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；
过程与方法：
初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；
情感、态度、价值观：
培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
教学重点：从实际问题中寻找相等关系
教学难点：从实际问题中寻找相等关系
教学过程：
一、情境引入
提出教科收第78页的问题，并用多媒体直观演示，同进出现下图：
问题1：从上图中你能获得哪些信息？（可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列
顺序等方面去考虑。）
76可以在学生回答的基础上做回顾小结
问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗·
教师可以在学生回答的基础上做回顾小结：
1、问题涉及的三个基本物理量及其关系；
2、从知的信息中可以求出汽车的速度；
3、从路程的角度可以列出不同的算式：
问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？
二、学习新知
1、引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量．
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山 千米，王家庄距秀水
千米．
2、引导学生寻找相等关系，列出方程．
问题1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？
问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？你能表示其他各段路
程的车速吗？
问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？
根据学生的回答情况进行分析，如：
依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程：
，
依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速”
可列方程：
3、给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念．
4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤：
(1)用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z等字母）；
(2)根据问题中的相等关系，列出方程．
三、举一反三，讨论交流
1、比较列算式和列方程两种方法的特点．
列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量关系；
列方程：可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。
2、思考：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
如果直接设元，还可列方程：
如果设王家庄到青山的路程为x千米，那么可以列方程：
说明：要求出王家庄到翠湖的路程，只要解出方程中的x即可，我们在以后几节课中再
来学习．
四、初步应用
1、例题（补充）：根据下列条件，列出关于x的方程：
（1)x与18的和等于54；
（2）27与x的差的一半等于x的4倍．
本例题可以先让学生尝试解答，然后教师点评．
解：（1）x＋18=54；
77（2） （27－x）＝4x.
2、练习（补充）：
(1)列式表示：
① 比a小9的数； ② x的2倍与3的和；
③ 5与y的差的一半； ④ a与b的7倍的和．
(2)根据下列条件，列出关于x的方程：
（1） 12与x的差等于x的2倍；
（2）x的三分之一与5的和等于6.
五、课堂小结
1、 本节课我们学了什么知识？
2、 你有什么收获？
说明方程解决许多实际问题的工具。
六、作业设计
课本P83：1、5题
78§3.1.1 一元一次方程（二）
教学目标：
1.理解一元一次方程、方程的解等概念；
2.掌握检验某个值是不是方程的解的方法；
3.培养学生根据间题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力；
4.体验用估算方法寻求方程的解的过程，培养学生求实的态度。
教学重点：寻找相等关系、列出方程．
教学难点：对于复杂一点的方程，用估算的方法寻求方程的解，需要多次的尝试，也需要一
定的估计能力
教学过程：
一、情境引入
问题：小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年
龄各是几岁？
如果设小雨的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小思的年龄吗？
学生回答，教师加以引导：小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示，这
说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示．
由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们又可以写成：25-x=2x-8．这样就
得到了一个方程．
二、自主尝试
1.尝试：
让学生尝试解答课本第67页的例1。对于基础比较差的学生，教师可以作如下提示：
(1）选择一个未知数，设为x，
(2）对于这三个问题，分别考虑：
用含x的式子表示这台计算机的检修时间；
用含x的式子分别表示长方形的长和宽；
用含x的式子分别表示男生和女生的人数．
(3)找一个问题中的相等关系列出方程．
2.交流：
在学生基本完成解答的基础上，请几名学生汇报所列的方程，并解释方程等号左右两边
式子的含义．
3.教师在学生回答的基础上作补充讲解，并强调：
（1）方程等号两边表示的是同一个量；
（2）左右两边表示的方法不同．
4.讨论：
问题1：在第(1)题中，你还能用两种不同的方法来表示另一个量，再列出方程吗？
让学生在学习小组内讨论，然后分组汇报交流：
选“已使用的时间”可列方程：2 450-150x=1 700.
选“还可使用的时间”可列方程：150x=2 450-1 700.
问题2：在第(3)题中，你还能设其他的未知数为x吗？
在学生独立思考、小组讨论的基础上交流：
设这个学校的男生数为x，那么女生数为(x+80)，全校的学生数为(x+x+80).
列方程：x＋80=52％(x+x＋80)．
三、建立概念
1.概念的建立．
79让学生在观察上述方程的基础上，教师进行归纳：各方程都只含有一个未知数，并且未
知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．
“一元”：一个未知数；“一次”：未知数的指数是一次．
判断下列方程是不是一元一次方程：
（1）23-x=一7： （2）2a-b=3
（3）y+3＝6y-9； （4）0.32 m-(3＋0.02 m) =0.7.
（5）x2＝1 （6）
2.引导学生归纳：
从上面的分析过程我们可以发现，用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步
骤？在学生回答的基础上，教师用方框表示：
设未知数 列方程
实际问题 一元一次方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题
的一种方法．
四、估算求解
列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值．对于简单的方程，我们可以采用估
算的方法．
①问题：你认为该怎样进行估算？
可以采用“尝试—发现—归纳”的方法：让学生尝试后发现，要求出答案必须用一些具体的数值代
入，看方程是否成立，最后教师进行归纳．
可以像课本那样用列表的方法进行尝试，也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试．
②在此基础上给出概念：能使方程左右两边的值相等 的未知
数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．
一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个 值代替
未知数代人方程，看方程左右两边的值是否相等．
五、课堂练习
练习课本第83页中练习
六、课堂小结
着重引导学生从以下几个方面进行归纳：
①这节课我们学习了什么内容？
②用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么？
③列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量．
④估算是一种重要的方法．
思考：课本第81页中的“思考”．（目的是体验用估算的方法有时会很麻烦）
七、作业设计
课本第83-84页习题3.1第2,6,7,8题 第11题．
80§3.1.2 等式的性质（一）
教学目标：
1.了解等式的两条性质；
2.会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程；
3.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力；
4.渗透“化归”的思想．
教学重点：理解和应用等式的性质
教学难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”
教学过程：
一、提出问题
用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解．你能用这种方法求出下列方程
的解吗？
（1） 3x-5＝22； (2) 0.28-0.13y=0.27y＋1.
第(1)题要求学生给出解答，第(2)题较复杂，估算比较困难，此时教师提出：我们必须学习
解一元一次方程的其他方法．
二、探究新知
1.实验演示：
教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用
自己的语言叙述你发现的规律．然后按课本第71页图2.1-2的方法演示实验．
教师可以进行两次不同物体的实验．
2.归纳：
请几名学生回答前面的问题．
在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同
样的性质．比如“8=8”，我们在两边都加上6，就有“8－11=8－11”.
3.表示：
问题1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？
在学生回答的基础上，教师必须说明：等式两边加上的可以是同一个数，也可以是同一
个式子．
问题2：等式一般可以用a=b来表示．等式的性质1怎样用式子的形式来表示？
如果a=b，那么a±c=b±c
字母a、b、c可以表示具体的数，也可以表示一个式子。
4.观察课本P71图2.1－3，你又能发现什么规律？你能用实验加以验证吗？
在学生观察图2.1一3时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义．观察后再请一
名学生用实验验证．
然后让学生用两种语言表示等式的性质2.
如果a=b，那么ac=bc
如果a=b(c≠0)，那么
三、应用举例
方程是含有未知数的等式，我们可以运用等式的性质来解方程。
例1课本第72页例2中的第（1）、（2）题．
81分析：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？’’因此我们需要把方程转化为
“x=a(a为常数)”形式。
问题 1：怎样才能把方程x＋7=26转化为x=a的形式？
学生回答，教师板书：
解：（1）两边减7，得、
x+7－7=26－7，
x=19. I
问题2：式子“－5x”表示什么？我们把其中的－5叫做这个式子的系数．你能运用等
式的性质把方程－5x=20转化为x=a的形式吗？
用同样的方法给出方程的解．
小结：请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式．
例2（补充）小涵的妈妈从商店买回一条裤子，小涵问妈妈：“这条裤子需要多少钱？”
妈妈说：“按标价的八折是36元．”你知道标价是多少元吗？
要求学生尝试用列方程的方法进行解答．在学生基本完成的情况下，教师给出示范．
解：设标价是x元，则售价就是80％x元，根据售价是36元
可列方程：
80%x=36，
两边同除以80％，得
x=45.
答：这条裤子的标价是45元．
四、课堂练习
1.分别说出下列各式子的系数
3x，－7m， ，a，－x，
2.利用等式的性质解下列方程
（1） x－5=6 （2）0.3x=45
（3）－y=0.6 （4）
3.七年级3班有18名男生，占全班人数的45%，求七年级3班的学生人数。
4.思考：你能用等式的性质解本课引入时的方程3x－5=22吗？
五、课堂小结
让学生进行小结，主要从以下几个方面去归纳：
①等式的性质有那几条？用字母怎样表示？字母代表什么？
②解方程的依据是什么？最终必须化为什么形式？
③在字母与数字的乘积中，数字因数又叫做这个式子的系数．
六、作业设计
课本第83页3.1第3题
82§3.1.2 等式的性质（二）
教学目标：
1.进一步理解用等式的性质解简简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程
2.初步具有解方程中的化归意识；
3.培养言必有据的思维能力和良好的思维品质．
教学重点：用等式的性质解方程
教学难点：需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。
教学过程：
一、复习引入
解下列方程：（1）x＋7=1.2; （2）
在学生解答后的讲评中围绕两个问题：
（1）每一步的依据分别是什么？
（2）求方程的解就是把方程化成什么形式？
这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。
二、探究新知
对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马
上做出选择吗？
例1 利用等式的性质解方程：
（1）0.5x－x=3.4 （2）
先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：
① 要把方程0.5x－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.5，怎么去？
② 要把方程－x=2.9转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？
然后给出解答：
解：（1）两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5
化简，得
－x=－2．9，、
两边同乘－1，得l
x=－2.9
小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目标是把方程最
终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．
你能用这种方法解第（2）题吗？
在学生解答后再点评．
解后反思：
①第（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？
②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？
允许学生在讨论后再回答．
例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3．5米，
儿童服装每套平均用布1．5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服
装？
在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套
服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？
解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5米，根据题意，
得
80x×3.5＋1.5x＝355．
化简，得
83280＋1.5x＝355，
两边减280，得
280＋1.5x－280＝355－280，
化简，得
1.5x＝75，
两边同除以1.5，得x＝50．
答：用余下的布还可以做50套儿童服装．
解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题
的解．也就是把实际问题转化为数学问题．
问题：我们如何才能判别求出的答案50是否正确？
在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方程的解，可
以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把 x=50代入方程80×3.5＋
1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355
方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解。
你能检验一下x=－27是不是方程 的解吗？
三、课堂练习
1.课本第84页练习 第（3）（4）题。
2.小聪带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱
刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？（用列方程的方法求解）
四、课堂小结
先让学生进行归纳、补充。主要围绕以下几个方面：
（1）这节课学习的内容。
（2）我有哪些收获？
（3）我应该注意什么问题？
五、作业设计
课本第83页第4、10题
84§3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(1)
教学目标：
知识与技能：
1.学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程．
2.能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程
过程与方法：
经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
情感、态度、价值观：
初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。
教学重点：建立方程解决实际问题，会解 “ax＋bx=c”类型的一元一次方程。
教学难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程。
教学过程：
（一）设置情境、提出问题
（讲述背景资料）约公元825年，中亚细亚数学家阿
尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与
还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定
能回答这个问题．
出示课本88页问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今
年购买的数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机？
（二）探索分析、解决问题
引导学生回忆：
设未知数 列方程
实际问题 一元一次方程
设问1：如何列方程？分哪些步骤？
师生讨论分析：
①设未知数：前年购买计算机x台
② 找相等关系：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140台
③列方程：x＋2x＋4x=140
设问2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x=a的形式？学生观察、思考：
根据分配律，可以把含 x的项合并，即
x＋2x＋4x=（1＋2＋4）x=7x
老师板演解方程过程：（略）
为帮助有困难的学生理解，可以在上述过程中标上箭头和框图。
85设问3：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？
学生讨论、回答，师生共同整理：
“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式。
（三）例题分析、体现方法
出示课本第89页例1
采用学生叙述、教师板书的师生合作方式完成。
（四）课堂练习
学生练习课本上第89页练习
（五）拓广探索、比较分析
对于问题1还有不同的未知数的设法吗？
学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程
若设今年购买计算机x台，得方程
（六）综合应用、巩固提高
一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白
皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？
学生思考、讨论出多种解法，师生共同讲评。
（七）课堂小结
提问：
1. 你今天学习的解方程有哪些步骤，每一步依据是什么？
2. 今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点？
学生思考后回答、整理：
1.解方程的步骤及依据分别是：合并和系数化为1
2.总量=各部分量的和。
（八）作业设计
课本P91页习题3.2中1、3、4、6
86§3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(2)
教学目标：
知识与技能：
掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会
解法中蕴涵的化归思想．
过程与方法：
通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．
情感、态度、价值观：
体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。
教学重点：建立方程解决实际问题，会解 “ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程。
教学难点：分析实际问题中的相等关系，列出方程。
教学过程：
（一）提出问题
出示课本89页问题2：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；
如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？
（二）分析问题
引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路．
学生讨论、分析：
1、设未知数：设这个班有x名学生
2、找相等关系：
这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等．
3、列方程：3x＋20=4x-25 … (1)
设问1：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有何不同？
学生讨论后发现：方程的两边都有含x的项（3x与4x)和不含字母的常数项（20与－
25）．
设问2：怎样才能使它向x=a的形式转化呢？
学生思考、探索：为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边
没有常数项，等号两边同减去20.
3x－4x=－25－20… （2）
设问3：以上变形依据是什么？
等式的性质1。
归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
师生共同完成解答过程。
设问4：以上解方程中“移项”起了什么作用？
学生讨论、回答，师生共同整理：
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式
87（三）运用新知
出示课本第91页例2
可以由学生叙述教师板演，也可以让学生尝试给出解答，教师再进行讲评。
解题后反思归纳：
（1） 什么时候需要“移项”？ “移项”起了什么作用？
（2） “移项”的依据是什么？“移项”应注意什么？
（四）课堂练习
学生练习课本上第91页练习
（五）拓广探索、比较分析
对于问题1还有不同的未知数的设法吗？
学生思考回答：若设去年购买计算机x台，得方程
若设今年购买计算机x台，得方程
（六）综合应用、巩固提高
有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减少
一条船 ，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？
（七）课堂小结
提问：
1. 今天你又学会了解方程的哪些方法？有哪些步聚？每一步的依据是什么？
2. 现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？
3. 今天讨论的问题中的相等关系又有何共同特点？
学生思考后回答、整理：
① 解方程的步骤及依据分别是：
移项（等式的性质1）
合并（分配律）
系数化为1（等式的性质2）
② “对消”与“还原”就是“合并”与“移项”
③ 表示同一量的两个不同式子相等。
（八）作业设计
课本第91页习题3.2第2、7、8题
88§3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(3)
教学目标：
知识与技能：
1、学会探索数列中的规律，建立等量关系。
2、能正确地求解一元一次方程并判断解的合理性
过程与方法：
经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析和解决问题的能力。
情感、态度、价值观：
通过学习“合并同类项”“移项”，体会到古老的代数书的“对消”和“还愿”的思
想，激发数学学习的热情.
教学重点：探索并发现实际问题中的等量关系，并列出方程
教学难点：建立一元一次方程解决实际问题。
教学过程：
（一）创设情境、提出问题
前几节课，我们讨论了用一元一次方程解决一些实际问题，其实许多数列、游戏活动中
也蕴含着方程知识。出示课本79页例1：有一列数，按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，
－243……其中某三个相邻数的和是－1701，这三个数各是多少？
（二）探索分析、解决问题
引导学生观察这列数有什么规律？
（从符号和绝对值两方面）
学生讨论后发现：后面一个数是前一个数的－3倍。
师生共同分析，完成解答过程：
解：设这三个相邻数中的第一个数为x,则第2个数为－3x，第3个数为－3×(－3x)=9x
根据这三个数的和是－1710，得
x－3x＋9x=－1710
合并，得7x=－243
所以－3x=729
9x=－2187
答：这三个数是－243、729、－2187
引导学生讨论以上列方程解决实际问题的关键。
89学生讨论、分析：探索规律，找出相等关系
如有学生提出不同的设未知数的方法，同样给予鼓励。
（三）课堂练习
1、三个连续的奇数的和是27，求这三个奇数。
2、如果三个连续奇数的和是29，你能求出这三个奇数吗？
（四）综合应用、巩固提高
在某月内，李老师要参加三天的学习培训，现在知道这三天的日期的数字之和是39.
1，培训时间是连续的三天，你知道这几天分别是当月的哪几号吗？
2，若培训时间是连续三周的周六，那这几天又分是当月的哪几号？
学生练习，讲评。
（五）课堂小结
提问：
① 你是怎样分析数列中的规律的？
② 你学会判明方程的解是否合理吗？
③ 试用自己的话概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的一般过程。
学生思考、讨论、整理。
（六）作业设计
课本第91页习题3.2第5、9题
选做部分：
小明和小红做游戏，小明拿出一张日历：“我用笔圈出了2×2的一个正方形，它们数
字的和是76，你知道我圈出的是哪几个数字吗？”你能帮小红解决吗？
90§3.2 解一元一次方程（一）
——合并同类项与移项(4)
教学目标：
知识与技能：
通过探究实际问题与一元一次方程的关系，感受数学的应用价值，提高分析问题，解决
问题的能力。
过程与方法：
经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会模型化的思想。
情感、态度、价值观：
通过学习，更加关注生活，增强用数学的意识，从而激发学习数学的热情。
教学重点：探究实际问题与一元一次方程的关系。
教学难点：建立一元一次方程解决实际问题。
教学过程：
（一）创设情境提出问题
信息社会，人们沟通交流方式多样化，移动电话已很普及，选择经济实惠的收费方式
很有理实意义。
出示课本91页的例4;观察下列两种移动电话计费方式表：
全球通 神州行
月租费 30元/月 0
本地通话 0.30 0.40
费 元/分 元/分
设计以下问题：
1、你能从中表中获得哪些信息，试用自己的话说说。
2、猜一猜，使用哪一种计费方式合算？
3、 一个月内在本地通话200分和350分，按两种计费方式各需交费多少元？
4、对于某个本地通通话时间，会出现两种计费方式的收费一样的情况吗？
（二）探索分析、解决问题
学生充分交流讨论、整理归纳
解：1、用“全球通”每月收月租费30元，此外根据累计通话时间按0.30元/分加收通
话费;用“神州行”不收月租费，根据累计通话时间按0.40元/分收通话费。
2、不一定，具体由当月累计通话时间决定。
3、
91全球通 神州行
200分 90元 80元
300分 135元 140元
4， 设累计通话t分，则用“全球通”要收费（30+0.3t）元，用“神州行”要收费0.4t
元，如果两种计费方式的收费一样，则0.4t=30+0.3t
移项得 0.4t－0.3t=30 合并，得0.1t=30 系数化为1，得t=300
答：如果一个月内通话300分，那么两种计费方式的收费相同。
问题2是开放性的，答案与通话时间有关
（三）综合应用、巩固提高
一个周末，王老师等3名教师带着若干名学生外出考察旅游（旅费统一支付），联系了标
价相同的两家旅游公司，经洽谈，甲公司给出的优惠条件是：教师全部付费，学生按七五折
付费;乙公司给的优惠条件是：全部师生按八折付费，请你参谋参谋，选择哪家公司较省钱？
（四）课堂小结、知识梳理
试用框图概括“用一元一次方程分析和解决实际问题”的基本过程
学生思考、讨论、整理。
列方程
实际问题题 数学问题
（一元一次方程）
检 验
实际问题的
数学问题的解
答案
（五）作业设计
课本91页习题3.2第10、11题。
92§3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(1)
教学目标：
知识与技能：
1、通过运用算术和列方程两种方法解决实际问题的过程，使学生体会到列方程解应用
题更为简捷明了，省时少力；掌握去括号解方程的方法．
2、培养学生分析问题，解决问题的能力．
过程与方法：
在积极参与教学活动过程中，初步体验一元一次方程的使用价值，形成实事求是的态度
和独立思考的习惯。
情感、态度、价值观：
通过列方程解决实际问题，使学生感受到数学的应用价值，激发学生学习数学的信心.
教学重点：逐步树立列方程解应用题的思想。
教学难点：弄清列方程解应用题的思想方法;用去括号解一元一次方程。
教学过程：
（一）复习引入
依次提出下列两个问题：
1. 解一元一次方程时，最终结果一般是化为哪种形式？
2. 我们可以采用哪两种方法将一个一元一次方程化为“x=a”的形式？
当问题中数量关系较为复杂时，列出的方程也会较复杂，仅用这两种方法行吗？
（二）提出问题
出示课本96页问题。
分析：如果用方程解这道题，可以怎样设未知数？如果设上半年每月平均用电x度，那
么下半年每月平均用电____度;上半年共用电____度,下半年共用电____度.根据哪个等量
关系列方程?
在学生回答的基础上得出6x＋6(x－2000)=150000
(三)解决问题
好，现在怎样使这个方程向x=a的形式转化呢？利用“分配律”先去括号，下面的框图
表示了解这个方程的具体进程，你能说出每步的依据吗？
6x＋6(x－2000)=150000
↓
6x＋6x－12000=150000
↓
6x＋6x=150000+12000
↓
12x=162000
↓
93x=13500
由上可知，这个工厂去年上半年每月平均用电13500度。
思考：本题还有其他列方程的方法吗？
（四）例题分析
出示课本第97页例1，师生共同给出解答。
解答后应强调：①方程中含有括号时，一般需要去括号。②去括号时应注意括号前面的
符号。
（五）巩固练习
（1）完成课本97页练习．
（2）学校团委组织65名团员为学校建花坛搬砖，初一同学每人搬六块，其他年级同学
每人搬8块，总共搬了400块，问初一同学有多少人参加了搬砖？
（3）学校田径队的小刚在400米跑测试时，先以6米／秒的）速度跑完了大部分路程，
最后以8米／秒的速度冲刺到达终点，成绩为1分零5秒，问小刚在冲刺以前跑了多少时间
3、拓展性练习：
编一道联系实际的数学问题，使所列的方程是
6x＋8（65一x）＝400
并将其与上题中的（2）、（3）相比较，有何感想？将你的想法和同学交流．
（六）本课小结
通过以下问题引导学生回顾、小结：
通过这节课，你在用一元一次方程解决实际问题方面又获得了哪些收获？去括号解一
元一次方程要注意什么？
（七）作业设计
课本98页习题3.3第1、2、4题.
94§3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(2)
教学目标：
知识与技能：
1、会从实际问题中抽象出数学模型，会用一元一次方程解决一些实际问题．
2、通过观察、实践、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程．
过程与方法：
在积极参与教学活动过程中，初步体验一元一次方程的使用价值，形成实事求是的态
度和独立思考的习惯。
情感、态度、价值观：
1.在独立思考的基础上，积极参与讨论，敢于发表自己的观点；
2.敢于面对学习中的困难，克服困难，锻炼意志，建立自信。
教学重点：寻找实际问题中的等量关系，建立数学模型。
教学难点：弄清题意，用列方程解决实际问题。
教学过程：
（一）复习巩固
1、解下列方程：
（1）10x－4（3－x）－5（2＋7x）=15x-9（x－2）
（2）3（2－3x）－3[3（2x－3）＋3]=5
1 1 1
x1 x2 3 x3
（3）2 3 4
2、（课本97页例2)一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码
头逆流行驶，用了2.5小时．已知水流的速度是3千米／小时，求船在静水中的平均速度．
（二）提出问题、探究新知
问题1(课本98页例3)：某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1
200个或螺母2 000个，一个螺钉要配两个螺母．为了使每天的产品刚好配套，应该分配多
少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
解决问题的关键：
1、如果设x名工人生产螺钉，则 名工人生产螺母；
2、 为了伸每天的产品刚好配套．应使生产的螺母恰好是螺钉数量的
（三）课堂练习
95练习1：某水利工地派48人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土5方或运土3方，那
么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？
问题2:要用20张白卡纸做包装盒，每张白卡纸可以做盒身两个，或者做盒底盖3个．如
果一个盒身和两个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这白卡纸分成两部分，一部分做
盒身，一部分做底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套？请设计一种分法．
（想一想：如果一张白卡纸可以适当的套裁出一个盒身和一个盒底盖，那么，怎样分
这些白卡纸，才能既使做出的盒身和盒底盖配套，又能充分地利用白卡纸？）
练习2：
1、用白铁皮做罐头盒，每张铁片可制盒身16个或制盒底43个一个盒身与两个盒
底配成一套罐头盒．现有100张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以既使做出的
盒身和盒底配套，又能充分地利用白铁皮？
2、某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个．甲、乙两种零件分别取
3个、2个才能配成一套．要在30天内生产最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零
件的天数？
（四）小结
通过以下问题引导学生反思小结：
1、通过这节课的学习，你有什么收获？
2、在解决配套、分配等问题方面你获得了哪些经验？这些问题中的相等关系有什么
特点？
（五）作业设计
1.课本98-99页习题3.3第5、6、7题，
96§3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(3)
教学目标：
知识与技能：
会把实际问题建成数学模型，会用去分母的方法解一元一次方程．
过程与方法：
通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想；通过去分母解方程，让学生了解
数学中的“化归”思想．
情感、态度、价值观：
让学生了解数学的渊源及辉煌的历史，激发学生的学习热情。
教学重点：实际问题中如何建立等量关系，并根据等量关系列出方程。
教学难点：会用去分母的方法解一元一次方程。
教学过程：
（一）提出问题（课本99页问题）
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程
就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草书上．经破译，上面都是一些方程，共
85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它
的七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数为几何？
（二）分析问题
如果设这个数为x，那么上述这段文字就可用如下方程表示： x+ x+ x+x=33
和以往不同的是，我们看到，上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系
数化成整数，那么可以使解方程中的计算更方便一些。
去分母的关键在于：方程两边同时乘以各分母的最小公倍｝.于是，所列方程变为整系数
方程。
如何解这个方程？在学生回答的基础上可以归纳两种方法：
方法一：直接进行合并同类项，进而化为“x=a”的形式.
方法二:先把含x的各项系数化为整数.
（三）探讨归纳
解方程：
1、为使方程变为整系数方程，方程两边应该同乘以什么数？
2、在去分母的过程中，应该注意哪些易错的问题？
3、解上述方程的全过程，展示了一元一次方程解法的一般步骤，试归纳、小结，并了解
过程中每一步的主要依据．
（四）范例学习
出示课本100页例4.
97采用学生尝试练习,师生互评矫正的方式处理,
解后再次归纳解方程的步骤和去分母的注意事项(避免漏乘).
（五）巩固练习
1、 完成课本101页练习。
2、解方程：
（1）
（2）
3、（童话数学100雁问题）碧空万里，一群大雁在飞翔，迎面又飞来一只小灰雁，它对群
雁说：“你们好，百只雁！你们百雁齐飞，好气派！可怜我是孤雁独飞．”群雁中一只领头
的老雁说：“不对！小朋友，我们远远不足100只．将我们这一群加倍，再加上半群，又加上
四分之一群，最后还得请你也凑上，那才一共是100只呢，请问这群大雁有多少只？
3、目前初中数学主要分成代数与几何两大部分，其中代数学的最大特点是引人了未知
数，建立方程，对未知数加以运算．而最早提出这一思想并加以举例论述的，是古代数学名
著《算术》一书，其作者是古希腊后期数学家—“代数学之父”丢番图．丢番图的墓志铭：
“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路．上帝给予的童年占六
分之一又过十二分之一，两颊长胡．再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛．五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进人冰冷的墓．悲伤只有用数论的研究去弥补，
又过四年，他也走完了人生的旅途．”请你列出方程算一算，丢番图去世时的年龄？
设丢番图去世时的年龄为x岁，由题意可列方程
1 1 1 1
x x x5 x4 x
6 12 7 2 解得：x=84。
（六）课堂小结
1、去分母解一元一次方程时要注意什么？
2、去分母解一元一次方程时，在方程两边同时乘以各分母最小公倍数的目的是什么？
（七）作业设计
1、课本第98-99页习题3.3第3、8题
98§3.3 解一元一次方程（二）
——去括号与去分母(4)
教学目标：
1、会根据实际问题中数量关系列方程解决问题，熟练掌握一元一次方程的解法．
2、培养学生数学建模能力，分析问题、解决问题的能力．
3、通过开放性问题的设计，培养学生创新能力和挑战自我的意识，增强学生的学习兴
趣。
教学重点：从实际问题中抽象出数学模型。
教学难点：根据题意，分析各类问题中的数量关系，会熟练地列方程解应用题。
教学过程：
（一）复习巩固
1、解下列方程：
3y1 7 y
（1） 3 6
2x1 10x1 12x
1
（2） 4 6 3
1.5x1 x
0,5
（3） 3 0.6
2、讨论交流：按怎样的步骤解方程 才最简便？由此你能得到怎样的
启发？
（二）探索研究
1、问题（课本101页例5）：
整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划由一部分人先做4小时，再增加两
人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应安排多少人工
作？
解决问题的关键：
(1) 把总工作量看作1；
(2) 工作量=人均效率×人数×时间．
2、试一试：
99课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广
告牌，请来两名工人．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，”就因校长叫他有
其他事情而离开教室．
调皮的小刘说：“让我试一试．”上去添了“两人合作需几天完成？’’
有同学反对：“这太简单了！”但也引起了大家的兴趣，于是各自试了起来……
请同学们尝试着尽可能多地补全此题，并与同学们一起交流各自的做法．
3、举一反三：
（1庆祝校运会开幕，七年级(1)班学生接受了制作校旗的任务．原计划一半同学参
加制作，每天制作40面．而实际上，在完成了三分之一以后，全班同学一起参加，结果比原
计划提前一天半完成任务．假设每人的制作效率相同，问共制作小旗多少面？
（2）小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了
三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站，便随即下车
改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站．已知公共汽车的
平均速度是40千米／时，问小张家到火车站有多远？
（3）将上述两题加以比较，有否相通之处？可否一题多解？
并探究未知数假设的技巧性．
（三）课堂小结
谈谈本节你有何收获？
（四）作业设计
1、第99页习题3.3第9、10、11题
100§3.4实际问题与一元一次方程（一）
教学目标：
知识与技能：
1、利用路程、时间、速度之间关系，借助画示意图列一元一次方程解以现实为背景的应
用题；
2、运用画图直观分析、探究发现，充分发挥学生的主体作用，学生在轻松愉快的气氛中
掌握知识。
过程与方法：
结合实际，创造活跃有趣的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体
验；培养学生的探索精神，树立学习的信心。
情感、态度、价值观：
培养学生的探索精神，树立学习的信心。
教学重点：通过分析题意，寻找等量关系，列方程。
教学难点：从不同的角度来找等量关系，列方程。
教学过程：
（一）创设情境、提出问题
问题1：“甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是 ，甲每小时走 ，乙每小时走
，问他俩几小时可以碰到？”
你能回答出上述问题吗？
（二）讨论交流，探究问题
① 组织四人小组活动，观察分析，理解题意，弄清路程、速度、时间之间的关系；
② 在小组讨论的基础上，全班相互交流。
教师针对学生讨论的情况，进行点评，引导分析，渗透数学建模的思想。
甲 乙
画出示意图：
50km
引导分析：甲乙相遇时，他们共行的路程为 。
本题有哪些相等关系呢？
从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程= 。
从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间。
如果设：甲、乙相遇他们的时间为 ，此时相等关系：
甲行走的路程+乙行走的路程= 。
即甲行走的速度×甲行走的 +乙行走的 ×乙行走的时间= 。
则可得方程：
解：设甲乙相遇时行走了 小时，根据题意得：
， ， 。
答：他们10小时能相遇。
此时教师再问：如果设甲行走的路程为 ，那么相等关系是什么呢？再让四人小组
讨论、交流。
问题2：接上题：一只小狗每小时走 ，它同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，
碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时，一共走了多少千米？”
你知道怎样解答的吗？
101学生继续分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：
① 画出示意图；（略）
② 分析：
小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，现在只需求出小狗走的时间，问题就解
决了。
小狗走的时间为多少呢？
显然，小狗往返跑直到甲、乙相遇时才停下来，故小狗跑的时间就是甲、乙相遇前走的
时间，问题由此应迎刃而解。
解：（略）
问题3：
如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，乙和小狗先出发3小时，甲
再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？
学生分组讨论。由小组派代表发表本组的见解，然后教师点评分析：
① 画出示意图；（略）
② 分析：变换情境后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？
小狗走的路程=小狗走的速度×小狗走的时间，故关键还是求出时间，而这个时间就是
甲追上乙的时间，可由下列追及问题中的等量关系求得。
甲行走的速度×甲追上乙行走的时间=乙行走的速度×甲追上乙行走的时间+乙提前行
走的速度×乙提前行走的时间。
问题4：
如果甲、乙、小狗从同一点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，
当小狗追上甲时，甲走了多少米？乙还能追上甲吗？为什么？
学生分组讨论，由小组派代表发表本组的见解。之后教师引导分析：
显然，小狗和甲又形成了追及问题，由问题4知，设小狗追赶甲的时间为 ，则可得到：
。
此时小狗行走的路程=甲行走的路程= 千米，乙不能追上甲，原因何在呢？
如果乙能追上甲，则肯定有 。
解得 。
显然时间不能为负。
说明：速度较大者追速度较小者，定能追上，而速度较小者追速度较大者，肯定不能追
上。
（三）课堂小结
谈谈本节你有何收获？
（四）作业设计
课本107页习题 3.4第6、8题
102§3.4实际问题与一元一次方程（二）
教学目标：
1、使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握商品盈亏
的求法，；
2、培养学生分析问题，解决实际问题的能力；
3、让学生在实际生活问题中，感受到数学的价值。
教学重点：让学生知道商品销售中的盈亏的算法。
教学难点：弄清商品销售中的“进价”“标价”“售价”及“利润”的含义。
教学过程：
（一）引入新课
1、引言
前面我们结合实际问题，讨论了如何分析数量关系，利用相等关系列方程以及如何解方
程。本节开始，我们将进一步探究如何用一元一次方程解决生活中的一些实际问题。
2、引例
①某商品原来每件零售价是a元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是
②某种品牌的彩电降价3%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为
元；
③某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定价是 ；
④某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍获利10%，则该商品的标价为
；
⑤我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品的价格，某种药品在1999年涨价30%
后，2001降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格为 元。
（二）提出问题、探究新知
问题：销售中的盈亏（课本104页探究1）
某商店在某一时间以每件60元的价格卖两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损
25%，卖这两件衣服总收入是盈利还是亏损？或是不盈不亏？
先引导学生大体估算盈亏情况，再通过准确计算检验学生的判断。
分析：进价、售价和利润之间有什么关系？什么是利润率？
利润=售价－进价；利润率=利润/进价×100%.
本题看是否盈利还是亏损的依据是什么？
依据是看卖出两件衣服盈利与亏损谁大。
现在我们来看卖出盈利25%的这件衣服盈利多少。
设盈利25%的这件衣服进价是x元，可得怎样的方程？
x+0.25x=60 解之，得x=48
所以这件衣服利润是60－48=12元。
再来看亏损25%的这件衣服亏损多少元。
设亏损25%的这件衣服进价是y元，可得怎样的方程？
y－0.25y=60 解之，得y=80
所以这件衣服的利润是60－80=－20元。
因此，卖这两件衣服亏损了8元。
注意：盈利时利润率通常用正数表示，所以亏损时利润率是负数。
例2 某种商品零售价每件900元，为了适应市场的竞争，商店按零售价的9折降价
并让利40元销售，仍可获利10%，则这种商品进货每件多少元？
分析：问题中的等量关系是什么？
实际售价－40－进价=利润。
103设这种子商品进货每件x元，那么实际售价是多少？利润是多少？
实际售价是900× ，利润是10%x。
由此可得方程为
x+10%x=900× －40
解之，得
x=700
所以这种商品进货每件700元。
（五）巩固练习
由学生自主探索解决。
问题1：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍
获利15元，这种服装每件的成本是多少元？
问题2：我国股市交易中每天、卖一次各交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股
10元的价格买入上海某股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者实际盈利
为多少？
（六）课堂小结
1.由学生谈谈本节课学到了哪些知识？学后有何感受？
2.商品销售中的基本等量关系有哪些？
利润=售价-进价
利润率= ×100%
打x折的售价=原售价×
3.恰当地运用商品销售问题中的基本等量关系是解决这类问题的关键
（七）作业设计
课本106－107页习题3.4第2、3、4题
104§3.4实际问题与一元一次方程（三）
教学目标：
1、学生通过旅游、选灯、用电、水费、用气、电信等问题的方案设计，弄清各类问题中的
等量关系，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧．
2、通过一个开放式的空间，放手让学生去探索，去发现，培养学生分析问题和用方程
去解决实际问题的能力．
3、让学生在生动活泼的问题情境中感受数学的应用价值，产生对数学的兴趣，养成认
真倾听他人发言的习惯，感受与同伴交流的乐趣。
教学重点：把生活中的实际问题抽象出数学问题。
教学难点：引导学生弄清题意，设计出各类问题的最佳方案
教学过程：
（一）创设问题情境
问题：小江一家三口准备国庆节外出旅游．现有两家
旅行社，它们的收费标准分别为：甲旅行社：大人全价，小孩半价；乙旅行社：不管大人
小孩，一律八折．这两家旅行社的基本价一样．你认为应该选择哪家旅行社较为合算？
由学生完成选择旅行社的方案。
（二）探索与研究
问题：油菜种植的计算（课本105页探究2）
某村去年种植的油菜籽亩产量达160千克，含油率40%，今年改种新选育的油菜籽
后，亩产量提高了20千克，含油率提高了10个百分点。
（1）今年与去年相比，这个村的油菜种植面积减少了44亩，而村榨油厂用本村所
产油菜籽的产油量提高20%，今年油菜种植面积是多少？
（2）油菜种植成本为210元/亩，菜油收购价为6元/千克，请比较这个村去今两年
油菜种植成本与将菜油全部售出所获收入。
分析：问题中有基本等量关系：
产油量＝油菜籽亩产量×含油率×种植面积
师生共同探讨完成下列问题：
（1）设今年油菜种植面积为x亩，则可列式表示去今两年的产油量（单位：千克）
去年产油量＝160×40%·（x +44）
今年产油量= （ 160+2 0 ） × （ 10+4 0 ） %· x
根据今年的产油量=去年的产油量（1+20%），可得方程：
（ 160+2 0 ） × （ 10+4 0 ） % • x=160×40 % •（ x +4 4 ）•（ 1+20 % ）
解之，得 x=256
所以今年油菜种植面积是256亩
（2）去年的油菜种植情况为
油菜种植成本是： 21 0 （ x +4 4 ） =210×300=63000 ( 元 ).
售油收入是： 6×160×40%×300=115200 ( 元 ) .
售油收入与油菜种植成本的差为： 115200-63000=52200 ( 元 ).
今年的油菜种植情况为
油菜种植成本是： 210 x =210×256=53760 ( 元 ).
售油收入是： 6×180×50 % x =6×180×50%×256=138240 ( 元 ).
售油收入与油菜种植成本的差为：138240-53760=84480(元).
105因此，今年比去年种植油菜的成本减少了：
6300－53760=9240(元).
今年比去年售油收入增加了：
138240－115200=23040(元).
通过上面的比较，可以知道今年比去年的成本降低了，收入增加了。
（三）合作交流、探索创新
1、电价问题
据我们调查，我市居民生活用电价格为每天早晨7时到晚上23时每度0.47元，每天
23时到第二天7时每度0.25元．请根据你家每月用电情况，设计出用电的最佳方案．
2、水费问题
我市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过10吨部
分按0.45元／吨收费，超过10吨而不超过20吨部分按0.8元／吨收费，超过20吨部分按
0.50元／吨收费，某月甲户比乙户多交水费3.75元，已知乙户交水费3.15元．
问：(1)甲、乙两户该月各用水多少吨？（自来水按整吨收费）
(2)根据你家用水情况，设计出最佳用水方案．
3、用气问题
某市按下列规定收取每月的煤气费：用煤气如果不超过60 立方米，按每立方米o.8元
收费；如果超过60 立方米，超过部分按每立方米1．2元收费．怎样用气最节约？请设计出
方案来．
4、电信支费
随着电信事业的发展，各式各样的电信业务不断推出，请你通过市场调查，为你家设计
出一种通讯方案．
（1)两地间打长途电话所付电费有如下规定：若通话在3分钟以内都付2.4元．超过3
分钟以后，每分钟付1元．
(2)某移动通讯公司升级了两种通讯业务，“全球通”使用者先缴50元月租费，然后每
通话1分钟，再付话费0.4元，“快捷通”不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．，
根据上述资料,(1)你认为一个月通话多少分钟，两种移动通讯费用相同？(2)某人估
计一个月内通话300分钟，应选择哪种移动通讯或用长途电话合算些？
（四）课堂小结
解决有关百分率的问题必须首先明确与这些百分数有关的基本等量关系如本例中的产
油量=油菜籽亩产量×含油率，还有利息=利率×本金，等等。
（五）作业设计
课本第106-107页习题3.4第5、7题
106§3.4实际问题与一元一次方程（四）
教学目标：
知识与技能：
1、通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法．
2、培养学生分析问题、解决问题的能力．
3、学生在从事探索性活动的学习过程中，形成良好的学习方式和学习态度，借助学生
身边熟悉的例子认识数学的应的价值。
教学重点：把生活中的实际问题抽象成数学问题
教学难点：弄清题意，分析实际问题中的数量关系，找出解决问题的等量关系。
教学过程：
（一）导入新课
我们都喜欢打篮球，你知道篮球比赛胜一场积多少分，负一场积多少怎样计算分吗？
我们今天就来讨论与球赛积分有关的问题。
（二）例题
出示问题：
某次篮球赛积分榜
队 名 比赛场次 胜 场 负 场 积 分
前 进 14 10 4 24
东 方 14 10 4 24
光 明 14 9 5 23
蓝 天 14 9 5 23
雄 鹰 14 7 7 21
远 大 14 7 7 21
卫 星 14 4 10 18
钢 铁 14 0 14 14
（1）用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
分析：要解决这个问题，必须求出胜一场积多少分，负一场积多少分。你能从积分表中
看出负一场积多少分吗？
从最后一行可以看出负一场积1分。
你能从表中看出求胜一场积分的等量关系吗？
由第四行可知，胜场得分+负场得分=23
设胜一场得x分，则
9x+5×1=23
解之，得x= 2
用表中的其它行可以验证：负一场积1分，胜一场积2分。
（1）若某队胜m场，那么总积分是：
1072m+（14－m）=m+14
（2）设一个队胜了x场，则负了（14-x）场。如果这个队的胜场积分等于负场总积分，则
得方程
2x=14－x 解得x=
你能回答这个问题吗？
某队的胜场总积分不能等于它的负场总积分，因为获胜的场数不能是分数。
注意：用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要注意方程的解
是否符合问题中的实际意义。
拓展：如果删去积分榜的最后一行，你还能知道胜一场得多少分，负一场得多少分吗？
思考：设胜一场得x分,那么负一场得多少分?还可以怎么表示?
由第三行知,负一场得 ;由第五行知负一场得 .由此得
= 解之,得x=2
= =1.
所以胜一场得2分,负一场得1分.
（三）课堂练习
由学生自主探索解决
问题：一次足球赛11轮（即每队均需要需要11场）
胜一场记2分，平一场记1分，负一场记0分，北京“国安”队所负的场数是所胜场数
的一半，结果共得14分，求“国安”队共平了多少场？
小结与作业
（四）课堂小结：
1、由表格内容提供给我们解题的重要信息，值得同学们注意；
2、利用方程不仅能求得实际问题的具体数值，而且还可以进行推理判断；
3、用方程解决实际问题时，要进行检验．
（五）作业设计
课本第107页习题3.4第9题
108第三章《一元一次方程》复习（一）
教学目标：
知识与技能：
1.系统复习本章知识
2.通过复习提高学生归纳能力
过程与方法：
教师提问的方式，学生互答，共同回忆，以及讲练结合巩固本章知识。
情感、态度、价值观：
经历复习过程，使学生体会到数学知识的系统性，有着整体美。
教学重点：本章各知识点
教学难点：应用本章知识解决实际问题
教学过程：
（一）基本概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的指数是1的方程叫做一元一次方程。
3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
（二）等式的性质
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
（三）解一元一次方程的一般步骤及根据
1、去分母-------------------等式的性质2
2、去括号-------------------分配律
3、移项---------------------等式的性质1
4、合并同类项-------------分配律
5、系数化为1---------------等式的性质2
6、验根---------------------把根分别代入方程的左右边看求得的值是否相等
（四）解一元一次方程的注意事项
1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；
2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分
数线相当于括号，去分母后分子各项应加括号；
1093、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；
4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；
5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号；
6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。
（五）列方程解应用题的一般步骤
1、审题
2、设未数
3、找相等关系
4、列方程
5、解方程
6、检验
7、写出答案
（六）应用题的类型（及常用的公式）
行程问题，商品销售问题 等
（七）作业设计
课本111页复习题组三第1~4题
110第三章《一元一次方程》复习（二）
教学目标：
知识与技能：
1.系统复习本章知识
2.通过复习提高学生归纳能力
过程与方法：
教师提问的方式，学生互答，共同回忆，以及讲练结合巩固本章知识。
情感、态度、价值观：
经历复习过程，使学生体会到数学知识的系统性，有着整体美。
教学重点：本章各知识点
教学难点：应用本章知识解决实际问题
教学过程：
（一）本章知识结构
设未知数，列方程
实际问题 数学问题
解
方
程
检 验
实际问题的解答 数学问题的解（x＝a）
（二）回顾与思考
1、下列式子 是方程； 是一元一次方程.
①x-3; ②x2-1=0;③2x-3=0;④x-2y=3;⑤ +1=2;⑥ax+1=b(a、b是常数。).
2、已知x=-1是方程ax-3x=1的解，解方程:3x+a=1.
解：把x=-1代入ax-3x=1，得
－a＋3=1 ∴a=2
方程3x+a=1变为3x+2=1
∴x=－1/3
3、若ma=mb,那么下列不等式不一定成立的是[ ]
① ma+1=mb +1 ; ② ma-3=mb-3 ;③ a=b ; ④ = .
4、解一元一次方程：
解：去分母，得 6－2(x-2)＝ 1+3x ①
去括号，得 6－2x＋4＝1＋3x ②
移项，得 －2x-3x=1-4-6 ③
合并同类项，得 －5x=-9 ④
系数化为1，得 x=1.8 ⑤
5、一件工程，甲、乙、丙队单独做各需10天、12天、15天才能完成，现在计划开工7天
完成，乙、丙先合做3天，乙队因事离去，由甲队代替，在各队工作效率都不变的情况下，能
否按计划完成此工程？
111①已知哪些已知条件？求什么？
已知甲、乙、丙队单独做各需10天、12天、15天；乙、丙先合做3天，剩下的由甲队代替
乙队完成任务。求合做完成任务的时间。
②包含全部内容的等量关系是什么？
丙乙合做的任务＋甲丙合做的任务＝1
③怎样设未知数？
设甲队做了x天或设甲丙合做了x天.
④根据等量关系可列怎样的方程？
=1或者 -3）=1
⑤原方程变为
15＋12＋10x＝60
10x＝33 ∴x＝3.3
⑥因为3.3＋3＝6.3＜7，所以能按计划完成。
⑦答：在各队工作效率不变的情况下，能按计划完成此工程。
（三）例题导引
例1 解方程：
（1） （x-5 ）=3- (x-5); (2)
例2 小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9W（即0.009kW）的节能灯，
售价49元/盏；另一种是40W（即0.04kW）的白炽灯，售价18元/盏。假设两种灯的照明度一
样，使用寿命都可以达到2800h。已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元。
（1）当照明时间是多少时，使用两盏灯的费用一样多？
（2）试用特殊值判断：照明时间在什么范围内选用节能灯费用低？
分析：（1）问题中的等量关系是什么？
买节能灯的钱+节能灯的电费=买白炽灯的钱+白炽灯的电费
设照明时间是x小时时，使用两盏灯的费用一样多，那么节能灯的电费是多少？白炽
灯的电费是多少？
节能灯的电费是0.009x·0.5,白炽灯的电费是0.04x·0.5.
由此可得方程 49+0.009x·0.5=18+0.04x·0.5
解之,得 x=2000
所以当照明时间是2000小时时，使用两盏灯的费用一样多.
(2)当x=1000时,节能灯的电费是49+0.009x·0.5=49+0.009×1000×0.5=53.5
白炽灯的电费是18+0.04x·0.5=18+0.04×1000×0.5=38
所以当照明时间大于2000小时时,使用用能灯费用低.
（四）课堂小结
根据复习情况总结
（五）作业设计
课本111-112页复习题3第4~8题
第三章第一阶段复习3.1－3.2〔1〕
一、双基回顾
1、方程、方程的解和解方程
112含有 的 叫做方程；
使方程 相等的 的值叫做方程的解。
的过程叫做解方程。
2、一元一次方程
〔1〕只含有 未知数，并且未知项的次数 的方程叫做一元一次方程。
〔2〕指出下列各式中哪些是一元一次方程？并说明理由。
（1）2x-y=3; (2)x=0; (3)x2-2x+1=0; (4)x+3=2x-1.
3、等式的性质
性质1 等式两边 同一个数（或 ），结果仍相等。
性质2 等式两边 同一个数，或 的数，结果仍相等。
〔3用适当的数字或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明理由。
（1）如果3x+8=6，那么3x=6[ ]; (2)如果-5x=25，那么x=[ ];
(3)如果2x-3=5,那么2x=[ ]; (4)如果 =-7,那么x=[ ]
4、合并同类项解一元一次方程
如果方程中有同类项，可以先合并同类项变成ax=b(a≠0)的形式,再求解。
二、例题导引
例1 下列说法中正确的是〔 〕
① 若x=y,则 = ; ②若x=y,则mx=my;
③若 = ,则x=y; ④若x2=y2,则x3=y3
例2 已知方程(m-2)x︱m︱-1+3=m-5是关于x的一元一次方程，求m的值。
例3 已知x=1/2是关于x的方程4+x=3-2ax的解，求a2+a+1的值。
例4 小明去商店买练习本，回来后和同学说，店主告诉我，如果多买一些就给我8折
优惠，我就买了20本，结果便宜了1.6元，你猜原来每本价格是多少？（请你列出方程,并用
等式的性质求解。）
三、练习提高
1、下列各式中，是方程的有〔 〕
①2x+1; ②x=0; ③2x+3＞0；④x－2y=3; ⑤ -3x=5;⑥x2+x-3=0.
A、3个 B、4个 C、5个 D、6个
2、下列方程中，解为 的是〔 〕
A、5（t－1）＋2＝t－2 B、 －1=0
C、3y－2=4(y－1) D、3 (z－1) =z－2
3、下列变形不正确的是〔 〕
A、若2x－1=3，则2x = 4 B、若3x = －6，则x =2
C、若x+3=2,则x =－1 D、若－ x=3,则x=－6
4、已x=y,下列变形中不一定正确的是〔 〕
A、x－2=y－2 B、－2x=－2y
C、ax=ay D、 =
1135、下列各式的合并不正确的是〔 〕
A、－x－x = －2x B、-3x+2x = －x
C、 x－0.1x = 0 D、0.1x－0.9x = 0.8x
6、若x2a－1+2=0是一元一次方程，则a= .
7、某班学生为希望工程捐款131元，比每人平均2元还多35元。设这个班的学生有x
人，根据题意列方程为 .
8、将等式3a－2b=2a－2b变形，过程如下：
因为3a－2b=2a－2b,所以3a=2a
所以3=2
是述过程中，第一步的依据是 ，第二步得出错误结论，其原因是
.
9、解下列方程：
（1）6x－5x=－5 (2)- x+ x=4
(3) y－y=－3+1 (4)2x－7x=19+31
10、某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去
年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买了计算机 x台，可以表示出：去年购买计算机 台，今年购买计算机
台。根据问题中的相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台，列得方程
.
解这个方程。
11、从30㎝长的木条上零截出两段长度相等的木条后，还剩6㎝长的木条，求截去的每
一段木条的长是多少？
12、写出一个一元一次方程，使x=1是它的解： .
13、若关于x的方程2 (x－1)－a=0的解是3，则a的值是〔 〕
A、4 B、－4 C、5 D、－5
14、下列等式的变形错误的是〔 〕
A、若ac2=bc2,则a=b B、若 = ,则a=b
C、若a2=b2,则︱a︱=︱b︱ D、若a=b则a2=b2
15、代数式8x－7与6－2x的值互为相反数，那么x的值是 .
16、一桶油重8千克，油用去一半后边桶重4.5千克，设桶中原有油千克，则下列方程
错误的是〔 〕
A、8－x=4.5－0.5x B、x－0.5x=8－4.5
C、0.5x+8－4.5=x D、x－8=0.5x+4.5
114第三章第二阶段复习3.2（2）－3.3
一、双基回顾
1、移项
把等式一边的某一项 移到另一边，叫做移项。
〔1〕把方程2－2x=3x－1含未知数的项移到左边，常数项移到右边。
2、去括号
方法：运用乘法分配律。
〔2〕a+2 (b-c-d)= ; a-3 (b+c-d)= .
3、去分母
方程两边同乘以所有分母的 。
〔注意〕①每一项都要乘，不能漏乘；②去掉分数线后，分子要加上括号。
〔3〕解方程 时，去分母后正确的是〔 〕
A、4x+1-10x+1=1 B、4x+2-10x-1=1
C、4x+2-10x-1=10 D、 4x+2-10x+1=10
4、解一元一次方程的步骤：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） 。
〔注意〕具体解方程时，这些步骤要灵活处理，不能死搬硬套。
5、列方程解应用题的基本过程：
（1） ； （2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ； (7) 。
二、例题导引
例1 解方程：
（1）10y-2(7y-2)=5(4y+3)-2y (2)x- [ ( -1)-2]=-2.
例2 解方程：
例3 某校一、二两班共有 95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是
60％，如果一班达标率是40％，二班达标率是78％，求一、二两班的人数各是多少？
例4 国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外
每人还增加六百毫升牛奶。一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高
的增长值多2.01㎝，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均身高的增长值的 少
0.34㎝，求甲、乙两组同学平均身高的增长值。
三、练习提高
1、将方程4x+1=3x-2进行移项变形，正确的是〔 〕
A、4x－3x=2－1 B、4x+3x=1－2
C、4x－3x=－2－1 D、4x+3x=－2－1
2、已知y =2x+1,y =3-x,当x= 时，y =y .
1 2 1 2
3、将下列各式中的括号去掉：
（1）a+(b-c)= ; (2)a-(b-c)= ;
(3)2(x+2y-2)= ; (4)-3(3a-2b+2)= .
4、方程去分母后，所得的方程是〔 〕
115A、2x－x+1=1 B、2x－x+1=8 C、2x－x－1=1 D、2x－x－1=8
5、如果式子 与 的值相等，则x= .
6、小明买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角，若设他买了80分邮票x枚，可
列方程为 .
7、解下列方程：
（1）5（x+2）=2 (2x+7) （2.）3（x－2）=x－(7－8x)
8、某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4
元/辆，现在停车场有50辆中、小型汽车，这些共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多
少辆？
9、某工厂原计划每天烧煤a吨，实际每天少烧b吨，则m吨煤可多烧的天数为〔 〕
A、 － B、 C、 － D、 －
10、在公式l=t (1+at)中，已知l、t 、a，则t＝ .
0 0
11、关于 x 的方程 6x=16-ax 与方程 5 (x+2)=2 (2x+7 )有相同的解，则 a 的值为
.
12、甲队人数是乙队人数的两倍，若设乙队有x人，则甲队有 人，若从甲队调12
人到乙队，则甲、乙两队的人数就一样多，则可列方程为 .
13、解方程：
（1）2（x－2）－3(4x－1)=9(1－x) (2)30%(x－1)=20%(x+1)+0.2
(3) (x－3)- (2x+1)=5
(6)2[ x－( x- )]= x
14、在社会实践活动中，某校甲、乙、丙3位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三
环路、四环路的车流量（第小时通过观测点的汽车辆数），3位同学汇报高峰时段的车流量
如下：
甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆。”
乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆。”
丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍。”
请你根据他们提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？
15、小明在解答数学题：“某同学乘船由甲地顺流而下到乙地，然后又逆流而上到丙地，
共用了3小时，若水流速度为2千米/小时，船在静水中的速度为8千米/小时，已知甲、丙
两地相距2千米，求甲、乙两地间的距离”时，得到的答案是12.5千米，而小红得到的答案
却是10千米，请你判断他们谁对谁错，并指出错误的原因，给出正确的答案。
116第三章第三阶段复习3.4
一、双基回顾
1、列方程解应用题的步骤
（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
（2）找：找能表示题目全部含义的相等关系。
（3）设：设未知数。可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
（4）列：根据等量关系列方程。
（5）解：解方程
（6）验：检验方程的解和解是否符合实际问题。
(7)答：怎么问怎么答。
2、分析数量关系的方法
（1）译式法：把题目中关键性的数量关系语句译成含有未知数的代数式。
（2）列表法：用一类量作为“行”，一类量作为“列”制成表格，把已知量和未知量（用
所设字母表示）“对号入座”。
（3）图解法：用图形表示题目中的数量关系，例如行程问题中的线段图。
3、设未知数的方法
（1）直接设未知数：题目求什么就设什么。
（2）间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
（3）设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过
程中会自然消去。
二、例题导引
例1 某人骑自行车以每小时10千米的速度从甲地到乙地，返回时因事绕道而行，比
去时多走8千米的路，虽然行车的速度增加到每小时12千米，但比去时还是多用了10分钟，
求甲、乙两地的距离。
例2 张叔叔用若干元人民币购买了一种年利率为10％的一年期债券，到期后他取出
本金的一半用作购物，剩下的一半及所得的利息又全部买了这种一年期的债券（利率不变）
到期后得本息和1320元，问张叔叔当初购买这种债券花了多少钱？
例3 某市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米
0.8元收费，如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费。已知11份某用户的煤
气费平均每立方米0.88元，那么11月份该用户应交煤气费多少元？
例4 某学校八年级（1）班组织课外活动，准备举行一次羽毛球比赛，去商店购买羽毛
球拍和羽毛球，每副球拍25元，每只球2元，甲商店说：“羽毛球及球拍都打9折”优惠，
乙商店说：“买一副球拍赠送2只羽毛球”优惠。
（1）学校准备花90元钱全部用于买2副羽毛球及羽毛球若干只，问到哪家商店购买更合
算？
（2）若必须买2副羽毛球拍，则应当买多少只羽毛球时到两家商店一样合算？
三、练习提高
1、用40㎝长的铁丝围成一个长方形，已知长是宽的3倍，则围成的长方形的面积为
㎝2.
2、要锻造一个直径为12㎝，高为10㎝的圆柱形零件，需要直径为16㎝的圆柱形钢条
㎝.
3、甲、乙、丙三辆卡车所运货物的吨数比是6：7：4.5，已知甲车比丙车多运12吨货物，则
三辆卡车共运货物 吨.
4、某商品提价10％后，欲恢复原价，则应降价〔 〕
117A、10％ B、9％ C、 ％ D、 ％
6、一个两位数，数字之和为11，如果原数加45得到的数和原数的两个数字交换位置后
恰好相等，问原数是多少？
7、某城市现有人口42万人，计划一年后城镇人口增加0.8％，农村人口增加1.1％，这
样全市人口得增加1％，求这个城市现有城镇人口和农村人口分别是多少人？
8、张先生于1999年3月8日买入1999年发行的5年期国库券1000元，回家后他在存
单的背面记下了当国库券于2004年3月8日到期后他可获得的利息数为390元。若张先生
计算无误的话，则该种国库券的年利率是多少？（利息＝本金×存期×年利率，国库券无利
息税。）
9、有一个商店把某件商品按进价加20％作为定价，可是总卖不出去；后来老板按定价
减价20％以96元出售，很快就卖掉了，则这次买卖的盈亏情况为〔 〕
A、赚6元 B、不亏不赚 C、亏4元 D、亏24元
10、一张试卷只有25道选择题，做对一道得4分，不做或做错一题倒扣1分，某学生做
了全部试题，共得70分，他做对了的题数是〔 〕
A、17 B、18 C、19 D、20
12、某市出租车的收费标准是：起步价5元（行驶距离不超过3千米，都需付5元车费）
超过3千米，每增加1千米，加收1.2元。某人乘出租车到达目的地后共支付车费11元，那
么此人坐车行驶的路程最多是多少？
13、某商品售价为每件900元，为了参与市场竞争，商店按售价的9折再让利40元销售，
此时仍可获得10％，此商品的进价是每件多少元？
14、一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟的
时候，学校将一个紧急通知传给队长。通讯员立即从学校出发，骑自行车以14千米/时的速
度按原路追上去，通讯员用多少时间可以追上学生队伍？
15、“五·一”期间，某校由4位教师和若干位学生组成的旅游团，拟到国家4A级旅
游风景区－闽西豸山旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余的人按七折优
惠；乙旅行社的收费标准是：5人以上（含5人）可购团体票，旅游团体票按原价的八折优惠，
这两家旅行社的全票价格均为每人300元。（1）若有10位学生参加该旅游团，问选择哪家
旅行社更省钱？（2）参加该旅游团的学生人数是多少时，两家旅行社收费一样？
16、星期天，数学教师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子
里拾称好的鸡蛋时，发觉比过去买10斤鸡蛋的个数少很多，于是她将鸡蛋装进篮子再让摊
主一起称，共称得10.55斤，即刻她要求摊主退1斤鸡蛋的钱，她是怎样知道摊主少称了大
约一斤鸡蛋呢（精确到1斤）？请你将分析过程写出来。
118第四章 几何图形初步
4.1 几何图形
§ 4.1.1 立体图形与平面图形
一、教学目标
1、知识与技能
（1）初步了解立体图形和平面图形的概念.
（2）能从具体物体中抽象出长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱等立体图形；能举
出类似长方体、正方体、球、圆锥、棱锥、棱柱的物体实体.
2、过程与方法
（1）过程：在探索实物与立体图形关系的活动过程中，对具体图形进行概括，发展几
何直觉.
（2）方法：能从具体事物中抽象出几何图形，并用几何图形描述一些现实中的物体.
3、情感、态度、价值观：形成主动探究的意识，丰富学生数学活动的成功体验，激发学生对几何图形
的好奇心，发展学生的审美情趣.
二、教学重点、难点:
教学重点：常见几何体的识别
教学难点：从实物中抽象几何图形.
三、教学过程
1.创设情境，导入新课.
让我们一起来看看北京奥运会奥运村模型图．（出示章前图）
展示丰富多彩的图形世界.
2直观感知，识别图形
（1）对于各种各样的物体,数学中关注是它们的形状、大小和位置.
（2）展示一个长方体教具，让学生分别从整体和局部抽象出几何图形.观察长方体教具
的外形，从整体上看，它的形状是长方体，看不同的侧面，得到的是正方形或
长方形，只看棱、顶点等局部，得到的是线段、点.
119（3）观察其他的实物教具（或图片）让学生从中抽象出圆柱，球，圆等图形.
（4）引导学生得出几何图形、立体图形、平面图形的概念.
我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.比如长方体，长方形 ，圆柱
线段，点，三角形，四边形等.几何图形是数学研究的主要对象之一.
有些几何体的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.如长方体，立方体等.
有些几何图形和各部分都在同一平面内，它们是平面图形.如线段，角，长方形，圆
等.
3. 实践探究.
(1) 引导学生观察帐篷,,金字塔的图片,从面抽象出棱柱,棱锥.
(2)你能说说圆柱与棱柱,圆锥与棱锥的区别吗?
(3)你能再举一些圆柱、棱柱、圆锥、棱锥的实例吗？
(4）下图中实物的形状对应哪些立体图形?把相应的实物与图形用线连起来
4.小结
这节课你有什么收获?
5.作业设计
课本第121页习题4.1第1、2题；
§ 4.1.1 几何图形（二）
一、教学目标
120知识与技能
1．能识别简单几何体的三种视图.
2．会画简单立体图形及其它们的简单组合的三种视图.
3．进一步认识立体图形与平面图形之间的关系.
4．引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题.
5.过程与方法
在从不同方向看立体图形的活动过程中，体验立体图形与平面图形之间的相互转化，
从而建立空间观念，发展几何直觉.
6.情感、态度、价值观
1）．通过活动，形成学生主动探究的意识，丰富学生数学活动的成功经验，激发学生对
几何图形的好奇心和对学习的自信心.
2）．从实物出发，让学生感受到图形世界的无处不在，提高学生学习数学的热情.
二、重点与难点
重点：
1.在观察的过程中初步体会从不同方向观察同一物体可能看到不同的结果.
2.能识别简单物体的三视图，会画简单立体图形及其它们组合的三种视图.
难点：
1.在面和体的转换中丰富几何直觉和数学活动经验，发展空间观念
2.能识别简单物体的三视图，会画简单立体图形及其它们组合的三种视图.
三、教学过程
1.创设情景，引入新课
（1）请欣赏漫画并思考 ：为什么会出现争执？
（2） “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.”这是
宋代诗人苏轼的著名诗句（《题西林壁》）.你能说出“横看成岭侧成峰”中蕴含的数学
道理吗？
2.新课学习
（1）不同角度看直棱柱、圆柱、圆锥、球
让学生分别从正面、左面、右面，上面等各个角度观察：正方体木块，长方体木块，三棱
镜，六角扳手，易拉罐，排球,圆锥，由浅入深，体会从不同方向看直棱柱、圆柱、圆锥、球等
立体图形得到的平面图形，难点是在体会曲面的透视图，让学生交流、体验，集体作出小结.
（可以给出三个视图的名称）
（2）猜一猜，看一看
Ⅰ.左看右看上看下看一个物体都是圆?(猜一物体)
121Ⅱ.什么物体左看右看上看下看都是正方形？若是长方形呢？(各猜一物体)
Ⅲ.桌上放着一个圆锥和圆柱，请说出下面三幅图是分别从哪个方向看到的.
(3) 分别从不同方向观察以下实物(茶叶盒、魔方、书、乒乓球等)，你看到了什么图形?
你能一一画下来吗7(画出示意图即可)
（4）（从不同角度看简单的组合图形，由少数组合逐步加多）如下图，画出下列几何体
分别从正面、左面，上面看，得到的平面图形.（学生独立思考、合作交流，最后从模型上得
到验证）
3.实践与探究
（1）
上图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能
得到什么图形？
(2)再试一试，画出它的三视图．
(3)怎样画得又快又准?
（4）用6个相同的小方块搭成一个几何体,它的俯视图如图所示.则一共有几种不同形状
的搭法(你可以用实物模型动手试一试)?
1224.参考练习
（⒈）图，桌上放着一个球和一个圆柱，下面a、b、c、d、e这五幅图分别是从什么方向看
到的？
（⒉）一个正方体中，截去一个小正方体的立体图如图所示，从左面观察这个图形，得到
的平面图形是 （ ）
（3）一个由8个正方体组成的立体图形，从正面和上面观察这个图形时，得到的平面图
形 如 图 所 示 ， 那 么 从 左 面 观 察 这 个 图 形 时 ， 得 到 的 平 面 图 形 可 能 是
（ ）
（4）如图分别是某立体图形三视图，请根据图说出立体图形的名称
⑴正视图
俯视图
左视图
⑵正视图
123俯视图
右视图
5.小结
(1)你对本节内容有哪些认识?
(2)你有什么收获?有什么感想?有什么困惑?
6.作业设计
课本第118页练习1 ，课本第121页习题4.1第3、4题
§ 4.1.1 几何图形（三）
一、教学目标
知识与技能
⒈了解直棱柱、圆锥等简单立体图形的侧面展开图。
⒉能根据展开图初步判断和制作立体模型。
⒊进一步认识立体图形与平面图形之间的关系。
⒋通过描述展开图，发展学生运用几何语言表述问题的能力。
过程与方法
⒈在平面图形和立体图形互相转化的过程中，初步建立空间观念，发展几何直觉。
⒉通过动手观察、操作、类比、推断等数学活动，积累数学活动经验，感受数学思考过程
的条理性，发展形象思维。
⒊通过展开与折叠的活动，体会数学的应用价值。
情感、态度、价值观
⒈通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识。
⒉通过探讨现实生活中的实物制作，提高学生学习热情。
二、重点与难点
重点：直棱柱的展开图。
难点：根据展开图判断和制作立体模型。
三、教学过程
1.创设情境，导入课题
小壁虎的难题：
如图：一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想尽快吃到蚊子，应
该走哪条路径？ ● 蚊子
学生各抒己见，提出路线方案。 壁虎 ●
教师总结：
若在平面上，壁虎只要沿直线爬过去就可以了。而在圆桶上，直线不太好找，那么
把圆柱侧面展开，就可找出答案。
蚊子
如图所示：
●
●
壁虎
圆柱侧面展开后是矩形，壁虎只要沿图中直线爬向蚊子即可。若蚊子和壁虎在其他几
何体上，如棱锥，正方体…… 它们展开后是什么图形呢？今天我们就来讨论它们的展开图
1242、新课探究：
（1）正方体的表面展开图
教师先演示正方体的展开过程，提醒沿着棱展开，且展开图必须是一个完整的图形。然
后让学生拿出学具正方体纸盒（或是课前准备好的正方体纸盒，或现成的正方体包装盒）进
行动手操作，得到正方体展开图。
.教师再拿出如下图所示的两个纸片，提问：能否经过折叠围成一个正方体？若不能，
如何改变其形状就能围成一个正方体？（要求学生仔细观察，思考，讨论，并动手操作验证
猜想）
（2）其他直棱柱的表面展开图
学生从其他直棱柱中任选一种，得到它的展开图，相互交流。教师指导总结。
（特别是圆柱体展开时，体会怎样展开会得到侧面是一个长方形）
（3） 让学生分组研究观察三棱锥的展开图。
归纳：从刚才的实践过程中，大家可能已经感受到，同一个几何体，按不同的方式展开，
得到的展开图也不同。
（4）你能想象出下面的平面图形可以折叠成什么多面体？动手做做看。
提问：通过实践，说说以上平面图形叠成什么多面体？
上面的图〈1〉及图〈3〉可以折叠成正三棱锥，所以它们都是正三棱锥的表面展开图。图〈2〉
不可以折叠成正三棱锥，所以它不是正三棱锥的表面展开图。
归纳：一些平面图形也可以围成立体图形。
（5）提问：是所有的立体图形都能展开成平面图形吗？
老师引导得出：是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面
图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
3.小结
（1）一些立体图形是由平面图形围成的立体图形，沿着它们的一些棱将它剪开，可以把
多面体展开成一个平面图形．体现了立体图形与平面图形之间的相互联系。
（2）对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。
4.作业设计
125（1）课本第122页习题4.1第5题
（2）课本第123页习题4.1第11、12、14题
126§ 4.1.2 点、线、面、体
一、教学目标：
知识技能：
1、进一步认识点、线、面、体的概念.
2、理解点、线、面、体之间的关系.
过程与方法
通过学习点、线、面、体之间的关系，进一步发展学生抽象概括能力和形象思维的能力.
情感、态度、价值观
通过联系现实世界中各种常见的几何体及情景，让学生认识数学与现实生活的密切联
系.
二、教学重、难点
重点：点、线、面、体之间的关系.
难点：体会点动成线、线动成面、面动成体
三、教学过程：
1.问题情境
[问题1]
（1）举出一些你所熟悉的立体图形.
（2）① 你知道这些体是由什么围成的吗？它们有什么不同吗？
②面与面相交的地方形成了什么？它们有什么不同呢？
③线与线相交之处又得到了什么？
（3）举出生活实际中分别给体、面、线、点的形象的例子
学生先独立观察、思考，然后再讨论、交流得出以下结论：
（1）体是由面围成的.面有两种，平面和曲面.
（2）面与面相交的地方形成了线，线有直的也有曲的.
（3）线与线相交的地方是点.
教师对以上结论加以总结、完善．得出点、线、面、体之间的关系.即“体由面组成，面
与面相交成线，线与线相交成点”.
教师鼓励学生联想身边熟悉的情景，尽可能多的举出例子，并把课前准备的挂图和物
品等展示出来和学生交流.
[问题2]（学生动手操作、思考并回答问题）
（1）①笔尖可以看作是一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么？
② 通过上述运动你得出了什么结论？
③ 你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗？
教师在学生回答问题的基础上总结得到“点动成线”的结论.
学生在组内讨论、交流的基础上，举出更多实例.如：蚂蚁搬家；在一望无际的沙滩上；
一个孤独的旅行者留下的一排长长的足迹… …
（2）①汽车雨刷可以看作是一条线，它在档风玻璃上运动时有什么现象？
②通过对上面现象的分析你得出了什么结论？
③你能举出生活中的一些实例进一步说明这一结论吗？
①教师让学生拿笔或直尺当雨刷在纸上演示，启发学生类比上一个问题.并鼓励学生
用自己的语言说出发现的结论.
127②学生通过仔细观察图片，动手实践，回答问题.得出“线动成面”的结论.
③学生经讨论、交流后举例.如：夜晚街头闪烁的霓虹灯、利用竹条编织的凉席，用扫帚
扫地、用刷子刷油、钟表盘上分针时针的运动… …
（3）①长方形纸片绕它的一边旋转，形成了什么图形？
②通过对上面现象的分析你得出了什么结论？
③你能再举出一些例子进一步说明这一结论吗？
④你能找出它们之间的对应关系吗？
教师演示旋转过程，让学生通过观察，大胆猜测，想象.
学生在观察、猜测、想象之后独立思考得出结论，再通过动手实践加以验证；最后进行
小组讨论、交流，回答问题.得出“面动成体”的结论.
学生经小组交流，举出例子.如把三角尺绕其一边旋转形成几何体、一摞壹元硬币……
[问题3]
（1）为什么在中国地图上，北京只是一个点，而在北京市地图上北京几乎占了整个版面
学生先独立思考后讨论、交流．回答问题，同学们之间可以相互补充、纠正.
（2）观察下面的图片，你有什么发现？构成几何图形的基本元素是什么？
学生观察图片.表述观点.
教师参与学生的交流活动，总结出几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形
的基本元素.
2.小结.
本节是从实际物体中抽象出几何图形、立体图形、平面图形，又进一步抽象出体、面、线
点等基本元素，研究了它们之间的关系之后，又由这些基本元素得到丰富多彩的图形世界.
3.布置作业.
课后收集能反映点、线、面、体之间关系的资料、图片及实物模型.
128§ 4.2 直线、射线、线段（一）
教学目标
知识与技能
1、在现实情境中理解线段、直线、射线等简单的平面图形。
2、理解两点确定一条直线的事实。
3、掌握直线、射线、线段的表示方法。
4、理解直线、射线、线段的联系和区别
过程与方法
1、通过学习直线、射线、线段的表示方法，使学生建立初步的符号感。
2、通过对直线、射线、线段性质的研究，体会它所在解决实际问题中的作用，并能用它
们解释生活中的一些现象。
3、运用对比法、归纳法总结差异。
情感、态度、价值观
通过对直线、射线、线段的性质的探究，使学生初步认识到数学与现实生活的密切联系，
感受数学的严谨性以及数学结论的确性。
教学重难点
重点：线段、射线与直线的概念及表示方法，两点确定一条直线的性质。
难点：直线性质的发现，理解及应用及不同几何语言的相互转化。
教学过程：
一、复习引入：
（1）点、线、面、体是构成几何图形的元素。从运动的观点来看，可以说是点动成线，线
动成面，面动成体。因此对几何图形的学习我们也可以按点、线、面、体的顺序展开。
（2）点是用来表示物体的位置的。点无大小之分。如何表一个点呢？
图形语言 文字语言
二、探究新知：
（1）在以前的学习中我们学过哪些线？
直线、射线、线段
（2）生活中有哪些关于直线、射线、线段的形象，试举例说明 ？
（3）请分别画出一条直线、射线、线段？学生画图，教师在黑板上示范，给出规范的表示
方法.
（教师关注：学生是否注意到用两个大写字母表示射线时，端点的字母写在前面）
（4）如何表示一条直线、射线、线段？
图形语言 文字语言
（教师关注：学生是否注意到直线、射线、线段都有两种表示方法.）
三、讨论交流：
（1）你能结合自已所画图形寻找出直线、射线、线段的特征吗？你能发现它们之间的区
别与联系吗？
直线、射线、线段的联系与区别:
129端点个数 延伸方向
直线 无 向两方无限延伸
射线 一个 向一方无限延伸
线段 两个 不向任何一方延伸
（2）已知线段AB，你能由线段AB得到直线AB和射线AB吗？
A B
A B
A B
（3）从一条直线上如何得到射线和线段？
归纳：线段和射线都是直线的一部分
4、动手做一做：
（1）过一点可画出多少条直线？
让学生动手画，结合图形描述点和直线的位置关系
（2）过两点可画出多少条直线？
（3）在墙上过定一个板条，你认为至少要几颗钉子？
引导学生得出直线的性质定理：
过两点有且只有一条直线。（两点确定一条直线）
（4）在日常生活和生产中常常用到这个基本事实。如建筑工人在砌墙时，经常在两个墙
脚的位置分别插一根木桩，然后拉直一条直的参照线。你能举出类似的例子吗？
引申：过三点可以画出几条直线？
引导学生按三个点的相互位置分类讨论。
5、课堂练习：
按下列语句分别画也相应的图：
（1）直线EF经过点C；
（2）点A在直线m外；
（3）经过点O的三条线段a、b、c；
（4）线段AB、CD相交于点B.
6、小结：
这节课我们学习了哪些知识？（结合具体的图形，突出图形语言和文字语言的转化）
思考：1.一条直线上有三个点，它们能组成多少条线段？四个点呢？试想有n个点，则
能组成多少条线段？
2.一条直线把平面分成2部分，2条直线最多把平面分成4部分，那么3条直线把平
面最多分成几个部分？4条呢？n条呢？
7、作业设计
课本129页习题4.2第2、3、4题。
130§ 4.2 直线、射线、线段（二）
教学目标
知识与技能
1．会画一条线段等于已知线段.
2．结合图形认识线段间的数量关系，学会比较线段的大小.
3．利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用.
4．知道两点之间的距离和线段中点的含义.
过程与方法
通过学习线段大小比较，学习线段中点、三等分点、四等分点等定义，使学生建立初步
的符号感.
通过对两点之间线段最短的性质的研究，体会它们在解决实际问题中的作用，并能用
它们解释生活中的一些现象.
情感态度价值观
培养学生合作交流的意识和探索精神，感受数学的严谨性以用数学结论的确定性.
教学重点：线段大小的比较，线段的性质
教学难点：线段中点、三等分点、四等分点的表示方法及应用.
教学过程：
一、引入
二、画一条线段等于已知线段
如何画一条线段等于已知线段？
教师对学生的回答进行归纳总结.指出画一条线段等于已知线段有两种方法：
（1）如图，作射线AC，在射线AC上截取AB=a.（教师边说边示范尺规作图）
a
A B C
（2）先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.
三、比较线段的大小
（1）怎样比较两位同字的身高？
学生分组活动，讨论、实践、交流.教师参与活动，倾听学生的交流，指导学生完成
任务，从而共同总结出两种方法：度量法、叠合法.
（2）怎样比较两条线段的大小？
学生独立思考和讨论的基础上，请学生把自已的方法进行演示、说明。教师对学生
的回答进行规纳总结.指出比较两条线段的大小有两种方法.
①度量法：用刻度尺分别测量出它们的长度来比较；
②叠合法：把其中一条线段移到另一条线段上作比较.在此基础上教师给出线段
大小的数量表示方法.
（3）完成教科书第123页练习.
学生独立完成，教师加以指导.
四、等分线段
1.让学生将一条绳子对折，使绳子的端点重合，你能说说你的感受吗？
学生分组活动、讨论、交流，教师深入小组参与活动，倾听学生交流.
2.线段中点的表示方法.
131A B
M
（1）结合图形，引导学生理解给出线段中点的三种表示方法（由形到数）
AM=BM； AM=BM= ； AB=2AM=2BM．
（2）结合图形若给出相应数量关系也可得到的中点.（由数到形）
3.什么是线段的三等分点？四等分点？
教师边画图，边给出表示方法.
线段的中点只有一个，三等分点有两个，四等分点有三个...
五、两点的距离
问题:（1）教科书第130页思考中的问题.
教师引导小组交流后得出结论“两点的所有连线中，线段最短”简单说成：“两点之
间，线段最短”.
（2）你能举出这条性质在生活中的一些应用吗？
（3）什么是两点的距离？
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
注意：两点的距离不是线段，而是线段的长度.
六、课堂小结
学完这节课你有哪些收获？
学生自已总结，不全面的由其它学生补充完整
七、作业设计
课本129-130页习题4.2第5、7、8、9、10题．
132§ 4.2 直线、射线、线段 （三）练习课
教学目标：
1.复习巩固直线、射线、线段的概念.
2.加强图形语言和文字语言的相互转化.
3.会运用线段中点的知识解决有关的实际问题
教学重点：
线段、射线与直线的概念，两点确定一条直线的性质；
线段大小的比较，线段的性质。
教学难点：理解及应用及不同几何语言的相互转化。
教学过程：
活动1.如图：已知点A、B、C、D，根据下列语句画图
（1）画直线AB，AD
（2）画射线AC，CB
（3）连结CD，BD
活动2 如图1-1，A，B，C，D为直线l上的四个点．
问：（1）图中以C为端点的射线有几条？把它们分别表示出来；
（2）图中共有几条射线？能够用所给出的字母表示的有几条？把它们分别表示出来.
（3）图中共有几条线段？把它们分别表示出来.
活动3 画图说明以下问题:
(1)过三点可以画一条直线吗?
(2)有A、B、C三点,过其中每两个点画直线,可以画几条直线?
(3)三条直线两两相交,一共有几个交点?
活动4.按下列语句画出图形:
(1)直线EF经过点D,点C在不在直线EF上;
(2)线段AB、CD相交于点B.
133(3)P是直线a外一点,过点P有一条线段b与直线a不相交.
(4) P是直线a外一点,过点P有一条直线b与直线a不相交.
4.两条不同的直线,要么有一个公共点,要么没有公共点,不能有两个公共点.这是为
什么?画图说明.
活动5 .如图，点C 在线段AB 上，M是AC中点，N是CB中点
(1)AC = 2cm，BC = 3cm，求MN的长？
(2)AM = 1cm，BC = 3cm，求AB的长？
(3)AB = 5cm，MC = 1cm，则NB的长？
探究：
（1）如图，点C 为线段AB 上任一点，M是AC中点，N是CB中点，且 ，你
能猜想 的长度吗？写出你的结论，请说明理由，并用一句简洁的话来描述你发现的结
论.
（2）若 在线段 的延长线上，且满足 ，M是AC中点，N是CB中点，
你能猜想 的长度吗？写出你的结论，并说明理由.
参考练习：
一、填空：
1.一条直线有 个端点，一条射线有 个端点，一条线段有 个端点.
2.如图 A、B、C分别是直线上的三点，要有两个大写字母表示这条直线，
可以分别表示为
3.如图，E、F是线段BD上两点，图中共有 条线段，它们分别是
4.如图,点 A 在直线 m 上,也可以说直线 m 经过点 A.点 B、C 在直线外,也可以说
134________________.
二、选择题：
1.下列结论中正确的是（ ）
A.经过两点只能画一条线 B.射线比直线短
C.线段有两个端点 D.射线的端点不包括在射线内
2.下列结论中不正确的是（ ）
A.直线AB和直线BA表示同一条直线
B.射线AB和射线BA表示同一条射线
C.线段AB和线段BA表示同一条线段
D.直线可以表示为直线a
3.如图，PQ为直线，MN为线段，OH为射线，则图中两线段相交的是（ ）
4.如图，直线AC和BD相交于点O，下面语句正确的是（ ）
A.射线OA与射线OC是同一条射线
B.射线OA与射线OB是同一条射线
C.射线BO与射线BD是同一条射线
D.射线BD与射线OD是同一条射线1．
5．如图，下列结论中不正确的是（ ）
O A B
A．直线AB与直线BA是同一条直线 B．射线OA与射线OB是同一条射线
C．射线OA与射线AB是同一条射线 D．线段AB与线段BA是同一条线段
三、计算题：
1.已知线段AB，延长AB到C，使AB = 3BC，D是AC中点，DC = 2cm，求AB的长
2.把线段AB延长到C，使BC = 2AB，再延长BA到D，使AD = 3AB，求DC与AB的关系，
DC与BC，BD与AB，BD与BC的关系.
3.有一个底面半径为5cm的圆柱形储油器,油中浸有铁球,若从中捞出质量为546πg
的铁球,问液面下降多少?(1 的铁的质量为7.8g)
135(1)数轴上A,B两点所表示的数分别是－5，1，那么线段AB的长是 个单位长度，
线段AB的中点所表示的数是
(2)已知线段AC和BC在一条直线上，如果AC =5.6 cm,BC=2.4 cm,求线段AC和BC的
中点之间的距离．
136§ 4.3.1 角（一）
教学目标
1.角的定义和相关概念，用运动的观点理解角、直角、平角、周角，掌握角的表示方法；
2.能进行度与度分秒之间的转化，能够作一个角等于已知角．
3.使学生在学习知识的过程中体会研究几何图形的方法和步骤．
教学重点：角的概念及表示方法.
教学难点：角的准确度量及度、分、秒的换算.
教学过程
（一）情景导入
1.、观赏画面（找挂图）和实物，请在画面中的共同点――――角.
（二）探求新知：
A
1、请举出生活中角的实例.
2、归纳、总结角的概念：角由两条具有公共端点的射 线组成，
两条射线的公共端点叫这个角的顶点，这两条射线叫做 角的边.
提醒：平时画角时，只能将边画成两条线段，即用角 的一部分
O B
来研究角．
3、小学曾接触到角，我们已经有了初步的认识，那么 角是如何
来表示的？角的大小用什么表示呢？用什么工具去度量呢？它的单位是什么呢？
4、结合图形讲解角的表示方法（四种方法）
A A
A
1 a
O B O B O B
（1）用三个大写字母：表示角的顶点的字母写在中间∠AOB；
（2）用数字：∠1，∠2；
（3）用希腊字母：∠α，∠β；
（4）用一个大写字母：表示角的顶点的字母∠O．
5. 钟表上的时针与分针是如何构成角的？从中你能得到什么启发？
学生活动设计：观测钟表，发现角是由线旋转而成的，从而可以从运动的观点定义角．
角的第二定义：
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.
说明角的始边、终边、角的内部、角的外部、直角、平角、周角等概念，进而得到两种特
殊的角：平角和周角．
平角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB在一条直线上时，形成平角；
周角：当射线OB绕O点旋转，当终止位置OA与起始位置OB重合时，形成周角．
137O B O B（A）
A 终边 始边
平角 周角
6、角的度量
（1）我们常用量角器度量一个角的度数，度、分、秒是常用的角的度量单位，把一个周角
分成360份，一份就是1°，把1°分成60份，一份就是1′，把1′分成60份，一份就是
1″，以度分秒为单位的角的度量制就是角度制，从角度制不难发现，角的度数在进行运算
时，是60进制的．
（2）填空：
1周角= 0 1平角= 0
10= ′ 1′= ″
（三）实践与应用
例 1 如右图：在∠AOB 的内部有两条射线 OC， OD，请
问图中有几个角？（小于平角的角）
例 2 如图：用另一种方法来表示角：
（1）∠а表示为 （2）∠FCG表示为
（3）∠r表示为 （4）∠1表示为
（5）∠BDE表示为
例 3 （1）把3.620化为度、分、秒.（2）把50023′45″化成度.
例4 一天24小时中，时钟的时针和分针共组成多少次平角？多少次周角？
（四）小结与收获
1.角的两种定义、
2.四种表示方法；
3.度分秒的转化、角度制
（五）作业设计
课本第139页习题4.3第7题。
138§ 4.3.1 角（二）
教学目标
知识技能：
（1）会正确使用量角器测量一个角的度数.
（2）会用一副三角板，画出150、300、450、600、750、900、1050、1200、……等特殊角.
（3）会用量角器画一个角等于已知角.
（4）掌握角的和、差、倍、分的计算.
过程与方法：
（1）通过实际操作，培养学生的动手和计算能力.
（2）讨论、研究、探索、归纳法
情感、态度、价值观：
培养学生的求知欲和学习数学的积极性.
教学重难点
重点：画一个角等于已知角和角的计算.
难点：角的和、差、倍、分的计算
教学过程
（一）师生共同探求，解决如下问题
1、量角器的使用方法.（测量一个已知的度数；画出个已知其度数的角）
2、用一副三角板画特殊角.
3、画一个角等于已知角.
4、如问进行角度的有关运算.
（二）例题讲解
例 1 计算
（1）1800 -（78036′- 25027′）
（2）18015′×6
（3）13010′÷4
例 2
（1）若时针由2点30分起到2点55分，问时针、分针各转过多少度数？
（2）钟表上2时15分，时针与分针所成角小于900的角的度数是多少？
例 3 已知∠M，如图，画∠AOB，使∠AOB的度数等于∠M的度数.
例 4 如图∠1：∠2：∠3=1：2：3，∠4=600，试求
∠1、∠2、∠3的度数.
（三）课堂活动，强化训练
填空题：
1391、计算并填空：
（1）23045′+ 24026′=
（2）55012′- 16037′=
（3）5024′× 3=
（4）25030′÷3=
2、已知∠а=27055′45″，那么3∠а= .
1/3∠а= .
3、由2点整到3点30分，时钟的时针转了 度.
选择题：
1、如果∠а=2∠β，∠r=2∠а，则正确的是（ ）
A、∠β=∠r B、∠β=1/4∠r
C、∠β=4∠r D、∠r=1/4∠β
2、若∠1=75024′，∠2=75.30，∠3=75012′，则（ ）
A、∠1=∠2 B、∠2=∠3
C、∠1=∠3 D、以上都不对
3、8点30分，这一时刻，时针与分针的度数是（ ）
A、700 B、750 C、800 D、250
解答题：
1、在1点和2点之间,时钟的时针与分针在什么时刻成900角
2、用一副三角板画图，画一个角使这个角等于1350
3.三个角的和为140度，第二个角为第一个角的3倍，第一个角比第一，第二个角的和
还大20度，求这三个角的度数.
（四）拓展应用
任意画一个三角形，用量角器量出三个角的大小，并求出这三个角的和；多画几个试
试，看看它的结果怎样？你有什么猜想？
（五）小结：
师生共同归纳本节课所学的内容
角的和、差、倍、分的计算方法
（六）作业设计
1.课本第139页习题4.3第1、2、3题。
140§ 4.3.2角的比较和运算（一）
教学目标
知识与技能
会用两种方法比较两角的大小，知道两角的和、差的意义，了解角平分线的意义，并能
用肯定语言表示.
过程与方法
观察、操作、合作交际，画图、比较、归纳
情感、态度、价值观
能通过角的比较等体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段
教学重难点
重点：角的大小的比较方法
难点：角的平分线的表示方法及其应用
教学过程：
一、情景导入
我们前面已经学习了怎样比较两条线段的长短，那么，我们怎样比较两个角的大小呢
二、探求新知：
1.与线段的比较类似，我们也有两种方法来比较角的大小，一种方法为度量法：可以用
量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，另一种方法为叠合法：即把他们叠合在一起比
较大小.
（1）叠合法比较两角大小时，顶点必须重合，一边必须重合，另一边落在其余一边的同
旁.
教师通过活动演示三种情况：
∠DEF=∠ABC，∠DEF＜∠ABC，∠DEF＞∠ABC，如图所示．
C C
C
B A B A
B A
F F
F
E D E D E D
演示：移动∠DEF，使其顶点E与∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，出现以下三
种情况，如图所示：
141F
C C C
F
F
B A B A
B A
E D E D
E D
∠DEF=∠ABC ∠DEF＜∠ABC ∠DEF＞∠ABC
学生活动
观察教师演示后，同桌也可以利用两副三角板演示以上过程，帮助理解比较两角的大
小，回答教师提出的问题．
①EF与BC重合，∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF=∠ABC．
②EF落在∠ABC的内部，∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC．
③EF落在∠ABC的外部，∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC．
强调角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关，以及角的符号与小于号、大于号书
写时的区别．
(2)测量法(测量前教师可提问使用量角器应注意的问题．即三点：对中；重合；读数)
角大度数大，角小度数小．
学生活动：请同学们同桌分别画两个角，然后交换用量角器测量其度数，比较它们的大
小．
2.如图所示：
同学们能在上图中找到几个角？它们这间有何关系呢？
我们可以容易看出，
∠AOC是∠AOB与∠BOC的和，记作∠AOC=∠AOB+∠BOC，
而∠AOB是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB=∠AOC-∠BOC，
类似我们还有：∠AOC-∠AOB=∠BOC
3. 如图所示，
如果∠AOB=∠BOC，则∠AOC= ∠AOB +∠BOC=2∠AOB =2∠BOC，
142即∠AOB=∠BOC= ∠AOC
如这种从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两角的射线，叫做这个角的平分线，
类似地还有角的三等分线等.
B
C
1
2 A
O
通过对角平分线的理解，可以得到如下数量关系：
若OC平分∠AOB，则（1）∠1＝∠2；
（2）∠1＝∠2＝ ∠AOB；
（3）∠AOB＝2∠1＝2∠2．
反之结合上图如果角之间满足上面的数量关系也可说明OC是∠AOB的平分线.
4. 如何作一个角的平分线？你能想到什么方法？
方法1度量法；
方法2折纸法――对折角始角的两边重合，折痕就是角平分线．
三、例题讲解
例1 如图：∠AOB是哪两个角的和？∠DOC是哪两个角的和？若∠AOB=∠COD，则还有
哪两个角相等？
例2 如图： AOB是一条直线，∠AOC=900，∠DOE=900，
写出∠AOD、∠COD、∠AOC、∠AOB、∠BOD中某些角
143之间的两个等量关系.
例3 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，
求∠AOC的度数？
例4 如图：已知O为直线AB上一点，∠AOC的平分线OM，∠BOC的平分线为ON，求
∠MON的度数？
例5 如图所示，OM为∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内，ON为∠BOC的平分线，
已知∠AOC=800，求∠MON？
四、小结：
这节课你学到了什么？
师生共同归纳本节课所学的内容．
通过学习，我们知道了角的比较方法有两种：度量法和叠合法，并且通过自己的动
手实验，学会了用三角尺画出一些特殊的角和用折纸方法折出一个角的平分线，同时
明白了一个道理：到想真正掌握知识，就必须在学习过程中注意观察，勤于操作，积极
思考，主动交流，善于总结．
五、作业设计
1.课本第139页习题4.3第2、3、4、5、6题。
2.第140-141页习题4.3第10、11、15题。
144§ 4.3.3角的比较和运算（二）
—— 余角和补角
教学目标
1.了解余角和补角的定义和性质，并能熟练应用
2.掌握图形语言和文字语言的转化,
3.通过联系实际，让学生在数学活动中发展合作交流的意识，培养数形结合的思想
教学重点：互余、互补等概念和性质
教学难点：理解互余、互补等概念并熟练应用
教学过程：
一、情景导入
1.用量角器量出图中的两个角的度数，并求出这两个角的和.
2.说出一副三角尺中各个角的度数.
一幅三角板中，每一块都有一个角是900，且另外两角为300、600和450，450那么它们两
者之间作何关系呢？
二、探求新知
1.我们可以看出，在一幅三角板中，除了一个 900，我们都有 300+600=900，而
450+450=900。
因此我们规定如果两个有的和等于90（0 直角），我们就说这两个角互为余角，即其中一
个角是另一个角的余角.
如:300、600是互为余角(简称互余),300是600的余角,600也是300的余角。
类似地如果两个角的和等于180（0 平角），就说这两个角互为补角（简称互补），其中的
一个角是另一个角的补角.
2.互为补角和互为余角的角主要反映角的数量关系,而不是角的位置关系.
3. 一个角是35039’，求它的余角和补角？
（独立完成，个别回答，学生点评）
4． 如图：∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果∠2=∠3，则∠1与∠4相等吗？为什么？
由上例我们可以得
出结论： 等角 ( 或同角 ) 的补角相等
类似地，我们还有 等角 ( 或同角 ) 的余角相等
三、实践与应用
例1 如图：OC是 的平分线， 是直角，，图 中 互 余
的角有几对，互补的角有几对？把它们写出来.
例2已知一个角的余角比这个角的补角的一半还小120，求这个角余角和补角的度数？
(可运用方程知识求解)
145例3 填表后思考，并回答问题：
∠α ∠ α 的 余 ∠α 的补 ∠α 的补角-∠α 的
角 角 余角
300
60049’
1220
如果00＜α＜900，那么∠α的余角与补角之间有何关系？
练习：
1.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角。
2.课本第141页练习
四、小结
这节课，使我感受最深的是……
这节课，我感到最困难的是……
这节课，我学会了……
这节课，我发现生活中……
这节课，我想我将……
学生自己总结，可在班上或同桌之间交流．
五、作业设计
课本第144页习题4.3第7、8题，第13题。
参考练习
1.互补的两个角可以都是 （ ）
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.平角
2.如图，OC是平角∠AOB的平分线，OD、OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，图中和
∠COD互余的角有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.0
D C E
A O B
3.如图，∠AOC=∠BOD=900，∠AOB=620，求∠COD的度数.
D C B
O A
146§ 4.3.3 角的比较和运算（三）
—— 方位角
教学目标：
知识与能力
能正确运用角度表示方向，并能熟练运算和角有关的问题
过程与方法
能通过实际操作，体会方位角在是实际生活中的应用，培养学生的抽象思维.
情感、态度、价值观
能积极参与数学学习活动，培养学生对数学的好奇心和求知欲
教学重难点：
重点：方位角的表示方法
难点：方位角的准确表示
教学过程
一、情景导入
1.海上，缉私艇发现离它500海里处停着一艘可疑船只（如图），立即赶往检查．现请你
确定缉私艇的航线，画出示意图．并用语言描述出来.
A·可疑船
B·缉私艇
2.实际生活中，在航行、测绘等工作以及生活中，我们经常会碰到上 述类似问题，即如
何描述一个物体的方位。有一种角经常用于航空、航海，测绘中领航员常用地图和罗盘进行
这种角的测定，这就是方位角，方位角应用比较广泛，什么是方位角呢？
二、学习新知
方位角其实就是表示方向的角，这种角以正北，正南方向为基准描述物体的方向，如
“北偏东300”，“南偏西400”等，方位角不能以正东，正西为基准，如不能说成“东偏北
600，西偏南500”等，但有时如北偏东450时，我们可以说成东北方向.
三、实践与应用
例1 如图：指出图中射线OA、OB所表示的方向.
A
B
例2 若灯塔位于船的北偏东300，那么船在灯
塔的什么方位？
（要让学生画出相应图形，结合图形来回答）
（换成其它的方位角再回答然后找到规律）
例3 如图，货轮O在航行过程中发现灯塔 A在 它 的
南偏东600的方向上，同时在它北偏东600，南偏西 100 ，
西北方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D， 仿 照
147表示灯塔方位的方法，画出表示客轮B、货轮C、海岛D方向的射线
四、小结
引导学生讨论本节课所学知识以及需要注意的问题
五、作业设计
课本第144页习题4.3第9题，第12题。
五、参考练习：
1.请使用量角器、刻度尺画出下列点的位置.
（1）点A在点O的北偏东300的方向上，离点O 的 距
离为3cm.
（2）点B在点O的南偏西600的方向上，离点O 的 距
离为4cm.
（3）点C在点O的西北方向上，同时在点B的 正 北
方向上.
2. 如图，若已知∠1+∠2=900，∠2+∠3=900，问 ∠1和
∠3 是什么关系？为什么？若∠2 和∠4 相等，则 ∠1和
∠4要满足什么关系？为什么？
A
3
2
1 4
C B
3.如图，O是直线AB上一点，∠AOB=∠FOD=900，OB平分∠COD,图中与∠DOE互余的角有
哪些？与∠DOE互补的角有哪些？
F
E
D
A O B
教学后记： C
148第四章《图形初步认识》复习（一）
教学目标
知识与技能
1．使学生理解本章的知识结构，并通过本章的知识结构掌握本章全部知识；
2．对线段、射线、直线、角的概念及它们之间的关系有进一步的认识；
过程与方法
经历相关内容的归纳、总结，巩固对图形的直观认识，了解图形的分割和组合，探索学
习空间与图形的方法
情感、态度、价值观
在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验
教学重难点
重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；
难点是理解本章的数学思想方法．
教学过程
一、引导学生画出本章的知识结构框图
二、具体知识点梳理
（一）多姿多彩的图形
立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.
1、几何图形
平面图形：三角形、四边形、圆等.
主（正）视图---------从正面看
2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看
俯视图---------------从上面看
（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.
（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型.
1493、立体图形的平面展开图
（1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的.
（2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型.
4、点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形.
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线.
面：包围着体的是面，分为平面和曲面.
体：几何体也简称体.
（2）点动成线，线动成面，面动成体.
（二）直线、射线、线段
1、基本概念
直线 射线 线段
图形
端 点
无 一个 两个
个数
直线a
表 示 线段a
直线 AB 射线AB
法 线段AB（BA）
（BA）
作 直 线
作线段a
作 法 AB；
作射线AB 作线段AB
叙述 作 直 线
连接AB
a
延 长 线 段
延 长 不 能 延 反向延长射 AB；
叙述 长 线AB 反向延长线
段BA
2、直线的性质
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简单地：两点确定一条直线.
3、画一条线段等于已知线段
（1）度量法 （2）用尺规作图法
4、线段的大小比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
5、线段的中点（二等分点）、三等分点、四等分点等
定义：把一条线段平均分成两条相等线段的点.
图形：
A M B
150符号：若点M是线段AB的中点，则AM=BM= AB，AB=2AM=2BM.
6、线段的性质
两点的所有连线中，线段最短.简称：两点之间，线段最短.
7、两点的距离
连接两点的线段长度叫做两点的距离.
8、点与直线的位置关系
（1）点在直线上 （2）点在直线外.
（三）角
1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角.
2、角的表示法（四种）：
3、角的度量单位及换算
4、角的分类
5、角的比较方法
（1）度量法 （2）叠合法
6、角的和、差、倍、分及其近似值
7、画一个角等于已知角
（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.
（2）借助量角器能画出给定度数的角.
（3）用尺规作图法.
8、角的平线线
定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平分线.
图形： 符号：
9、互余、互补
（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补
角.
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.
10、方向角
（1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向
（3）东（西）北（南）方向
四、练习
1、下列说法中正确的是（ ）
A、延长射线OP B、延长直线CD C、延长线段CD D、反向延长直线CD
1512、下面是我们制作的正方体的展开图，每个平面内都标注了字母，请根据要求回答问
题：
（1）和A面所对的会是哪一面？
（2）和B面所对的会是哪一面？
（3）面E会和哪些面相交？
3、 两条直线相交有几个交点？
三条直线两两相交有几个交点？
四条直线两两相交有几个交点？
思考:n条直线两两相交有几个交点？
4、 已知平面内有四个点A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可画多少条直线，
最多可画多少条直线？画出图来．
5、已知点C是线段AB的中点，点D是线 段BC的中
点，CD=2．5厘米，请你求出线段AB、AC、AD、 BD的长各
为多少？
6、已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，求PB的长．
五、作业设计
课本第147-148页复习题4第1~6题
152第四章《图形初步认识》复习（二）
教学目标
知识与技能
应用本章知识解决一些实际问题
过程与方法
通过实验、操作，提高对图形的认识能力，探索学习空间与图形的方法
情感、态度、价值观
在解决一些实际问题的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验。
教学重难点
重点是理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；
难点是理解本章的数学思想方法．
教学过程
一、例题讲解
例1如图1-1，正方体盒子中，一只蚂蚁从B点沿正方体的表面爬到D点，画出蚂蚁爬
1
行的最短线路
.
图1
图3
图2
分析：正方体是空间图形，解决空间图形的问题，经常是将空间图形转化为平面图
形，这正是转化思想的体现.
解：将正方体展开成平面图形，如图1-2所示，因为两点之间线段最短，所以，在图1-2
中，BD 就是所要求的最短线路.
1
例2一个角的补角是它的3倍，这个角是多少？
分析：设这个角的度数为x，则它的补角为180－x，根据题意，可列出一元一次方程来
求解.
解：设这个角的度数为x，则有180－x＝3x.解这个方程，得x＝45°.所以这个角是
45°.
例3如图2，点O是直线A上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB 的平分线，
求∠DOE的度数.
分析：在解决线段的中点和角的平分线问题时，某个 环节整
体处理，能化难为易，轻松求解.
分别求出∠DOC、∠EOC的度数，再相加得到∠DOE的 度数，
是不可能的，可将∠DOE作为一个整体来考虑.
解：因为OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，
所以∠COD＝ ∠COA，∠COE＝ ∠COB，
而∠COA＋∠COB＝180°，
153所以∠DOE＝ （∠COA＋∠COB）＝ ×180°＝90°.
例4 如图3-173所示，回答下列问题。
图3-173
（1）图中有几条直线？用字母表示出来；
（2）图中有几条射线？用字母表示出来；
（3）图中有几条线段？用字母表示出来。
解：（1）图中有1条直线，表示为直线AD（或直线AB，AC，BD，BC，CD）；
（2）共有8条射线，能用字母表示的有射线AB，AC，AD，BC，BD，CD，不能用字母表示的有
2条，
二、课堂练习
１. 已知平面内有四个点 A、B、C、D，过其中任意两点画直线，最少可画多少条直线，
最多可画多少条直线？画出图来并说明理由．
２．已知点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点，CD=2．5厘米，请你求出线段AB、
AC、AD、BD的长各为多少？
3．已知线段AB=4厘米，延长AB到C，使B C=2AB，取AC的中点P，求PB的长．
4．计算下列各题:
（1）23°30′＝____°;13．6°＝____°____′；
（2）52°45′－32°46′＝____°____′；
（3）18．3°+26°34′＝____°____′．
5．由图形填空 :
∠AOC＝______+______ ；
∠AOC－∠AOB ＝_________ ；
∠COD＝ ∠AOD－_______ ；
∠BOC＝ _____－ ∠COD ；
∠AOB+∠COD＝_____－______．
第5题 第6题
6．如图，A、B、C在一直线上，已知 １＝53°, 2＝37°．CD与CE垂直吗？
三、课堂小结
根据复习练习情况小结
四、作业设计
课本第148-149页复习题4第7~12题
154155
