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第二十一章 一元二次方程（5 大压轴考法 60 题专练）
目录
题型一：换元法解一元二次方程.......................................................................................1
题型二：根的判别式........................................................................................................4
题型三：根与系数的关系.................................................................................................9
题型四：一元二次方程的应用........................................................................................19
题型五：配方法的应用...................................................................................................46
一．换元法解一元二次方程（共4小题）
1．（2023秋•黔南州期末）阅读材料：解方程 ，我们可以将 视为一个整体，
然后设 ，则 ，原方程化为 ．①
解得 ，
当 时， ． ． ；
当 时， ， ， ．
原方程的解为 ， ， ， ．
根据上面的解答，解决下面的问题：
（1）填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
（2）解方程： ．
【分析】（1）根据题意可以解答本题；
（2）根据换元法可以解答此方程．
【解答】解：（1）由题意可得，
在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了将次的目的，体现了换元的数学思想，
故答案为：换元、换元；
（2） ，
令 ，则原方程可化为： ，
解得， 或 ，
（舍去）， ，
解得， ， ，
故原方程的解是 ， ．
【点评】本题考查换元法解一元二次方程、解一元二次方程的方法，解题的关键是明确解方程的方法．
2．（2022秋•绥宁县期中）阅读下面的材料：解方程 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 ，则
， 原方程可化为： ，解得 ， ，当 时， ， ，当
时， ， ． 原方程有四个根是： ， ， ， ，以上方法叫换
元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题．
（1）解方程： ；
（2）已知实数 ， 满足 ，试求 的值．
【分析】（1）设 ，则由已知方程得到： ，利用因式分解法求得该方程的解，然后
解关于 的一元二次方程；
（2）设 ，则由已知方程得到： ，利用因式分解法求得该方程的解即可．
【解答】解：（1）设 ，则 ，
整理，得
，
解得 ， ，
当 即 时，解得： ；
当当 即 时，解得： ；
综上所述，原方程的解为 ， ；
（2）设 ，则 ，
整理，得
，
解得 ， （舍去），
故 ．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
3．（2023秋•临泽县校级期中）阅读下面的材料，解决问题：
解方程 ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ，解得 ， ．
当 时， ， ；
当 时， ， ；
原方程有四个根： ， ， ， ．请参照例题，解方程 ．
【分析】根据题目中的例子和换元法解方程的方法可以解答本题．
【解答】解：设 ，原方程可变为 ，
解得 ， ，
当 时， ，得 ， ，
当 时， ，得方程 ，
△ ，此时方程无实根，
所以原方程有两个根： ， ．
【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程．
4．（2023秋•高新区校级期中）阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次
方程．其一般形式为 ，一般通过换元法解之，具体解法是设 ，则原四次方程
化为一元二次方程： ，解出 之后代入 ，从而求出 的值．例如解：
解：设 ，则原方程可化为：
， ，
，
当 时，
， ；当 时，
，
小试牛刀：请你解双二次方程：
归纳提高：思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 ②③ （选出所有的
正确答案）
①当 时，原方程一定有实数根；②当 时，原方程一定没有实数根；③当 ，
并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个
正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根；④原方程无实数根时，一定有 ．
【分析】先设 ，则原方程变形为 ，运用因式分解法解得 ， ，再把和4分别代入 得到关于 的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断①②③④．
【解答】解：
设 ，则原方程变为： ．
分解因式，得 ，
解得， ， ，
当 时， ， ，△ ，此方程无实数解；
当 时， ，解得 ， ，
所以原方程的解为 ， ．
根据阅读新知和小试牛刀即可判断②③；
如： ，虽然△ ，但原方程可化为 ，明显，此方
程无解；
所以，①④错误，
故答案为②③．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．
二．根的判别式（共5小题）
5．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程 ，下列说法：
①若 ，则 ；
②若方程 有两个不相等的实根，则方程 必有两个不相等的实根；
③若 是方程 的一个根，则一定有 成立；
④若 是一元二次方程 的根，则
⑤存在实数 、 ，使得 ；
其中正确的
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求
根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若 ，则 是方程 的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△ ，故①正确；
② 方程 有两个不相等的实根，
△ ，
，
则方程 的判别式△ ，方程 必有两个不相等的实根，故②正确；
③ 是方程 的一个根，
则 ，
，
若 ，等式仍然成立，
但 不一定成立，故③不正确；
④若 是一元二次方程 的根，
则由求根公式可得：
或
或
故④正确．
⑤令 ，则存在实数 、 ，使得 ；正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解
题的关键．
6．（2024•湖州一模）对于关于 的一元二次方程 的根的情况，有以下四种表述：
①当 ， ， 时，方程一定没有实数根；
②当 ， ， 时，方程一定有实数根；
③当 ， 时，方程一定没有实数根；
④当 ， ， 时，方程一定有两个不相等的实数根．
其中表述正确的序号是
A．① B．② C．③ D．④
【分析】关于 的一元二次方程 的判别式为△ ，若△ ，则方
程有两个不相等的实数根；△ ，则方程有两个相等的实数根；△ ，则方程无实
数根，据此逐一判断即可．
【解答】解：①当 ， ， 时，满足 ， ， ，
此时△ ，即方程有两个不相等的实数根，
故①错误；
② ， ，
，
，，
△ ，即方程有两个不相等的实数根，
故②正确；
③当 ， ， 时，满足 ， ，
此时△ ，即方程有两个不相等的实数根，
故③错误；
④ ， ， ，
， ，
△ ，即方程有两个相等的实数根，
故④错误；
综上，正确的是②，
故选： ．
【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解
题的关键．
7．（2023秋•西城区校级期中）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰 的一边长 ，另两边长 、 恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
【分析】（1）计算方程的判别式大于等于0即可；
（2）由等腰三角形的性质有 、 或 三种情况，当 或 时，可知 为方程
的一个根，代入可求得 的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当 时，可知方程有两个相等的实
数根，由判别式等于0可求得 ，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长．
【解答】（1）证明：
一元二次方程 ，
△ ，
无论 取何实数值，方程总有实数根；
（2）解： 为等腰三角形，
有 、 或 三种情况，
①当 或 时，可知 为方程的一个根，
，解得 或 ，
当 时，方程为 ，解得 或 ，
三角形的三边长为4、6、6，
当 时，方程为 ，解得 或 ，
三角形的三边长为6、6、10，②当 时，则方程有两个相等的实数根，
△ ，即 ，解得 ，
方程为 ，解得 ，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
还可采取以下方法：
由 得到 ，
解得 或 ，
当 时，则 ， ，此时，三角形的边长为6，6，4；
当 时，则 ， ，则 ，此时，三角形的边长为6，6，10；
当 时，即 ，解得 ，则 ，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍
去）
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
【点评】本题主要考查方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握根的判别式与一元二次方程根的个数的
关系是解题的关键．
8．（2024•富顺县一模）我们规定：方程 的变形方程为 ．例如，方
程 的变形方程为
（1）直接写出方程 的变形方程；
（2）若方程 的变形方程有两个不相等的实数根，求 的取值范围；
（3）若方程 的变形方程为 ，直接写出 的值．
【分析】（1）用 表示方程里的 ，直接得结论；
（2）先把方程变形，再利用根的判别式，计算出 的取值范围；
（3）变形方程整理，即得 的值．
【解答】解：（1）用 表示方程 里的 ，
可得 ．
（2）用 表示方程 里的 ，
得 ．
整理，得
变形后的方程有两个不相等的实数根，
△
，．
（3） ．
（方程 的变形方程为 ，
整理，得 ，
即
由于方程 的变形方程为 ，
所以 ．
【点评】本题考查了换元法、根的判别式、不等式的解法．题目难度不大，掌握根的判别式是关键．
9．（2024•海淀区校级模拟）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实
数根．
（1）求 的取值范围；
（2）已知等腰 的底边 ，若 ， 恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
（3）阅读材料：若 三边的长分别为 ， ， ，那么可以根据秦九韶 海伦公式可得：
，其中 ，在（2）的条件下，若 和 的角平分线交于
点 ，根据以上信息，求 的面积．
【分析】（1）根据△ ，构建不等式求解即可；
（2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用△ ，构建方程求解 值，即可得一元二次
方程，解方程可求解 ， ，进而可求解 的周长；
（3）由海伦公式可求解 的面积，过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ， ，
，利用角平分线的性质可得 ，结合 的面积可求解 的长，再根据三角形的面积公式
计算可求解．
【解答】解：（1）由题意得：△ ，且 ，
化简得： ，
解得： 且 ；
（2）由题意知： ， 恰好是等腰 的腰长，
，
， 是关于 的一元二次方程 的两实数根，△ ，
解得 ，
，
解得 ，
，
的周长为： ；
（3）由（2）知： 的三边长为3，3，4，
，
，
过 分别作 ， ， ，垂足分别为 ， ， ，
是 角平分线的交点，
，
，
解得 ，
．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，
掌握根的判别式是解题的关键．
三．根与系数的关系（共9小题）
10．（2024•双峰县模拟）对于任意实数 ， ，我们定义新运算“ ”： ，例如
．若 ， 是方程 的两根，则 的值为 ．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得 ， ，再结合分
式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得 即为 ，
化简得 ，
， 是该方程的两根，， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一元
二次方程是解题的关键．
11．（2024 春•海门区校级期中）已知：平行四边形 的两边 ， 的长是关于 的方程
的两个实数根．
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若 的长为2，那么平行四边形 的周长是多少？
（3）如果这个方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
【分析】（1）当 时，四边形 是菱形，即方程 的两个实数根相等，根据
根的判别式为0可得关于 的方程，解之可得 的值，再还原方程，求解可得；
（2）根据根与系数的关系可得 ，解之可得 的长，继而得出周长；
（3）由根与系数的关系可得 ， ，代入到 ，
解之可得．
【解答】解：（1）当 时，四边形 是菱形，即方程 的两个实数根相等，
，
解得： ，
此时方程为 ，
解得： ，
这时菱形的边长为 ；
（2）根据题意知， ，解得： ，
平行四边形 的周长是 ；
（3） 方程的两个实数根分别为 ， ，
， ，
代入到 ，可得 ，
解得： ．
【点评】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，理解题意得出相应的方程是解题的关键．
12．（2022秋•宿城区期末）已知关于 的方程 ．
（1）求证：无论 取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数 ，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出 的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形 的边长 ，另两边的长 、 恰好是这个方程的两根时，求 的周长．
【分析】（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．
（2）两实数根互为相反数，让 即可求得 的值．
（3）分 ， 两种情况做．
【解答】证明：（1） △ ，
方程总有实根；
解：（2） 两实数根互为相反数，
，
解得 ；
（3）①当 时，则△ ，
即 ，
，
方程可化为 ，
，
而 ，
不适合题意舍去；②当 ，则 ，
，
方程化为 ，
解得 ， ，
，
，
当 时，同理得 ，
，
综上所述， 的周长为10．
【点评】一元二次方程总有实数根应根据判别式来做，两根互为相反数应根据根与系数的关系做，等腰三
角形的周长应注意两种情况，以及两种情况的取舍．
13．（2023秋•鱼台县期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另
一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程 是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程 是倍根方程，且方程有一个根为2，求 、 的值？
【分析】（1）利用因式分解法求出方程的两根，再根据倍根方程的定义判断即可；
（2）根据倍根方程的定义，倍根方程 有一个根为2时，另外一个根为4或1，再利用根与
系数的关系求出 、 的值．
【解答】解：（1）是倍根方程，理由如下：
解方程 ，得 ， ，
是1的2倍，
一元二次方程 是倍根方程；
（2）分两种情况：
①另外一个根为4时，
， ，
， ；
②另外一个根为1时，
， ，
， ．【点评】本题考查了根与系数的关系： ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．
14．（2023春•环翠区期末）已知：关于 的方程 ．
（1）若方程有两个相等的实数根，求 的值，并求出这时方程的根．
（2）问：是否存在正数 ，使方程的两个实数根的平方和等于136？若存在，请求出满足条件的 值；
若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式△ ，建立关于 的等式，由此求出 的取值．再化简
方程，进而求出方程相等的两根；
（2）利用根与系数的关系，化简 ，即 ．根据根与系数的关系即可得到
关于 的方程，解得 的值，再判断 是否符合满足方程根的判别式．
【解答】解：（1）若方程有两个相等的实数根，
则有△ ，
解得 ，
当 时，原方程为 ，
；
（2）不存在．
假设存在，则有 ．
，
，
．
即 ，
，
，
， ．
△ ，
，
， 都不符合题意，
不存在正数 ，使方程的两个实数根的平方和等于136．
【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△ 方程有两个不相等的实数根；
（2）△ 方程有两个相等的实数根；（3）△ 方程没有实数根．
2、根与系数的关系为： ．
15．（2023春•定远县期中）如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根为另
外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③④ （填
序号）
①方程 是倍根方程；
②若 是倍根方程：则 ；
③若 ， 满足 ，则关于 的方程 是倍根方程；
④若方程以 是倍根方程，则必有 ．
【分析】①求出方程的解，再判断是否为倍根方程，
②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到 、 之间的关系，而 、 之间的关系正好
适合，
③当 ， 满足 ，则 ，求出两个根，再根据 代入可得两个根
之间的关系，进而判断是否为倍根方程，
④用求根公式求出两个根，当 ，或 时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可．
【解答】解：①解方程 得， ， ，得， ，
方程 不是倍根方程；
故①不正确；
②若 是倍根方程， ，
因此 或 ，
当 时， ，
当 时， ，
，
故②正确；
③ ，则： ，
， ，
，
因此是倍根方程，
故③正确；④方程 的根为： ， ，
若 ，则， ，
即， ，
，
，
，
．
若 时，则， ，
即，则， ，
，
，
，
，
．
故④正确，
故答案为：②③④
【点评】考查一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程
的解是解决问题的关键．
16．（2023•黄石港区校级模拟）如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ，
，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知 、 是方程 的二根，则 4 3
（2）已知 、 、 满足 ， ，求正数 的最小值．
（3）结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于 ， 的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出的
值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据 ， 是 的解，求出 和 的值，即可求出 的值．
（2）根据 ， ，得出 ， ， 、 是方程 的解，再根
据 ，即可求出 的最小值．
（3）运用根与系数的关系求出 ， ，再解 ，即可求出 的值．
【解答】解：（1） 、 是方程 的二根，
， ，
，
故答案为：43；
（2） ， ，
， ，
、 是方程 的解，
， ，
是正数，
， ， ，
正数 的最小值是4．
（3）存在，当 时， ．
由 变形得： ，
由 变形得： ，把 代入 ，并整理得： ，
由题意思可知， ， 是方程 的两个不相等的实数根，故有：即：
解得： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解
题方法．
17．（2023秋•鼓楼区校级月考）请阅读下列材料：
已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，
把 代入已知方程，得 ．
化简，得 ，故所求方程为 ，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
；
（2）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 3， ，求一元二次方程
的两根．
【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是 ，则 ，所以 ，然后把 代入原方程，化
简可求；
（2）根据题意，设所求方程的根是 ，则 ，所以 ，然后把 代入原方程，化简可求；
（3）由（2）可知，对方程 两边同时除以 ，得 ，则方程
的两根是 两根的倒数，进而求解．
【解答】解：（1）设所求方程的根是 ，则 ，所以 ，
把 代入 ，
得 ，故答案为： ；
（2）设所求方程的根是 ，则 ，
所以 ，
把 代入方程 ，得
，
化简，得 ；
（3）一元二次方程整理后可得： ，
令 ，
，
则方程 的两根比 两根大1，
所以方程 的两根分别是4、 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用．
18．（2023春•鲤城区校级期中）请阅读下列材料： ，求一个一元二次方程，使它的根分别是
已知方程根的 2 倍．解：设所求方程的根为 ，则 ，所以 ，把 代入已知方程，得
，化简，得 ，故所求方程为 ，这种利用方程的代换求新方程的
方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形
式）．
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：
；
（2）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数；
（3）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 3， ，求一元二次方程
的两根．（直接写出结果）
【分析】（1）根据题意，设所求方程的根是 ，则 ，所以 ，然后把 代入原方程，化
简可求；
（2）根据题意，设所求方程的根是 ，则 ，所以 ，然后把 代入原方程，化简可求；（3）由（2）可知，对方程 两边同时除以 ，得 ，则方程
的两根是 两根的倒数，进而求解．
【解答】解：（1）设所求方程的根是 ，则 ，所以 ，
把 代入 ，
得 ，
故答案为： ；
（2）设所求方程的根是 ，则 ，
所以 ，
把 代入方程 ，得
，
化简，得 ；
（3）一元二次方程整理后可得： ，
令 ，
，
则方程 的两根比 两根大1，
所以方程 的两根分别是4、 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用．
四．一元二次方程的应用（共34小题）
19．（2023秋•青岛期末）实验与操作：
小明是一位动手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 的正方体．
（1）如图1所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为 的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积
为 11 0 ；
（2）如果在第（1）题打孔后，再在正面中心位置（如图2中的虚线所示）从前到后打一个边长为 的
正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为 ；
（3）如果把（1）、（2）中的边长为 的通孔均改为边长为 的通孔，能否使橡皮泥块的表面
积为 ？如果能，求出 ，如果不能，请说明理由．【分析】（1）打孔后的表面积 原正方体的表面积 小正方形孔的面积 孔中的四个矩形的面积．
（2）打孔后的表面积 图①中的表面积 个小正方形孔的面积 新打的孔中的八个小矩形的面积．
（3）根据（1）（2）中的面积计算方法，用 表示出图①和图②的面积．然后让用得出的图②的表面积
计算出 的值．
【解答】解：（1）表面积 ，故答案为：110；
（2）表面积 ，故答案为：118；
（3）能使橡皮泥块的表面积为 ，理由为：
，
，
，
当边长改为 时，表面积为 ．
【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积 各部分面积之和；剩余面积 原面
积 截去的面积．
20．（2023秋•纳溪区期末）已知： 的两边 ， 的长是关于 的方程 的两
个实数根．
（1）当 为何值时，四边形 是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若 的长为2，那么 的周长是多少？
【分析】（1）让根的判别式为0即可求得 ，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得 的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．
【解答】解：（1） 四边形 是菱形，
，△ ，即 ，
整理得： ，
解得 ，
当 时，原方程为 ，
解得： ，
故当 时，四边形 是菱形，菱形的边长是0.5；
（2）把 代入原方程得， ，
把 代入原方程得 ，解得 ， ，
．
【点评】综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题
的关键．
21．（2023•城厢区校级开学）如图， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ，动点
、 分别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以 的
速度向 移动．
（1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ；
（2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离是 ．
【分析】（1）设 、 两点从出发开始到 秒时四边形 的面积为 ，则 ，
，根据梯形的面积公式可列方程： ，解方程可得解；
（2）作 ，垂足为 ，设运动时间为 秒，用 表示线段长，用勾股定理列方程求解．
【解答】解：（1）设 、 两点从出发开始到 秒时四边形 的面积为 ，
则 ， ，
根据梯形的面积公式得 ，
解之得 ，（2）设 ， 两点从出发经过 秒时，点 ， 间的距离是 ，
作 ，垂足为 ，
则 ， ，
， ，
，
由勾股定理，得 ，
解得 ， ．
答：（1） 、 两点从出发开始到5秒时四边形 的面积为 ；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点 和点 的距离是 ．
【点评】（1）主要用到了梯形的面积公式： （上底 下底） 高；（2）作辅助线是关键，构成直
角三角形后，用了勾股定理．
22．（2022秋•新化县期末）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1
元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决
定把零售单价下降 元．
（1）零售单价下降 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为 元．
（2）在不考虑其他因素的条件下，当 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽
子更多？
【分析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1）零售单价下降 元后，该店平均每天可卖出 只粽子，利润为
元．
（2）令 ．
化简得， ．即， ．
解得 或 ．
可得，当 时卖出的粽子更多．
答：当 为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
23．（2023秋•绥棱县校级期中）某批发商以每件50元的价格购进800件 恤，第一个月以单价80元销售，
售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根
据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商
将对剩余的 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低 元．
（1）填表：（不需化简）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
80 7 0 40
单价（元
200
销售量（件
（2）如果批发商希望通过销售这批 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
【分析】（1）根据题意直接用含 的代数式表示即可；
（2）利用“获利9000元”，即销售额 进价 利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问
题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
【解答】解：（1）
时间 第一个月 第二个月 清仓时
80 40
单价（元
200
销售量（件
（2）根据题意，得
整理得 ，
即 ，
解得
当 时，
答：第二个月的单价应是70元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
有关销售问题中的等量关系一般为：利润 售价 进价．
24．（2023春•长乐区校级期末）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出
500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少20千克．现该
商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
【分析】设每千克水果应涨价 元，得出日销售量将减少 千克，再由盈利额 每千克盈利 日销售量，依题意得方程求解即可．
【解答】解：设每千克水果应涨价 元，
依题意得方程： ，
整理，得 ，
解这个方程，得 ， ．
要使顾客得到实惠，应取 ．
答：每千克水果应涨价5元．
【点评】解答此题的关键是熟知此题的等量关系是：盈利额 每千克盈利 日销售量．
25．（2023秋•新华区校级月考）在宽为 ，长为 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵
向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使实验地面
积为 ，问道路应为多宽？
【分析】本题中，试验地的面积 矩形耕地的面积 三条道路的面积 道路重叠部分的两个小正方形的面
积．如果设道路宽 ，可根据此关系列出方程求出 的值，然后将不合题意的舍去即可．
【解答】解：设道路为 米宽，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
经检验是原方程的解，但是 ，因此不合题意舍去．
答：道路为 宽．
【点评】对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积 各部分面积之和；剩余面积 原面
积 截去的面积．
26．（2022秋•湖北月考）某商场礼品柜台元旦期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500张，
每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价
每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多
少元？
【分析】等量关系为：（原来每张贺年卡盈利 降价的价格） （原来售出的张数 增加的张数） ，
把相关数值代入求得正数解即可．
【解答】解：设每张贺年卡应降价 元，现在的利润是 元，则商城多售出 张．
，
解得 （降价不能为负数，不合题意，舍去）， ．
答：每张贺年卡应降价0.1元．【点评】考查一元二次方程的应用；得到每降价 元多卖出的贺年卡张数是解决本题的难点；根据利润得
到相应的等量关系是解决本题的关键．
27．（2022春•宜秀区校级月考）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关
房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，
决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打
9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？
【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为 ，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．
【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为 ，
则 ，
解得： ， （舍去），
故平均每次下调的百分率为 ；
（2）方案①购房优惠： （元 ；
方案②可优惠： （元 ．
故选择方案①更优惠．
【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，
找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．
28．（2022秋•河东区校级月考）将一条长为 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一
个正方形．
（1）要使这两个正方形的面积之和等于 ，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
【分析】（1）这段铁丝被分成两段后，围成正方形．其中一个正方形的边长为 ，则另一个正方形的
边长为 ，根据“两个正方形的面积之和等于 ”作为相等关系列方程，解方程即可求
解；
（2）设两个正方形的面积和为 ，可得二次函数 ，利用二次函数的最值的
求法可求得 的最小值是12.5，所以可判断两个正方形的面积之和不可能等于 ．
【解答】解：（1）设其中一个正方形的边长为 ，则另一个正方形的边长为 ，
依题意列方程得 ，
整理得： ，，
解方程得 ， ，
， ；
或 ， ．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是 、 ；
（2）两个正方形的面积之和不可能等于 ．
理由：
设两个正方形的面积和为 ，则
，
，
当 时， 的最小值 ，
两个正方形的面积之和不可能等于 ；
（另解：由（1）可知 ，
化简后得 ，
△ ，
方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于 ．
【点评】此题等量关系是：两个正方形的面积之和 或 ．读懂题意，找到等量关系准确地列出
方程是解题的关键．
29．（2024春•怀宁县期末）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200
元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还
需要对每个房间支出20元 每天的维护费用，设每间客房的定价提高了 元．
（1）填表（不需化简）
入住的房间数量 房间价格 总维护费用
提价前 60 200
提价后
（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯
收入 总收入 维护费用）
【分析】（1）住满为60间， 表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空
闲，房间空闲个数为 ，入住量 房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费 每间房实际定价 入住量，每间房实际定价 ，列出方程．
【解答】解：（1） 增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房
间为 ，
入住的房间数量 ，房间价格是 元，总维护费用是 ．
故答案为： ； ； ；
（2）依题意得： ，
整理，得
，
解得 ， ．
当 时，有游客居住的客房数量是： （间 ．
当 时，有游客居住的客房数量是： （间 ．
所以当 时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为 （元 ．
答：每间客房的定价应为300元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
30．（2024春•安庆期中）如图， 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿
着 方向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两点同时
出发，运动时间为 ．
（1）若 的面积是 面积的 ，求 的值？
（2） 的面积能否为 面积的一半？若能，求出 的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出 面积为 ， 的面积为 ，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系 列方程求出 的值，但方程无解．
【解答】解：（1） ， ，
，
整理得 ，
解得 ．
答：当 时 的面积为 面积的 ；
（2）当 时，
，
整理得 ，
△ ，
此方程没有实数根，
的面积不可能是 面积的一半．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的
条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
31．（2023秋•头屯河区期末）某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元
时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销
售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变．
（1）求二、三这两个月的月平均增长率；
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加
5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？
【分析】（1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二
月份的销售量为： 件；三月份的销售量为： 件，又知三月份的销售量为：400元，
由此等量关系列出方程求出 的值，即求出了平均增长率；
（2）利用销量 每件商品的利润 求出即可．
【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为 ，根据题意可得：
，
解得： ， （不合题意舍去）．答：二、三这两个月的月平均增长率为 ；
（2）设当商品降价 元时，商品获利4250元，根据题意可得：
，
解得： ， （不合题意舍去）．
答：当商品降价5元时，商场获利4250元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程
是解决问题的关键．
32．（2024春•新会区校级期末）乡情教育是我校一直以来的办学特色，本学期，学校将举办“乡情摄
影”展等系列活动．小颖同学积极参加了这次活动，将自己在暑假回老家时拍摄的一张家乡的风景相片
（如图 上交了学校并被选为优秀作品．图片的长为8分米，宽为6分米，为了展示将在原图片的四周外
围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图．如果要求整个挂图的面积是80平方分米．那么金色纸边
的宽应是多少？
（1）如果设金色纸边的宽度为 分米，那么挂画的长可表示为 分米，挂画的宽可表示为
分米，列出的方程为 ．
（2）根据你所列的方程求出 的值．
【分析】（1）设金色纸边的宽度为 分米，那么挂画的长可表示为 分米，挂画的宽可表示为
分米，根据挂画的面积为80平方分米，列方程即可；
（2）求解（1）所列的方程．
【解答】解：（1）设金色纸边的宽度为 分米，则挂画的长为 分米，挂画的宽为 分米，
由题意得 ；
（2）整理方程得： ，
解得： ， （不合题意舍去）．
答：金色纸边的宽度为1分米，
故答案为： ， ， ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关
系，列方程求解．
33．（2024春•南岗区校级月考）如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃 ，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于 的篱笆 隔开，已知篱笆的总长度为18米．
（1）设矩形苗圃 的一边 的长为 ，矩形苗圃 面积为 ，求 关于 的函数关系式，
直接写出自变量 的取值范围；
（2）当 为何值时，所围矩形苗圃 的面积为 ？
【分析】（1）一边 的长为 ，则另一边 ，根据长方形面积公式可得函数解析式；
（2）根据 得出关于 的方程，解方程即可得．
【解答】解：（1）设矩形苗圃 的一边 的长为 ，则 ，
， ；
（2）根据题意，得： ，
解得： 或 ，
答：当 或 时，所围矩形苗圃 的面积为 ．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据面积公式得出函数解析式是解题的关键．
34．（2024•瑶海区校级三模）某农户种植花生，原来花生的亩产量为200千克，出油率为 （即每100
千克花生可加工成花生油50千克），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，
其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 ．求新品种花生亩产量的增长率．
（1）这是一个增长率问题，可设所求增长率为 ，依题意填写下列表格：
亩产量（千克） 出油量（千克）
出油率
原来 200 50
现在 132
（2）求新品种花生亩产量的增长率．
【分析】（1）增长后的量 增长前的量 增长率）．
（2）每亩收获的花生可加工成花生油的质量是 ，依此即可列方程求解．
【解答】解：（1）花生的现在亩产量 ，花生的现在出油率 ；
（2）设新品种花生亩产量的增长率为 ．， （舍去）．
．
故新品种花生亩产量的增长率为 ．
【点评】本题考查的是增长率问题，首先表示新植花生的亩产量，再表示出出油率增长后出的油，然后列
方程求解．
35．（2024•犍为县模拟）某楼盘2018年2月份准备以每平方米7500元的均价对外销售，由于国家有关房
地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格连续两个月进行下调，
4 月份下调到每平方米6075元的均价开盘销售．
（1）求3、4两月平均每月下调的百分率；
（2）小颖家现在准备以每平方米6075元的开盘均价，购买一套100平方米的房子，因为她家一次性付清
购房款，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物
业管理费是每平方米每月1.5元，小颖家选择哪种方案更优惠？
（3）如果房价继续回落，按此平均下调的百分率，请你预测到 6月份该楼盘商品房成交均价是否会跌破
4800元 平方米，请说明理由．
【分析】（1）设出平均每月下调的百分率为 ，利用预订每平方米销售价格 每次下调的百分率）
开盘每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价 ；②方案：
下调后的均价 两年的物业管理费，比较确定出更优惠的方案；
（3）利用（1）中的答案和方法计算得出答案即可．
【解答】解：（1）设3、4两月平均每月下调的百分率为 ，
由题意得： ，
解得： ， （舍 ，
答：3、4两月平均每月下调的百分率是 ；
（2）方案一： （元 ，
方案二： （元 ，
，
方案一更优惠，小颖选择方案一：打9.8折购买；
（3）不会跌破4800元 平方米
因为由（1）知：平均每月下调的百分率是 ，
所以： （元 平方米），
，月份该楼盘商品房成交均价不会跌破4800元 平方米．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系，列出方程求出符
合题意得解．
36．（2024春•西湖区校级月考）如图，在 中， ， ， ，点 从 点
出发，以 的速度向 点移动，点 从 点出发，以 的速度向 点移动，当一个点到达终点
时，另一个点
也随即停止运动．如果 、 两点同时出发．
①经过几秒后 的面积等于 ；
② 的面积能否等于 ，并说明理由．
【分析】作出辅助线，过点 作 于 ，即可得出 的面积为 ，有 、 点的移
动速度，设时间为 秒时，可以得出 、 关于 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．
【解答】解：如图，
①过点 作 于 ，则 ．
，
．
．
设经过 秒后 的面积等于 ，
则 ， ， ．
根据题意， ．
．
， ．
当 时， ， ，不合题意舍去，取 ．
答：经过2秒后 的面积等于 ；
②当面积等于5时， ．
．
△ ，方程没有实数根，
所以 的面积不能等于 ，
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．
37．（2024•旺苍县一模）某农户在山上种脐橙果树44株，现进入第三年收获．收获时，先随机采摘5株
果树上的脐橙，称得每株果树上脐橙重量如下（单位： ，35，34，39，37．
（1）试估计这一年该农户脐橙的总产量约是多少？
（2）若市场上每千克脐橙售价5元，则该农户这一年卖脐橙的收入为多少？
（3）已知该农户第一年果树收入5500元，根据以上估算求第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率．
【分析】（1）根据平均数的计算公式即可求出样本平均数，然后乘以44即是这年脐橙的总产量．
（2）根据市场上的脐橙售价乘以总产量即是这年该农户卖脐橙的收入．
（3）设年平均增长率为 ，先依题意表示出第三年的收入再根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：（1）样本平均数为36千克，这年脐橙的总产量约为1584千克；
（2）这年该农户卖脐橙的收入将达7920元；
（3）设：年平均增长率为 ，依题意得：
，
解得： （不合题意，舍去）．
答：第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率为 ．
【点评】本题主要考查了学生如何求平均数，会根据平均数估计总数，能根据题意列出一元二次方程．解
题时要注意对解出的根进行检验，不合题意的要舍去．
38．（2023秋•青白江区校级期中）如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形， ， ，
是 和 边长，易知 ，这时我们把关于 的形如 的一元二次方程
称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；
（3）若 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形 的周长是 ，求
面积．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 的值，根据完全平方公式求得 的值，从而可求得
面积．
【解答】（1）解：当 ， ， 时
勾系一元二次方程为 ；
（2）证明：根据题意，得
△
即△
勾系一元二次方程 必有实数根；
（3）解：当 时，有 ，即
，即
，
．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
39．（2024春•海淀区校级期中）如图，某单位准备将院内一块长 ，宽 的长方形花园中修两条纵
向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为 ，求小道进出
口的宽度．【分析】设小道进出口的宽度为 米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
【解答】解：设小道进出口的宽度为 米，
依题意得 ．
整理，得 ．
解得， ， ．
（不合题意，舍去），
．
答：小道进出口的宽度应为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．
40．（2024•无锡校级二模）某大型水果超市销售无锡水蜜桃，根据前段时间的销售经验，每天的售价
（元 箱）与销售量 （箱 有如表关系：
68 67 66 65 40
每箱售价 （元
40 45 50 55 180
每天销量 （箱
已知 与 之间的函数关系是一次函数．
（1）求 与 的函数解析式；
（2）水蜜桃的进价是40元 箱，若该超市每天销售水蜜桃盈利1600元，要使顾客获得实惠，每箱售价是
多少元？
（3）七月份连续阴雨，销售量减少，超市决定采取降价销售，所以从 7月17号开始水蜜桃销售价格在
（2）的条件下，下降了 ，同时水蜜桃的进货成本下降了 ，销售量也因此比原来每天获得1600元
盈利时上涨了 ，7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃销售总盈利比7月份降价销售前
的销售总盈利少7120元，求 的值．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）直接根据题意表示每箱的利润进而得出总利润等式求出答案；
（3）根据题意分别表示出降价前后的利润进而得出等式求出答案．
【解答】解：（1）设 与 之间的函数关系是： ，
根据题意可得： ，解得： ，
故 与 之间的函数关系是： ；
（2）由题意可得： ，
解得： ， ，
顾客要得到实惠，售价低，所以 舍去，所以 ，
答：要使顾客获得实惠，每箱售价是56元；
（3）在（2）的条件下， 时， ，由题意得到方程：
，
解得： ， （舍去），
答： 的值为20．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知7月份各量之间的变化得出
等量关系进而求出是解题关键．
41．（2024•武威三模）如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地 ，在 和
边各有一个 2 米宽的小门（不用铁栅栏），设矩形 的宽 为 米，矩形的长为 （且
．
（1）若所用铁栅栏的长为40米，用含 的代数式表示矩形的长 ；
（2）在（1）的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则 、 的长应分别为多少米？
【分析】（1）根据题意，可知 ，且有 ，整理即可得出用含 的代数
式表示矩形的长 的式子；
（2）根据矩形场地面积为192平方米列出方程，解出此时 的值即可．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2）由题意得 ，
解得 ，由题意得 ，
即 ，
解得 ， ，
（舍去），
，
．
答： 长为6米， 长为32米．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关
键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
42．（2023秋•射阳县期中）“黄桥烧饼全国闻名”，国庆节期间，黄桥某烧饼店平均每天
可卖出300个烧饼，卖出1个烧饼的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，平均
每天可多卖出100个，为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降
元
（1）零售单价下降 元后，每个烧饼的利润为 元，该店平均每天可卖出 个
烧饼（用含 的代数式表示，需化简）；
（2）在不考虑其他因素的条件下，当 定为多少时，才能使该店每天获取的利润是 420元并
且卖出的烧饼更多？
【分析】（1）每个烧饼的利润等于原来利润减去零售单价下降的钱数即可得到；每天的销售
量等于原有销售量加上增加的销售量即可；
（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．
【解答】解：（1）每个烧饼的利润为 元，
；
（2）令 ．
化简得， ．
即， ．
解得 或 ．
可得，当 时卖出的烧饼更多．
答：当 定为0.4时，才能使商店每天销售该烧饼获取的利润是420元并且卖出的烧饼更多．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．
43．（2023秋•新城区校级期中）已知：如图，在 中， ， ， ．点 从
点 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）如果 ， 分别从 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积等于 ？
（2）在（1）中， 的面积能否等于 ？说明理由．
【分析】（1）设经过 秒钟， 的面积等于 ，根据点 从 点开始沿 边向点 以 的
速度移动，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，表示出 和 的长可列方程求解．
（2）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到 ．
【解答】解：（1）设经过 秒以后 面积为 ，则
，
整理得： ，
解得： 或 ．
答：2或3秒后 的面积等于 ．
（2）设经过 秒以后 面积为 ，则
，
整理得： ，
△ ，
所以，此方程无解，
故 的面积不能等于 ．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“ 的面积等于 ”，得出等量关
系是解决问题的关键．
44．（2023秋•南关区校级期末）果农田丰计划将种植的草莓以每千克15元的单价对外批发销售，由于部
分果农盲目扩大种植，造成该草莓滞销．为了加快销售，减少损失，田丰对价格进行两次下调后，以每
千克9.6元的单价对外批发销售．
（1）如果每次价格下调的百分率相同，求田丰每次价格下调的百分率；
（2）小李准备到田丰处购买3吨该草莓，因数量多，田丰准备再给予两种优惠方案供选择：方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金400元．试问小李选择哪种方案最优惠？请说明理由．
【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从15元下调到9.6列出一元二次方程求解即可；
（2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果．
【解答】解 （1）设田丰每次价格下调的百分率为 ．
由题意，得 ．
解这个方程，得 ， ．
因为降价的百分率不可能大于1，所以 不符合题意，
符合题目要求的是 ．
答：田丰每次价格下调的百分率是 ．
（2）小李选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为： （元 ，
方案二所需费用为： （元 ．
，
小李选择方案一购买更优惠．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，在解决有关增长率的问题时，注意其固定的等量关系．
45．（2023秋•芜湖期中）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，由季节
的变换，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：若每件降价1元，则每天可多
售5件．如果每天要盈利800元，每件应降低多少元？
【分析】商场平均每天盈利数 每件的盈利 售出件数；每件的盈利 原来每件的盈利 降价数．设每件
衬衫应降价 元，然后根据前面的关系式即可列出方程，解方程即可求出结果．
【解答】解：设每件衬衫应降价 元，可使商场每天盈利800元．
则此时每天出售的数量为： ，每件的盈利为： 元，
根据题意得 ，
解得 ， ．
因尽快减少库存，故 ．
答：每件衬衫应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，需要注意的是：（1）盈利下降，销售量就提高，每件盈利减，
销售量就加；（2）在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也越多，所以
取降价多的那一种．
46．（2023秋•大埔县期中）西瓜经营户以2元 千克的价格购进一批小型西瓜，以3元 千克的价格出售
每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元 千克，
每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．（1）若将这种西瓜每千克的售价降低 元，则每天的销售量是 千克（用含 的代数式表
示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？
【分析】（1）根据这种小型西瓜每降价0.1元 千克，每天可多售出40千克可直接得出代数式；
（2）设应将每千克小型西瓜的售价降低 元．那么每千克的利润为： ，由于这种小型西瓜每降
价 元 千克，每天可多售出40千克．所以降价 元，则每天售出数量为： 千克．
本题的等量关系为：每千克的利润 每天售出数量 固定成本 ．
【解答】解：（1）依题意得： ．
故答案为： ；
（2）设应将每千克小型西瓜的售价降低 元，根据题意，得
可化为： ，
解这个方程，得 ， ．
为使每天的销量较大，应降价0.3元．
答：需将每千克的售价降低0.3元．
【点评】本题考查的是一元二次方程的应用．此类题目主要考查学生分析、解决实际问题能力，又能较好
地考查学生“用数学”的意识．
47．（2023秋•武城县校级月考）某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是
领队与旅行社导游就收费标准的一段对话．
领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按
旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人．
【分析】本题要先判断出人数的大致范围，判断是否超过25人，根据对话中给出的条件来套用合适的等量
关系：人均旅游费 人数 元，即可列出方程求解．
【解答】解：设该单位这次参加旅游的共有 人，
，
．
依题意得 ，
整理得 ，解得 ， ．
当 时， ，符合题意．
当 时， ，不符合题意，舍去．
．
答：该单位这次参加旅游的共有30人．
【点评】本题要弄清题意，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
48．（2023•沛县模拟）某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后数据如表．与第一次锻炼相
比，王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设王老师第二次锻炼时平
均步长减少的百分率为 ．
项目 第一次锻炼 第二次锻炼
10000
步数（步 ①
平均步长（米 步） 0.6 ②
6000 7020
距离（米
注：步数 平均步长 距离．
（1）根据题意完成表格填空；
（2）求 ；
（3）王老师发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好
为24000步，求王老师这500米的平均步长．
【分析】（1）①直接利用王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍，得出第
二次锻炼的步数；
②利用王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为 ，即可表示出第二次锻炼的平均步长（米 步）；
（2）根据题意表示出第二次锻炼的总距离，进而得出答案；
（3）根据题意可得两次锻炼结束后总步数，进而求出王老师这500米的平均步长．
【解答】解：（1）①根据题意可得： ；
②第二次锻炼的平均步长（米 步）为： ；
故答案为： ； ；
（2）由题意：
解得： （舍去）， ．
则 ，
答： 的值为0.1；
（3）根据题意可得： ，．
答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出第二次锻炼的步数与步长是解题关键．
49．（2023•东明县一模）毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品，若商店花 440元可以购进
50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．
（1）请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？
（2）如果商店购进1200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的
价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低 1元，可
多售出100个，但售价不得低于进价），单价降低 元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，
以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利 2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少
元？
【分析】（1）可设学生纪念品的成本为 元，根据题意列方程即可求解；
（2）第二周销售的销量 降低的元数 ；第二周每个旅游纪念品的销售价格降 元，根据纪念
品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．
【解答】解：（1）设学生纪念品的成本为 元，根据题意得：
，
解得： ，
．
答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．
（2）第二周单价降低 元后，这周销售的销量为 ，由题意得出：
，
即 ，
整理得： ，
解得： ，
则 元．
答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．
【点评】考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给
出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
50．（2023春•临淄区校级期中）如图，在矩形 中， ， ，动点 、 分别以
、 的速度从点 、 同时出发，点 从点 向点 移动．
（1）若点 从点 移动到点 停止，点 随点 的停止而停止移动，点 、 分别从点 、 同时出发，
问经过多长时间 、 两点之间的距离是 ？
（2）若点 沿着 移动，点 、 分别从点 、 同时出发，点 从点 移动到点 停止时，点 随点 的停止而停止移动，试探求经过多长时间 的面积为 ？
【分析】（1）如图，过点 作 于 ，设 秒后 ，利用勾股定理得出即可．
（2）分类讨论：①当点 在 上时；②当点 在 边上；③当点 在 边上时．
【解答】解：（1）过点 作 于 ．则根据题意，得
设 秒后，点 和点 的距离是 ．
，即 ，
，
， ；
经过 或 、 两点之间的距离是 ；
（2）连接 ．设经过 后 的面积为 ．
①当 时，则 ，
，即 ，
解得 ；
②当 时，
， ，则
，
解得 ， （舍去）；
③ 时，
，则
，解得 （舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒 的面积为 ．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是
解题关键．
51．（2024•金沙县一模）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，
增加盈利和减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件降价 1元，则每天可多销售2
件．
（1）商场若想每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）问在这次活动中，平均每天能否获利1500元？若能，求出每件衬衫应降多少元；若不能，请说明理
由．
【分析】（1）设每件衬衫应降价 元，则每件盈利 元，每天可以售出 ，所以此时商场平
均每天要盈利 元，根据商场平均每天要盈利 元，为等量关系列出方程求解即可．
（2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利 元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解
则说明能达到，否则不能．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价 元，则每件盈利 元，每天可以售出 ，
由题意，得 ，
即： ，
解得 ， ，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以 的值应为20，
所以，若商场平均每天要盈利 元，每件衬衫应降价20元；
（2）假设能达到，由题意，得 ，
整理，得 ，
△ ，
即：该方程无解，
所以，商场平均每天盈利不能达到1500元．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点是“根的判别式”的应用．
52．（2024•蓬江区校级一模）为进一步发展基础教育，2014年某县投入教育经费6000万元，2016年投入
教育经费8640万元，假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．
【分析】（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为 ，根据2014年该县投入教育经费6000万元和2016
年投入教育经费8640万元列出方程，再求解即可；
（2）根据 2016 年该县投入教育经费和每年的增长率，直接得出 2017 年该县投入教育经费为
，再进行计算即可．
【解答】解：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为 ，根据题意得：
解得： ， （不合题意，舍去），
答：该县投入教育经费的年平均增长率为 ；
（2）因为2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为 ，
所以2017年该县投入教育经费为： （万元），
答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，掌握增长率问题是本题的关键，若设变化前的量为 ，变化后
的量为 ，平均变化率为 ，则经过两次变化后的数量关系为 ．
五．配方法的应用（共8小题）
53．（2023•惠城区校级开学）已知 ， 为实数，且满足 ，记 的最大值
为 ，最小值为 ，则
A． B． C． D．
【分析】本题先将 转化为 ，然后根据 进行配方，确定 的范围，从而求出 的
范围，得到 ， 的大小即可得解．
【解答】解：方法一： ，
，
，
，当且仅当 ，即 ， ，或 ，
时等号成立．的最小值为 ， 的最小值为 ，即 ．
， 当 且 仅 当 ， 即 ， 或 ，
时等号成立．
的最大值为 ， 的最大值为 ，即 ．
．
方法二：由 ，得 ， ．
设 ，若 ，则 ； 时， ，将 代入 ，
得 ，即 ， ①
由△ ，解得 ．
将 代入方程①，解得 ， ； 代入方程①，解得 ， ．
的最大值为 ，最小值为 ．
因此， ， ， ，
故选： ．
方法三：
由题意得 ，
① ②，得 ，
，
把②两边加 ，得 ，
解得： ，
把②两边减 ，得 ，
解得： ，
，，
因此， ，
，
，
故选： ．
【点评】本题考查了代数式的最值问题，关键是将 转化为 ，再确定 的范围．
54．（2024春•相城区校级期末）阅读材料：若 ，求 、 的值．
解： ，
， ， ， ， ．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知等腰 的三边长 、 、 都是正整数，且满足 ，求 的周长；
（3）已知 ， ，求 的值．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可；
（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质和三角形三边关系解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可．
【解答】解：（1） ，
，
，
， ，
解得 ， ，
则 ；
（2） ，
，
，
则 ， ，
解得， ， ，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
的周长为 ；（3） ，
，
则 ，
，
，
则 ， ，
解得 ， ， ，
．
【点评】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是
解题的关键．
55．（2022秋•南海区校级月考）阅读与应用：同学们，你们已经知道 ，即 ．所
以 （当且仅当 时取等号）．
阅读1：若 、 为实数，且 ， ， ， ， （当且仅
当 时取等号）．
阅读2：若函数 ， ， 为常数）．由阅读1结论可知： 即
当 即 ， 时，函数 的最小值为
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：若函数 ，则 4 时，函数 的最小值为 ．
问题2：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为 ，则另一边长为 ，周长为 ，求当 时，
矩形周长的最小值为 ．
问题3：求代数式 的最小值．
问题4：建造一个容积为8立方米，深2米的长方体无盖水池，池底和池壁的造价分别为每平方米120元和
80元，设池长为 米，水池总造价为 （元 ，求当 为多少时，水池总造价 最低？最低是多少？
【分析】1、根据阅读材料内容解决问题即可；
2、根据矩形的性质和阅读材料内容进行计算即可求解；
3、先将代数式变形，再根据阅读内容即可求解；
4、根据立方体的体积公式和已知条件表示出长方体的宽，运用阅读内容即可求解．
【解答】解：1、由阅读1结论可知：把 看成一个整体，当 时，函数 的最小值为7．
故答案为4、7．
2、设矩形周长为 ，由题意，得 ，
，当 即 时，函数 的最小值为 ．
故答案为2、8．
3、设 ， ，
当 即 时， ．
答：代数式 的最小值为4．
4、根据题意，得
长方体的宽为 米，
当 即 时，函数 的最小值为1760，
答：当 为2时，水池总造价 最低，最低是1760元．
【点评】本题考查了配方法的应用、矩形的性质、长方体体积，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内
容．
56．（2023春•邗江区期中）仔细阅读下列解题过程：
若 ，求 、 的值．
解：
，
，
根据以上解题过程，试探究下列问题：
（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 、 的值；
（3）若 ， ，求 的值．
【分析】（1）首先把 利用完全平方公式因式分解，利用非负数的性质求得 、
代入求得数值；（2）、（3）仿照例题和（1）的解法，利用配方法计算即可．
【解答】解：（1）
， ，
， ，
；
（2）
，
， ；
（3） ，
，
，
．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握配方法的一般步骤和完全平方公式是解题的关键．
57．（2023春•柯桥区期中）我们已经学习了乘法公式 的多种运用，可以运用所学
知识解答：求代数式 的最小值．解答如下：
解： ，
， 当 时， 的值最小，最小值是0，
， 当 时， 的值最小，最小值是1，
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题．
（1）知识再现：当 2 时，代数式 的最小值是 ；
（2）知识运用：若 ，当 时， 有最 值（填“大”或“小” ，这个值是
；（3）知识拓展：若 ，求 的最小值．
【分析】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当 取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关 的函数关系式，然后配方确定最小值即可．
【解答】解：（1） ，
当 时，有最小值11；
故答案为：2，11；
（2） ，
当 时有最大值 ；
故答案为：3，大， ；
（3） ，
，
，
，
当 时， 的最小值为 ．
【点评】本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不
大．
58．（2023春•东阳市期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒
等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数
的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成 、 是整数）的形式，则称这个数为“完
美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为 所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知10是“完美数”，请将它写成 、 是整数）的形式 ；
（2）若 可配方成 、 为常数），则 ；
探究问题：
（3）已知 ，则 ；
（4）已知 、 是整数， 是常数），要使 为“完美数”，试求出符合条件的
一个 值，并说明理由．
拓展结论：
（5）已知实数 、 满足 ，求 的最值．
【分析】解决问题：（1）把10拆成两个两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出 与 的值，即可求出 的值；
探究问题：
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出 与 的值，即可求出 的值；
（4）根据 为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出 的值即可；
拓展结论：
（5）等式表示出 ，代入 中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【解答】解：解决问题：
（1）根据题意得： ；
故答案为： ；
（2）根据题意得：
， ；
；
探究问题：
（3）已知等式变形得： ，
即 ，
， ，
， ，
得： ，
则
故答案为： ；
（4）当 ， 为“完美数”，理由如下：
，
，
，
， 是整数，
， 也是整数，
是一个“完美数”；
拓展结论：
（5） ，
，即 ，，
，
当 时， 最大，最大值为：6．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
59．（2023秋•中江县期中）先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若 ，求 和 的值．
解：
，
，
问题：
（1）若 ，求 的值．
（2）已知等腰 的三边长为 ， ， ，其中 ， 满足： ，求 的周长．
【分析】（1）根据完全平方公式把已知条件变形得到 ，再根据非负数的性质求出 、
，然后把 、 的值代入计算即可；
（2）先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质列式求出 、 的值，再根据等腰三角形的性质分
两种情况讨论即可求解．
【解答】解：（1） ，
，
，
， ．
，
；
（2） ，
，
， ，
解得 ， ，
①若 则 的周长 ；
②若 ，因为 ，所以不能构成三角形，舍去．故 的周长是15．
【点评】本题考查了配方法的应用、等腰三角形的性质、非负数的性质，利用配方法得出非负数的和是解
题关键．
60．（2022春•锡山区期中）阅读材料：把形如 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式
的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即 ．例如：
是 的一种形式的配方， 是 的另一种形式的配方
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，写出 的两种不同形式的配方；
（2）已知 ，求 的值；
（3）已知 ，求 的值．
【分析】（1）由题中所给的已知材料可得 可拆分常数项、一次项两种不同形式；
（2）通过配方后，求得 ， 的值，再代入代数式求值．
（3）通过配方后，求得 ， ， 的值，再代入代数式求值．
【解答】解：（1） 的两种配方分别为：
，
；
（2）由 得： ，
解得： ，
；
（3）
，
从而有 ， ， ，
即 ， ， ，
故 ．【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式： 是解题的
关键．
