文档内容
整式的乘法与因式分解中的求值问题专项（50题）一、解答题
1．已知3×9m×27m=321，求m的值．
2．先化简再求值：4a（a+1）﹣（a+1）（2a﹣1），其中a=2．
3．先化简，再求值.2（x﹣3）（x+2）﹣（3+a）（﹣a+3），其中，a=﹣2，x=1．
4．先化简，再求值：
1 1
[a（a2b2﹣ab）﹣b（a2﹣a3b）]÷2a2b，其中a=﹣ ，b= ．
2 3
5．先化简，再求值．（x﹣3）2﹣（3+x）（3﹣x），其中x=1．
6．先化简再求值：4（m+1）2﹣（2m+5）（2m﹣5），其中m=﹣3．
7．先化简，再求值：x（x﹣1）+2x（x+1）﹣（3x﹣1）（2x﹣5），其中x=2．
2
8．先化简，再求值：（2x﹣y）2+（6x3﹣8x2y+4xy2）÷（﹣2x），其中 x= ，y=﹣
3
2．
9．化简求值：-ab·（a2b5-ab3-b），其中ab2=-2.
10．若 32×9m×27=321 ，求m的值.
11．若 am=6 ， an=2 ，求 a2m−n的值．
1 1 1
12．已知m2＋ ＝4，求m＋ 和m－ 的值．
m2 m m
13．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=17，ab=60，求阴影部分的面积．
14．已知 m2+m=2 ，求代数式 m3+3m2+2020 的值.
15．当 3m+2n=8 时，求 8m×4n 的值.
3
16．已知实数a，b满足a+b=2，ab= ，求(2a4-a2 )÷(-a) 2-(a+b)(a-b)的值．
4
17．(x2-mx+6)(3x-2) 的积中不含x的二次项，求m的值．
18．已知3既是x﹣4的算术平方根，又是x＋2y﹣10的立方根，求x2﹣y2的平方根.
19．已知 x2+2x+1 是多项式 x3-x2+ax+b 的一个因式，求a，b的值，并将该多项
式因式分解.20．如果关于 x 的多项式 2x+a 与 x2-bx-2 的乘积展开式中没有二次项，且常数
项为10，求 a+2b 的值.
21．已知多项式M除以3x2－2x+4得商式2x+6，余式为3x－1，求多项式M.
22．有一块直径为2a＋b的圆形木板，挖去直径分别为2a和b的两个圆，求剩下的木
板面积是多少？23．如图，在长8cm，宽5cm的长方形塑料板的四个角剪去4个边长
为 xcm 的小正方形，按折痕做一个无盖的长方体盒子，求盒子的容积（塑料板的厚
度忽略不计）.
24．如果二次三项式 px2+2x-1 在实数范围内可以因式分解,求p的取值范围.
25．已知多项式x2﹣mx+n与x﹣2的乘积中不含x2项和x项，试求m和n的值.
26．若(x2 +mx－8)(x2－3x+n)的展开式中不含 x2和 x3项，求 m和 n的值.
27．已知常数a、b满足3a×32b＝27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b＝1，求a2+4b2的值．
28．已知二次三项式 ax2+bx+1 与 2x2-3x+1 的积不含 x3 项，也不含 x 项，求
系数 a、b 的值.
29．已知长方形的长是（a+3b）米，宽是（a+2b）米．求它的周长和面积．
30．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a2+b2=6a+10b﹣34，其中c是△ABC中最长
的边长，且c为整数，求c的值．
31．阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，
∴y2+4y+8的最小值为4．
仿照上面的解答过程，求m2+m+4的最小值和4﹣x2+2x的最大值．
32．若（x﹣1）（x+2）（x﹣3）（x+4）+a是一个完全平方式，求a的值．
33．已知（x+y）2=49，（x﹣y）2=1，求下列各式的值：
（1）x2+y2；（2）xy．
34．已知x﹣y=1，x2+y2=25，求xy的值．
35．已知x+y=2，xy=﹣1，求下列代数式的值：
（1）5x2+5y2；
（2）（x﹣y）2．
36．已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．
37．已知(a+b)2=16,ab=4,求a2+b2与(a-b)2的值.38．图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，
然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请写出图2中阴影部分的面积；
（2）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
39．已知x﹣y=3，求[（x﹣y）2+（x+y）（x﹣y）]÷2x的值．
40．若32•92a+1÷27a+1=81，求a的值．
41．若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）展开式中不含x2和x3项，求（n﹣m）n的值．
42．已知：8•22m﹣1•23m=217，求m的值．
43．若ax2+bx+1与2x2﹣3x+1的积不含x的一次项，也不含x的三次项，求a，b的值．
44．已知，n为正整数，且x2n=7，求（3x3n）2-4（x2）2n的值
45．已知，长方形的周长为30cm，两相邻的边长为xcm，ycm，且x3+x2y-4xy2-4y3=0，
求长方形的对角线长和面积．
46．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求
△ABC的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
1 1
47．已知a﹦ （ √5 + √3 ），b﹦ （ √5 ﹣ √3 ），求a2﹣ab+b2的值．
2 2
48．已知x-y=3，x2+y2=13，求
（1）xy的值。
（2）x3y-8x2y2+xy3的值。
49．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平
方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去
这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的
数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数
有关的问题或求代数式最大值，最小值等.
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）；
再例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值.2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8.可
知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列
问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝ .
（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值.
（3）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三
角形的形状.
50．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 x2-4x+m 有一个因式是 x+3 ，求另一个因式以及 m 的
值.
解法一：设另一个因式为 x+n ，得 x2-4x+m=(x+3)(x+n)
则 x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n ，
{n+3=-4
∴ 解得 n=-7 ， m=-21 .
m=3n
∴另一个因式为 x-7 ， n 的值为－21.
解法二：设另一个因式为 x+n ，得 x2-4x+m=(x+3)(x+n)
∴当 x=-3 时， x2-4x+m=(x+3)(x+n)=0
即 (-3) 2-4×(-3)+m=0 ，解得 m=-21
∴x2-4x+m=x2-4x-21=(x+3)(x-7)
∴另一个因式为 x-7 ， n 的值为－21.问题：仿照以上一种方法解答下面问题.
（1）若多项式 x2-px-6 分解因式的结果中有因式 x-3 ，则实数 p= .
（2）已知二次三项式 2x2+3x-k 有一个因式是 2x+5 ，求另一个因式及 k 的
值.
