文档内容
21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.2.4 一元二次方程根与系数的关系第1课时，内容包括：掌握一元二次方程根与系数的关系。
2.内容解析
一元二次方程根与系数的关系在教材中为选学内容，是继学生学习一元二次方程的解法和根的判别式
后引入的。一元二次方程根与系数的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，既可
以解决一元二次方程快速 验根问题，还可以解决求代数式的值等问题。考查一元二次方程根与系数的关
系，多以选择、填空、解答题的形式出现，它常与几何、二次函数等问题相结合，以大题的形式出现。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握一元二次方程根与系数的关系。
二、目标和目标解析
1.目标
1.掌握一元二次方程根与系数的关系。
2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。
3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊-一般-特殊的数
学思想方法，培养学生勇于探索的精神。
2.目标解析
本节课是在学生学习一元二次方程和根的判别式的基础上，进一步通过推导的方法得出一元二次方程
根与系数的关系。一元二次方程根与系数的关系在教材中虽为选学内容，但它是我们今后继续研究一元二
次方程根的情况的主要工具，它常与几何、二次函数等问题相结合，以大题的形式出现。
一元二次方程根与系数的关系在中考中不作为重要考查点，但在平时的测试及同步练习中经常会涉及，
甚至说出现的题目还有一定的难度。需要学生灵活使用一元二次方程根与系数的关系进行求解，将题目中
的已知内容转化为两根的和与积的形式，再将韦达定理代入求解。
通过探索一元二次方程根与系数关系的推导过程，使学生理解韦达定理，体验数学活动充满着探索性
和创造性，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
达成1）目标的标志是：熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。
达成2）目标的标志是：利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。
达成3）目标的标志是：根据已学知识推导一元二次方程根与系数的关系。
三、教学问题诊断分析韦达定理在高中数学有非常重要的作用，特别在解析几何中研究直线和曲线的位置关系时，对于减少
运算量，整体解决问题具有独特的作用。一元二次方程根与系数的关系在教材中为选学内容，教师重视不
够。学生学习肤浅，造成学生对一元二次方程知识的欠缺，当学生升入高中后，对学习解析几何造成困难。
通过本节课的教学，让学生掌握韦达定理及其简单的应用。会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理
分析解决一些简单的综合性问题。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
【提问】
1. 一元二次方程的一般形式？
2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？
3. 一元二次方程的求根公式是什么？
师生活动：学生积极回答问题，教师给出正确答案。
【设计意图】先回顾解一元二次方程的相关知识，为本节课学生学习一元二次方程根与系数关系做好
铺垫。
（二）探究新知
【问题】解下列方程并完成填空：
(1)(x−3)(x−4)=0 (2)x2−2x=0 (3)2x2+3x-2=0
师：尝试选用合适的方法求解一元二次方程，并完成填空。
师生活动：学生通过计算给出答案。
【小组讨论】观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？
师生活动：通过刚才的计算结果，以小组为单位进行讨论，并给出猜想内容。本环节允许学生有不同
的观点，教师负责记录学生的猜想内容。
【问题】从因式分解法可知，方程(x－x)(x－x)＝0 (x，x 为已知数)的两根为x 和x，将方程化为
1 2 1 2 1 2
x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x，x 与p，q之间的关系吗？
1 2
师生活动：先由学生思考，再由教师给出答案。师：将方程(x－x)(x－x)＝0化为x2＋p x ＋q＝0的形式为：x2-(x+x)x+xx=0
1 2 1 2 1 2
由此可得：x，x 与p，q之间的关系为：x+x= -p xx= q
1 2 1 2 1 2
【设计意图】通过求解一元二次方程的过程，锻炼学生选择合适方法解一元二次方程的能力。再通过
小组讨论环节，引导学生通过观察，得出一元二次方程根与系数关系的猜想。教师通过适当引导，培养学
生解决问题的能力，激发学生的主动性和求知欲。
【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、
积与系数又有怎样的关系呢？
师：尝试利用求根公式探索一元二次方程根与系数的关系？
师生活动：教师通过多媒体展示具体推导过程。具体过程如下：
根据 −b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
求根公式可知x1= x2=
2a 2a
x+x= −b+❑√b2−4ac + −b−❑√b2−4ac = 2b b
1 2 − =−
2a 2a 2a a
xx = −b+❑√b2−4ac × −b−❑√b2−4ac = (−b) 2−(❑√b2−4ac) 2 4ac = c
1 2 =
2a 2a 4a2 4a2 a
b c
即： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a
【问题】把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两边同时除以a，能否得出该结论 ？
师：尝试换一种方法探索一元二次方程根与系数的关系？
师生活动：教师通过多媒体展示具体推导过程。具体过程如下：
当Δ≥0 时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x、x
1 2
b c
ax2+bx+c=a(x-x)(x-x)=a[x2-(x+x)x+xx] 而 ax2+bx+c=a(x2+ + )
1 2 1 2 1 2
a a
b c
则a(x2+ + ) =a[x2-(x+x)x+xx]
1 2 1 2
a a
b c
即： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a
师生活动：此过程重在理解，由此引出韦达定理的内容：
当Δ≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
两根的积等于常数项与二次项系数的比，
b c
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。
【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。
2) Δ≥0。
【设计意图】推导韦达定理的方法不难，但是重在学生理解推导方法。第一种推导方法是利用求根公
式，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。第二种方法已知一元二次方程两个根x 、x ，先利用
1 2
b c
因式分解法将方程变形为a(x-x)(x-x)，再通过化简得到：a[x2-(x+x)x+xx] 而 ax2+bx+c=a(x2+ +
1 2 1 2 1 2
a a
b c
)，所以a(x2+ + ) =a[x2-(x+x)x+xx]，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。使用韦达定理
1 2 1 2
a a
需要特别注意：首先将一元二次方程化为一般式，再验证Δ是否大于等于0。以一元二次方程根与系数的
探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力。
（三）典例分析
例1 不解方程，求下列方程两个根的和与积
(1)2x2-3x＋1＝0 (2)x2-3x＋2＝10 (3)7x2-5＝x+8
b 3 c 1
答案：解：(1)x+x =− = xx = =
1 2 1 2
a 2 a 2
b c
(2)x+x =− =3 xx = = −8
1 2 1 2
a a
b 1 c 13
(3) x+x =− = xx = = −
1 2 1 2
a 7 a 7
师生活动：请学生板演，然后师生共同纠错，使学生明确自己的错误与薄弱环节，在后续的解题过程
中做到有的放矢，对症下药。
[针对训练]
1.小明说:“一元二次方程x2+x+2=0中，两根之和为-1，两根之积为2。”你觉得他说的对吗？
答案：不存在，一元二次方程x2+x+2=0中b2-4ac<0，方程无实数根。
2.若 关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
答案：C
3 已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为（
）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
答案：C4 关于 x 的一元二次方程x2−4x+m=0的两实数根分别为x 、x ，且x +3x =5，则 m 的值为
1 2 1 2
（ ）
7 7 7
A． B． C． D．0
4 5 6
答案：A
5. 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ，求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根为x.
1
把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数关系，得x×2=3k=-6
1
∴ x ＝-3
1
则方程的另一个根是-3, k的值是-2。
师生活动：学生积极回答问题，教师负责引导与提示，最后由多媒体展示具体求解过程。
【设计意图】加深学生对一元二次方程根与系数的关系理解与掌握。
（四）探究新知
【问题】
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x,x
1 2
1）平方和
x2+x2=
1 2
1 1
2）倒数和 + =
x1 x2
3）差的绝对值 | x - x |=
1 2
x x =
4) 1+ 2
x x
2 1
5）(x +1)(x +1)=
1 2
师生活动：学生积极回答问题，教师负责引导与提示，最后由多媒体展示具体答案。
【设计意图】考查一元二次方程根与系数关系的题目中，利用韦达定理直接求方程的根是基础题，通
常还会遇到已知一元二次方程，求代数式值或已知式子的值求未知数的题目，本环节我们就展示如何通过
韦达定理求这些常见代数式的值，再次加深学生对一元二次方程根与系数的关系理解与掌握。
（五）典例分析
例2 设x x 为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
1、 2
1）x+x= ,
1 22) x·x= ,
1 2
3) ,
x2+x2
1 2
4) (x +1)(x +1)= ，
1 2
1 1
5） + =_________，
x1 x2
答案：4、1、14、6、4
[针对训练]
b a
1 已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则 + ＝（ ）
a b
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
答案：D
2 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则 的
x x x x2+2x+k−1=0 x2+x2−x x =13 k
1 2 1 2 1 2
值为____.
答案：-2
3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
答案：B
b−1 a−1
4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则 + 的值是（ ）
a−1 b−1
1
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
2
答案：C
【设计意图】通过配套练习，使学生能根据一元二次方程根与系数的关系，计算代数式的值。
（六）直击中考
1．（2023·四川遂宁真题）若a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，则代数式a+b−ab
的值为_________．
答案：2
2．（2023·湖南真题）已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是
________．
答案：5
3．（2022·湖北随州真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根 ，
x2+(2k+1)x+k2+1=0 x
1x ．
2
(1)求k的取值范围；
(2)若x x =5，求k的值．
1 2
【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不等实数根，
∵ x x2+(2k+1)x+k2+1=0
3
∴此方程根的判别式Δ=(2k+1) 2−4(k2+1)>0，解得k> ．
4
（2）解：由题意得： ，解得 或 ，
x x =k2+1=5 k=−2 k=2
1 2
3
由（1）已得：k> ，则k的值为2．
4
4．（2022·湖北十堰真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
【详解】（1） ，
Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1⋅(−3m2 )=4+12m2
∵12m2≥0，∴4+12m2≥4>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，α+β=2，α⋅β=−3m2，
∵α+2β=5，∴α=5−2β，∴5−2β+β=2，
解得：β=3，α=−1，∴−3m2=−1×3=−3，即m=±1．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点。
（七）归纳小结
（八）布置作业P16：习题21.2：第7题
P25：复习题21：第4题
五、教学反思
