文档内容
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 导学案
学习目标
1.掌握一元二次方程根与系数的关系。
2.利用一元二次方程根与系数的关系进行简单计算。
3.通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，掌握由特殊-一般-特殊的数学思想
方法，培养学生勇于探索的精神。
重难突破
韦达定理的内容：当Δ≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
两根的积等于常数项与二次项系数的比，
b c
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a
【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。
2) Δ≥0。
核心知识
韦达定理的内容：当Δ≥0时，两根的和等于______________与_____________的比的相反数，
两根的积等于________________与____________的比，
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x+x =____________,
1 2
xx =___________
1 2
【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为____________。
2) Δ___________0。
思维导图复习回顾
【提问】
1. 一元二次方程的一般形式？
2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？
3. 一元二次方程的求根公式是什么？
新知探究
【问题】解下列方程并完成填空：
(1)(x−3)(x−4)=0 (2)x2−2x=0 (3)2x2+3x-2=0
【问题】观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？
【问题】从因式分解法可知，方程(x－x)(x－x)＝0 (x，x 为已知数)的两根为x 和x，将方程化为x2＋
1 2 1 2 1 2
p x＋q＝0的形式，你能看出x，x 与p，q之间的关系吗？
1 2
【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与
系数又有怎样的关系呢？【问题】把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两边同时除以a，能否得出该结论 ？
由此引出韦达定理的内容：
当Δ≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
两根的积等于常数项与二次项系数的比，
b c
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a
人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。
【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。
2) Δ≥0。
典例分析
例1 不解方程，求下列方程两个根的和与积
(1)2x2-3x＋1＝0 (2)x2-3x＋2＝10 (3)7x2-5＝x+8
[针对训练]
1.小明说：“一元二次方程x2+x+2=0中，两根之和为-1，两根之积为2。”你觉得他说的对吗？
2.若 关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（ ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
3 已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为（
）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
4 关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的两实数根分别为x 、x ，且x +3x =5，则m的值为（ ）
1 2 1 2
7 7 7
A． B． C． D．0
4 5 6
5. 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ，求它的另一个根及k的值。新知讲解
【问题】
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x,x
1 2
1）平方和
x2+x2=
1 2
1 1
2）倒数和 + =
x1 x2
3）差的绝对值 | x - x |=
1 2
x x =
4) 1+ 2
x x
2 1
5）(x +1)(x +1)=
1 2
典例分析
例2 设x x 为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
1、 2
1）x+x= ,
1 2
2) x·x= ,
1 2
3) ,
x2+x2
1 2
4) (x +1)(x +1)= ，
1 2
1 1
5） + =_________，
x1 x2
[针对训练]
b a
1 已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则 + ＝（ ）
a b
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
2 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则 的值为
x x x x2+2x+k−1=0 x2+x2−x x =13 k
1 2 1 2 1 2
____.
3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ ）
A．-13 B．12 C．14 D．15b−1 a−1
4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则 + 的值是（ ）
a−1 b−1
1
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
2
感受中考
1．（2023·四川遂宁真题）若a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，则代数式a+b−ab的值
为_________．
2．（2023·湖南真题）已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是________．
3．（2022·湖北随州真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根 ， ．
x2+(2k+1)x+k2+1=0 x x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x x =5，求k的值．
1 2
4．（2022·湖北十堰真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
课堂小结【参考答案】
复习回顾
【提问】
1. 一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0（a≠0）
2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？ △=b2-4ac≥0
3. 一元二次方程的求根公式是什么？ −b±❑√b2−4ac
x=
2a
新知探究
【问题】解下列方程并完成填空：
(1)(x−3)(x−4)=0 (2)x2−2x=0 (3)2x2+3x-2=0
【问题】观察方程的系数与两根的和与积有什么联系？
x+x= -p xx= q
1 2 1 2
【问题】从因式分解法可知，方程(x－x)(x－x)＝0 (x，x 为已知数)的两根为x 和x，将方程化为x2＋
1 2 1 2 1 2
p x＋q＝0的形式，你能看出x，x 与p，q之间的关系吗？
1 2将方程(x－x)(x－x)＝0化为x2＋p x＋q＝0的形式为：x2-(x+x) x+xx=0
1 2 1 2 1 2
由此可得：x，x 与p，q之间的关系为：x+x= -p xx= q
1 2 1 2 1 2
【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与
系数又有怎样的关系呢？
根据 −b+❑√b2−4ac −b−❑√b2−4ac
求根公式可知x1= x2=
2a 2a
x+x= −b+❑√b2−4ac + −b−❑√b2−4ac = 2b b
1 2 − =−
2a 2a 2a a
xx = −b+❑√b2−4ac × −b−❑√b2−4ac = (−b) 2−(❑√b2−4ac) 2 4ac = c
1 2 =
2a 2a 4a2 4a2 a
b c
即： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a
【问题】把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两边同时除以a，能否得出该结论 ？
当Δ≥0 时，设ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x、x
1 2
b c
ax2+bx+c=a(x-x)(x-x)=a[x2-(x+x)x+xx] 而 ax2+bx+c=a(x2+ + )
1 2 1 2 1 2
a a
b c
则a(x2+ + ) =a[x2-(x+x)x+xx]
1 2 1 2
a a
b c
即： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a
由此引出韦达定理的内容：
当Δ≥0时，两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，
两根的积等于常数项与二次项系数的比，
b c
即方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），根与系数的关系为： x+x =− , xx =
1 2 1 2
a a
人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。
【易错点】使用韦达定理的前提条件：1) 先把方程化为一般式。
2) Δ≥0。
典例分析
例1 不解方程，求下列方程两个根的和与积
(1)2x2-3x＋1＝0 (2)x2-3x＋2＝10 (3)7x2-5＝x+8b 3 c 1
答案：解：(1)x+x =− = xx = =
1 2 1 2
a 2 a 2
b c
(2)x+x =− =3 xx = = −8
1 2 1 2
a a
b 1 c 13
(3) x+x =− = xx = = −
1 2 1 2
a 7 a 7
[针对训练]
1.小明说:“一元二次方程x2+x+2=0中，两根之和为-1，两根之积为2。”你觉得他说的对吗？
答案：不存在，一元二次方程x2+x+2=0中b2-4ac<0，方程无实数根。
2.若 关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有一个解为x=﹣1，则另一个解为（C ）
A．1 B．﹣3 C．3 D．4
3 已知m，n是关于x的一元二次方程x2−3x+a=0的两个解，若(m−1)(n−1)=−6，则a的值为（ C
）
A．﹣10 B．4 C．﹣4 D．10
4 关于x的一元二次方程x2−4x+m=0的两实数根分别为x 、x ，且x +3x =5，则m的值为（ A ）
1 2 1 2
7 7 7
A． B． C． D．0
4 5 6
5. 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
解：设方程的另一个根为x.
1
把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数关系，得x×2=3k=-6
1
∴ x ＝-3
1
则方程的另一个根是-3, k的值是-2。
新知讲解
【问题】
已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根x,x
1 2
1）平方和
x2+x2= (x +x ) 2−2x x
1 2 1 2 1 2
2）倒数和 1 + 1 = x 1 +x 2
x1 x2 x x
1 23）差的绝对值 | x 1 - x 2 |= ❑√(x −x ) 2=❑√(x +x ) 2−4x x
1 2 1 2 1 2
x x = x 2+x 2 (x +x ) 2−2x x
4) 1+ 2 1 2 = 1 2 1 2
x x x x x x
2 1 1 2 1 2
5）(x +1)(x +1)= x x +(x +x )+1
1 2 1 2 1 2
典例分析
例2 设x x 为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
1、 2
1）x+x= 4 ,
1 2
2) x·x= 1 ,
1 2
3) 1 4
x2+x2
1 2
4) (x +1)(x +1)= 6 ，
1 2
1 1
5） + = ___ _ 4 ____ _，
x1 x2
[针对训练]
b a
1 已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则 + ＝（ D ）
a b
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
2 已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则 的值为
x x x x2+2x+k−1=0 x2+x2−x x =13 k
1 2 1 2 1 2
__-2__.
3．若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（ B ）
A．-13 B．12 C．14 D．15
b−1 a−1
4．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则 + 的值是（ C ）
a−1 b−1
1
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．
2
感受中考
1．（2023·四川遂宁真题）若a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，则代数式a+b−ab的值
为_________．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根，
∴a+b=3，ab=1，∴a+b−ab=3−1=3−1=2，
故答案为：2．
2．（2023·湖南考真题）已知关于x的方程x2+mx−20=0的一个根是−4，则它的另一个根是________．
【详解】
解：根据题意可得：a=1,b=m,c=−20，
c
∴x ⋅x = =−20，
1 2 a
∵该方程一个根为−4，令x =−4，
1
∴−4x =−20，解得：x =5．
2 2
故答案为：5．
3．（2022·湖北随州真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不等实数根 ， ．
x2+(2k+1)x+k2+1=0 x x
1 2
(1)求k的取值范围；
(2)若x x =5，求k的值．
1 2
【详解】
（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不等实数根，
∵ x x2+(2k+1)x+k2+1=0
3
∴此方程根的判别式Δ=(2k+1) 2−4(k2+1)>0，解得k> ．
4
（2）解：由题意得： ，解得 或 ，
x x =k2+1=5 k=−2 k=2
1 2
3
由（1）已得：k> ，则k的值为2．
4
4．（2022·湖北十堰真题）已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
【详解】（1） ，
Δ=b2−4ac=(−2) 2−4×1⋅(−3m2 )=4+12m2
∵12m2≥0，∴4+12m2≥4>0，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的两个实数根α，β，由根与系数关系可知，α+β=2，α⋅β=−3m2，
∵α+2β=5，∴α=5−2β，∴5−2β+β=2，
解得：β=3，α=−1，∴−3m2=−1×3=−3，即m=±1课堂小结
