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21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 分层作业
基础训练
1．若x＝﹣1是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【详解】设x2+x+m＝0另一个根是α，
∴﹣1+α＝﹣1，
∴α＝0，
故选：B．
2．已知 、 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【详解】解：∵ 、 是一元二次方程 的两个根，
∴
∵ ，
∴ ，
选D．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根x，x，则x2+x2的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣7 B．7 C．2 D．﹣2
【详解】解：根据根与系数的关系得x+x＝3，xx＝1，
1 2 1 2
所以x2+x2＝（x+x）2﹣2xx＝32﹣2×1＝7．
1 2 1 2 1 2
故选：B．
4．关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，则这两根之积为（ ）
A． B． C．1 D．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 有两根，其中一根为 ，
设另一根为 ，则 ，，
，
故选：D
5．如果关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，那么这个一元二次方程是
( )
A． B．
C． D．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的两根分别为 ， ，
∴3＋1＝−p，3×1＝q，
∴p＝−4，q＝3，
所以这个一元二次方程是 ，
故选：A．
6．方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两个实数根互为相反数，则k的值是（ ）
A．4或-4 B．2或-2 C．2 D．-2
【详解】解：∵方程x2-（k2-4）x+k+1=0的两实数根互为相反数，
∴k2-4=0，∴k=±2；
当k=2，方程变为：x2+1=0，Δ=-4＜0，方程没有实数根，所以k=2舍去；
当k=-2，方程变为：x2-3=0，Δ=12＞0，方程有两个不相等的实数根；
∴k=-2．
故选：D．
7．关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【详解】解： ，
整理得： ，∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大．
故选：C．
8．已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
【详解】x、x 是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
1 2
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即 ，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意，
故选D.
9．若a、b是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为_________．
【详解】解：∵a、b是一元二次方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
10．已知关于x的方程 的一个根是 ，则它的另一个根是________．
【详解】解：根据题意可得： ，
∴ ，∵该方程一个根为 ，令 ，
∴ ，解得： ．
故答案为：5．
11．已知关于x的一元二次方程 有实数根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 ，若 ，求k的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程 有实数根．
∴∆ 0，即32-4（k-2） 0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得k=3．
能力提升
1．已知关于 的一元二次方程 的两根分别记为 ， ，若 ，则 的值为
（ ）
A．7 B． C．6 D．
【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别记为 ， ，
∴ + =2，
∵ ，
∴ =3，∴ · =-a=-3，
∴a=3，
∴ ．
故选B．
2．已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值是（ ）
A．4045 B．4044 C．2022 D．1
【详解】解：解：∵ ， 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
故选A
3．已知关于 的方程 的两实数根为 ， ，若 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． 或3 D． 或3
【详解】解：由题意可知： ，且
∵ ，
∴ ，解得： 或 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
故选：A
4．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ．
（1）求k的取值范围；
（2）若 ，求k的值．【详解】解：(1)由题意可知， ，
整理得： ，
解得： ，
∴ 的取值范围是： ．
故答案为： ．
(2)由题意得： ，
由韦达定理可知： ， ，
故有： ，
整理得： ，
解得： ，
又由(1)中可知 ，
∴ 的值为 ．
故答案为： ．
拔高拓展
1．阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x，x，则x＋x＝ ，xx＝
1 2 1 2 1 2
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x，x，则x＋x＝ ；xx＝ ．
1 2 1 2 1 2
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求 的值．
【详解】（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x，x，
1 2∴ ， ．
故答案为： ； ．
（2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n，
∴ ， ，
∴
（3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根，
∴ ， ，
∵
∴ 或 ，
当 时， ，当 时， ，
综上分析可知， 的值为 或 ．
2．阅读材料：
材料1：若一元二次方程 的两个根为 ， 则 ， ．
材料2：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
解：由题知 ， 是方程 的两个不相等的实数根，根据材料1得 ， ，所以
根据上述材料解决以下问题：
(1)材料理解：一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ___________，
____________．
(2)类比探究：已知实数 ， 满足 ， ，且 ，求 的值．
(3)思维拓展：已知实数 、 分别满足 ， ，且 ．求 的值．
【详解】（1） ， ；
故答案为 ； ；
（2） ， ，且 ，
、 可看作方程 ，
， ，
；
（3）把 变形为 ，实数 和 可看作方程 的两根，
， ，
．
