文档内容
第 04 讲 指数与指数函数
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：指数及指数运算..........................................................................................................................................4
知识点2：指数函数......................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：指数幂的运算................................................................................................................................................6
题型二：指数函数的图象及应用................................................................................................................................8
题型三：指数函数过定点问题..................................................................................................................................12
题型四：比较指数式的大小......................................................................................................................................14
题型五：解指数方程或不等式..................................................................................................................................16
题型六：指数函数的最值与值域问题......................................................................................................................18
题型七：指数函数中的恒成立问题..........................................................................................................................20
题型八：指数函数的综合问题..................................................................................................................................24
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................29
05课本典例·高考素材........................................................................................................................31
06易错分析·答题模板........................................................................................................................34
答题模板1：指数型复合函数的值域问题...............................................................................................................34
答题模板2：指数型复合函数的单调问题...............................................................................................................35考点要求 考题统计 考情分析
从近五年的高考情况来看，指数
2023年新高考I卷第4题，5分 运算与指数函数是高考的一个重点也
（1）指数幂的运算性质 2023年乙卷第4题，5分 是一个基本点，常与幂函数、二次函
（2）指数函数的图像与性 2022年甲卷第12题，5分 数 、对数函数、三角函数综合，考查
质 2020年新高考II卷第11题，5 数值大小的比较和函数方程问题.在利
分 用指数函数的图像与性质应用上，体
现了逻辑推理与数学运算素养.
复习目标：
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识点1：指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， ，记为 ， 称为根指数，
称为根底数．
(2)根式的性质：
当 为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.
当 为偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 中的一个参数， 为底数， 为指数，指数位于底数的右上角，
幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂 ；②零指数幂 ；
③负整数指数幂 ， ；④ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
① ， ， ；② ， ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．
【诊断自测】化简下列各式：
（1） =
（2） （ =
（3 设 ，则 的值为【答案】 0 / 7
【解析】（1）
.
（2） ；
（3）因为 ，
.
故答案为：（1）0；（2） ；（3）7
知识点2：指数函数
图
y y
象
a (1,a)
1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
性 ①定义域 ，值域
质
② ，即时 ， ，图象都经过 点
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数⑤ 时 ， ； 时 ， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【诊断自测】若指数函数 且 在 上的最大值为 ，则 .
【答案】 或
【解析】若 ，则 在 上为增函数，所以 ，即 .
若 ，则 在 上为减函数，所以 ，即 .
综上 或 .
故答案为： 或 .
解题方法总结
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
题型一：指数幂的运算
【典例1-1】已知 （ 且 ），则 ．（结果用 表示）
【答案】
【解析】由 且 知 ，于是 ，即 ，
从而 ，由于 ，因此 ．
故答案为： .
【典例1-2】（1） ；
（2）已知 ， ，求 的值.
【解析】（1）原式
（2）因为 ， ，
所以 ， ，
所以 .
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
【变式1-1】（多选题）已知 ，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】由 ，所以A正确；
由 ，所以B正确；
由 ，
因为 ， ，所以 ，所以C错误；
由 ，所以D正确．
故选：ABD．
【变式1-2】已知函数 .
(1)求证 为定值；(2)若数列 的通项公式为 （ 为正整数， ， ， ， ），求数列 的前 项和 ；
【解析】（1）证明：由于函数 ，
则 ，
所以 .
（2）由（1）可知， ，
则 ，其中 为正整数， ，
即 ，且 ，
所以 ，其中 为正整数， ，
且 ，
，①
变化前 项顺序后，可得： ，②
① ②得： ，
因此 .
题型二：指数函数的图象及应用
【典例2-1】已知 且 ，则函数 与 在同一直角坐标系中的图象大致是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】结合 与 可知，两函数单调性一定相反，排除选项A；
因为 恒过定点 ， 恒过定点 ，排除选项B，D．
故选：C．
【典例2-2】（2024·黑龙江·二模）已知函数 的图象经过原点，且无限接近直线 ，但又
不与该直线相交，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 图象过原点，所以 ，
得 ，又该函数图象无限接近直线 ，且不与该直线相交，
所以 ，则 ，
所以 .
故选：C
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
变换得到，当 时，指数函数 的图像呈上升趋势；当 时，指数函数 的图像呈下
降趋势.
【变式2-1】已知 是方程 的两个根，则 .
【答案】10
【解析】由题可知， 也是 与 图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：数形结合可知， 为 两点对应的横坐标；
根据指数函数和对数函数的性质可知， 关于 对称；
又 与 垂直，故 与 的交点 为线段 的中点，
联立 ，可得 ，即 ，故 ，解得 .
故答案为： .
【变式2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函数 的图象经过坐标原点，且当 趋向于正无
穷大时， 的图象无限接近于直线 ，但又不与该直线相交，则 .
【答案】
【解析】当 趋向于正无穷大时， 的图象无限接近于直线 ，
但又不与该直线相交，可知 或 ，
又图象经过坐标原点，则 不满足条件，所以 ，
所以 .
故答案为：
【变式2-3】直线 与函数 且 的图像有两个公共点，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 时，作出函数 的图象，如图，此时在 时， ，而 ，因此
与函数 的图象只有一个交点，不合题意；时，作出函数 的图象，如图，此时在 时， ，因此 与函数
的图象有两个交点，则 ，解得 ．
综上所述， ．
故答案为： ．
【变式2-4】设方程 的解为 ， ，方程 的解为 ， ，则
．
【答案】10
【解析】由方程 得 ，由方程 得 ，
在同一坐标系下做出函数 、 ， 的图象，
不妨设 ，如下图，因为函数 与 的图象关于 对称，即点 与点 、点
与点 都关于 对称，
由 解得 ，即两直线的交点为 ，则 ，
则 .
故答案为： .
题型三：指数函数过定点问题
【典例3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函数 ，且 的图象恒过定点 ，若点 在直
线 上，其中 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】对于函数 ，且 ，令 ，则 ，
则函数 且 的图象恒过定点 ，
则 ，且 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
即 的最小值为 ，
故答案为;
【典例3-2】函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则 等于 .
【答案】2
【解析】由 ，即 ，得 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：2.【方法技巧】
恒过定点 ．
【变式3-1】已知函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为 .
【答案】
【解析】令 ，得 ，则 .
所以函数 （ 且 ）的图象恒过定点 .
故答案为： .
【变式3-2】（2024·山东济宁·一模）已知函数 且 的图象过定点A，且点A在直线
上，则 的最小值是 .
【答案】
【解析】函数 且 的图象过定点 ，
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
则
令 ，则 ，
则
，
当且仅当 ，即 ，即 时，取等号，
所以 的最小值是 .
故答案为： .
【变式3-3】函数 ，无论 取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .【答案】
【解析】 则定点坐标为 .
故答案为: .
题型四：比较指数式的大小
【典例4-1】（2024·云南·二模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，所以 .
故选：D.
【典例4-2】（2024·河南·模拟预测）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】构造函数 ，则 在 上单调递增，
所以 ．
故选：C．
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式4-1】（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于函数 ， ，
令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，则 ，即 .
所以 ， .
由 ，得 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 .
所以 .
故选：B
【变式4-2】已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，解得 ，
令 ，解得： ，
令 ，解得： ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ， ，则有 ，
即 恒成立，所以 在 上单调递增，
则有 ，
所以 ，
，
所以 .
故选：D
【变式4-3】（2024·陕西·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先变形 ，令 ，
下面比较当 时， 与 的大小.
①令 ，则 ，令 ，
得 ，当 时， 单调递增，所以 ，所以 ，即 ，所以 .
② ，所以 ， ，
所以 ，则 ，所以 .
综上， ，
故选：D.
题型五：解指数方程或不等式
【典例5-1】（多选题）甲、乙两人解关于x的方程 ，甲写错了常数b，得到的根为
或 ，乙写错了常数c，得到的根为 或 ，则下列是原方程的根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】令 ，
则方程可化为： ，即 ，
则甲写错了常数b，得到的根为 或 ，
由两根之和得：
乙写错了常数c，得到的根为 或 ，
由两根之积得： ，
所以方程为 ，
解得： 或
即 或 ，
解得： 或 .
故选：AD
【典例5-2】（2024·河北邯郸·一模）不等式 的解集为 .
【答案】【解析】由 ，可得 .
令 ，
因为 均为 上单调递减函数
则 在 上单调递减，且 ，
，
故不等式 的解集为 .
故答案为： .
【方法技巧】
利用指数的运算性质解题.对于形如 ， ， 的形式常用“化同底”转化，再利
用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如 或 的形式，
可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
【变式5-1】不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】不等式 ，可化为 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： ．
【变式5-2】若 、 为方程 的两个实数解，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，且 ，所以， ，即 ，
，
由题意可知， 、 为方程 的两根，由韦达定理可得 .
故答案为： .【变式5-3】已知 和 是方程 的两根，则 .
【答案】
【解析】方程可化为 ，由韦达定理得 ， ，
所以 ，得 .
又 ，
所以 .
故答案为：
题型六：指数函数的最值与值域问题
【典例6-1】（2024·高三·云南楚雄·期末）已知奇函数 在 上的最大值为 ，则
．
【答案】2或
【解析】因为 是奇函数，所以 ，
解得 ，即 ．
当 时，函数 在 上单调递增，则 ，解得 ．
当 时，函数 在 上单调递减，则 ，解得 ．
故答案为：2或
【典例6-2】（2024·高三·江苏镇江·开学考试）设函数 是定义域为R的偶函数.
(1)求p的值；
(2)若 在 上最小值为 ，求k的值.
【解析】（1）函数 是定义域为 的偶函数，
可得 ，即为 ，
化为 ，
由 ，可得 ，即 ；
（2） ，设 ，由 ， 递增，可得 ，
设 ，对称轴为 ，
当 时， 在 , 递增，可得 的最小值为 ，
解得 ，舍去；
当 时， 在 处取得最小值，且为 ，
解得 舍去），
综上可得， ；
【方法技巧】
指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.
【变式6-1】已知函数 ，且 ，若函数 在[0，2]上的最大值比最小值大 ，
则 的值为 .
【答案】 或
【解析】①当 时，函数 在[0，1]上是减函数，在（1，2]上也是减函数.
∵ ，∴函数的最大值为 ，而 ，∴函数 的最小值为
，
∴ ，解得 ，符合题意.
②当 时，函数 在[0，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数.
∵ ，
∴函数 的最大值为 ，而 ， ，
当 时， ，此时函数 的最小值为 ，因此有 ，无解；
当 时， ，此时函数 的最小值为 ，因此有 ，解得 ，
符合题意.
综上所述，实数 的值为 或 .
故答案为： 或 .【变式6-2】已知函数 在 处取得最小值 .
(1)求 ， 的值；
(2) ，求函数 ， 的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的 值.
【解析】（1）因为 在 处取得最小值 ，
即 ， ，解得 ， ；
（2）由（1）知 ，则 ，
所以 ，
令 ，∵ ，则 ，
则 ， ，
由对勾函数的性质可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，此时 即 ，解得 ；
又 ， ，
当 时，即 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时，
题型七：指数函数中的恒成立问题
【典例7-1】已知函数 ，若 ，使得 ，则
实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】当 时， ，
∴当 时， ，
当 时， 为增函数，
所以 时， 取得最大值 ，∵对 ，使得 ，
∴ ，
∴ ，解得 .
故答案为： .
【典例7-2】（2024·高三·河北衡水·开学考试）已知函数 是奇函数，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，不等式 恒成立，求 的取值范围.
【解析】（1） 是奇函数 ，
经检验当 时， 是奇函数符合题意，
又 或 （舍），
；
（2） ，
即 ，
又 ，故 恒成立，
令 ，因为 ，故 ，由对勾函数性质可得 在 上单调递减，
.
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式7-1】（2024·高三·山东枣庄·开学考试）已知函数 ，若存在非零实数 ，使得
成立，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为存在非零实数 ，使得 成立，所以 有解，
化简 有解，即 有解.
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号，
因为 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为：
【变式7-2】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知函数 在区间 上有最小值2和
最大值10．
(1)求 ， 的值；
(2)设 ，若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 的对称轴为 ，因为 ，
所以在区间 上最小值为 ，最大值为 ，
故 解得 ．
（2）由（1）可得 ，所以 可化为 ，
化为 ．令 则 ，
因为 ，故 ，记 ，
故 ，所以实数 的取值范围是 ．
【变式7-3】已知定义在R上的函数 满足：对任意 都有 ，且当 时，
， 对任意 恒成立，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【解析】对任意 都有 ，令 ，得 ，即 ，
，则 ，有 ，
，因此函数 在 上单调递增，
由 ，得 ，
于是 ，整理得 ，依题意， 对任意 恒成立，令 ， ，
函数 ，当 时， ，从而 ，
所以实数k的取值范围是 .
故答案为：
【变式7-4】已知函数 是奇函数，且过点 ．
(1)求实数m和a的值；
(2)设 ，是否存在正实数t，使关于x的不等式 对
恒成立，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 是定义域为R的奇函数，∴ ，∴ ，检验符合
.∴ ．
又因为 过点 ，∴ ，∴
（2）由（1）得 ，
因为 ，令 ，函数单调递增，∴ ，
，
记 ，∵函数 在 上恒成立，
∴（ⅰ）若 时，函数 在 上为增函数，
所以 为减函数，
则需函数 ，即 在 恒成立．
设 ，设 ，
，
，
由 可知， ， ， ，
所以 ，则 ，所以函数 在区间 单调递增，
所以 的最小值为 ，
得 ，故 符合题意；
（ⅱ）若 时， 则需 ，
即 且 在 恒成立，
在区间 单调递增，同理 在区间 也是单调递增，
所以 的最大值为 ， 的最小值为 。
得 ，故舍去
综上所述：故存在正数 ，使函数 在 上恒成立.
题型八：指数函数的综合问题
【典例8-1】已知函数 若关于 的方程 有5个不
同的实数根，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得 ，即 或 ，
的图象如图所示，
关于 的方程 有5个不同的实数根，则 或 ，解得 ，
故答案为：
【典例8-2】若函数 是定义在 上的奇函数，且 对任意
恒成立，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，解得 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
即 对任意 恒成立，所以 ，
所以 易得到 在 上单调递增，
由 ，得 ，
即 ，
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，
即 对任意 恒成立，
若 ，则 ，此时对任意 恒成立；
若 ，则 ，解得 ，
综上： 的取值范围为 ．
故答案为： .
【方法技巧】
指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是
指数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
【变式8-1】已知函数 ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】由于 ，显然在定义域上 为增函数，由 ， ，
则 ， 且 ，可得 ，
所以 ，故不等式的解集为 .
故答案为： .
【变式8-2】（2024·高三·湖北·期中）已知 是定义域为 的奇函数.
(1)函数 ， ，求 的最小值.
(2)是否存在 ，使得 对 恒成立，若存在，求 的取值范围；若不存在，说明
理由.
【解析】（1）由 为 上的奇函数，知 ，得 ；
代入函数得： ，
由于 ，故 时， 为奇函数，满足条件，
，
令 ，易知 在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值， ，
当 时， 取得最大值， .∴ ，
则上式转化为 ，
∴ 时， ，此时 ；
（2） ， ，
代入不等式得 ，
即得： ，
∵ 时， ，
∴ ，
又 ，当 ，即 时， 取得最小值，
而 ，
∴ .
【变式8-3】我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 为
奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函
数 为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数 ．
(1)证明：函数 的图象关于点 对称；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由题意 ，令 ，
显然函数 的定义域为全体实数，它关于原点对称，
且 ，
所以函数 是奇函数，
所以函数 的图象关于点 对称.
（2）由题意 ，
而由复合函数单调性可知 单调递增，
所以 当且仅当 ，即 ，
解得 或 ，所以实数 的取值范围为 .
【变式8-4】（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数 且 ）为定义在R上的奇函
数
(1)利用单调性的定义证明：函数 在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数 有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【解析】（1）证明：由函数 为奇函数，有 ，解得 ，当 时， ， ，符合
函数 为奇函数，可知 符合题意．
设 ，有
，
由 ，有 ，有 ，故函数 在 上单调递增；
（2）由
．
（1）当 时，不等式为 恒成立，符合题意；
（2）当 时，有 ，解得 ，
由上知实数 的取值范围为 ；
（3）由 ，方程 可化为 ，
若函数 有且仅有两个零点，相当于方程 有两个不相等的正根，
故有 ，即 解得 ．
故实数 的取值范围为 ．
【变式8-5】已知函数 的表达式为 .
(1)若 ，求函数 的值域；
(2)当 时，求函数 的最小值 ；
(3)对于（2）中的函数 ，是否存在实数 ，同时满足下列两个条件：（i） ；（ii）当
的定义域为 ，其值域为 ；若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当 时，由 ，得 ，
因为 ，所以 ， ，
所以函数 的值域为 .（2）令 ，因为 ，故 ，函数 可转化为
，
①当 时， ；
②当 时， ；
③当 时， ．
综上所述， .
（3）假设满足题意的 ， 存在，
因为 ， ，
所以 在上 是严格减函数，
所以 在 上的值域为 ，
又 在 上的值域为 ，所以 ，即 ，
两式相减，得 ，
因为 ，所以 ，
而由 ，可得 ，与 矛盾．
所以，不存在满足条件的实数 ， ．
1．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．记
，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
因为 ，而 ，
所以 ，即
由二次函数性质知 ，
因为 ，而 ，
即 ，所以 ，
综上， ，
又 为增函数，故 ，即 .
故选：A.
2．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .
故选：D.
3．（2023年天津高考数学真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 在R上递增，则 ，
由 在 上递增，则 .
所以 .
故选：D1．（1）当n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算 的值；
（2）当n越来越大时， 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 是否也会越来越大？有没
有最大值？
【解析】（1） ；
；
；
；
.
（2）由（1）知，当n越来越大时， 的值也会越来越大，但没有最大值.
2．从盛有 纯酒精的容器中倒出 ，然后用水填满；再倒出 ，又用水填满……
（1）连续进行5次，容器中的纯酒精还剩下多少？
（2）连续进行n次，容器中的纯酒精还剩下多少？
【解析】（1）倒出1次后还剩 ，加满水后浓度为 .
倒出2次后还剩 ，加满水后浓度为 .
倒出3次后逐剩 ，加满水后浓度为 .
倒出4次后还剩 ，加满水后浓度为 .
倒出5次后还剩 .（2）由（1）知，连续进行了n次，容器中的纯酒精还剩下 .
3．（1）已知 ，求 的值；
（2）已知 ，求 的值.
【解析】（1）原式 ；
（2）原式
.
4．已知函数 的图象过原点，且无限接近直线 但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
【解析】（1）由题意知， ， ，
，
∴ ，图象如图：
（2）∵ ，
∴ ，
为偶函数，又 ，
∴ 在 上为减函数，在 上为增函数．
5．已知f(x)=ax，g(x)= (a>0，且a≠1).
（1）讨论函数f(x)和g(x)的单调性；
（2）如果f(x)1时，f (x)=ax是R上的增函数，
由于0< <1，所以g(x)= 是R上的减函数；
当01，所以g(x)= 是R上的增函数；
（2） ，
当a>1时，x<0；当00.
∴当a>1时，x的取值范围是 ；
当0
