文档内容
第 04 讲 数列求和综合
（分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、奇偶并项、周期综
合）
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分 求等差数列前n项和 等差数列通项公式的基本量计算
2024年全国甲卷，第18题,12分 错位相减法求和 利用an与sn关系求通项
利用定义求等差数列通项公式
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分 分组 (并项)-奇偶项求和 等差数列通项公式的基本量计算
求等差数列前n项和
2023年全国甲卷（理科），
错位相减法求和
利用 与 关系求通项或项
第17题,10分
利用 与 关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分 裂项相消法求和
累乘法求数列通项
利用等差数列通项公式求数列中的项
利用导数研究不等式恒成立问题
2022年新Ⅱ卷，第22题,12分 裂项相消法求和
含参分类讨论求函数的单调区间
2021年新I卷，第16题,5分 错位相减法求和 数与式中的归纳推理
由递推数列研究数列的有关性质
2021年新I卷，第17题,10分 分组 (并项)-奇偶项求和 利用定义求等差数列通项公式
求等差数列前n项和
2021年全国乙卷（文科）， 等差中项的应用
错位相减法求和
第19题,12分 等比数列通项公式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.熟练掌握裂项相消求和
2.熟练掌握错位相减求和3.熟练掌握拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法，能综合解决数列的求和问
题
4.熟练掌握数列中不等式的综合问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常考查裂项相消求和、错位相减求和、奇偶并项求和，需
重点综合复习
知识讲解
1．公式法
(1)等差数列的前n项和公式S＝＝na＋d.
n 1
(2)等比数列的前n项和公式
①当q＝1时，S＝na；②当q≠1时，S＝＝.
n 1 n
2．分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个能求和的数列，再求解．
3．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项技巧：
（1） ；
（2） ；（3）
（4）
（5）指数型 ；
（6）对数型 .
（7）
（8）
（9）
（10） 等
4．倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5．错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的
推广．
万能公式：
形如 的数列求和为 ，
其中 ， ，
6．并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a ＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并
n
求解．
考点一、 公式法直接求和
1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
2．（2021·全国·统考高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
3．（2020·海南·高考真题）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 .
4．（2020·全国·统考高考真题）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log an}的前n项和．若 ，求m．
3
1．（2024·四川遂宁·三模）等比数列 中， ， ．
(1)求 的通项公式：
(2)记 为 的前n项和，若 ，求m．
2．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .
3．（2024·江苏南通·二模）设数列 的前 项和为 ，若 ， .
(1)求 ， ，并证明：数列 是等差数列；
(2)求 .
4．（2024·辽宁·二模）设等差数列 的前n项和为 ，公差为d，且 .若等差数列 ，满足
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ，且 ，求n的最大值.
5．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知数列 中， ， .
(1)求数列 的通项公式；(2)求证：数列 的前n项和 .
考点二、 分组转化求和
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
2．（2024·浙江台州·一模）已知等比数列 的各项均为正数，前n项和为 ，若
， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
1．（22-23高三上·山东潍坊·阶段练习）已知公差不为零的等差数列 的前四项和为10，且 ， ，
成等比数列.
(1)求数列 通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
2．（2024·山东·二模）已知数列 ， 中， ， ， 是公差为1的等差数列，数列
是公比为2的等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
35．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
考点三、 裂项相消求和1．（全国·高考真题）设数列 满足 .
（1）求 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和．
2．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
3．（2024·湖北·模拟预测）设 是正数组成的数列，其前n项和为 ，已知 与 的等差中项等于 与
的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求 的前 项和.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列 （ ）中， ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列的 前 项和为 ，证明 .
1．（23-24高二下·浙江丽水·期中）设数列 为等差数列，前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 的前 项和为 ，证明： ．
2．（2024·河北沧州·模拟预测）设正项数列 的前n项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，求数列 的前n项和 .
3．（2024·浙江丽水·二模）设等差数列 的公差为 ，记 是数列 的前 项和，若 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： .
4．（2024·全国·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
考点 四 、 错位相减求和
1．（2024·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2023·全国·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
3．（2021·全国·高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ， 成
等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
4．（2024·江苏无锡·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设 为数列 的前 项和.若 对任意的 恒成立，求k的取值范围.
1．（2024·全国·模拟预测）已知 是各项均为正数的数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
2．（2024·贵州遵义·三模）已知数列 的前n项和为 ， ，且点 在直线
上．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 ．
3．（2024·浙江·三模）已知等比数列 和等差数列 ，满足 ， ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ．证明： ．
考点 五 、 奇偶并项求和
1．（2023·全国·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
2．（2024·河北保定·二模）已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；(2)若数列 满足 ，求 的前 项和 .
3．（2024·山东潍坊·三模）已知正项等差数列 的公差为2，前 项和为 ，且 成等比
数列.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)若 求数列 的前 项和.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列 满足 当 时，
(1)求 和 ，并证明当 为偶数时 是等比数列；
(2)求
5．（2020·天津·高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
1．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 的公差 ， 与 的等差中项为5，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前20项和 .
2．（2024·福建厦门·三模）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差数列.(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
3．（2024·山东·二模）已知 是公差不为0的等差数列，其前4项和为16，且 成等比数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
4．（2024·福建厦门·模拟预测）已知 为等差数列 的前n项和， ， ，
.
(1)求 的通项公式；
(2)记 为数列 的前n项和，若 ，求n的最小值.
考点 六 、 数列求和之不等式综合
1．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知各项均为正数的数列 前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．
2．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 是 与 的
等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项积 ．
(1)求 的通项公式；(2)设 ，证明： ．
4．（2024·福建三明·三模）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求实数t的取值范围；
(3)记 ，求证： ．
1．（2024·山东烟台·三模）在数列 中，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ， 为数列 的前n项和，证明： .
2．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，令 ，求证： ．
3．（2024·安徽合肥·三模）设数列 的前 项和为 ，已知 ， 是公差为2的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，设数列 的前 项和 ，求证： ．
4．（2024·陕西铜川·三模）已知数列 满足： .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求正整数 的最大值.
5．（2024·四川·模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；(2)若数列 满足， ，求证： ．
1．（2024·陕西安康·模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 .
(1)求数列 的通项公式.
(2)求数列 的前 项和 .
2．（2024·全国·模拟预测）已知单调递增的等比数列 的前 项和为 ，满足 ，数列
也为等比数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)记 ，求数列 的前 项和 ．
3．（2024·山西吕梁·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，证明： .
4．（2024·四川成都·三模）已知数列 的前 项和为 ， .
(1)证明：数列 是等比数列，并求出通项公式；
(2)数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
5．（2024·全国·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， 是等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： .1．（2023·陕西安康·模拟预测）在数列 中，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
2．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列 的首项 ，公差为 ， 为 的前 项和，
为等差数列．
(1)求 与 的关系；
(2)若 ， 为数列 的前 项和，求使得 成立的 的最大值．
3．（23-24高二上·江苏淮安·期末）已知数列 的各项均大于1，其前 项和为 ，数列 满足，
， ，数列 满足 ，且 ， .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)求 的前 项和 .
4．（2023·湖南永州·二模）已知数列 的前 项和为 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项的和．
5．（23-24高三上·江苏南通·期末）设 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，且 的前 项和为 ，求证： .
6．（2023·山东潍坊·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，已知 ．
(1)证明： 为等比数列，求出 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 ．
7．（2024·河南·三模）已知数列 的各项都为正数，且其前 项和 .
(1)证明： 是等差数列，并求 ；(2)如果 ，求数列 的前 项和 .
8．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知正项等比数列 中， 为 的前n项和， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，设数列 的前n项和 ，求 .
9．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知等比数列 的首项为 ，公比 为整数，且
.
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，比较 与 的大小关系，并说明理由.
10．（2023·全国·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ， 且数列 为等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)定义： 表示不超过x的最大整数．设 ，求数列 的前114项和 ．
1．（全国·高考真题）等差数列 的前n项和为 ，已知 ， 为整数，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
2．（全国·高考真题）等比数列 的各项均为正数，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设b ＝log a＋log a＋…＋log a ，求数列 的前 项和 .
n 3 1 3 2 3 n
3．（广东·高考真题）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足
，
（1）求 的值；（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切的正整数 都有
4．（山东·高考真题）已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
5．（广东·高考真题）设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 且
构成等比数列．
(1) 证明： ；
(2) 求数列 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 ，有 ．
6．（山东·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 满足 ，求 的前 项和 .
7．（浙江·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
8．（全国·高考真题）设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且
.
（1）求 、 的通项公式：
（2）求数列 的前 项和 ．
9．（湖北·高考真题）设数列 的前 项和为 ， 为等比数列，且
(1)求数列 和 的通项公式；(2)设 ，求数列 前 项和 .
10．（重庆·高考真题）设数列 满足： ， ， ．
(1)令 ，求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
