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第二十一章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2y+1＝0 B．3y2﹣2＝3（y2﹣2y）
2
C．ax2+bx+c＝0（a≠0） D．x−4=
x
2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
3．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1
2±❑√4−4×3×(−1)
4．若x= 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（ ）
2×3
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
5．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定
有实数根（ ）
1 1
A．1 B．− C．﹣2025 D．
2025 2025
6．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0没有实数根，则直线y＝kx+3不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相
赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组
的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（ ）
1
A． x(x−1)=306 B．x（x﹣1）＝306
2
1
C． x(x+1)=306 D．x（x+1）＝306
2
8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
9．换元法是一种重要的转化方法，如：解方程x4﹣5x2+6＝0，设x2＝a，原方程转化为a2﹣5a+6＝0．已知
m，n是实数，满足（m2﹣2m）2+4m2﹣8m+6﹣n＝0，则n的取值范围是（ ）A．n≤0 B．n≥4 C．n≥2 D．n≥3
m+5n 4
10．已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的两个根，且 − =2，则c的值是（ ）
mn m
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
11．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+n2，下列结论正确的是（ ）
A．B﹣A的最大值是0 B．B﹣A的最小值是﹣1
C．当B＝2A时，x为正数 D．当B＝2A时，x为负数
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s
的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两
点同时出发，设出发时间为t s．有下列结论：①当t＝2s时，PQ=8❑√2mm；②△PBQ的面积可以为
35mm2；③t＝1s时的四边形APQC的面积大于t＝5s时的四边形APQC的面积．其中，正确结论的是
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值是 ．
14．已知x＝1是关于x的一元二次方程 的解，则m﹣1+a的值为 ．
(m+2)xm2−2−3x−2a=0
15．若x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则 的值为 ．
1 2 x2x +x x2
1 2 1 2
16．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔 4月份到
6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长
率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 ．
17．定义新运算：
xΘy=
{x−2y(x≥ y))，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1
x2+ y(x＜y)
＝17，则x的值为 ．
18．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AB＝4，BE＝1，点F为正方形ABCD所在平面内一点，连接
FE，FD，FE＝BE，DF的最大值为 ，DF的最小值为b，则a2+2ab+b2的值为 ．
α三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）用指定的方法解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）
（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）
（4）2x2﹣7x+3＝0（公式法）
20．（8分）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利
用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：
（1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与 个选手比赛一局，比赛总共有
局；
（2）求这次比赛共有多少个选手参加？
21．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一
个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
（1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并
说明理由．
22．（8分）综合与实践
主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收
纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为x cm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长；
任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高．23．（10分）某建筑公司承包了一项某旅游景点的改造工程，经公开招标，最终确定由甲和乙两个工程队
3
共同参与改造．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了4天，之后甲队和乙队又合作了12
4
天，正好如期完成了整项工程的改造．
（1）求甲队单独完成整项工程需要多少天？
（2）工程改造结束后，正逢五一假期，该旅游景点为吸引游客，发售了代表该景点的特色套装纪念品
每套纪念品进价30元，为合理定价，发售前进行了市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价
每涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利12000元，且售价不超过55元，那么该纪念品的售价
应为多少元？
24．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根分别为 x ，x ，设 ，求y关于m的函数关系式．点（a，
1 2 y=(x −x ) 2+5
1 2
y ），（4﹣a，y ）为其图象上两点，已知y ＜y ，求整数a的值．
1 2 1 2
25．（10分）关于x的一元二次方程（ax﹣1）2＝x有两个实数根x ，x ．
1 2
（1）求实数a的取值范围．
1 1
（2）求代数式( −1)( −1)的最大值或最小值．
x x
1 2
26．（10分）阅读材料：
转化思想是常用的数学思想之一，在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的
问题来解决，例如，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转
化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，
所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，
把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 x3+x2﹣2x＝0，可以通过因
式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
2
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x ＝0，x ＝ ﹣ 3 ，x ＝ ；
1 2 3
3（2）拓展：用“转化”思想求方程❑√2x+3=x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华
把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好
落在点C，求AP的长．
