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第二十一章 一元二次方程
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的 最高次数是 2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2、一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下 形式 a x 2 + b x + c = 0 （ a ≠ 0 ） ．这种
形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 一次项系数 b 和 常数项 c 可取任
意实数， 二次项系数 a 是不等于 0 的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就
不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
二、一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解
也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这 x ，x 是一元二次方程 ax 2+bx+c=0
1 2
（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax2+bx+c=0（a≠0），ax2+bx+c=0（a≠0）．
1 1 2 2
三、一元二次方程的解法
1、解一元二次方程-直接开平方
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=± ；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=± ．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2、解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫
配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方
程无实数解．
3、解一元二次方程-公式法
（1）把 （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
4、解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两
个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一
元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得
到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
四、一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检
验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次
增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、
梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，
列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．易错点1 利用一元二次方程的定义求待定系数时忽略“a≠0”
1.易错点总结：在利用一元二次方程定义求参数时，常因仅关注未知数最高次数为2，忽略二次项系数不
能为0的条件。例如，在方程(m-1)x2+3x-5=0中，直接由x次数为2得出m的值，而未考虑m - 1≠0，导
致解出增根。
2.注意事项总结：求解含参一元二次方程问题时，必须先明确二次项系数不为0这一前提条件，再结合未
知数最高次数为2列方程或不等式求解参数，最后对所得结果进行检验，确保方程符合一元二次方程的完
整定义。
例题1．（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程 是一元二次方程．则
m的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不能为0是解题的关键．
根据一元二次方程的定义列式计算即可．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程．
∴ 且 ，解得∶ ．
故答案为： ．
易错点2 利用一元二次方程的解求待定系数时忽略“a≠0”
1.易错点总结：在已知一元二次方程的解求参数时，容易只将解代入方程求解，忽略二次项系数不为0的
条件。比如已知x = 1是方程(a - 2)x2+3x-1 = 0的解，直接代入得到关于a的等式，却未验证a -
2≠0，可能会把使方程降次为一次方程的参数值误当作答案。
2.注意事项总结：将方程的解代入含参方程后，必须先检查二次项系数是否为0。若二次项系数含参数，
需单独讨论其不为0的情况，再结合解的条件求解参数，最后检验所得参数值是否符合一元二次方程的定
义。
例题2．关于 的一元二次方程 有一个根为0， 的值是 ．【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一个根为0，得出 ，解得 ，即可作答．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有一个根为0，
∴把 代入 ，
得 ，
解得 ，
故答案为：
易错点3 利用一元二次方程的判别式求字母的值或取值范围时忽略“a≠0”
1.易错点总结：使用判别式△= b2 - 4ac求字母值或取值范围时，常因直接套用公式而忽略二次项系数
a≠0的前提。例如，在方程(m - 1)x2 + 2x + 1 = 0中，仅根据△与0的关系求解m，未考虑m - 1 = 0
时方程变为一次方程，导致结果错误或漏解。
2.注意事项总结：运用判别式前，需先明确方程二次项系数不为0，再结合△的情况列等式或不等式求解
参数；若二次项系数含参数，应分二次项系数为0（一次方程情况）和不为0（二次方程情况）两种情形讨
论，最后综合得出符合条件的参数值或范围。
例题3．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意得，解不等式即可求解，掌
握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
易错点4 利用一元二次方程的根与系数关系求值时忽略“△≠0”b c
1.易错点总结：在利用根与系数关系（韦达定理）x + x = - ，xx = 求值时，易直接代入系数计算，
1 2 a 1 2 a
忽略一元二次方程二次项系数a≠0的条件。例如，对含参方程(k - 1)x2 + 3x - 2 = 0，未判断k - 1≠0
就使用韦达定理，可能将使方程变为一次方程的k值作为正确答案。
2.注意事项总结：使用根与系数关系前，必须先确定方程二次项系数不为0；若系数含参数，需分二次项
系数为0（方程为一次方程，不存在韦达定理应用条件）和不为0（二次方程）两种情况讨论，最后检验所
得参数值是否符合要求 。
例题4．已知关于x的方程 有两个实数根 ， ．
(1)求k的取值范围；
(2)若 ，求k的值．
【答案】(1) 的取值范围为：
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式 的意义得到 ，即 ，
解不等式即可得到 的范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，则 ，即
，利用因式分解法解得 ， ，然后由（1）中的 的取值范围即可得到 的值，
【详解】（1）解： 关于x的方程 有两个实数根，
，即 ，解得 ，
的取值范围为： ；
（2）解： 方程 有两个实数根 ， ，
， ，
，，即 ，
， ，
，
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程和解一元一次不
等式等知识点，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的性质是解决此题的关键．
1．当 时，关于x的方程 是一元二次方程
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一
元二次方程，根据一元二次方程的定义得出 且 即可得到答案．
【详解】解：∵方程 是一元二次方程，
∴ 且 ，
解得 ，
故答案为： ．
2．（24-25九年级上·辽宁锦州·期中）若方程 是关于 的一元二次方程，则
．
【答案】
【分析】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元
二次方程．一般形式为 ．易错点在于 这个条件容易被忽略．根据一元二次方程
的一般形式即可得到答案．
【详解】解：根据题意，得 ，且 ，解得 ，
故答案为： ．
3．（24-25九年级上·河北张家口·期中）若关于x的方程 是一元二次方程，则
m的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并
且未知数的最高次数是 的整式方程．根据一元二次方程的定义得到 且 ，然后解方程和
不等式即可得到满足条件的 的值．
【详解】解： 关于 的方程 是一元二次方程，
，
解得： ．
故答案为： ．
4．若关于 的方程 是一元二次方程，则 的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：
“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
根据一元二次方程的定义得到 且 ，然后解方程和不等式即可得到满足条件的 的值．
【详解】解： 关于 的方程 是一元二次方程，
且
解得 ；
故答案为： ．
5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可．
【详解】解：把 代入 ，得
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：
6．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）若关于 的一元二次方程 有一个根是 ，
则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据一元二次方程的定义可得 ，根据一元二次方程的解的定义将 代入原方程，得到关于 的
一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有一个根是 ，
∴ 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
7．已知 是一元二次方程 的一个根，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的
解．将 代入方程即可求解．
【详解】解：将 代入方程得： ，
整理得： ，
解得： ，∵ ，即 ，
∴ ，
故答案为：
8．（24-25八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程 有一个根为0，则m
的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数
的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的二次项系数不为0．
将 代入方程得到 ，求出 ，然后由 得到 ，求出 ．
【详解】解：将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ．
故答案为：2．
9．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于 的一元二次方程 有实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得
且 ，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：由题意得， 且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
10．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
根据根的判别式当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．即可列不等式，计算即可得答案，
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，且 ，
且 ，
故答案为： 且 ．
11．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】 且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．解题的关键是熟练掌握当 时，方程有
两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到 ，即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
12．若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，熟练掌握相关知识，并注
意 这一条件是解题关键．根据一元二次方程的定义，一元二次方程的根与判别式的关系可得
且 ，求解即可获得答案．
【详解】解：若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
则有 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．13．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若方程有两个实数根，求 的取值范围；
(2)在（1）中，设 、 该方程的两个根，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，再将 变形得到
，再整体代入得关于 的方程，由此解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根，
∴
解得， ；
（2）解：∵ 、 是方程 的两个根，
∴ ，
又 ，
整理得， ，
∴
整理得， ，
解得， 或 （不合题意，舍去）
∴ 的值为 ．
14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的两个根 满足 ，求m的值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．掌握根的判别式以及根与系数的关系
的公式是解题关键．
（1）利用根的判别式 ，即可求出答案；
（2）先运用根与系数的关系得出 ， ，再代入到 ，即可求
出答案．
【详解】（1）∵方程 有两个实数根，
，
解得 ；
（2） 和 是一元二次方程 的两个根，
， ，
，
，
，
解得 ， ．
，
．
15．（24-25九年级上·辽宁鞍山·期中）已知关于x的一元二次方程 ．(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；
(2)若方程两实数根分别为 、 ，且满足 ，求实数m的值．
（参考结论：若关于x的一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ，
）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，掌握当一元二次方程有实数根时根的
判别式 是解题的关键：
（1）根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）利用根与系数的关系可得出 、 ，结合 即可得出关于m的
一元二次方程，解之即可得出m的值．
【详解】（1）根据题意得 ，
解得 ；
（2）根据题意 ， ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 ， ，而 ；
所以 ．
16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）定义：已知 ， 是关于x的一元二次方程
的两个实数根，若 ，且 ，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程 的两根为 ， ，因 ， ，所以一元二次方程
为“限根方程”．
请阅读以上材料，回答下列问题：
(1)判断：一元二次方程 _____“限根方程”（填“是”或“不是”）；
(2)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，且两根 、 满足 ，
求k的值；
(3)若关于x的一元二次方程 是“限根方程”，求m的取值范围．
【答案】(1)是
(2)k的值为9
(3) 或
【分析】本题考查了根与系数的关系，也考查了解一元二次方程．
（1）先利用因式分解法解方程得到 ， ，然后根据“限根方程”的定义进行判断；
（2）先利用根与系数的关系得 ， ，再利用 得到
，则可求得 ， ，然后分别利用因式分解法解方程，最后利用“限根方
程”的定义确定 的值；
（3）利用因式分解法解方程得到 或 ，再根据“限根方程”的定义得到 时 ，
当 时， ，然后解关于 的不等式即可．
【详解】（1）解： ，
，
或 ，
所以 ， ，， ，
所以一元二次方程 为“限根方程”，
故答案为：是；
（2）解：根据根与系数的关系得 ， ，
，
，即 ，
解得 ， ，
当 时，方程化为 ，
解得 ， ，
， ，
方程 是“限根方程”，
当 时，方程化为 ，
解得 ， ，
，
方程化 不是“限根方程”，
综上所述， 的值为9；
（3）解： ，
，
或 ，
解得 或 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 或 ．
