文档内容
21.1 一元二次方程 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十一章“一元二次
方程”21.1一元二次方程，内容包括：一元二次方程的概念及其一般式。
2.内容解析
一元二次方程的概念，与得出一元一次方程的概念过程类似，教材先给出计算满足条件的正方形面积、
计算满足条件的参赛队数等实际问题，用方程的思想建立数学模型，通过观察方程的特点，归纳、总结得
到一元二次方程的概念。根据一元二次方程的概念，教材给出其一般形式为：ax2+bx+c=0（a≠0），其中
二次项系数、一次项系数、常数项分别为：a、b、c，需注意二次项系数不能为0的原因及系数前的符号问
题。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过一元一次方程的概念，类比得出一元二次方程的概念。
二、目标和目标解析
1.目标
1）通过一元一次方程的概念，探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力；
2）掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数
项。
2.目标解析
通过7年级上册的学习，我们已经掌握了一元一次方程的概念，一元一次方程的特点为：只含有一个
未知数（元），未知数的次数都是1(次)，且方程两边都是等式。本节课我们根据实际问题列方程，用方
程的思想建立数学模型，观察化简后的方程与一元一次方程的结构有相似的地方，它们都只含有一个未知
数（元），且方程两边都是等式，但未知数的次数是2(次)。由此学生通过观察，根据一元一次方程的概
念尝试类比，归纳总结得出一元二次方程的概念。在探索的过程中，提高学生类比、归纳、总结的能力。
一元二次方程的一般形式有两个易错点：1）忽略二次项系数≠0
2）判断二次项系数、一次项系数、常数项需考虑符号问题。
当二次项系数a≠0时，方程为ax2+bx+c=0（一元二次方程）。
当二次项系数 a=0时，方程为bx+c=0（一元一次方程）。
达成目标（1）的标志是：能正确判断一元二次方程。
达成目标（2）的标志是：将方程化为一般形式，并准确判断其二次项及其系数、一次项及其系数、
常数项。三、教学问题诊断分析
一元二次方程的概念是在学生学习一元一次方程、二元一次方程的基础上学习的，它既是对一元一次
方程知识的巩固和拓展，也是后面学习一元二次方程，二次函数的基础。因此掌握好本节课的内容能够加
深学生对一元二次方程的理解，并且将为学生今后学习二次函数打下坚实的基础。通过本节课的学习，尝
试总结归纳一元一次方程与一元二次方程的相同点与不同点，加深学习理解与记忆。
学生通过课堂学习能掌握一元二次方程的概念及一般式，但是在实际应用过程中还是会遇到问题。
问题1：判断二次项系数、一次项系数、常数项时可能会错误。
错误原因：对运算符号和性质符号理解不清。
问题2：根据一元一次方程和一元二次方程的定义，计算满足条件未知数的值。
错误原因：一元二次方程遗漏二次项系数不能为0的前提条件。（参见例4）
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：1）一元一次方程与一元二次方程的相同点与不同点；
2）正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其
系数、常数项。
四、教学过程设计
（一）复习旧知，引入新课
一元一次方程的概念：只含有_______未知数（元），未知数最高次数是_____，等号两边都是
________，这样的方程叫一元一次方程。
一元一次方程的一般形式：___________________________________。
答案：一个；1；整式；ax+b=0(a,b为常数，a≠0)
1．下列方程中，是一元一次方程的是( )
x
A．x2−4x=3 B．3x−1=
2
C．x+2y=1 D．xy−3=5
2．如果方程ax|a+1|+3＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为_____
答案：1.B 2.-2
师生活动：师生共同回顾一元一次方程的相关知识，从而引出本节课所学内容。
【设计意图】通过问题引入课题，引起学生的探究欲望和学习兴趣，激发学生的学习热情。
（二）新知探究
【问题1】正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
师：根据题干信息列方程表示。【问题2】有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折
起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600 cm2（蓝色部分）,那么铁皮各角应切去多
大的正方形?
【问题3】如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果梯子的
顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
【问题4】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划
安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
师生活动：学生思考，独立完成。
【设计意图】利用现实生活中实例，让学生通过观察思考，感受列方程并化简的过程，体会生活中处
处有数学，引起学生的探究欲望和学习兴趣，从而引出本节课所学内容。
追问1：观察下列各方程有什么共同点？
x2=9 x2−75x+350=0 x2＋12x-15＝0 x2−x=56
师生活动：教师引导学生共同归纳：
①等号两边都是整式 ②只有一个未知数 ③未知数最高次数是2
追问2：结合一元一次方程的概念，你发现了什么？
师生活动：先由学生尝试归纳总结，再由教师给出一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数最高次数是2，等号两边都是整式，这类方程应该叫一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为：
追问3：为什么a≠0。
师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善，得到：如：a=0，则原方程为一元一次方程。
追问4：根据一元一次方程的解的概念，尝试总结一元二次方程的解的概念。师生活动：先由学生回答，老师帮助引导与完善，再由教师给出一元二次方程的解的概念：
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程
的根。
【设计意图】让学生经历合作探究过程，通过观察、发现、归纳，结合一元一次方程的概念概括一元
二次方程的概念，培养学生抽象概括的能力。
（三）典例分析
例1：判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
1
(1)x2 + -5=0 (2)x3-3x+7=0 (3)x2 -2y+1=0 (4)ax2+bx+c=0 (5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
x
答案：1）--5）均不是一元二次方程。
师生活动：先让学生以小组为单位积极讨论，再由学生代表给出答案并说明原因，教师板演。
针对训练：
1．下列方程中，一元二次方程有（ ）
1 x
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2− =4；④x2＝1；⑤x2− +3=0
x 3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式:
(1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x;
(2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x;
(3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.
师生活动：先由学生独立思考，再由学生给出答案，教师板演。
【设计意图】通过练习使学生理解一元二次方程的概念，通过一元二次方程的特点准确判定一元二次
方程。
例2：将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
1） 2）
3x(x−1)=5(x+2) 3x2+2x−6=2(x−3)
答案：
1）一般式为：3x2−8x−10=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3、-8、-10。
2) 一般式为：3x2=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3、0、0。
师生活动：先由学生独立思考，再由学生口述解题过程，教师板演。这个过程中教师需强调判断二次
项系数、一次项系数、常数项时需带上前面的符号。
针对训练：答案：
师生活动：让学生积极回答问题，调动课堂气氛，提高学生学习兴趣，教师板演。
【设计意图】掌握一元二次方程的一般形式，能够快速准确判断二次项系数、一次项系数、常数项。
例3：若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1 B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
师生活动：由学生代表给出答案，并说明原因。教师补充：因为x=1是原方程的解，将它带入方程，
方程两边相等，得a+b+c＝0，所以答案选C.
针对训练：
1．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为_______________．
2.已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
师生活动：先由学生独立思考，再由学生给出答案，并说明解题方法，教师板演。
【设计意图】掌握一元二次方程解的概念。
（四）知识归纳
【问题】一元一次方程与一元二次方程有什么相同点与不同点？师生活动：教师引导学生归纳总结，加深学生理解。
【设计意图】通过归纳总结，加深学生理解一元一元一次方程与一元二次方程的相同点与不同点，在
课堂上允许学生有不同的见解，积极鼓励学生发言回答问题，调动学生学习数学的兴趣。
（五）当堂巩固
例4：关于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0,
1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
答案：1）a≠2 2）a= 2
例5：a为何值时，方程 为一元二次方程？
(a−1)x|a|+1−2x−7=0
答案：解：∵方程 为一元二次方程
(a−1)x|a|+1−2x−7=0
∴{a−1≠0 ，解得 {a≠1
：
|a|+1=2 a=±1
∴a=−1
师生活动：教师引导学生解题，加深理解二次项系数不能为0的原因。
能力提高：
1．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常
数项．
答案：解：（1）∵ 是关于x的一元一次方程，
(2k+1)x2+4kx+k−1=0
{2k+1=0 1
∴ ，解得k=−
4k≠0 2
（2）∵ 是关于x的一元二次方程，
(2k+1)x2+4kx+k−1=01
∴2k+1≠0即k≠− ，
2
∴这个一元二次方程的二次项系数为2k+1，一次项系数为4k，常数项为k-1
2．简答题：
（1）当 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程？
m x (m2−1)x2+mx−2=0
（2）已知关于 的一元二次方程 有一个根是0，求 的值．
x (m2−1)x2+mx−3−m=0 m
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
答案：解：（1）∵关于 的方程 是一元二次方程，
x (m2−1)x2+mx−2=0
∴m2−1≠0，解得：m≠±1；
（2）∵关于 的一元二次方程 有一个根是0，
x (m2−1)x2+mx−3−m=0
∴将x=0代入 可得： ，解得：m=-3；
(m2−1)x2+mx−3−m=0 −3−m=0
（3）∵关于 的一元二次方程 有一个根是1，
x (m2−1)x2+mx−3−m=0
∴将x=1代入 可得： ，解得：m=±2.
(m2−1)x2+mx−3−m=0 m2−4=0
【设计意图】通过练习，加深学生理解一元一元一次方程与一元二次方程的相同点与不同点。
（六）感受中考
1．（ 202 2 广东 14/2 3）若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a=____________．
2． （ 2022 资阳市 14/24 ）若 a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是
___________．
答案：1）1 2）6
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考考什么，进一步了解考点.
（七）课堂小结
本节课学习，你有哪些收获和体会？还有什么疑惑？
1.简述一元二次方程的概念？
2.说出一元二次方程的一般形式？为什么二次项系数不能为0？
3.一元一次方程与一元二次方程有什么相同点与不同点？
参考：
1.一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是的整式方程叫做一元二次方程。
2. ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是常数，a≠0)。若二次项系数为0，则方程为一元一次方程。
3.
【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统的回顾和认识，进而形成一个清晰的
脉络，加深学生对一元二次方程的概念的理解。
（八）布置作业
P4：习题21.1： 第1题(4) (5) (6)、第2题(1) 、第5题、第7题
五、教学反思
