文档内容
21.1 一元二次方程 学案
学习目标
1.通过一元一次方程的概念，能探索归纳一元二次方程的概念，提高学生类比、归纳、总结的能力；
2。掌握一元二次方程的一般形式，正确识别一般形式中的二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。
重点难点突破
★知识点1： 一元二次方程的概念
只含有一个未知数，未知数最高次数是2，等号两边都是整式，这类方程应该叫一元二次方程。
★知识点2： 一元二次方程一般式 ax2+bx+c=0 （a≠0）
核心知识
1.只含有_______未知数，未知数最高次数是__，等号两边都是______，这类方程应该叫一元二次方程。
2. 一元二次方程一般式 ________________（_____≠0）,其中二次项系数为_____，一次项系数为_____，
常数项为_____。
思维导图
复习巩固
一元一次方程的概念：只含有_______未知数（元），未知数最高次数是_____，等号两边都是________，这样的方程叫一元一次方程。
一元一次方程的一般形式：___________________________________。
1．下列方程中，是一元一次方程的是( )
x
A．x2−4x=3 B．3x−1=
2
C．x+2y=1 D．xy−3=5
2．如果方程ax|a+1|+3＝0是关于x的一元一次方程，则a的值为_____
新知探究
【问题1】正方形桌面的面积是 9 m2，求它的边长？
【问题2】有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个
正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作
的方盒的底面积为3600 cm2（蓝色部分）,那么铁皮各角应切去多大的
正方形?
【问题3】如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m。如果
梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
【问题4】要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排
7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
追问1：观察上述所列方程有什么共同点？
追问2：结合一元一次方程的概念，你发现了什么？
追问3：为什么a≠0。追问4：根据一元一次方程的解的概念，尝试总结一元二次方程的解的概念。
典例分析
例1：判断下列方程中,哪些是一元二次方程，若不是请说明原因?
1
(1)x2 + -5=0 (2)x3-3x+7=0 (3)x2 -2y+1=0 (4)ax2+bx+c=0 (5)4x2＋3x－2=(2x-1)2
x
针对训练：
1．下列方程中，一元二次方程有（ ）
1 x
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2− =4；④x2＝1；⑤x2− +3=0
x 3
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．根据下列问题,列出关于x的方程,并将其化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式:
(1)一个长方形的宽比长少3,面积是75,求长方形的长x;
(2)两个连续偶数的积为168,求较大的偶数x;
(3)一个直角三角形的两条直角边的长的和是20,面积是25,求其中一条直角边的长x.
例2：将下列方程化为一般形式，并判断二次项系数、一次项系数、常数项
1） 2）
3x(x−1)=5(x+2) 3x2+2x−6=2(x−3)
针对训练：例3：若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（ ）
A．a+b+c＝1 B．a﹣b+c＝0
C．a+b+c＝0 D．a﹣b﹣c＝0
针对训练：
1．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为_______________．
2.已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．
知识归纳
【问题】一元一次方程与一元二次方程有什么相同点与不同点？
当堂巩固
例4：关于x的方程（2a－4）x2－2x+a=0,
1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
例5：a为何值时，方程 为一元二次方程？
(a−1)x|a|+1−2x−7=0能力提高
1．已知关于x的方程(2k＋1)x2＋4kx＋k－1＝0，问：
（1）k为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）k为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．
2．简答题：
（1）当 为何值时，关于 的方程 是一元二次方程？
m x (m2−1)x2+mx−2=0
（2）已知关于 的一元二次方程 有一个根是0，求 的值．
x (m2−1)x2+mx−3−m=0 m
（3）在第（2）题中，如果要使已知方程有一个根是l，那么m应该等于什么数？
感受中考
1．（ 202 2 广东 14/2 3）若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a=____________．
2．（ 202 2 资阳市 14/2 4）若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是___________．
课堂小结
本节课学习，你有哪些收获和体会？还有什么疑惑？
1.简述一元二次方程的概念？
2.说出一元二次方程的一般形式？为什么二次项系数不能为0？3.一元一次方程与一元二次方程有什么相同点与不同点？
【参考答案】
核心知识
1. 一个、2、整式
2. ax2+bx+c=0、a、a、b、c
复习巩固
一个、1、整式
ax+b=0(a,b为常数，a≠0)
1.B
2.-2
新知探究
1.x2=9 2.x2−75x+350=0 3.x2＋12x-15＝0 4. x2−x=56
【追问1】共同点：①等号两边都是整式 ②只有一个未知数 ③未知数最高次数是2
【追问2】只含有一个未知数，未知数最高次数是2，等号两边都是整式，这类方程应该叫一元二次方程。
【追问3】二次项系数为0，方程为一元一次方程。
【追问4】使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫一元二
次方程的根。
典例分析
例1.1）-5）均不是一元二次方程。
1）分式方程 2）最高项系数为3 3）有两个未知数 4）a可能为0 5）化简后是一元一次方程
针对训练1.B 2.①x2-3x-75=0 ②x2-2x-168=0 ③x2-20x+50=0
例2.
1）一般式为：3x2−8x−10=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3、-8、-10。
2) 一般式为：3x2=0，二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3、0、0。
针对训练
例3.C
针对训练
1.x2-2x=0
2.【详解】依题意，得mn2−4n−5=0． ∴mn2−4n=5．
∵mn2−4n+m=6，∴5+m=6．∴m=1．
知识归纳
当堂巩固
例4.1）a≠2 2）a= 2
例5. 解：∵方程 为一元二次方程
(a−1)x|a|+1−2x−7=0
∴{a−1≠0 ，解得 {a≠1
：
|a|+1=2 a=±1
∴a=−1
能力提高
1. 解：（1）∵ 是关于x的一元一次方程，
(2k+1)x2+4kx+k−1=0{2k+1=0 1
∴ ，解得k=−
4k≠0 2
（2）∵ 是关于x的一元二次方程，
(2k+1)x2+4kx+k−1=0
1
∴2k+1≠0即k≠− ，
2
∴这个一元二次方程的二次项系数为2k+1，一次项系数为4k，常数项为k-1
2. 解：（1）∵关于 的方程 是一元二次方程，
x (m2−1)x2+mx−2=0
∴m2−1≠0，解得：m≠±1；
（2）∵关于 的一元二次方程 有一个根是0，
x (m2−1)x2+mx−3−m=0
∴将x=0代入 可得： ，解得：m=-3；
(m2−1)x2+mx−3−m=0 −3−m=0
（3）∵关于 的一元二次方程 有一个根是1，
x (m2−1)x2+mx−3−m=0
∴将x=1代入 可得： ，解得：m=±2.
(m2−1)x2+mx−3−m=0 m2−4=0
感受中考
1）1 2）6
课堂小结
1.一元二次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等号两边都是的整式方程叫做一
元二次方程。
2. ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是常数，a≠0)。若二次项系数为0，则方程为一元一次方程。
3.
