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21.1 一元二次方程 分层作业
基础训练
1．下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：A. ，当 时，是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. 是分式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，化简得 ，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
故选D．
2．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③ ；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x
﹣3）＝x2
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
③ 不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；
⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元
二次方程．
综上所述，一元二次方程共有2个．
故选：B．
3．已知关于x的方程 的一个根为 ，则实数m的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．【详解】解：关于x的方程 的一个根为 ，
所以 ，
解得 ．
故选：B．
4．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴ ，
解得：m=-2．
故选：C．
5．把方程x2+2x＝5（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，10
【详解】解：x2+2x＝5（x﹣2），
x2+2x＝5x﹣10，
x2+2x﹣5x+10＝0，
x2﹣3x+10＝0，
则a＝1，b＝﹣3，c＝10，
故选：D．
6．若 是关于x的一元二次方程，则a的值是（ ）
A． B． C．1 D．
【详解】解： 是关于x的一元二次方程，
，解得
，
故选：A．
7．已知关于 的方程 ，当 ________时，方程为一元二次方程．【详解】解：∵若方程 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
8．把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项．
(1)（2x﹣1）（3x＋2）＝x2＋2；
(2) ．
【详解】（1）化简后为5x2+x﹣4＝0，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为﹣4；
（2）化简后为2x2+6x+1＝0，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为1．
9．已知方程 ．
（1）当 为何值时，它是一元二次方程？
（2）当 为何值时，它是一元一次方程？
【详解】解：（1） 方程 为一元二次方程，
，
解得： ，
所以当 为 或 时，方程方程 为一元二次方程；
（2） 方程 为一元一次方程，
或 或m=0
解得， 或 ，m=0 ，
故当 为2或 时，方程方程 为一元一次方程．
10．根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x；（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长
x．
【详解】解：（1）依题意得，4x2＝25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x2−25＝0．
（2）依题意得，x（x−2）＝100，
化为一元二次方程的一般形式得，x2−2x−100＝0．
（3）依题意得， ，
化为一元二次方程的一般形式得， ．
能力提升
1．关于 的方程 必有一个根为（ ）
A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2
【详解】解：A、当 是， ，所以方程 必有一个根为1，所以A选项
正确；
B、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以B选项错
误；
C、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以C选项错
误；
D、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以D选
项错误.故选：A
2．若关于x的一元二次方程 的一个根是 ，则一元二次方程
必有一根为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【详解】解：对于一元二次方程 即 ，
设t＝x＋2，则可得 ，而关于x的一元二次方程 的一个根是 ，
所以 有一个根为t＝2022，
所以x＋2＝2022，
解得x＝2020，
所以一元二次方程 必有一根为x＝2020，
故选：A．
3．已知m为方程 的根，那么 的值为（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【详解】∵m为 的根据，
∴ ，且m≠0，
∴ ，
则有原式= ，
故选：B．
4．（1）若方程 是关于x的一元二次方程，求m的取值范围．
（2）如果 是方程 的一个根，求 的值．
【详解】解：（1）∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ 且 ；
（2）∵ 是方程 的一个根，
∴ ，即
∴ ．
拔高拓展1．已知m是方程式 的根，则式子 的值为________．
【详解】∵m是方程式 的根，
∴ ，
∴ ， ．
，
将 代入，得： ，
再将 代入，得： ．
故答案为：2020．
