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班级 姓名 学号 分数
第二十一章 一元二次方程(学霸加练卷)
(时间：60分钟，满分：100分)
一．选择题(本题共14小题，每小题3分，共42分。)
1．(2022春•沙坪坝区校级期末)关于 的多项式 ， ， 为任意实数，则下列结论
中正确的有 个．
①若 中不含 项，则 ；
②不论 取何值，总有 ；
③若关于 的方程 的两个解分别为 ， ，则实数 的最小值为 ；
④不论 取何值，关于 的方程 始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】 ， 中不含 项，则 ，可判
断①正确；举反例可判断 ②错误；由 ，得 ，可判断③正确；由
得 ，即 或 ，分别求出△的值
可判断④正确．
【解答】解： ，
若 中不含 项，则 ，
，故①正确；
当 时， ， ，
此时 ，故②错误；
若关于 的方程 的两个解分别为 ， ，则 ，，
当 时， 的最小值是 ，故③正确；
由 得 ，
或 ，
由 得 ，
△ ，
有两个不相同的实数根，
由 得 ，
△ ，
有两个不同的实数根，
始终有4个不相同的实数解，
故④正确，
正确的有①③④，共3个，
故选： ．
【点评】本题考查整式的加减及一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系
数的关系．
2．(2022•启东市二模)若关于 的一元二次方程 的一个根是 ，则一元二次方程
必有一根为
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【分析】一元二次方程 变形为 ，由于关于 的一元二次方
程 的一个根是 ，则关于 的一元二次方程 的一个
根是 ，于是可判断一元二次方程 必有一根为2020．【解答】解：一元二次方程 变形为 ，
所以此方程可看作关于 的一元二次方程，
因为关于 的一元二次方程 的一个根是 ，
所以关于 的一元二次方程 的一个根是 ，
即 ，
解得 ，
所以一元二次方程 必有一根为2020．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
3．(2022•遂宁)已知 为方程 的根，那么 的值为
A． B．0 C．2022 D．4044
【分析】将方程的根代入方程，化简得 ，将代数式变形，整体代入求值即可．
【解答】解： 为方程 的根，
，
，
原式
．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将 整体代入代数式求值是解题的关键．
4．(2022•自贡模拟)设 为一元二次方程 较小的根，则
A． B． C． D．
【分析】利用配方法解方程得到 ， ，然后对各选项进行判断．
【解答】解： ，
，
，
，
， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
5．(2022春•温州期中)《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如 的方程的正数解，方法
为：如图，将四个长为 ，宽为 的长方形纸片(面积均为 拼成一个大正方形，于是大正方形的面积
为： ，边长为11，故得 的正数解为 ．小明按此方法解关于 的方
程 时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为12，小正方形的面积为4，则方程的正数
解为A． B． C． D．
【分析】把方程变形得到 ，设图中长方形的长为 ，宽为 ，则图中小正方形的边长
为 ，大正方形的边长为 ，解得 ，然后计算 即可．
【解答】解： ，
，
图中长方形的长为 ，宽为 ，
图中小正方形的边长为 ，
大正方形的边长为 ，
，
故选： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
6．(2022•城厢区模拟)已知两个不同的一元二次方程的判别式分别为△ ，△ ，下列判断正确的是
A．若△ △ ，则一定两个方程都有解
B．若△ △ ，则一定有一个方程无解
C．若△ △ ，则有且只有一个方程有解D．若△ △ ，则至少有一个方程有解
【分析】利用有理数的运算，根据各选项的条件判断△ 与△ 与0的关系，然后根据根的判别式的意义判
断方程根的情况，从而得到正确的选项．
【解答】解： ．若△ △ ，则△ 和△ 中一定有一个大于0，所以两个方程一定有一个有解，所以
选项不符合题意；
．若△ △ ，则△ 和△ 可能都大于0，所以两个方程可能都有解，所以 选项不符合题意；
．若△ △ ，则△ 和△ 中有一个大于0，一个小于0，所以两个方程有且只有一个方程有解，所
以 选项符合题意；
．若△ △ ，则△ 和△ 中可能都小于0，所以两个方程可能都没有实数解，所以 选项不符合
题意；
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数
根．
7．(2022•邯郸模拟)关于 的一元二次方程 根的情况，下列判断正确的是
A．因为 可以取不同实数，因此方程可能有两个不相等的实数根，或两个相等的实数根，也可能无实
数根
B．当 时，方程变为 ，而 有两个不相等实数根，因此 有两个
不相等的实数根
C．方程总有两个实数根
D．当 时，方程变为 ，而 有两个相等实数根，因此
有两个相等的实数根
【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由判别式可知：△ ，
方程总有两个实数根，
故选： ．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
8．(2022•鄂尔多斯)下列说法正确的是
①若二次根式 有意义，则 的取值范围是 ．
② ．
③若一个多边形的内角和是 ，则它的边数是5．
④ 的平方根是 ．
⑤一元二次方程 有两个不相等的实数根．
A．①③⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．①②④
【分析】根据二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形的内角和定理，
根的判别式判断即可．
【解答】解：①若二次根式 有意义，则 ，解得 ．
故 的取值范围是 ，题干的说法是错误的．
② ，故题干的说法是错误的．
③若一个多边形的内角和是 ，则它的边数是5是正确的．
④ 的平方根是 ，故题干的说法是错误的．
⑤ △ ，
一元二次方程 有两个不相等的实数根，故题干的说法是正确的．
故选： ．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与△ 有如下关系：当
△ 时，方程有两个不相等的实数根；当△ 时，方程有两个相等的实数根；当△ 时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件、估算无理数的大小、算术平方根、平方根和多边形．
9．(2022春•濮阳期末)将4个数 ， ， ， 记成 ：定义 ．则方程 的
根的情况为
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新定义的运算得出一元二次方程，再利用根的判别式进行判断其根的情况即可．
【解答】解： ，
，
即 ，
△ ，
故原方程没有实数根．
故选： ．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确运用根的判别式，本题属于基础题型．
10．(2022春•宝应县期末)定义新运算“※”：对于实数 、 、 、 ，有 ， ※ ， ，
其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如： ， ※ ， ．若关于 的方程
， ※ ， 有两个实数根，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
【分析】由新定义的运算，可得到关于 的一元二次方程，再利用根的判别式进行求解即可．
【解答】解： ， ※ ， ，
，整理得： ，
方程有两个实数根，
△ ， ，
解得： ， ，
故选： ．
【点评】本题主要考查根的判别式，解答的关键是正确运用根的判别式．
11．(2022•西藏)已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是
A． B． C． 且 D． 且
【分析】利用一元二次方程有实数根的条件得到关于 的不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解： 关于 的一元二次方程 有实数根，
，
解得： 且 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，利用已知条件得到关于 的不等式组是解题的关键．
12．(2022春•雨花区校级期末)对于一元二次方程 ，有下列说法：①若 ，
则方程 必有一个根为 1；②若方程 有两个不相等的实根，则方程
必有两个不相等的实根；③若 是方程 的一个根，则一定有
成立．其中正确的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求
根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【解答】解：①当 时， ，所以方程 必有一个
根为 ，故①错误．
②方程 有两个不相等的实根，则 ，那么 ，故方程 必有
两个不相等的实根，故②正确．
③由 是方程 的一个根，得 ．当 ，则 ；当 ，则
不一定等于0，故③不一定正确．
故选： ．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次
方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
13．(2022春•大渡口区期末)阅读材料：我们把形如 的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方
式的方法叫做配方法．配方法的基本形式就是完全平方公式的逆写．即 例如：
是 的三种不同形式的配方，则下列说法正确的个数是
① 和 都是 不同形式的配方
② 是完全平方式，则 的值为3
③ 有最小值，最小值为2
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】①各式化简得到结果，比较即可作出判断；
②利用完全平方公式的结构特征判断即可；
③原式配方后，求出最小值，即可作出判断．
【解答】解：① 和 都是 不同形式的配方，符合题意；
② 是完全平方式，则 或 ，即 或 ，不符合题意；③原式 ，当 时，取得最小值，最小值为2，符合题意．
故选： ．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．(2022春•两江新区期末)已知 ， ，下列结论正确的个数为
①若 是完全平方式，则 ；
② 的最小值是2；
③若 是 的一个根，则 ；
④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①利用完全平方式的定义求解；
②利用整式的加减运算和配方法求解；
③利用求根公式和完全平方公式求解；
④利用完全平方公式求解．
【解答】解：① 是完全平方式，
，故结论正确；
②
，
而 ，
，
的最小值是2，故结论正确；
③ ，
把 代入 ，得 ，即 ，
解得 ，
当 时， ，
；
当 时， ，
；
故结论错误；
④
，
；故结论错误；
故选 ．
【点评】本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难．
二．填空题(本题共4小题，每小题3分，共12分。)
15．(2022•鼓楼区校级模拟)若 是方程 的根，则代数式 的值是 202 3 ．
【分析】利用一元二次方程解的定义得到 ，可得 ，然后利用整体代入的方法计算代
数式的值．
【解答】解： 是方程 的根，
，，
．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
16．(2022•连云港)若关于 的一元二次方程 的一个解是 ，则 的值是 1
．
【分析】把 代入方程 得到 ，然后求得 的值即可．
【解答】解：把 代入方程 得 ，
解得 ．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
17．(2022•定远县模拟)一元二次方程 的两根分别为 和 ，那么将 分解因
式的结果为 ．
【分析】先利用根与系数的关系得到 ， ，则可求出 、 的值，然后对 进行分
解即可．
【解答】解：由根与系数的关系可知： ， ，
即 ， ，， ，
．
故答案为 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了因式分解．
18．(2022•日照)关于 的一元二次方程 有两个不同的实数根 ， ，且 ，则
．
【 分 析 】 根 据 根 与 系 数 的 关 系 得 到 ， ， 再 由 变 形 得 到
，即可得到 ，然后解此方程即可．
【解答】解：根据题意得 ， ，
，
，
，
， ，
△ ，
或 时，
不合题意，故答案为： ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．
三．解答题(本题共9小题，共46分。)
19．(2022春•亭湖区校级期末)解方程：
(1) ；
(2) ．
【分析】(1)先把方程的左边分解因式，再得到两个一次方程，再解一次方程即可；
(2)先把方程化为 ，再把左边分解因式，再解方程即可．
【解答】解：(1)解： ，
，
或 ，
解得： ， ；
(2)
整理得： ，
，
或 ，
解得： ， ．
【点评】本题考查了利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“因式分解法和解方程的基本步骤”是解
本题的关键．
20．(2022春•泰安期末)按照指定方法解下列方程：(1) (公式法)；
(2) (配方法)；
(3) (因式分解法)．
【分析】(1)方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可；
(2)方程利用配方法求出解即可；
(3)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：(1)方程整理得： ，
这里 ， ， ，
△ ，
，
解得： ， ；
(2)方程整理得： ，
配方得： ，即 ，
开方得： ，
解得： ， ；
(3)方程整理得： ，
分解因式得： ，
所以 或 ，
解得： ， ．
【点评】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题
的关键．21．(2022春•濮阳期末)已知关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为 ， ．且 ，求 的值．
【分析】(1)根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出 的范围即可；
(2)已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出 的值．
【解答】解：(1) 关于 的一元二次方程 有实数根，
△ ，即 ，
整理得： ，
解得： ；
(2) 该方程的两个实数根分别为 ， ，
， ，
，
，即 ，
整理得： ，即 ，
解得： (舍去)或 ，
则 的值为 ．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．(2022春•高邮市期末)已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：无论 取何值，此方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两根都是整数，求整数 的值．
【分析】(1)先计算判别式得值得到△ ，然后根据非负数的性质得到△ ，
则根据判别式的意义即可得到结论；(2)先理由求根公式得到 的解为 ， ，则二次函数
的图象与 轴两个交点的横坐标分别为 和 ，然后根据整数的整除性可确
定整数 的值．
【解答】解：(1)证明：△
，
，
△ ，
无论 取何值，方程总有两个实数根；
(2)解：
，
， ，
所以二次函数 的图象与 轴两个交点的横坐标分别为 和 ，
根据题意得 为整数，
所以整数 为 ．
【点评】本题考查了一元二次方程 的根的判别式△ ：当△ ，方程有两
个不相等的实数根；当△ ，方程有两个相等的实数根；当△ ，方程没有实数根．也考查了抛物线与
轴的交点．
23．(2022春•泰安期末)“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌
学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学
习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已
知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定
为多少元？【分析】设每台学习机售价为 元，则每台学习机的销售利润为 元，每台可售出 台，利
用商店每天销售该品牌学习机获得的利润 每台的销售利润 日销售量，即可得出关于 的一元二次方程，
解之即可得出结论．
【解答】解：设每台学习机售价为 元，则每台学习机的销售利润为 元，每天可售出
台，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元或1700元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．(2022春•濮阳期末)今年四、五月份，班家小镇采摘园的桑葚喜获丰收，市场调查发现，当桑葚的批发
价为16元 千克时，每天销量是300千克；若批发单价每降价2元，每天的销售量将增加120千克．因为
桑葚的保质期比较短，桑葚种植户班师傅决定降价促销，同时尽量增加销售量，已知该品种桑葚的成本价
为5元 千克，若班师傅每天获利3780元，则降价后批发价为每千克多少元？
【分析】设售价应降低 元，则每天可售出 千克，根据总利润 每千克的利润 销售数量，即
可得出关于 的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设售价应降低 元，则每天可售出 千克，由题意得，
，
解得 ， ，
桑葚种植户班师傅决定降价促销，同时尽量增加销售量，
舍去，
则降价后批发价为每千克 (元 ，
答：价后批发价为每千克12元．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．(2022春•诸暨市期末)有一块长 ，宽 的矩形铁皮．
(1)如图1，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为 的无盖长方体盒
子，求裁去的正方形的边长．
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图 2的裁剪方案，阴
影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若剩余部分恰好能折成一个底面积为
的有盖盒子，请你求出裁去的左侧正方形的边长．
【分析】(1)设裁去的正方形边长为 ，则折成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，
根据折成无盖长方体盒子的底面面积为 ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值
即可得出结论；
(2)设裁去的左侧正方形的边长为 ，则折成有盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，
根据折成有盖长方体盒子的底面面积为 ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值
即可得出结论．
【解答】解：(1)设裁去的正方形边长为 ，则折成无盖长方体盒子的底面长为 ，宽为
，
依题意得： ，整理得： ，
解得： ， (不合题意，舍去)．
答：裁去的正方形边长为 ．
(2)设裁去的左侧正方形的边长为 ，则折成有盖长方体盒子的底面长为 ，宽为 ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， (不合题意，舍去)．
答：裁去的左侧正方形的边长为 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．(2022春•桐城市期末)随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年
第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
(1)求前三季度销售量的平均增长率．
(2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆 季度，若每增加1条生产线，
每条生产线的最大产能将减少200辆 季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，
投入成本越大)，应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请
说明理由．
【分析】(1)设前三季度销售量的平均增长率为 ，利用第三季度的销售量 第一季度的销售量 前三季
度销售量的平均增长率) ，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)①设应该再增加 条生产线，则每条生产线的最大产能为 辆 季度，根据每季度生产电动
汽车2.6万辆，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合要节省投入成本，即可得
出应该再增加4条生产线；②不能，设应该再增加 条生产线，则每条生产线的最大产能为 辆 季度，根据每季度生产
电动汽车6万辆，即可得出关于 的一元二次方程，由根的判别式△ ，可得出该方程没有实数根，
即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【解答】解：(1)设前三季度销售量的平均增长率为 ，
依题意得： ，
解得： ， (不合题意，舍去)．
答：前三季度销售量的平均增长率为 ．
(2)①设应该再增加 条生产线，则每条生产线的最大产能为 辆 季度，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又 要节省投入成本，
．
答：应该再增加4条生产线．
②不能，理由如下：
设应该再增加 条生产线，则每条生产线的最大产能为 辆 季度，
依题意得： ，
整理得： ，
△ ，
该方程没有实数根，
即不能通过增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一
元二次方程；(2)①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②牢记“当△ 时，方程无实数根”．27．(2022春•岑溪市期末)新冠病毒肆虐全球，我国的疫情很快得到了控制，并且研发出安全性、有效性均
非常高的疫苗．2021年七月，国家发布通知， 岁未成年人也可接种新冠疫苗．随着全国各地疫苗需
求量的急剧增加，经调查发现，北京生物制药厂现有 1条生产线最大产能是42万支 天，若每增加1条生
产线，每条生产线的最大产能将减少 2万支 天，现该厂要保证每天生产疫苗144万支，在既增加产能同
时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
【分析】设应该增加 条生产线，则每条生产线的最大产能为 万支 天，根据要保证每天生产疫
苗144万支，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合要节省投入，即可得出应该
增加3条生产线．
【解答】解：设应该增加 条生产线，则每条生产线的最大产能为 万支 天，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
又 要节省投入，
．
答：应该增加3条生产线．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
