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第二十一章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2y+1＝0 B．3y2﹣2＝3（y2﹣2y）
2
C．ax2+bx+c＝0（a≠0） D．x−4=
x
【答案】C
【解答】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下：
A．含有2个未知数，不是一元二次方程，故原说法不正确，不符合题意；
B．方程整理后是一元一次方程，故原说法不正确，不符合题意；
C．是一元二次方程，故原说法正确，符合题意；
D．不是整式方程，故原说法不正确，不符合题意；
故选：C．
2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+m2﹣4＝0的常数项为0，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
【答案】A
【解答】解：由条件可知m2﹣4＝0且m≠2，
∴m＝﹣2．
故选：A．
3．若关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m≥1 D．m≥﹣1
【答案】D
【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m+1有实数根，
∴m+1≥0，
解得：m≥﹣1，
故选：D．
2±❑√4−4×3×(−1)
4．若x= 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则a+b+c＝（ ）
2×3
A．﹣2 B．4 C．2 D．0
【答案】D【解答】解：由题意，a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴a+c+c＝3﹣2﹣1＝0，
故选：D．
5．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx＝c（ac≠0）的一个实数根为2025，则方程cx2+bx＝a（ac≠0）一定
有实数根（ ）
1 1
A．1 B．− C．﹣2025 D．
2025 2025
【答案】D
【解答】解：由条件可知20252a﹣2025b＝c，
b c 1 2 1
∴a− = ，即c( ) + b=a，
2025 20252 2025 2025
1
∴x= 是方程cx2+bx＝a（ac≠0）的实数根．
2025
故选：D．
6．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k﹣1＝0没有实数根，则直线y＝kx+3不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解答】解：根据题意得Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣k﹣1）＜0，解得k＜﹣2，
∴一次函数y＝﹣2x+3的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
7．初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相
赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组
的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（ ）
1
A． x(x−1)=306 B．x（x﹣1）＝306
2
1
C． x(x+1)=306 D．x（x+1）＝306
2
【答案】B
【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）张卡片，
由题意得：x（x﹣1）＝306，
故选：B．
8．关于x的方程x2﹣2mx+m2＝4的两个根x ，x 满足x ＝2x +3，且x ＞x ，则m的值为（ ）
1 2 1 2 1 2
A．﹣3 B．1 C．3 D．9【答案】C
【解答】解：∵x2﹣2mx+m2＝4，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x ＞x ，
1 2
∴x ＝m+2，x ＝m﹣2，
1 2
∵x ＝2x +3，
1 2
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
9．换元法是一种重要的转化方法，如：解方程x4﹣5x2+6＝0，设x2＝a，原方程转化为a2﹣5a+6＝0．已知
m，n是实数，满足（m2﹣2m）2+4m2﹣8m+6﹣n＝0，则n的取值范围是（ ）
A．n≤0 B．n≥4 C．n≥2 D．n≥3
【答案】D
【解答】解：∵（m2﹣2m）2+4m2﹣8m+6﹣n＝0，
∴（m2﹣2m）2+4（m2﹣2m）+6﹣n＝0，
设m2﹣2m＝b，
∴b+1＝（m﹣1）2，
∵（m﹣1）2≥0，
∴b+1≥0，
原方程可化为b2+4b+6﹣n＝0，
∴n﹣2＝（b+2）2，
∵（b+2）2≥1，
∴n﹣2≥1，
∴n≥3，
故选D．
m+5n 4
10．已知m，n是一元二次方程x2+4x+c＝0的两个根，且 − =2，则c的值是（ ）
mn m
A．﹣8 B．﹣2 C．2 D．8
【答案】B
【解答】解：由条件可知m+n＝﹣4，mn＝c，m+5n 4 m+5n−4n m+n −4
∴ − = = = =2，
mn m mn mn c
解得c＝﹣2，
经检验：c＝﹣2是原方程的解，
故选：B．
11．已知A＝x2+6x+n2，B＝2x2+4x+n2，下列结论正确的是（ ）
A．B﹣A的最大值是0 B．B﹣A的最小值是﹣1
C．当B＝2A时，x为正数 D．当B＝2A时，x为负数
【答案】B
【解答】解：∵B﹣A＝（2x2+4x+n2）﹣（x2+6x+n2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
∴B﹣A的最小值为：﹣1，
当B＝2A时，2x2+4x+n2＝2（x2+6x+n2），
n2
解得：x=− ，
8
∵n2≥0，
∴x≤0，
故选：B．
12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s
的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两
点同时出发，设出发时间为t s．有下列结论：①当t＝2s时，PQ=8❑√2mm；②△PBQ的面积可以为
35mm2；③t＝1s时的四边形APQC的面积大于t＝5s时的四边形APQC的面积．其中，正确结论的是
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：①当t＝2s时，AP＝2×2＝4（mm），BQ＝4×2＝8（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣4＝8
（mm），
∴PQ 8 （mm），结论①正确；
=❑√BP2+BQ2=❑√82+82= ❑√2②假设△PBQ的面积可以为35mm2，
当运动时间为t s时，AP＝2t mm，BQ＝4t mm，BP＝AB﹣AP＝（12﹣2t）（mm），
1
根据题意得： BP•BQ＝35，
2
1
即 （12﹣2t）•4t＝35，
2
整理得：4t2﹣24t+35＝0，
5 7
解得：t = ，t = ，
1 2
2 2
∴假设成立，
∴△PBQ的面积可以为35mm2，结论②正确；
③当t＝1s时，AP＝2×1＝2（mm），BQ＝4×1＝4（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣2＝10（mm），
1 1
∴S四边形APQC ＝S△ABC ﹣S△PBQ = ×12×24− ×10×4＝124（mm2），
2 2
当t＝5s时，AP＝2×5＝10（mm），BQ＝4×5＝20（mm），BP＝AB﹣AP＝12﹣10＝2（mm），
1 1
∴S四边形APQC ＝S△ABC ﹣S△PBQ = ×12×24− ×2×20＝124（mm2），
2 2
∵124＝124，
∴t＝1s时的四边形APQC的面积等于t＝5s时的四边形APQC的面积，结论③不正确．
综上所述，正确的结论是2个．
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．把方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x﹣m）2＝n的形式，则m+n的值是 5 ．
【答案】5．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，
（x﹣1）2＝4，
∴m＝1，n＝4，
∴m+n＝5．
故答案为：5．
14．已知x＝1是关于x的一元二次方程 的解，则m﹣1+a的值为 1 ．
(m+2)xm2−2−3x−2a=0【答案】1．
【解答】解：由题意得：
{m+2≠0)，
m2−2=2
解得m＝2，
故关于x的一元二次方程为4x2﹣3x﹣2a＝0，
因为x＝1是关于x的一元二次方程 的解，
(m+2)xm2−2−3x−2a=0
所以4﹣3﹣2a＝0，
1
解得a= ，
2
1 1 1
所以m﹣1+a=2−1+ = + =1．
2 2 2
故答案为：1．
15．若x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，则 的值为 ﹣ 6 ．
1 2 x2x +x x2
1 2 1 2
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x ，x 是一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的两根，
1 2
∴x +x ＝1，x x ＝﹣6，
1 2 1 2
∴ x +x x x （x +x ）＝﹣6×1＝﹣6．
x2 2 1x2= 1 2 1 2
1 2
故答案为：﹣6．
16．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔 4月份到
6月份的销量，该品牌头盔4月份销售500个，6月份销售720个，且从4月份到6月份销售量的月增长
率相同．则该品牌头盔销售量的月增长率为 20% ．
【答案】20%．
【解答】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x ＝0.2＝20%，x ＝﹣2.2（不符合题意，舍去），
1 2
即该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
故答案为：20%．17．定义新运算：
xΘy=
{x−2y(x≥ y))，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1
x2+ y(x＜y)
＝17，则x的值为 ﹣ 4 或 1 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵ xΘy=
{x−2y(x≥ y))，xΘ1＝17，
x2+ y(x＜y)
∴当x≥1时，
xΘ1＝x﹣2×1＝17，
∴x＝19，
当x＜1时，
xΘ1＝x2+1＝17，
解得x＝4（舍去）或﹣4．
综上所述，x的值为﹣4或19．
故答案为：﹣4或19．
18．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，AB＝4，BE＝1，点F为正方形ABCD所在平面内一点，连接
FE，FD，FE＝BE，DF的最大值为 ，DF的最小值为b，则a2+2ab+b2的值为 10 0 ．
α
【答案】100．
【解答】解：由题意，如图，当DF所在直线过E时，可得DF的最大值与最小值．
∵AB＝AD＝4，BE＝1，
∴AE＝AB﹣BE＝3．
∴DE 5．
=❑√AD2+AE2=❑√42+32=∴DF的最小值为4，最大值为6．
∴a＝4，b＝6．
∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（4+6）2＝100．
故答案为：100．
三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（8分）用指定的方法解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）
（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）
（4）2x2﹣7x+3＝0（公式法）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）
x+2＝±5
∴x ＝3，x ＝﹣7．
1 2
（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）
（x+2）2＝9
x+2＝±3
∴x ＝﹣5，x ＝1；
1 2
（3）（x+2）2﹣10（x+2）+25＝0（因式分解法）
（x+2﹣5）2＝0
∴x ＝x ＝3；
1 2
（4）2x2﹣7x+3＝0（公式法），
Δ＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
7±5
x=
4
1
x ＝3，x = ．
1 2
2
20．（8分）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利
用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下：（1）若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与 （ n ﹣ 1 ） 个选手比赛一局，比赛总共有
1
n （ n ﹣ 1 ） 局；
2
（2）求这次比赛共有多少个选手参加？
1
【答案】（1）（n﹣1）， n(n−1)；
2
（2）这次比赛共有45个选手参加．
【解答】解：（1）由题意可知，若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与（n﹣1）个选手比赛
1
一局，比赛总共有 n（n﹣1）局，
2
1
故答案为：（n﹣1）， n(n−1)；
2
1
（2）设这次比赛共有n个选手参加，则比赛总共有 n（n﹣1）局，
2
1
依题意得： n(n−1)×2=1980，
2
整理得：n2﹣n﹣1980＝0，
解得：n ＝45，n ＝﹣44（不符合题意，舍去），
1 2
答：这次比赛共有45个选手参加．
21．（8分）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一
个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
（1）若（x+3）（x﹣m）＝0是“邻根方程”，求m的值．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并
说明理由．
【答案】（1）m＝﹣2，或m＝﹣4；
（2）b2﹣4c＝1．
【解答】解：（1）（x+3）（x﹣m）＝0，
∴x ＝﹣3，x ＝m，
1 2
∵方程是邻根方程，∴|﹣3﹣m|＝1，
∴﹣3﹣m＝±1，
∴m＝﹣2，或m＝﹣4；
（2）在x2+bx+c＝0中，
x +x ＝﹣b，x •x ＝c，
1 2 1 2
∵|x ﹣x |＝1，
1 2
∴ 4x x ＝b2﹣4c＝1．
(x −x ) 2=(x +x ) 2− 1 2
1 2 1 2
22．（8分）综合与实践
主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收
纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为x cm，用x的代数式表示收纳盒的底面ABCD的边BC，AB的长；
任务二：若收纳盒的底面积为600cm2，求该收纳盒的高．
【答案】（1）BC的长为（40﹣2x）cm，AB的长为（40﹣x）cm；
（2）该收纳盒的高为10cm．
【解答】解：任务一：∵长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cm，收纳盒的高为x cm，
80−2x
∴BC＝（40﹣2x）cm，AB= =（40﹣x）（cm），
2
答：该收纳盒的底面ABCD的边BC的长为30cm，AB的长为35cm；
任务二：设该收纳盒的高为x cm，则BC＝（40﹣2x）cm，AB＝（40﹣x）cm，
根据题意得：（40﹣x）（40﹣2x）＝600，
整理得：x2﹣60x+500＝0，
解得：x ＝10，x ＝50（不符合题意，舍去）．
1 2
答：该收纳盒的高为10cm．
23．（10分）某建筑公司承包了一项某旅游景点的改造工程，经公开招标，最终确定由甲和乙两个工程队
3
共同参与改造．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了4天，之后甲队和乙队又合作了12
4天，正好如期完成了整项工程的改造．
（1）求甲队单独完成整项工程需要多少天？
（2）工程改造结束后，正逢五一假期，该旅游景点为吸引游客，发售了代表该景点的特色套装纪念品
每套纪念品进价30元，为合理定价，发售前进行了市场调查，售价40元时，每天可卖800套，而售价
每涨3元，日销售量就减少60套，若想每天获利12000元，且售价不超过55元，那么该纪念品的售价
应为多少元？
【答案】（1）甲队单独完成整项工程需要25天；
（2）该纪念品的售价应为50元．
1 3
【解答】解：（1）设甲队单独完成整项工程需要x天，则甲队的工作效率为 ，乙队的工作效率为 ，
x 4x
4 1 3
由题意得： +12（ + ）＝1，
x x 4x
解得：x＝25，
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意，
答：甲队单独完成整项工程需要25天；
m−40
（2）设该纪念品的售价应为m元，则每套利润为（m﹣30）元，每天销售[800− ×60]套，
3
m−40
由题意得：（m﹣30）[800− ×60]＝12000，
3
整理得：m2﹣110m+3000＝0，
解得：m＝50，m ＝60（不符合题意，舍去），
2
答：该纪念品的售价应为50元．
24．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根．
（1）求实数m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根分别为 x ，x ，设 ，求y关于m的函数关系式．点（a，
1 2 y=(x −x ) 2+5
1 2
y ），（4﹣a，y ）为其图象上两点，已知y ＜y ，求整数a的值．
1 2 1 2
3
【答案】（1）m≥ ；
4
（2）a＝1．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0有实数根，
∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝4m﹣3≥0，3
解得：m≥ ，
4
3
∴实数m的取值范围为m≥ ；
4
（2）∵x ，x 是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m+1＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2m﹣1，x x ＝m2﹣2m+1，
1 2 1 2
∴y＝（x ﹣x ）2+5＝（x +x ）2﹣4x x +5＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2m+1）+5＝4m+2，
1 2 1 2 1 2
∵4＞0，
∴y随m的增大而增大，
3
∵点（a，y ），（4﹣a，y ）为其图象上两点，且y ＜y ，m≥ ，
1 2 1 2
4
3
∴ ≤a＜4﹣a，
4
3
∴ ≤a＜2，
4
又∵a为整数，
∴a＝1，
∴整数a的值为1．
25．（10分）关于x的一元二次方程（ax﹣1）2＝x有两个实数根x ，x ．
1 2
（1）求实数a的取值范围．
1 1
（2）求代数式( −1)( −1)的最大值或最小值．
x x
1 2
1
【答案】（1）a≥− ，且a≠0；
4
（2）y最小＝﹣1．
【解答】解：（1）由条件可得a2x2﹣（2a+1）x+1＝0．
∵有两个实数根x ，x ，
1 2
Δ＝（2a+1）2﹣4a2
＝4a+1≥0，
1
∴a≥− ，
4
同时，二次系数a2≠0，即a≠0，
1
∴a的取值范围为a≥− ，且a≠0；
42a+1 1
（2）由根系关系，得x +x = ，x x = ．
1 2 a2 1 2 a2
1 1 1 1 1
∴令y=( −1)( −1)= − − +1
x x x x x x
1 2 1 2 1 2
1 x +x
= − 1 2+1
x x x x
1 2 1 2
＝a2﹣2a﹣1+1
＝a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1．
当a＝1时，y最小＝﹣1．
26．（10分）阅读材料：
转化思想是常用的数学思想之一，在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的
问题来解决，例如，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，把它转
化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，
所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，
把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 x3+x2﹣2x＝0，可以通过因
式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
2
（1）问题：方程6x3+14x2﹣12x＝0的解是：x ＝0，x ＝ ﹣ 3 ，x ＝ ；
1 2 3
3
（2）拓展：用“转化”思想求方程❑√2x+3=x的解；
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝21m，宽AB＝8m，点P在AD上（AP＞PD），小华
把一根长为27m的绳子一段固定在点B，把长绳PB段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好
落在点C，求AP的长．
2
【答案】（1）﹣3， ；（2）x＝3；（3）15m．
3
【解答】解：（1）方程6x3+14x2﹣12x＝0的左边因式分解，得：
2x（3x2+7x﹣6）＝0，
∴2x＝0或3x2+7x﹣6＝0，2
∴x ＝0，x ＝﹣3，x = ；
1 2 3
3
2
故答案为：﹣3； ；
3
（2）方程❑√2x+3=x的两边平方，得：
2x+3＝x2，
即x2﹣2x﹣3＝0，
∴x ＝3，x ＝﹣1，
1 2
经检验，当x＝﹣1时，❑√2x+3=❑√1=1，因此﹣1不是原方程的解，
∴方程❑√2x+3=x的解是：x＝3；
（3）设AP＝x m，则PD＝（21﹣x）m，
∵BP+CP＝27，BP ，CP ，
=❑√AP2+AB2 =❑√CD2+PD2
∴ 27．
❑√82+x2+❑√(21−x) 2+82=
∴ 27 ．
❑√(21−x) 2+82= −❑√82+x2
∴x2﹣21x+90＝0，
∴x ＝15，x ＝6．
1 2
经检验，x ＝15，x ＝6都是方程的解，
1 2
∵AP＞PD，
∴x＝6，不合题意，舍去．
答：AP的长为15m．
