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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中必刷真题03（解答易错60道提升练，七下人教）
一．解答题（共60小题）
1．（2022春•黔东南州期中）将下列各数填入相应的集合内：﹣7，0.32， ， ， ， ， ，
0.1010010001…． π
（1）有理数集合： ﹣ 7 ， 0.3 2 ， ， 0 ， ；
（2）无理数集合： ， ， ， 0.101001000 1 … ；
π
（3）整数集合： ﹣ 7 ， ．
【分析】根据有理数的意义（有理数是指有限小数或无限循环小数）填上即可；根据无理数的意义（无
理数是指无限不循环小数）判断即可；分数包括有限小数和无限循环小数和分数）判断即可．
【详解】解：①有理数集合{﹣7，0.32， ， }
②无理数集合{ ， ， ，0.1010010001…}
π
③整数集合{﹣7， }，
故答案为：﹣7，0.32， ， ； ， ， ，0.1010010001…；﹣7， ．
【点睛】本题考查了对实数，无理数，有理数，分π数的应用，注意：有理数是指有限小数或无限循环小
数，无理数是指无限不循环小数，分数包括有限小数和无限循环小数和分数．
2．（2022春•红花岗区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）4（x+1）2＝49；
（2）（3x﹣1）3+64＝0．
【分析】（1）直接利用平方根的定义开平方求出答案；
（2）直接利用立方根的定义开立方求出答案．
【详解】解：（1）（x+1）2﹣49＝0
移项得：（x+1）2＝49，
开平方得：x+1＝±7，解得：x＝6或x＝﹣8；
（2）（3x﹣1）3+64＝0
移项得：（3x﹣1）3＝﹣64，
开立方得：3x﹣1＝﹣4，
解得：x＝﹣1．
【点睛】此题主要考查了平方根以及立方根的定义，正确把握相关定义解方程是解题关键．
3．（2022秋•永善县期中）（1）计算： ﹣（﹣1）2021 ﹣|1﹣ |；
（2）解方程：4x2﹣9＝0．
【分析】（1）利用立方根，乘方运算，算术平方根，绝对值计算；
（2）移项，开平方，求解即可．
【详解】解：（1） ﹣（﹣1）2021 ﹣|1﹣ |
＝2+1+3﹣（ ﹣1）
＝6﹣ +1
＝7﹣ ；
（2）4x2﹣9＝0，
4x2＝9，
x2＝ ，
x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【点睛】本题考查了实数的运算，开平方，解题的关键是掌握实数的运算法则．
4．（2022春•青秀区校级期中）已知正数x的两个不等的平方根分别是2a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣
3，c是 的整数部分．
（1）求x和b的值；
（2）求a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）根据平方根的意义求出a，从而求出x的值，根据立方根求出b．
（2） 的范围在4到5之间，求出c，从而求出a﹣b+c 的平方根．
【详解】解：（1）∵x的平方根是2a﹣14和a+2，
∴（2a﹣14）+（a+2）＝0，
∴2a﹣14+a+2＝0，∴a＝4．
∴2a﹣14＝﹣6，a+2＝6，
∴x＝36．
∵b+1的立方根为﹣3，
∴b+1＝﹣27，
∴b＝﹣28．
故x的值为36，b的值为﹣28．
（2）∵4＜ ＜5，
∴c＝4．
a﹣b+c
＝4﹣（﹣28）+4
＝4+28+4
＝36．
∴± ＝± ＝±6．
【点睛】本题考查的是平方根与无理数大小的比较，正数的平方根有两个，且互为相反数是解题的关键．
5．（2022秋•锦江区校级期中）已知3a+b﹣1的平方根是±3，c是 的整数部分，求6a+2b﹣c2的值．
【分析】先根据平方根的意义及 的整数部分求出3a+b与c的值，再代入求值即可．
【详解】解：∵3a+b﹣1的平方根是±3，
∴3a+b﹣1＝9．
∴3a+b＝10．
∵ ＜ ＜ ，
∴3＜ ＜4．
∵c是 的整数部分，
∴c＝3．
∴6a+2b﹣c2
＝2（3a+b）﹣32
＝2×10﹣9
＝20﹣9
＝11．
【点睛】本题主要考查了整式的求值，掌握平方根的意义，会估算 是解决本题的关键．6．（2022春•开封期中）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+ 的平方根．
【分析】（1）根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；
（2）求出代数式2a﹣b+ 的值，再求这个数的平方根．
【详解】解：（1）∵3a+1的立方根是﹣2，
∴3a+1＝﹣8，
解得，a＝﹣3，
∵2b﹣1的算术平方根是3，
∴2b﹣1＝9，
解得，b＝5，
∵ ＜ ＜ ，
∴6＜ ＜7，
∴ 的整数部分为6，
即，c＝6，
因此，a＝﹣3，b＝5，c＝6，
（2）当a＝﹣3，b＝5，c＝6时，
2a﹣b+ ＝﹣6﹣5+ ×6＝16，
2a﹣b+ 的平方根为± ＝±4．
【点睛】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正
确解答的前提．
7．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环
小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（ ）2＜22，∴1＜ ＜2．于是可以用
﹣1来表示 的小数部分，又例如：∵22＜（ ）2＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分是2，
小数部分是 ﹣2．请解答下列问题：
（1） 的整数部分是 4 ，小数部分是 ﹣ 4 ．（2）已知a是3+ 的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；
（2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：（1）∵4＜ ＜5，
∴ 的整数部分是4，小数部分是 ﹣4；
故答案为：4， ﹣4；
（2）∵2＜ ＜3，
∴5＜3+ ＜6，
∴3+ 的整数部分a＝5，小数部分b＝3+ ﹣5＝ ﹣2，
∴a﹣b＝5﹣（ ﹣2）＝7﹣ ．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2022秋•房山区期中）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，
B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如
图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”
（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ 6 ；
（2）若点D为点A，B的“ 节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为 ± 2 ；
（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的 倍，
且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．
【分析】（1）根据新定义求解；
（2）设未知数，根据新定义列方程求解；
（3）先求点E表示的数，再计算n的值．
【详解】解：（1）AC+BC＝（﹣2+3）+（2+3）＝6，
故答案为：6；
（2）设D表示的数为x，
则|x+2|+|x﹣2|＝4 ，解得：x＝±2 ，
故答案为：±2 ；
（3）设E点表示的数是y，
则：|﹣2﹣y|＝ |2﹣y|，
解得：y＝6 ，
当y＝6+4 时，
n＝AE+BE＝8+4 +4+4 ＝12+8 ，
当y＝6﹣4 时，
n＝AE+BE＝8﹣4 +4 ﹣4＝4．
【点睛】本题考查了数轴和实数，方程思想是解题的关键．
9．（2022秋•南溪区期中）观察如图1所示图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是 13 ，边长是 ，并在数轴上（图2）准确地作出表示阴影
正方形边长的点．
（2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为 的整数部分，
求：①x，y的值：
②（x+y）2的算术平方根．
【分析】（1）根据勾股定理求出阴影部分的边长的平方即可，进而求出边长；
（2）根据算术平方根的定义估算无理数 的大小，确定x、y的值，再代入计算即可．
【详解】解：（1）设阴影部分正方形的边长为a，由网格构造直角三角形可得，
a2＝22+32，
即a2＝13，
∴a＝ ，
∴阴影部分的面积为13，
故答案为：13， ；
（2）①∵3＜ ＜4，∴ 的小数部分为 ﹣3，
即x＝ ﹣3，
又∵3＜ ＜4，
∴ 的整数部分是3，
即y＝3，
在数轴上表示 如图所示：
答：x＝ ﹣3，y＝3；
②当x＝ ﹣3，y＝3时，
（x+y）2＝（ ﹣3+3）2＝13．
所以（x+y）2的算术平方根为 ．
【点睛】本题考查估算无理数的大小以及平方根、算术平方根，掌握算术平方根的定义是解决问题的关
键．
10．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知 +7的小数部分是a，7﹣ 的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+ 的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣ 的整数部分用c表示，小数部分用d表
示，求ab﹣cd的值．
【分析】（1）由4＜7＜9，得出2＜ ＜3，确定 +7的小数部分，可得a的值，然后确定用7﹣
的小数部分，可得b的值，把a、b值代入代数式a+b中计算即可；
（2）同理估算 的大小，确定a，b，c，d的值，代入所求式计算即可．
【详解】解：（1）∵4＜7＜9，
∴2＜ ＜3，
∴9＜ +7＜10，4＜7﹣ ＜5，
∴ +7的整数部分是9，小数部分a＝ +7﹣9＝ ﹣2，7﹣ 的小数部分是7﹣ ﹣4＝3﹣
，∴a＝ ﹣2，b＝3﹣ ，
∴a+b＝ ﹣2+3﹣ ＝1；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜ ＜2，
∴6＜5+ ＜7，1＜3﹣ ＜2，
∴a＝6，b＝5+ ﹣6＝ ﹣1，c＝1，d＝3﹣ ﹣1＝2﹣ ，
∴ab﹣cd＝6（ ﹣1）﹣1×（2﹣ ）＝6 ﹣6﹣2+ ＝7 ﹣8．
【点睛】本题考查的是估算无理数的大小，应从估算无理数 或 的范围入手．
11．（2022秋•海曙区期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4.1]＝4．
（1）则[11.8]＝ 1 1 ；[﹣11.9]＝ ﹣ 1 2 ；
（2）现对119进行如下操作：119 [ ]＝10 [ ]＝3 [ ]＝1，这样对119只需
进行3次操作后变为1．
①对15进行1次操作后变为 3 ，对200进行3次操作后变为 1 ；
②对实数m恰进行2次操作后变成1．则m最小可以取到 4 ；
③若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
【分析】（1）根据[a]的含义可得答案；
（2）①根据[a]的含义和无理数的估计可求．
②根据[a]的含义倒推m的范围，可以得出m最小值．
③根据[a]的含义求出这个数的范围，再求最大值．
【详解】解：（1）由题意得，[11.8]＝11；[﹣11.9]＝﹣12，
故答案为：11；﹣12；
（2）①对15进行1次操作后变为[ ]＝3；
200进行第一次操作：[ ]＝14，
第二次操作后：[ ]＝3，
第三次操作后：[ ]＝1，
故答案为：3；1；
②∵[x]＝1，
∴1≤x＜2，
∴1≤ ＜4，
∴1≤m＜16，∵操作两次，
∴ ≥2，
∴m≥4，
∴4≤m＜16，
∴m最小可以取到4；
故答案为：4；
③∵[x]＝1，
∴1≤x＜2，
∴1≤ ＜2，
∴1≤m＜4，
∴1≤ ＜16，
∴1≤m＜256．
∵3次操作，故m≥16．
∴16≤m＜256．
∵m是整数．
∴m的最大值为255．
【点睛】本题考查取整函数及估算无理数的大小，正确理解取整含义是求解本题的关键．
12．（2022秋•漳州期中）下面是小李同学探索 的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是 ，且 ，
∴设 ，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形 ＝102+2×10•x+x2，S正方形 ＝107
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即 ．
（1） 的整数部分是 9 ；
（2）仿照上述方法，探究 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）【分析】（1）估算无理数 的大小即可；
（2）根据题目所提供的解法进行计算即可．
【详解】解：（1）∵ ＜ ＜ ，
∴9＜ ＜10，
∴ 的整数部分是9；
故答案为：9；
（2）∵面积为84的正方形边长是 ，且9＜ ＜10，
∴设 ＝9+x，其中0＜x＜1，如图所示，
∵图中S正方形 ＝92+2×9•x+x2，S正方形 ＝84，
∴92+2×9•x+x2＝84，
当x2较小时，省略x2，得18x+81≈84，
得到x≈0.17，
即 ≈9.17．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解题目所提供的解题方法是正确解答的前提．
13．（2022秋•沈北新区期中）（1）设 的小数部分为b，求b（4+b）的值；
（2）已知 ， ，求x2+y2的值．
【分析】（1）先确定b的值，再代入计算；（2）把x、y的值代入计算即可．
【详解】解：（1）∵ ＜ ＜ ，
∴2＜ ＜3．
∴ 的小数部分为b＝ ﹣2．
∴b（4+b）
＝（ ﹣2）（4+ ﹣2）
＝（ ﹣2）（ +2）
＝7﹣4
＝3；
（2）当 ， 时，
x2+y2
＝（ ﹣1）2+（ +1）2
＝2﹣2 +1+2+2 +1
＝6．
【点睛】本题考查了实数的运算，确定b的值，掌握实数的运算法则是解决本题的关键．
14．（2022秋•如皋市期中）如图，将一根长为a的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数
轴上的点A，B重合（点A在点B的左边）．
【初步思考】
（1）若a＝5，当点A表示的数为﹣2时，点B表示的数为 3 ；
【数学探究】
（2）如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的
数为14；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到A点时，它的左端在数轴上所对应的数为
﹣10．请确定a的值及图中A，B两点表示的数；
【实际应用】
（3）一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在
这么大，我已经124岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是 7 2 岁．【分析】（1）根据实数与数轴的关系求解；
（2）根据题意得，A，B是表示﹣10和14的三等分点，故可求出a，再根据实数与数轴数关系求解；
（3）根据年龄差不变，设未知数列方程求解．
【详解】解：（1）﹣2+5＝3，
故答案为：3；
（2）由题意得：a＝ （14+10）＝8，
∴A点表示的数为：﹣10+8＝﹣2，
B表示的数为：14﹣8＝6；
（3）设小红的年龄为x，则爷爷的年龄为（2x+32）岁，
则：4x+64＝124+x，
解得：x＝20，
则2x+32＝72，
故答案为：72．
【点睛】本题考查了实数与数轴，根据题意列方程数解题的关键．
15．（2022秋•禅城区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积
为16cm2的大正方形纸片如图（2）．
（1）原小正方形的边长为 2 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为 2：1，且面积为
12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，
请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据大正方形纸片的面积求出小正方形纸片的面积，再进一步求出小正方形纸片的边长；
（2）根据剪出的长方形面积为12cm2，列方程求出长方形的长，然后与大正方形纸片的边长比较进行判断即可；
（3）根据大正方形的面积等于5个小正方形的面积确定大正方形的边长，然后根据图（3）的纸片确定
大正方形即可．
【详解】解：（1）∴小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
设小正方形的边长为a，
则a2＝8，
∴a＝± （舍去负值），
∴a＝2 ．
∴小正方形的边长为 cm，
故答案为：2 ．
（2）不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
设剪出来的长方形长为2xcm，宽为xcm，
依题意得2x•x＝12，
∴x＝ 或x＝﹣ （舍去），
∴长为2 ＞4，
∴不能剪出符合要求的长方形纸片；
（3）∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为 ，
画出示意图如图，
【点睛】本题考查了平方根的求法，掌握正方形的面积求法及直角三角形的勾股定理是解题的关键．
16．（2022秋•苍南县期中）如图，数轴上的点A，B分别表示数﹣7和5，图形①和图形②都由4个边长
为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上．开始时，图形①的顶点P与点A重合，图形②的顶点
Q与点B重合，现图形①以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形②以每秒1个单位
长度的速度向数轴正方向运动．
（1）点A与点B的距离是 1 2 个单位长度．（2）经过多少时间后，图形①与图形②并行（点P与点Q重合），并求此时点P的数．
（3）在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为1：6时，则点Q表示的数
是 11. 5 或 1 2 （直接写出答案）．
【分析】（1）根据两点间的距离公式求解；
（2）根据题意列方程求解；
（3）先求重合部分的长度，再求时间，最后求Q的位置．
【详解】解：（1）5+7＝12，
故答案为：12；
（2）设经过t秒后，点P与点Q重合，
则：3t﹣t＝12，
解得：t＝6，
此时点P表示的数为：﹣7+3×6＝11；
（3）设两个图形重叠部分的面积为x，运动的时间为t秒，则未重叠部分的面积为6x，
则2x+6x＝8，
解得：x＝1，
∵两个图形重合的部分为1÷1＝1或4﹣1÷3＝4﹣ ，
当两个图形重合的部分为1时，3t﹣t＝12+1，
解得：t＝6.5，
此时Q表示的数为：11.5，
当两个图形重合的部分为 时，3t﹣t＝12+4﹣ ，
解得：t＝7 ，
此时Q表示的数为：12 ，故答案为：11.5或12 ．
【点睛】本题考查了实数和数轴，方程思想是解题的关键．
17．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 2 的点重合；
（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示5的点与表示 ﹣ 3 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示
的数是 ﹣ ；点B表示的数是 ．
③表示 点与表示 2 ﹣ 的点重合；
（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的
速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？
【分析】（1）根据题意确定纸片是沿着0点进行折叠的，再求解即可；
（2）①由题意确定纸片是沿着表示1的点进行折叠的，再求解即可；
②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，根据折叠的性质可得 ＝1，求出x的值再求
解即可；
③由①的折痕点，可求出表示 点与表示2﹣ 的点重合；
（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，则x＝﹣1+2t，根据题意列出方程|x+1|
＝2|x﹣3|，求出x后再求t的值即可求解．
【详解】解：（1）∵表示1的点与表示﹣1的点重合，
∴纸片是沿着0点进行折叠的，
∴表示﹣2的点与表示2的点重合，
故答案为：2；
（2）①∵表示﹣1的点与表示3的点重合，
又∵ ＝1，
∴纸片是沿着表示1的点进行折叠的，∴表示5的点与表示﹣3的点重合，
故答案为：﹣3；
②设点A表示的数是x，则点B表示的数是x+13，
∵A、B两点经折叠后重合，
∴ ＝1，
解得x＝﹣ ，
∴﹣ +13＝ ，
∴点A表示的数是﹣ ，点B表示的数是 ，
故答案为：﹣ ， ；
③∵纸片是沿着表示1的点进行折叠的，
∴表示 点与表示2﹣ 的点重合，
故答案为：2﹣ ；
（3）设运动时间为t秒，小电子小蜗牛运动的点表示的数为x，
∴x＝﹣1+2t，
∵它到点P的距离是到点Q的距离的2倍，
∴|x+1|＝2|x﹣3|，
解得x＝7或x＝ ，
当x＝ 时，2t﹣1＝ ，解得t＝ ，
当x＝7时，2t﹣1＝7，解得t＝4，
∴运动4秒或 秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍．
【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，折叠的性质，根据折叠后对应的点表示的数，
确定折痕点是解题的关键．
18．（2022春•东莞市期中）（1）填表
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.001 0.0 1 0.1 1 1 0 100 …（2）利用如表中的规律，解决下列问题：
①已知 ≈1.414， ≈ 14.1 4 ；
②已知 ＝1800， ＝18，则a的值为 324000 0 ．
（3）当a≥0时，比较 和a的大小．
【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可；
（2）利用表格中的规律解答即可；
（3）利用分类讨论的方法解答即可．
【详解】解：（1） ＝0.01， ＝1， ＝10，
将数据填入表格中，见题干（1），
故答案为：0.01；1；10；
（2）① ≈14.14，
故答案为：14.14；
②∵ ＝18，
∴ ＝1800，
∴a＝3240000，
故答案为：32400；
（3）当0＜a＜1时，a＜ ，
当a＝1或a＝0时，a＝ ，
当a＞1时，a＞ ．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，实数大小的比较，利用分类讨论的方法解答是解题的关键．
19．（2022春•思明区校级期中）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为 3：1，面积
为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的
正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
【分析】（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则 ，再利用平方根的含义解方程即
可；（2）设正方形的边长为y，根据题意可得，y2＝75，利用平方根的含义先解方程，再比较 与3
的大小即可．
【详解】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，
则3x•x＝75，
即x2＝25，
∵x＞0，
∴x＝5，
∴3x＝15，
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，
y2＝75，
∵y＞0，
∴ ，
∵原来长方形的宽为5cm，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为： ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
所以她的说法正确．
【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，利用平方根的含义解方程，以及无理数的估算，理解题意，
准确地列出方程或代数式是解本题的关键．
20．（2022秋•萧县期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积
的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1 这三个数，
， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以﹣
1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
【分析】（1）对于三个互不相等的负整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，由此定义分别计算可作判断；
（2）分两种情况讨论：①当 ＝12时，②当 ＝12时，分别计算即可．
【详解】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：
∵ ＝12， ＝6， ＝4，
∴﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；
（2）∵ ＝6，
∴分两种情况讨论：
①当 ＝12时，﹣3m＝144，
∴m＝﹣48；
②当 ＝12时，﹣12m＝144，
∴m＝﹣12（不符合题意，舍）；
综上，m的值是﹣48．
【点睛】本题考查算术平方根，理解“完美组合数”的意义是正确解答的前提，求出“任意两个负数乘
积的算术平方根”是解决问题的关键．
21．（2022春•西城区校级期中）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
【分析】首先由AE⊥BC，FG⊥BC可得AE∥FG，根据两直线平行，同位角相等及等量代换可推出∠A
＝∠2，利用内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．
【详解】证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB＝∠GNM＝90°，
∴AE∥FG，
∴∠A＝∠1；
又∵∠2＝∠1，
∴∠A＝∠2，
∴AB∥CD．【点睛】本题考查了平行线的性质及判定，熟记定理是正确解题的关键．
22．（2022春•重庆期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，
∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
【分析】（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；
（2）依据平行线的性质，可得出∠FGD＝∠EFG，进而判定AB∥CD，即可得出∠AED+∠D＝180°；
（3）依据已知条件求得∠CGF的度数，进而利用平行线的性质得出∠CEF的度数，依据对顶角相等即
可得到∠AEM的度数．
【详解】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF；
（2）解：∠AED+∠D＝180°；
理由：∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
（3）解：∵∠GHD＝∠EHF＝80°，∠D＝30°，
∴∠CGF＝80°+30°＝110°，
又∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣110°＝70°，又∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝70°，
∴∠AEM＝180°﹣70°＝110°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，
平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
23．（2021春•安达市校级期中）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足
∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求
出∠ADB；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C＝180°，即可证得AD∥BC；
（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE＝
∠ABC，即可求得∠DBE的度数．
（3）首先设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线
平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC＝∠ADB，即可得方程：x°+40°＝80°
﹣x°，解此方程即可求得答案．
【详解】解：（1）直线AD与BC互相平行，理由：
∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠A＝∠C
∴∠ADC+∠C＝180°，∴AD∥BC；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°，
∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF，
∴∠DBE＝ ∠ABF+ ∠CBF＝ ∠ABC＝40°；
（3）存在．
设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；
∵AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°，
∴∠ADB＝80°﹣x°．
若∠BEC＝∠ADB，
则x°+40°＝80°﹣x°，
得x°＝20°．
∴存在∠BEC＝∠ADB＝60°．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质与平行四边形的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁
内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．
24．（2022春•肥城市期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为
F，∠1＝∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求∠3的度数．
【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD∥EF，从而得出∠2＝∠BCD，再根据∠1＝∠2即可
得出∠1＝∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG∥BC；
（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为 180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC∥DG即可得出∠3＝∠ACB，通过角的计算即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD，
∴DG∥BC．
（2）解：在Rt△BEF中，∠B＝54°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∴∠BCD＝∠2＝36°．
又∵BC∥DG，
∴∠3＝∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝35°+36°＝71°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）找出∠1＝∠BCD；（2）找出∠3＝
∠ACB＝∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角
证出两直线平行是关键．
25．（2022春•兰山区期中）（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM＝90°，请判
断AB与CD的位置关系并说明理由．
（2）如图2，∠M＝90°，BA∥DC，当直角顶点M移动时同∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？
并说明理由
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点，BA∥DC，当点H在射线CD上运动
时（点C上时外）．
①∠BAG+∠AGH+∠DHG＝ 36 0 °；
②∠CGH，∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得出答案；
（2）过M作MF∥AB，根据平行线的性质得出∠BAM＝∠AMF，∠FMC＝∠DCM，再根据∠M＝
90°，即可得出∠BAM+∠MCD＝90°；
（3）①过点G作GP∥AB，则GP∥CD，得到∠BAG+∠AGP＝180°，∠PGH+∠DHG＝180°，结论得
证；
②由GP∥CD∥AB，得∠BAC＝∠PGC，∠CHG＝∠PGH，进一步即可得到结论．
【详解】解：（1）AB∥CD．理由如下：
∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠MAC，∠ACD＝2∠ACM，
∵∠MAC+∠ACM＝90°，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）∠BAM+∠MCD＝90°．
理由：如图2，过M作MF∥AB，
∵AB∥CD，
∴MF∥AB∥CD，
∴∠BAM＝∠AMF，∠FMC＝∠DCM，
∵∠AMC＝90°，
∴∠BAM+∠MCD＝90°；
（3）①过点G作GP∥AB，则GP∥CD，∵AB∥CD，
∴GP∥AB∥CD，
∴∠BAG+∠AGP＝180°，∠PGH+∠DHG＝180°，
∴∠BAG+∠AGP+∠PGH+∠DHG＝360°，
故答案为：360．
②∠BAC＝∠CHG+∠CGH．理由如下：
∵GP∥AB∥CD，
∴∠BAC＝∠PGC，∠CHG＝∠PGH，
∴∠PGC＝∠CHG+∠CGH，
∴∠BAC＝∠CHG+∠CGH．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，用到的知识点是三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，
关键是根据题意作出辅助线．
26．（2022春•应城市期中）已知AB⊥AC，CD⊥AC．
（1）如图1，求证：∠E＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠B，∠E，∠D之间满足什么关系？并说明理由．
（3）如图3，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间满足什么关系？请直接写出结论．
【分析】（1）先证明 AB∥CD，再过点 E作EF∥AB，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝
∠DEF，再由角之间的关系即可得出结论；（2）过点E作EF∥AB，由平行线的性质可知∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，再由角之间的关系即可得
出结论；
（3）过点F作FM∥AB，用（1）的结论可知∠E＝∠B+∠EFM，∠G＝∠GFM+∠D，再由角之间的关
系即可得出结论．
【详解】（1）证明：过点E作EF∥AB，如图所示．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
∴AB∥CD，
∵EF∥AB，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D；
（2）解：∠E＝∠D﹣∠B，理由如下：
过点E作EF∥AB，如图所示．
同（1）可得AB∥CD∥EF．
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠E＝∠DEF﹣∠BEF＝∠D﹣∠B；
（3）解：∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F．
过点F作FM∥AB，如图所示．同（1）可得AB∥CD．
∴FM∥AB∥CD，
∵AB∥FM，结合（1）结论，
∴∠E＝∠B+∠EFM，
∵FM∥CD，结合（1）结论，
∴∠G＝∠GFM+∠D，
又∵∠EFG＝∠EFM+∠GFM，
∴∠E+∠G＝∠B+∠D+∠F．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质得出相等或互
补的量．
27．（2022春•鄄城县期中）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G
在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，MD与GF是否平行？为什么？
【分析】根据平行线的性质与判定即可求解．
【详解】解：平行．理由如下：
因为BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，
所以∠BDC＝90°，∠EFC＝90°，
所以∠BDC＝∠EFC．所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行），
所以∠2＝∠CBD（两直线平行，同位角相等），
因为∠1＝∠2，所以∠1＝∠CBD，
所以BC∥GF（内错角相等，两直线平行），
因为∠BMD+∠ABC＝180°，所以MD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），
所以MD∥GF（平行于同一条直线的两条直线平行）．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
28．（2022春•泰山区期中）如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且BE⊥DE．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF，试探求
的值．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠BED＝90°，从而利用三角形内角和定理可得∠EBD+∠EDB＝90°，
然后利用角平分线的定义可得∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，从而可得∠ABD+∠CDB＝180°，
进而利用平行线的判定，即可解答；
（2）过点E作EG∥AB，利用猪脚模型可得∠BED＝∠ABE+∠EDC，∠BFD＝∠ABF+∠CDF，然后根
据∠BED＝3∠BFD，∠ABE＝3∠ABF，可得∠EDC＝3∠CDF，即可解答．
【详解】（1）证明：∵BE⊥DE，
∴∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠EDB＝180°﹣∠BED＝90°，
∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，
∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，
∴∠ABD+∠CDB＝2∠EBD+2∠EDB＝2（∠EBD+∠EDB）＝180°，
∴AB∥CD；
（2）过点E作EG∥AB，
∴∠ABE＝∠BEG，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD，∴∠GED＝∠EDC，
∵∠BED＝∠BEG+∠GED，
∴∠BED＝∠ABE+∠EDC，
同理可得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，
∵∠BFD＝30°，∠BED＝90°，
∴∠BED＝3∠BFD，
∵∠ABE＝3∠ABF，
∴∠EDC＝3∠CDF，
∴ ＝ ，
∴ 的值为 ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
29．（2022春•汉川市期中）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图1，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①若∠4＝38°，求∠1的度数；
②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，EG平分∠MEF，EH平分∠MEB，直接写出∠GEH与∠EFC的数量关系．
【分析】（1）①先利用平行线的性质可得∠2＝∠3，然后结合已知，再利用等量代换可得∠1＝∠2＝
∠3＝∠4＝38°，即可解答；
②利用①的结论，以及等式的性质可得∠MEF＝∠EFN，然后利用平行线的判定，即可解答；（2）利用平行线的性质可得∠BEF＝∠EFC，再利用角平分线的定义可得∠MEG＝∠GEF＝
∠GEH+∠FEH，从而可得∠GEH＝∠MEG﹣∠FEH，然后再利用角平分线的定义可得∠MEH＝
∠BEH，从而利用角的和差关系可得2∠GEH＝∠BEF，即可解答．
【详解】解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝38°，
∴∠1的度数为38°；
②EM∥FN，
理由：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4，
∴∠MEF＝∠EFN，
∴EM∥FN；
（2）∠EFC＝2∠GEH，
理由：∵AB∥CD，
∴∠BEF＝∠EFC，
∵EG平分∠MEF，
∴∠MEG＝∠GEF＝∠GEH+∠FEH，
∴∠GEH＝∠MEG﹣∠FEH，
∵EH平分∠MEB，
∴∠MEH＝∠BEH，
∴∠MEG+∠GEH＝∠BEF+∠FEH，
∴∠MEG﹣∠FEH+∠GEH＝∠BEF，
∴2∠GEH＝∠BEF，
∴∠EFC＝2∠GEH．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
30．（2022春•临高县期中）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，
∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF．
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由．
（3）若∠EHF＝92°，∠D＝40°，求∠AEM的度数．【分析】（1）根据平行线的判定条件证明即可；
（2）只需要证明∠EFG＝∠FGD，推出AB∥CD，即可得到∠AED+∠D＝180°；
（3）根据平行线的性质求出∠FEH＝∠D＝40°，∠CED＝∠EHF＝92°，则∠AEM＝∠BEC＝132°．
【详解】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF（同位角相等，两直线平行）；
（2）解：结论：∠AED+∠D＝180°，理由如下：
∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠EFG，
∴∠EFG＝∠FGD，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
（3）解：∵∠EHF＝92°，∠D＝40°，AB∥CD，CE∥FG，
∴∠FEH＝∠D＝40°，∠CED＝∠EHF＝92°，
∴∠BEC＝∠CED+∠BED＝132°，
∴∠AEM＝∠BEC＝132°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关
键．
31．（2022春•建华区校级期中）已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别相交于点E、F．分别
写出三个图中∠EPF、∠PEB、∠PFD之间的数量关系，并在图一或图二中选择一个进行证明．
【分析】由平行线的性质和三角形外角和定理求证即可．【详解】解：图1中，结论：∠EPF＝∠PEB+∠DFP．
理由：过点P作直线MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠EPM＝∠PEB，
同理：∠MPF＝∠DFP，
∵∠EPF＝∠EPM+∠MPF，
∴∠EPF＝∠PEB+∠DFP．
图2中结论：∠EPF+∠PEB+∠PFD＝360°．
理由：过点P作直线MN∥AB，
∵MN∥AB，
∴∠PEB+∠EPN＝180°，
同理：∠NPF+∠PFD＝180°，
∵∠EPF＝∠EPN+∠NPF．
图3中结论：∠PEB＝∠PFD+∠FPE．
理由：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠EFD，
∵∠2＝∠PFE+∠FPE，
∴∠PEB＝∠1+∠2＝∠EFD+∠PFE+∠FPE＝∠PFD+∠FPE．【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角和定理，熟练掌握性质及定理并作出辅助线是解题关键．
32．（2022春•惠城区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，若∠A﹣∠C＝10°，求∠A的度数；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，则∠ABD与∠C相等吗？试说明理由；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线DM上，且BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若
∠DBC＝140°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；
（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出
∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C；
（3）根据（2）中的条件，由AB⊥BC，∠DBC＝140°，可求出∠DBA的度数，根据角平分线的性质可
求出∠EBA的度数，即可求出∠EBC的度数．
【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，
∵AM∥CN，
∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∵∠A﹣∠C＝10°，
∴∠A＝50°；
（2）∠ABD＝∠C，理由如下：
如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG＝90°，
∴∠ABD＝∠CBG，
∵AM∥CN，BG∥AM，
∴CN∥BG，
∴∠C＝∠CBG，
∴∠ABD＝∠C；
（3）如图3，
∵∠DBC＝140°，∠ABC＝90°，
∴∠DAB＝∠DBC﹣∠ABC＝50°，
又∵BE平分∠ABD，
∴∠EAB＝ ∠DAB＝ ×50°＝25°，
∴∠EBC＝∠EAB+∠ABC＝25°+90°＝115°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余
角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意
方程思想的运用．
33．（2022春•红花岗区校级期中）如图（1），∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）在（1）的条件下，如图（2）若∠BAH＝30°，∠BCG＝40°，AP、CP分别平分∠BAH、∠BCG，
求∠APC的度数；
（2）在（1）的条件下，如图（3），作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余
角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．
【分析】（1）首先过点 B 作 BM∥AD，由平行线的性质可得∠DAB+∠ABM＝180°，又由
∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，即可证得∠MBC+∠BCE＝180°，则BM∥CE，继而证得结论；
（2）过点P作PN∥AD，可得∠APN＝∠PAH，由（1）得AD∥CE，根据平行公理可以得到PN∥CE，
根据平行线的性质可以得到∠CPN＝∠PCG，由∠BAH＝30°，∠BCG＝40°，AP、CP 分别平分
∠BAH、∠BCG可以得出∠PAH＝15°，∠PCG＝20°，由∠APC＝∠APN+∠CPN＝∠PAH+∠PCG可以
得出答案；（3）首先设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，根据平行线的性质，可
得∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，又由∠F 的余角等于 2∠B 的补角，可得方程：90﹣
（x+2y）＝180﹣2（2x+y），继而求得答案．
【详解】（1）证明：如图，过点B作BM∥AD，
∴∠DAB+∠ABM＝180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°，
∴∠MBC+∠BCE＝180°，
∴BM∥CE，
∴AD∥CE；
（2）解：如图，过点P作PN∥AD，
∴∠APN＝∠PAH，
由（1）得AD∥CE
∵PN∥AD，
∴PN∥CE，
∴∠CPN＝∠PCG，
∴∠APC＝∠APN+∠CPN＝∠PAH+∠PCG，
∵AP、CP分别平分∠BAH、∠BCG，
∴∠PAH＝ ∠BAH，∠PCG＝ ∠BCG，
∵∠BAH＝30°，∠BCG＝40°，
∴∠PAH＝ ∠BAH＝15°，∠PCG＝ ∠BCG＝20°，
∴∠APC＝∠PAH+∠PCG＝15°+20°＝35°；
（3）解：设∠BAF＝x°，∠BCF＝y°，
∵∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，
∴∠HAF＝∠BAF＝x°，∠BCG＝∠BCF＝y°，∠BAH＝2x°，∠GCF＝2y°，
如图，过点B作BM∥AD，过点F作FN∥AD，
∵AD∥CE，
∴AD∥FN∥BM∥CE，∴∠AFN＝∠HAF＝x°，∠CFN＝∠GCF＝2y°，∠ABM＝∠BAH＝2x°，∠CBM＝∠GCB＝y°，
∴∠AFC＝（x+2y）°，∠ABC＝（2x+y）°，
∵∠F的余角等于2∠B的补角，
∴90﹣（x+2y）＝180﹣2（2x+y），
解得：x＝30，
∴∠BAH＝60°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，余角、补角的定义以及角平分线的定义．此题难度适中，
注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
34．（2022春•红花岗区校级期中）如图是由边长为1个单位的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶
点都叫做格点，三角形ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图．
（1）在图中建立直角坐标系，使得点A的坐标为（0，2）；
（2）点P（x，y）是三角形ABC内一点，将三角形ABC平移后点P对应点P'（x+8，y﹣1），画出平
移后的三角形A'B'C'；
（3）求三角形ABC的面积；
（4）设点Q在y轴上，且三角形ABQ的面积为3，求点Q的坐标．【分析】（1）根据坐标与坐标系的关系确定坐标系；
（2）根据平移距离和方向确定平移后的坐标，再连线；
（3）利用割补法求解；
（4）设Q（0，y），再利用面积公式列方程求解．
【详解】解：如下图：
（1）直角坐标系xoy即为所求；
（2）△A′B′C′即为所求；
（3）三角形ABC的面积为：5×4﹣0.5×5×1﹣0.5×3×4﹣0.5×1×4＝20﹣2.5﹣6﹣2＝9.5；
（4）设Q（0，y），
由题意得：0.5×1×|2﹣y|＝3，
解得：y＝8或y＝﹣4，
∴Q（0，8）或Q（0，﹣4）．
【点睛】本题考查了平移变换，掌握平移的特征和计算三角形的面积的方法是解题的关键．
35．（2022春•湘东区期中）如图1，已知l ∥l ，MN分别和直线l 、l 交于点A、B，ME分别和直线l 、
1 2 1 2 1
l 交于点C、D．点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．∠PDB＝ ，∠PCA＝ ，∠CPD＝ ．
2
α β γ
（1）如果点P在A、B两点之间运动时（如图1）， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（如图2，图α3）β， γ、 、 之间有何数量关系？请说明理由．
α β γ【分析】（1）过点P作PF∥l ，根据l ∥l ，可知PF∥l ，故可得出∠ ＝∠DPF，∠ ＝∠CPF，由此
1 1 2 2
即可得出结论； α β
（2）点P在A、B两点之外运动时，分点P在MB上运动与点P在AN上运动两种情况讨论．
【详解】解：（1）∠ ＝ +∠ ，
理由：过点P作PF∥lγ1 （α如图β1），
∵l ∥l ，
1 2
∴PF∥l ，
2
∴∠ ＝∠DPF，∠ ＝∠CPF，
∴∠α＝∠DPF+∠CβPF＝ +∠ ；
（2）γ当点P在MB上运动α时（β如图），
∵l ∥l ，
1 2
∴∠ ＝∠CFD，
∵∠βCFD是△DFP的外角，
∴∠CFD＝∠ +∠ ，
∴∠ ＝∠ +∠α ；γ
当点βP在AγN上α运动时（如图），
同理可得：∠ ＝∠ +∠ ．
α γ β【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
36．（2022春•和平区校级期中）已知AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，点E、F分别在在射线AD、BC
上运动，满足∠AEF＝∠B，连接EG
（1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF．
证明：∵AG平分∠BAD
∴∠BAG＝∠DAG（ 角平分线的定义 ）
∵∠BAG＝∠BGA
∴ ∠ BGA ＝ ∠ DAG （等量代换）
∴ AD ∥ BC （ 内错角相等，两直线平行 ）
∴∠B+∠BAD＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∵∠AEF＝∠B
∴∠AEF+∠BAD＝180°（ 等量代换 ）
∴AB∥EF．
（2）如图2，当点F在点G右侧时，设∠BAG＝ ，∠GEF＝ ，请直接用含 ， 的代数式表示∠AGE
的度数 + ． α β α β
（3）在射α线βBC下方有一点H，连接AH、EH，满足∠BAH＝2∠HAG，EH平分∠FEG，若∠FEG＝
20°，∠BAG＝60°，请直接写出∠AGE+∠H的度数 70 ° 或 130 ° ． ．【分析】（1）利用角平分线的定义可证明∠BGA＝∠DAG，根据平行线的判定得到AD∥BC，再证明
∠AEF+∠BAD＝180°，即可证明AB∥EF；
（2）利用三角形内角和定理求得∠B＝180°﹣2 ，得到∠GEA＝180°﹣2 ﹣ ，再利用三角形内角定理
即可求解； α α β
（3）先求得∠BAG＝∠BGA＝∠DAG＝∠B＝60°，∠HAG＝20°，∠EFH＝∠GFH＝10°，再分点F在
点G左侧时，和点F在点G右侧时，利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG＝∠DAG（角平分线的定义），
∵∠BAG＝∠BGA，
∴∠BGA＝∠DAG（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠B+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠AEF＝∠B，
∴∠AEF+∠BAD＝180°（等量代换），
∴AB∥EF．
故答案为：角平分线的定义；∠BGA；∠DAG；AD；BC；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同
旁内角互补；等量代换；
（2）解：∵AB∥EF，∠BAG＝∠BGA，∠BAG＝ ，
∴∠EAG＝∠BAG＝ ，∠B＝180°﹣2 ， α
∵∠AEF＝∠B＝180α°﹣2 ，∠GEF＝α，
∴∠GEA＝180°﹣2 ﹣ ，α β
∴∠EGA＝180°﹣ α﹣（β180°﹣2 ﹣ ）＝ + ，
故答案为： + ；α α β α β
（3）解：∵αAGβ 平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，∠BAG＝60°，
∴∠BAG＝∠BGA＝∠DAG＝∠B＝60°，
∵∠AEF＝∠B，∠BAH＝2∠HAG，
∴∠AEF＝∠B＝60°，∠HAG＝20°，∵EH平分∠FEG，∠FEG＝20°，
∴∠EFH＝∠GFH＝10°，
当点F在点G左侧时，如图1，
在△HAE中，∠H＝180°﹣20°﹣60°﹣60°﹣10°＝30°，
在△GAE中，∠AGE＝180°﹣60°﹣60°﹣20°＝40°，
∴∠AGE+∠H＝70°；
当点F在点G右侧时，如图2，
在△HAE中，∠H＝180°﹣20°﹣60°﹣（60°﹣10°）＝50°，
在△GAE中，∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣20°）＝80°，
∴∠AGE+∠H＝130°；
故答案为：70°或130°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理及角的和与差，注意分类
讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题．
37．（2022春•宣化区期中）如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°．点E、F在射
线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，∠COE＝∠FOE．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律．若不变，
求出这个比值．【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AOC+∠C＝180°，∠OBC＝∠AOB，根据角平分线定义得到
∠COE＝∠EOF．根据等式的性质即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠OFC＝∠FOA＝∠BOF+∠AOB，∠OBF＝∠AOB，求得∠OBF＝
∠BOF，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC+∠C＝180°，∠OBC＝∠AOB，
∵∠C＝100°，
∴∠COA＝80°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE＝∠EOF．
∵∠FOB＝∠OBF，∠OBF＝∠AOB，
∴∠BOF＝∠AOB，
∵∠COA＝∠COE+∠EOF+∠BOF+∠AOB＝60°，
∴∠EOF+∠BOF＝ ∠COA＝40°，
即∠EOB＝40°；
（2）不变，∠OBC：∠OFC＝1：2．
理由：∵BC∥OA，
∴∠OFC＝∠FOA＝∠BOF+∠AOB，∠OBF＝∠AOB，
又∵∠BOF＝∠AOB，
∴∠OBF＝∠BOF，
∴∠OFE＝2∠OBF，即∠OFC＝2∠OBC．
∴若向右平行移动AB，其它条件不变，那么∠OBC：∠OFC的值不发生变化．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平行线、角平分线的定义以及平行四边形的性质，有一定的综合
性，难度适中．
38．（2022春•石嘴山校级期中）如图，已知 AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间
的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
【分析】（1）由（1）知∠ABP+∠PBN＝120°，再根据角平分线的定义知∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝
2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP＝120°，即∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
（2）由AM∥BN得∠APB＝∠PBN、∠ADB＝∠DBN，根据BD平分∠PBN知∠PBN＝2∠DBN，从而
可计算；同理可解（3）．
【详解】解：（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
（2）∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
∴∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN；
由（1）可知：∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝∠ABN﹣∠CBD＝120°﹣60°＝60°，
∴∠ABC＝30°；
（3）不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
39．（2022春•景德镇期中）如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，
MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会
平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为 （0＜a＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为 （0＜ ＜90°），试探究
与 之间的数量关系，并说α明理由． β β
α β
【分析】（1）根据题意可得∠ABC＝180°﹣2∠2，再由光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，可
得∠BCD＝180°﹣2∠BCE，根据MN∥EF，可得∠2＝∠BCE，即可求解；
（2）过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，根据题意可得∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，
∠OEN＝∠BEF，可得NG∥OF，从而得到∠2＝∠OEN，继而得到∠ANE+∠BEN＝180°，即可求解；
（3）根据题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣
∠ ，再由∠ ＝180°﹣（∠5+∠6），即可求解．
【α详解】解：β（1）AB∥CD，理由如下：如图2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠2，∵光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，
∴∠3＝∠4，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCD＝180°﹣2∠BCE，
∵MN∥EF，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD；
（2）两束光线会平行，理由如下：
如图3，过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，
根据题意得：∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，∠OEN＝∠BEF，
∴NG∥OF，
∴∠2＝∠OEN，
∵∠OEN+∠3+∠4+∠BEF＝180°，即2（∠3+∠OEN）＝180°，
∴2（∠3+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
即∠ANE+∠BEN＝180°，
∴AN∥BE，即两束光线会平行；
（3） 与 的数量关系为2 + ＝180°，理由如下：如图4，
根据题α意得β：∠1＝∠2，∠α3＝β∠4，
∴∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣∠ ，
∴∠ ＝180°﹣（∠5+∠6） α
＝18β0°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣∠ ）﹣180°
＝180°﹣2∠ ，α
∴ 与 的数α量关系为2 + ＝180°．
α β α β【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，
三角形的内角和定理是解题的关键．
40．（2022春•芗城区校级期中）已知直线AB∥CD，点P为两直线外一点．
（1）如图1，射线PE、PF分别交直线AB、CD为点E、F．
①若∠P＝85°，则∠BEP+∠DFP＝ 275 ° ；∠AEP+∠CFP＝ 85 ° ．
②若∠P＝ ，
∠BEP与∠αDFP之间的数量关系是 ∠ BEP + ∠ DFP ＝ 360 ° ﹣ ；（用含 的代数式表示）
∠AEP与∠CFP之间的数量关系是 ∠ AEP + ∠ CFP ＝ ．（α用含 的代数α式表示）
（2）当AB、CD被第三条直线MN所截，分别交AB、CαD于点M、Nα．此时两平行线外部被分为四个区
域，动点P在直线MN右侧的区域内活动时（点P不在直线AB、CD、MN上），请画出示意图，写出
∠P、∠PMB、∠PND之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①结合题意画出图形，过P点作PQ∥AB，利用平行线的性质定理可得结论；②由①
的计算可得出②的结论；
（2）分当点P在右上方区域内活动时和点P在右下方区域内活动时进行计算即可．
【详解】解：（1）过点P作PQ∥AB，如图所示：①∵PQ//AB，
∴∠BEP+∠EPQ＝80°，∠AEP＝∠EPQ，
∵AB//CD，
∴PQ//CD，
∴∠DFP+∠FPQ＝180°，∠CFP＝∠FPQ，
∴∠BEP+∠DFP＝180°﹣∠AEP+180°﹣∠CFP＝360°﹣∠EPF，
∴∠BEP+∠EPQ＝360°﹣85°＝275°，
∠AEP+∠CFP＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF＝85°，
故答案为：275°，85°；
②由上述①的计算可得：
∠BEP+∠DFP＝360°﹣ ，∠AEP+∠CFP＝ ，
故答案为：∠BEP+∠DFαP＝360°﹣ ，∠AEPα+∠CFP＝ ；
（2）|∠PMB﹣∠PND|＝∠P，理由α如下： α
当点P在右上方区域内活动时，如图：
∵AB∥CD，
∴∠PND＝∠PQB，
∵∠PQB＝∠P+∠PMB，
∴∠PND﹣∠PMB＝∠P；
当点P在右下方区域内活动时，如图：
∵AB∥CD，
∴∠PMB＝∠PND，
∵∠PQD＝∠P+∠PND，
∴∠PMB﹣∠PND＝∠P，
综上所述，|∠PMB﹣∠PND|＝∠P．【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理，能够发现两种情况，分类讨论是解答此题的关键．
41．（2022春•漳平市期中）如图1是我省同金电力科技有限公司生产的美利达自行车的实物图，图 2是
它的部分示意图，AF∥CD，点B在AF上，∠CAE＝120°，∠FAE＝65°，∠CBF＝100°．试求∠DCB和
∠ACB的度数．【分析】利用平行线的性质进行角度的计算即可．
【详解】解：∵∠CAE＝120°，∠FAE＝65°，
∴∠FAC＝∠CAE﹣∠FAE＝120°﹣65°＝55°．
∵AF∥CD，
∴∠DCB＝∠CBF＝100°（两直线平行，内错角相等）．
∠DCA＝∠FAC＝55°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠ACB＝∠DCB﹣∠DCA＝100°﹣55°＝45°．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形，利用平行线的性质进行角的转化和角的计算．
42．（2022春•玉州区期中）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD
上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，且∠F＝42°，求∠H．
【分析】（1）求出∠ADE+∠FEB＝180°，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出∠BAD＝∠CAD，推出HD∥AC，根据平行线的性质得出∠H＝∠CGH，
∠CAD＝∠CGH，推出∠BAD＝∠F即可．
【详解】解：（1）AD∥EF．
理由如下：∵∠BDA+∠CEG＝180°，∠ADB+∠ADE＝180°，∠FEB+∠CEF＝180°
∴∠ADE+∠FEB＝180°，
∴AD∥EF；
（2）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠EDH＝∠C，
∴HD∥AC，
∴∠H＝∠CGH，∵AD∥EF，
∴∠CAD＝∠CGH，
∴∠BAD＝∠F，
∴∠H＝∠F，
∵∠F＝42°，
∴∠H＝42°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，关键是对性质定理和判定定理的综合运用．
43．（2022春•浦城县期中）已知直线EF∥MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB＝ ，BD平
分∠CBN交EF于D． α
（1）若∠FDB＝105°， ＝90°，如图1，
①求∠DBN的度数； α
②求∠MBC与∠EAC的度数．
（2）延长AC交直线MN于G，这时 ＝80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为
定值？若是，请直接写出定值；若不是α，请说明理由．
【分析】（1）①直接根据平行线的性质即可得出结论；
②如图，作CK∥EF．证明∠MBC＝∠KCB＝60°即可解决问题；
（2）结论：∠GHB为定值．如图2中，设∠AGH＝∠HGB＝x，∠CBH＝∠HBN＝y．构建方程组即可
解决问题．
【详解】解：（1）①∵EF∥MN，
∴∠FDB+∠DBN＝180°，
∵∠FDB＝105°，∴∠DBN＝75°；
②如图，作CK∥EF．
∵BD平分∠CBN，
∴∠CBN＝150°，
∴∠MBC＝180°﹣150°＝30°，
∵EF∥CK，EF∥MN，
∴CK∥MN，
∴∠KCB＝∠CBM＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACK＝60°，
∴∠EAC＝∠ACK＝60°．
（2）∠GHB为定值．
理由：如图2中，设∠AGH＝∠HGB＝x，∠CBH＝∠HBN＝y．
则有： ，
可得：∠GHB＝ ×100°＝50°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会利用
参数构建方程组解决问题．
44．（2022春•芗城区校级期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的
一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN
交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF， 为多少？
（3）如图 3，若点 D 是 MN 下方一点，BC 平分∠PBD，AM 平分∠CAD，已知∠PBC＝28°，求
∠ACB+∠ADB的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解；
（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可．
【详解】解：（1）过C作l∥MN，如下图所示，
∵l∥MN，
∴∠4＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵l∥MN，PQ∥MN，
∴l∥PQ，
∴∠3＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∴∠3+∠4＝∠1+∠2，
∴∠C＝∠1+∠2；
（2）∵∠BDF＝∠GDF，
∵∠BDF＝∠PDC，
∴∠GDF＝∠PDC，∵∠PDC+∠CDG+∠GDF＝180°，
∴∠CDG+2∠PDC＝180°，
∴∠PDC＝90°﹣ ∠CDG，
由（1）可得，∠PDC+∠CEM＝∠C＝90°，
∴∠AEN＝∠CEM，
∴ ＝ ；
（3）设BD交MN于J，
∵BC平分∠PBD，AM平分∠CAD，∠PBC＝28°，
∴∠PBD＝2∠PBC＝56°，∠CAM＝∠MAD，
∵PQ∥MN，
∴∠BJA＝∠PBD＝56°，
∴∠ADB＝∠AJB﹣∠JAD＝56°﹣∠JAD＝56°﹣∠CAM，
由（1）可得，∠ACB＝∠PBC+∠CAM，
∴∠ACB+∠ADB＝∠PBC+∠CAM+56°﹣∠CAM＝28°+56°＝84°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
45．（2022春•曲阜市期中）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ 55 ° （直接写出结果即可）；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）过点E作直线MN∥AB，利用平行线的性质证明∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，即
可得到∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝35°+20°＝55°；
（2）过点 E 作 EG∥AB，利用平行线的性质证明∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，即可证明
∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）由（1）可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，再证明∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，
∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，即可证明2∠AFC+∠AEC＝360°．
【详解】解：（1）过点E作直线MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠AEM＝∠BAE，∠CEM＝∠DCE，
∵∠AEC＝∠AEM+∠CEM，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝35°+20°＝55°．
故答案为：55°．
（2）如图所示，过点E作EG∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，
∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，
∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，
即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．
（3）2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：
由（1）可得∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，
由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴2∠AFC+∠AEC＝360°．
【点睛】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之
间的关系．
46．（2022春•鹿邑县期中）在平面直角坐标系中，已知点P（8﹣2m，m﹣1）．
（1）若P到y轴的距离为2，求m的值；
（2）若点P的横纵坐标相等，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第二象限内有一点Q，使PQ∥x轴，且PQ＝3，求点Q的坐标．
【分析】（1）由题意可得|8﹣2m|＝2，求出m即可；
（2）由题意可得8﹣2m＝m﹣1，求出m即可得到P点的坐标；
（3）由题意可得Q点的纵坐标为2，再由PQ＝3求Q点坐标即可．
【详解】解：（1）∵点P到y轴的距离为2，
∴|8﹣2m|＝2，
解得m＝3或m＝5；
（2）∵点P的横纵坐标相等，
∴8﹣2m＝m﹣1，
解得：m＝3，
∴P（2，2）；
（3）∵过点P（2，2）且与x轴平行的直线为y＝2，
∵PQ＝3，
∴Q（﹣1，2）．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，角平分线上点的特征是解题的关键．
47．（2022秋•邗江区期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的
坐标．
（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；
（2）根据点Q到两坐标轴的距离相等，可得关于m的方程，解方程可得答案．
【详解】解：（1）点Q在y轴上，则2m﹣6＝0，
解得m＝3．
所以m+2＝5，
故Q点的坐标是（0，5）；
（2）当点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，有2m﹣6＝m+2，
解得m＝8．
所以2m﹣6＝10．
故Q点的坐标是（10，10）．
【点睛】本题考查了点的坐标，y轴上的点的横坐标等于零；到两坐标轴的距离相等的点在一，三象限
夹角平分线上．
48．（2022春•阜平县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P （a，b），P （c，b），P （c，
1 2 3
d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P ，P ，P 的“最佳间距”．例如：如图，点P
1 2 3 1
（﹣1，2），P （1，2），P （1，3）的“最佳间距”是1．
2 3
（1）求点Q （2，1），Q （5，3），Q （5，1）的“最佳间距”．
1 2 3
（2）已知点O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，y）．
①若点O，A，B的“最佳间距”是 ，则y的值为 ．
②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为 4 ．
（3）当点C（0，﹣1），D（2m，﹣1），E（2m，﹣3m+2）的“最佳间距”取到最大值时，请直接写
出此时点E的坐标．【分析】（1）直接根据“最佳间距”的定义求解即可；
（2）①先求出OA＝4，OB＝ ，AB＝|y|，再根据题意可得|y|＝2，再进行求解即可；
②根据题意可知，“最佳间距”为OA或AB，再分类讨论求解即可；
（3）由（2）中第②小问可知，当CD＝DE时，点C（0，﹣1），D（2m，﹣1），E（2m，﹣3m+2）
的“最佳间距”取到最大值，得到（2m）2＝（3﹣3m）2，然后解方程即可．
【详解】解：（1）∵点Q （2，1），Q （5，3），Q （5，1），
1 2 3
∴Q Q ＝ ，Q Q ＝2，Q Q ＝3，
1 2 2 3 1 3
∵Q Q ＜Q Q ＜Q Q ，
2 3 1 3 1 2
∴点Q （2，1），Q （5，3），Q （5，1）的“最佳间距”为2；
1 2 3
（2）①∵点O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，y），
∴OA＝4，OB＝ ，AB＝|y|，
∵点O，A，B的“最佳间距”是 ，OB＝ ≥4，
∴|y|＝2，
∴y＝± ，
故答案为： ；
②∵OA＝4，OB＝ ，AB＝|y|，
∴“最佳间距”为OA或AB，
当OA≥AB时，“最佳间距”为|y|，|y|≤4，
当OA＜AB时，“最佳间距”为4，
∴点O，A，B的“最佳间距”的最大值为4，
故答案为：4；
（3）由（2）中第②小问可知，当CD＝DE时，点C（0，﹣1），D（2m，﹣1），E（2m，﹣3m+2）的“最佳间距”取到最大值，
∴CD＝|2m|，DE＝|3﹣3m|，
∴（2m）2＝（3﹣3m）2，
∴（m﹣3）（5m﹣3）＝0，
解得，m＝3或m＝ ，
∴﹣3m+2＝﹣7或﹣3m+2＝ ，
∴E点的坐标为（6，﹣7）或（ ， ）．
【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，根据新定义的规则进行分类讨论是解答此题的关键．
49．（2022春•崇义县期中）先阅读下面一段文字，再回答问题：
已知在平面直角坐标系xOy中对于任意两点P （x ，y ）与P （x ，y ）的“识别距离”，给出如下定
1 1 1 2 2 2
义：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P （x ，y ）与P （x ，y ）的“识别距离”为|x ﹣x |；若|x ﹣x |＜|y ﹣
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1
y |，则点P （x ，y ）与P （x ，y ）的“识别距离”为|y ﹣y |．
2 1 1 1 2 2 2 1 2
（1）已知点A（﹣1，0）；B为y轴上的动点．
①若点A与点B的“识别距离”为3，写出满足条件的点B的坐标 （ 0 ， 3 ）或（ 0 ，﹣ 3 ） ．
②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值为 1 ．
（2）已知点C（m， m+3），D（1，1），求点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的点C的坐
标．
【分析】（1）①设B点坐标为（0，b），根据点A与点B的“识别距离”为3，列方程求解即可．
②根据题意，分|0﹣b|＞1和|0﹣b|≤1两种情况进行讨论，即可得出结果．
（2）先求|m﹣1|＝| m+3﹣1|时m的值，再进行分类讨论，求出当m在不同的取值范围时，点C与点D
的“识别距离”的取值范围，进行比较，最后可得出结论．
【详解】解：（1）①由于B为y轴上的动点，
设B点坐标为（0，b），
∵点A与点B的“识别距离”为3，|﹣1﹣0|＝1，
∴|0﹣b|＝3，
∴b＝±3．
∴点B的坐标为（0，3）或（0，﹣3）．故答案为：（0，3）或（0，﹣3）．
②∵|﹣1﹣0|＝1，根据“识别距离”的定义可知，
当|0﹣b|＞1时，点A与点B的“识别距离”大于1，
当|0﹣b|≤1时，点A与点B的“识别距离”等于1，
∴点A与点B的“识别距离”的最小值为1．
（2）由|m﹣1|＝| m+3﹣1|，
解得m＝12或﹣ ．
当m＜﹣ 时，|m﹣1|＝1﹣m，
∵m＜﹣ ，
∴1﹣m＞ ，
∴当m＜﹣ 时，点C与点D的“识别距离”大于 ；
当﹣ ≤m≤12时，| m+3﹣1|＝ m+2，
∵﹣ ≤m≤12，
∴﹣ ≤ m≤9，
∴ ≤ m+2≤11．
当﹣ ≤m≤1时，|m﹣1|＝1﹣m，
∵﹣ ≤m≤1，
∴0≤1﹣m≤ ．
当1≤m≤12时，|m﹣1|＝m﹣1．
∵当﹣ ≤m≤12时，| m+3﹣1|的值随着m的增大而增大，而|m﹣1|的值随着m的增大先减小后增大，且当m＝12或﹣ 时，|m﹣1|＝| m+3﹣1|，
∴当﹣ ≤m≤12时，点C与点D的“识别距离”大于等于 且小于等于11；
当m＞12时，|m﹣1|＝m﹣1，| m+3﹣1|＝ m+2，
∵m＞12，
∴ m＞9，
∴ m+2＞11，
∴当m＞12时，点C与点D的“识别距离”大于11．
∴当m＝﹣ 时，点C与点D的“识别距离”为最小值，
最小值为 ，
∴点C的坐标为（﹣ ， ）．
【点睛】本题考查新定义问题、点的坐标、绝对值及绝对值不等式，综合性较强．正确理解新定义“识
别距离”是解题的关键．
50．（2022春•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B位于y轴正半轴，AB＝4
，点C位于x轴正半轴，∠OCB＝30°．
（1）求点B，C的坐标；
（2）垂直于y轴的直线l与线段AB，BC分别交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点E作
EG⊥AC，垂足为G，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记四边形 DFGE围成的区域（不含边界）为
W．若点D的纵坐标为y ，当区域W内整点个数达到最多时，直接写出y 的取值范围．
D D【分析】（1）根据题意，可直接求出B、C亮点的坐标；
（2）画出图形，设OF＝x，根据图形可列出不等式 ，解不等式后可求出y 的取值范围．
D
【详解】解：根据题意，画出图形如下：
（1）在Rt△ABC中，
OB＝ ＝4，
∴B（0，4），
OC＝ ＝4 ，
∴C（4 ，0）；
（2）设OF＝x，则DF＝AF＝4﹣x，∴OG＝OC﹣GC＝OC﹣ EG＝ x，
当整点最多时满足 ，
解得 ，
∴2＜4﹣x＜4﹣ ，
∴2＜y ＜4﹣ ．
D
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系的知识，准确找到坐标系上点的位置，能结合图形求出点的坐标
的特点列出不等式是解答此题的关键．
51．（2022春•东城区期中）在平面直角坐标系 xOy中，定义：d＝|x ﹣x |+|y ﹣y |为P（x ，y ），Q
1 2 1 2 1 1
（x ，y ）两点之间的“曼哈顿距离”，并称点P与点Q是“d关联”的．例如：若点M的坐标为（﹣
2 2
1，2），点N的坐标为（1，3），则点M与点N之间的“曼哈顿距离”为d＝|﹣1﹣1|+|2﹣3|＝3，且点
M与点N是“3关联”的．
（1）在D（2，0），E（1，﹣2），F（﹣1，﹣1），G（﹣0.5，1.5）这四个点中，与原点O是“2关
联”的点是 D ， F ， G ；（填字母）
（2）已知点A（﹣2，1），点B（0，t），过点B作平行于x轴的直线l．
①当t＝﹣1时，直线l上与点A是“2关联”的点的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 1 ） ；
②若直线l上总存在一点与点A是“2关联”的，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）分别求出各点与点O之间的“曼哈顿距离”即可得到答案；
（2）①设直线l上与点A是“2关联”的点的坐标为（a，﹣1），再根据直线l上与点A是“2关联”
的点得出|﹣2﹣a|+|1﹣（﹣1）|＝2，然后求解即可；
②根据直线l上总存在一点与点A是“2关联”的点得出|﹣2﹣m|+|1﹣t|＝2，然后根据0≤|1﹣t|≤2求
出t的取值范围即可．
【详解】解：（1）∵D（2，0），E（1，﹣2），F（﹣1，﹣1），G（﹣0.5，1.5），O（0，0），
∴点D与点O之间的“曼哈顿距离”为d＝|2﹣0|+|0﹣0|＝2，
点E与点O之间的“曼哈顿距离”为d＝|1﹣0|+|﹣2﹣0|＝3，
点F与点O之间的“曼哈顿距离”为d＝|﹣1﹣0|+|﹣1﹣0|＝2，
点G与点O之间的“曼哈顿距离”为d＝|﹣0.5﹣0|+|1.5﹣0|＝2，
∴与原点O是“2关联”的点是D、F、G；
故答案为：D、F、G；（2）∵点B（0，t），直线l平行于x轴，
∴直线l的方程为：x＝t（t≠0），
①当t＝﹣1时，直线l的方程为：x＝﹣1，
设直线l上与点A是“2关联”的点的坐标为（a，﹣1），
则|﹣2﹣a|+|1﹣（﹣1）|＝2，
∴a＝﹣2，
∴直线l上与点A是“2关联”的点的坐标为 （﹣2，﹣1），
故答案为：（﹣2，﹣1）；
②∵直线l上总存在一点与点A是“2关联”的，
故设直线l上与点A是“2关联”的点的坐标为（m，t），
∴|﹣2﹣m|+|1﹣t|＝2，
∵|﹣2﹣m|≥0，|1﹣t|≥0，
∴0≤|1﹣t|≤2，
∴﹣1≤t≤3且t≠0，
即t的取值范围：﹣1≤t≤3且t≠0．
【点睛】本题属于新定义问题，绝对值，平面直角坐标系的概念，熟练掌握绝对值的性质和解含绝对值
的不等式的方法是解决此题的关键．
52．（2022春•巧家县期中）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称
为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点B（7，﹣27）的“短距”．
（2）点P（5，m﹣1）的“短距”为3，则m的值为 4 或﹣ 2 ．
（3）若C（﹣2，k），D（4，3k﹣5）两点为“等距点”，求k的值．
【分析】（1）根据点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7，结合定义即可求解；
（2）根据定义可知|m﹣1|＝3，解绝对值方程即可求解；
（3）点C到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，进而分
类讨论，根据“等距点”的定义列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）∵点B到x轴的距离为27，到y轴距离为7，
∴点B的“短距”为7．
（2）∵点P（5，m﹣1）的“短距”为3，
若m﹣1＜5，则|m﹣1|＝3，
解得m＝2或m＝﹣4，若m﹣1＞5，则“短距”为5，不符合题意，
故答案为：4或﹣2；
（3）点C到x轴的距离为|k|，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为|3k﹣5|，到y轴距离为4，
当|k|＞2时，2＝|3k﹣5|，
∴3k﹣5＝2或3k﹣5＝﹣2，
解得 或k＝1（舍）．
当|k|≤2时，|k|＝|3k﹣5|，
∴k＝3k﹣5或k+3k﹣5＝0，
解得 或 （舍）．
综上，k的值为 或 ．
【点睛】本题考查了点的坐标，掌握点到坐标轴的距离、解绝对值方程，并理解新定义是解题的关键．
53．（2022春•阜平县期中）如图，我们把盛赞赵州桥的诗句各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中，
“苍”的坐标是（1，1）．
（1）“驾”和“留”的坐标依次是 （ 1 ， 2 ） 和 （ 7 ， 4 ） ；
（2）将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“梁”由开始的坐标最终变换为 （ 7 ， 3 ）
；
（3）“桥”开始的坐标是 （ 4 ， 4 ） ，使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列
对调？
【分析】（1）根据平面直角坐标系内点的坐标是：前横后纵，中间逗号隔开，可得答案；
（2）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案；
（3）根据行对调，纵坐标变化，列对调，横坐标变化，可得答案．
【详解】解：（1）“驾”和“留”的坐标依次是：（1，2）和 （7，4）；
（2）将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“梁”由开始的坐标最终变换为：（7，3）；（3）“桥”开始的坐标是（4，4），使它的坐标变换到（5，3），应该第4行与第3行对调，同时第4
列与第5列对调．
故答案为：（1，2），（7，4）；（7，3）；（4，4），第4行与第3行对调，同时第4列与第5列对
调．
【点睛】本题考查了坐标确定位置，点的坐标是前横后纵，中间逗号隔开，注意行对调，纵坐标变化，
列对调，横坐标变化．
54．（2022春•十堰期中）综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点A（﹣6，3），B（﹣4，﹣5），C（8，0），D（2，
7），连接AB，BC，CD，DA，BD，并依次取AB，BC，CD，DA，BD的中点E，F，G，H，I，分别
写出E，F，G，H的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若
线段PQ两端点坐标分别为P（x ，y ）、Q（x ，y ），线段PQ的中点是R（x ，y ），请用等式表示
1 1 2 2 0 0
你所观察的规律 ，并用 G，I 的坐标验证规律是否正确 是 （填“是”或
“否”）；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点M （﹣9，5），点M （11，17），则线段M M 的中点M的坐标为 （ 1 ， 1 1 ） ；
1 2 1 2
②已知点N是线段N N 的中点，且点N （﹣12，﹣15），N（1，2），求点N 的坐标．
1 2 1 2【分析】（1）根据图形直接读出坐标即可；
（2）根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标
的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，将规律用等式表示出来，再将G，I坐标代入等式验证即可；
（3）①根据（2）中得到的规律直接求解即可；
②先设点N 的坐标为（m，n），再根据（2）中得到的规律直接求解即可．
2
【详解】解：（1）根据图形可以直接读取各点坐标，E（﹣5，﹣1），F（2，﹣ ），G（5， ），H
（﹣2，5），I（﹣1，1），
∴E，F，G，H的坐标分别为：E（﹣5，﹣1），F（2，﹣ ），G（5， ），H（﹣2，5）；
（2）根据各点坐标可以发现，线段中点坐标的纵坐标值为线段两端点纵坐标和的一半，线段中点坐标
的横坐标值为线段两端点横坐标和的一半，
∵P（x ，y ）、Q（x ，y ），线段PQ的中点是R（x ，y ），
1 1 2 2 0 0
∴ ，
∵B（﹣4，﹣5），C（8，0），D（2，7），G（5， ），I（﹣1，1），G、I分别为线段CD、BD的中点，
∴检验得， ， ，
∴通过G，I的坐标验证规律是正确的，
故答案为： ，是；
（3）①∵点M （﹣9，5），点M （11，17），
1 2
∴根据（2）中发现的规律，线段M M 的中点M的坐标为（ ， ）＝（1，11），
1 2
故答案为：（1，11）；
②设点N 的坐标为（m，n），
2
∵点N是线段N N 的中点，且点N （﹣12，﹣15），N（1，2），
1 2 1
∴ ，
∴ ，
∴点N 的坐标为（14，19）．
2
【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．
55．（2022春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下：
①f（a，b）＝（﹣a，b）．如：f（7，3）＝（﹣7，3）；
②g（a，b）＝（b，a）．如：g（7，3）＝（3，7）；
③h（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：h（7，3）＝（﹣7，﹣3）；
例如：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（3，2）
规定坐标的部分规则与运算如下：
①若a＝b，且c＝d，则（a，c）＝（b，d），反之若（a，c）＝（b，d），则a＝b，且c＝d．
②（a，c）+（b，d）＝（a+b，c+d）；（a，c）﹣（b，d）＝（a﹣b，c﹣d）．
例如：f（g（2，﹣3））+h（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）+h（﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝
（6，0）．请回答下列问题：
（1）化简：f（h（6，﹣3））＝ （ 6 ， 3 ） （填写坐标）；
（2）化简：h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝ （﹣ 3 ， 1 ） （填写坐标）；
（3）若f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））且k为绝对
值不超过5的整数，点P（x，y）在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值．
【分析】（1）根据新定义进行化简即可．
（2）根据新定义进行化简即可．
（3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式
求解即可．
【详解】解：（1）f（h（6，﹣3））＝f（﹣6，3）＝（6，3），
故答案为：（6，3）；
（2）h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝h（1，﹣2）﹣g（1，2）＝（﹣1，2）﹣（2，1）
＝（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）；
（3）f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝f（﹣kx，2x）﹣h（﹣1﹣y，﹣2）＝（kx，2x）﹣
（1+y，2）＝（kx﹣1﹣y，2x﹣2），
h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））＝h（﹣1，ky﹣1）+f（﹣y，﹣x）＝（1，1﹣ky）+（y，﹣x）
＝（y+1，1﹣ky﹣x），
∵f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x）），
∴（kx﹣1﹣y，2x﹣2）＝（y+1，1﹣ky﹣x），
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点P（x，y）在第三象限，
∴ ，∴k＜﹣3，
∵k为绝对值不超过5的整数，
∴k的所有可能取值为﹣4、﹣5．
【点睛】本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力，读懂题意，找出变换规律是解答此题的关键．
56．（2022春•鱼台县期中）如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：
（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．
（2）写出体育场、宾馆的坐标．
（3）图书馆的坐标为（﹣4，﹣3），请在图中标出图书馆的位置．
【分析】（1）确定原点位置，建立直角坐标系，如图所示；
（2）根据坐标系表示两地的坐标．
（3）根据点的坐标标出位置即可．
【详解】解：（1）以火车站为坐标原点建立的平面直角坐标系如图所示：
（2）体育场（﹣4，3）、宾馆（2，2）；
（3）图书馆位置如图所示．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系的建立，与点的坐标的书写，由于所写点的位置比较多，可以根据象限的顺序依次写出，避免重写或漏写．
57．（2022春•中山市期中）已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3；
（3）点P在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上．
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可；
（2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出m的值，再求解即可；
（3）根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1）在x轴上，
∴m﹣1＝0，
解得m＝1，
∴2m+4＝2×1+4＝6，
m﹣1＝0，
所以，点P的坐标为（6，0）；
（2）∵点P（2m+4，m﹣1）的纵坐标比横坐标大3，
∴m﹣1﹣（2m+4）＝3，
解得m＝﹣8，
∴2m+4＝2×（﹣8）+4＝﹣12，
m﹣1＝﹣8﹣1＝﹣9，
∴点P的坐标为（﹣12，﹣9）；
（3）∵点P（2m+4，m﹣1）在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上，
∴2m+4＝2，
解得m＝﹣1，
∴m﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，
∴点P的坐标为（2，﹣2）．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标
特征是解题的关键．
58．（2022秋•深圳校级期中）综合与实践
问题背景：（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个
点，并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P （ 2 ， 2 ） ，P （﹣ 1 ，﹣
1 2 1 2
2 ） ．
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的
1 1 2 2
中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，
y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点 H
的坐标．
【分析】（1）根据坐标的确定方法直接描点，：分别读出各点的纵横坐标，即可得到各中点的坐标；
（2）根据（1）中的坐标与中点坐标找到规律；
（3）利用（2）中的规律进行分类讨论即可答题．
【详解】解：（1）如图：A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系
中描出它们如下：
线段AB和CD中点P 、P 的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）
1 2
故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．
（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的中点坐标为
1 1 2 2．
故答案为： ．
（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），
∴EF、FG、EG的中点分别为：（1， ）、（2， ）、（0，3）
∴①HG过EF中点（1， ）时， ＝1， ＝
解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；
②EH过FG中点（2， ）时， ＝2， ＝
解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；
③FH过EG的中点（0，3）时， ＝0， ＝3
解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．
∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质．通过此题，要熟记平面直角坐标系中线段中点的横坐标为对应线
段的两个端点的横坐标的平均数，中点的纵坐标为对应线段的两个端点的纵坐标的平均数．
59．（2020春•沙河口区期中）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（﹣x，yʹ），给出如下定义：
称点Q为点P的“友好点”．例如：点（1，2）的“友好点”为点（﹣1，2），点
（﹣1，2）的“友好点”为点（1，﹣2）．
根据定义，解答下列问题：
（1）点（2，3）的“友好点”为点 （﹣ 2 ， 3 ） ．
（2）点P 的“友好点”为点P ，点P 的“友好点”为点P ，点P 的“友好点”为点P ，…，以此类
1 2 2 3 3 4
推，若点P 的坐标为（m，n），m＞0，求点P 的坐标（用含m，n的式子表示）．
2020 1
（3）若点N（n，3）是M的“友好点”，M（x，y）的横纵坐标满足y＝﹣x+4，求点M的坐标．
【分析】（1）依据“友好点”的定义可得，点（2，3）的“友好点”为点（﹣2，3）；
（2）依据变化规律可得每四次变化出现一次循环，即可得到当点P 的坐标为（m，n），则点P 的
2020 1坐标为（﹣m，n）；
（3）写出点M的“友好点”坐标，分x≥0、x＜0两种情况讨论：分别把点M的“友好点”坐标代入
函数y＝﹣x+4即可得到结论．
【详解】解：（1）根据“友好点”的定义可得（2，3）的“友好点”为点（﹣2，3）；
（2）设点P 的坐标为（x，y），
1
当x≥0时，点P （x，y）的“友好点”为P （﹣x，y），
1 2
点P （﹣x，y）的“友好点”为点P （x，﹣y），
2 3
点P （x，﹣y）的“友好点”为点P （﹣x ，﹣y），
3 4 1
点P （﹣x，﹣y）的“友好点”为P （x，y），
4 5
⋯⋯故每四次出现一次循环；
当x＜0时，点P （x，y）的“友好点”为点P （﹣x，﹣y），
1 2
点P （﹣x，﹣y）的“友好点”为点P （x，﹣y），
2 3
点P （x，﹣y）的“友好点”为点P （﹣x，y），
3 4
点P （﹣x，y）的“友好点”为点P （x，y），
4 5
⋯⋯依然是每四次出现一次循环，
∵2020＝4×505，
∴点P 的坐标与P 的坐标相同，
2020 4
∵P 的坐标为（m，n）且m＞0，
2020
∴P （﹣x，y），
2020
∴x＝﹣m，y＝n，
∴P （﹣m，n），
1
故点P 的坐标为（﹣m，n）．
1
（3）M（x，﹣x+4）“友好点”为（n，3），
∴①当x≥0时，
∴M（1，3）．
②当x＜0时，综上M（1，3）．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握新定义“友好点”，
解答此题还需要根据点的坐标变化规律进行判断．
60．（2015春•鄂州校级期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA B ，
1 1
第二次将△OA B 变换成△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，依此类推，已知A（1，3），A
1 1 2 2 2 2 3 3 1
（2，3），A （4，3），A （8，3）…B（2，0），B （4，0），B
2 3 1 2
（8，0），B （16，0）…
3
①观察每次变化后的三角形，找出规律，按此规律再将
△OA B 变换成△OA B ，则A 的坐标为 （ 1 6 ， 3 ） ，B 的坐标为 （ 3 2 ， 0 ）
3 3 4 4 4 4
②若按上述规律，将三角OAB进行n次变换，得三角形△OA B ，比较每次变换三角形顶点的变化规
n n
律，探索顶点A 的坐标为 （ 2 n ， 3 ） ，顶点B 的坐标为 （ 2 n + 1 ， 0 ） ．
n n
【分析】根据图形写出点A系列的坐标与点B系列的坐标，根据具体数值找到规律即可．
【详解】解：∵A（1，3），A （2，3），A （4，3），A （8，3）…纵坐标不变为3，横坐标都和2有
1 2 3
关，为2n，
∴A （2n，3）；
n
∵B（2，0），B （4，0），B （8，0），B （16，0）…纵坐标不变，为 0，横坐标都和2有关为
1 2 3
2n+1，
∴B的坐标为B （2n+1，0）．
n
故答案为：①（16，3）（32，0）②（2n，3）（2n+1，0）．
【点睛】此题考查点的坐标问题，依次观察各点的横纵坐标，得到规律是解决本题的关键．
