文档内容
【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题6.8实数的应用大题提升训练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压
轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己
的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一．解答题（共30小题）
1．（2022秋•李沧区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长
方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算
说明该学校能否实现这个计划．
【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．
∵建一个面积为150m2的长方形花园，
∴2x•x＝150，
∴x2＝75，
∵x＞0，
∴x＝5√3，2x＝10√3，
∵正方形的面积为256m2，
∴正方形的边长为16m，
∵10√3＞16，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，学校不能实现这个愿望．
2．（2022秋•太原期中）从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本
身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式s2
＝17h来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海
边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为 34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果
保留整数，√2≈1.4）
【分析】根据题意列出关于s的式子，求出s的值即可．
【解答】解：∵眼睛距离海平面的高度约为34米，
∴s2＝17h＝17×34＝578，
∴s=√578≈24（千米）．答：他能看到大海的最远距离约是24千米．
3．（2022秋•南岗区校级期中）小李同学想用一块面积为 400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块
面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为2：3，他不知道能否裁得出来，正在发愁，这时小于
同学见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”
（1）长方形纸片的长和宽是分别多少cm？
（2）你是否同意小于同学的说法？说明理由．
【分析】（1）设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x＝300，x2＝50，
解得x＝5√2，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于15√2＞20，所以用一块面积为
400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为 300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽
之比为2：3；
（2）根据（1）中的长方形纸片的长和宽即可得出结论．
【解答】解：（1）解：设长方形纸片的长为3x（x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得，
3x•2x＝300，
6x2＝300，x2＝50，
∵x＞0，
∴x=√50=5√2，
∴长方形纸片的长为15√2 cm，
答：长方形纸片的长是15√2cm，宽是10√2cm；
（2）不同意小于同学的说法．
理由：∵50＞49，
∴5 √2＞7，
∴15√2＞21．
∴长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400cm2，可知其边长为20cm，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
4．（2022秋•萧县期中）电流通过导线时会产生热量，且满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：
J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位： ），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为
5 ，2s时间导线产生90J的热量，求电流的值． Ω
【Ω分析】通过分析题目列出正确的方程式，结合实际情况求出正确的解．
【解答】解：由题意可得R＝5 ，t＝2s，Q＝90J，
∴90＝I2×5×2， Ω∴I2＝9，
∴I＝±3（负值不符合实际情况，舍去）
∴电流的值是3A．
5．（2022秋•兰考县月考）2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大
会堂隆重举行．习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天．一个民族只有寄望青春、
永葆青春，才能兴旺发达．为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为1100m2的正方形
5
空地上建一个足球场以供全民健身．已知足球场的面积为 540m2，其中长是宽的 倍，足球场的四周必
3
须留出1m宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场？
【分析】求出足球场的长、宽，再求出正方形的边长，比较长方形的长加 1，即（长+2）与正方形边长
的大小关系即可．
5
【解答】解：设足球场的宽为xm，则长为 xm，由题意得，
3
5
x2=540，
3
解得x＝18（取正值），
5
x＝30，
3
即足球场的长为30m，宽为18m，
又∵正方形空地的面积为1100m2，
∴正方形的边长为√1100m，
∵332＝1089，342＝1156，
∴33＜√1100＜34，
又∵30+2＜33，
∴可以建一个符合规定的足球场．
6．（2022春•如皋市期中）小丽手中有块周长为120cm的长方形硬纸片，其长比宽多10cm．
（1）求长方形的面积；
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为 7：5，面积为805cm2的长
方形纸片，试判断小丽能否成功，并说明理由．
【分析】（1）根据题意求出长方形的长和宽即可求解；
（2）根据题意可设长与宽分别为7acm，5acm，再根据长方形面积为805cm2可列出方程7a×5a＝805，解出方程即可求解．
【解答】解：（1）设长为xcm，宽为ycm，
{2(x+ y)=120
则 ，
x−y=10
{x=35
解得： ，
y=25
所以长方形的面积为：35×25＝875（cm2）；
（2）根据题意可设长与宽分别为7acm，5acm，
则7a×5a＝805，
35a2＝805，
a2＝23，
a=√23或−√23，
∵a＞0，
∴a=√23，
∴裁出的长方形长为7√23cm，宽为5√23cm，
∵4＜√23＜5，
∴28＜7√23＜35，20＜5√23＜25，
∴小丽能成功裁出这样的长方形．
7．（2022秋•市北区校级月考）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为3：1，面积为
75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的
正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
【分析】（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，则3x⋅x=75，再利用平方根的含义解方程
即可；
（2）设正方形的边长为y，根据题意可得，y2＝75，利用平方根的含义先解方程，再比较5√3−5与3
的大小即可．
【解答】解：（1）根据题意设长方形的长为3xcm，宽为xcm，
则3x•x＝75，
即x2＝25，
∵x＞0，∴x＝5，
∴3x＝15，
答：长方形的长为15cm，宽为5cm．
（2）设正方形的边长为ycm，根据题意可得，
y2＝75，
∵y＞0，
∴y=√75，
∵原来长方形的宽为5cm，
∴正方形的边长与长方形的宽之差为：√75−5，
∵√64＜√75＜√81，
即8＜√75＜9，
∴3＜√75−5＜4，
所以她的说法正确．
8．（2022春•武邑县校级期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商
为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：
3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否
够用？试利用所学知识说明理由．
【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可；
（2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方
形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用．
【解答】解：（1）√400=20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．
由题意有：3a×5a＝315，
解得：a=±√21，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a=√21，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16√21（m），∵80＝16×5＝16×√25＞16√21，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
9．物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式h＝5t2来估计，其中t（秒）表示物体下落所经过的时间．
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式．
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）？
【分析】（1）先将t2的系数化为1，再根据算术平方根的定义可得；
（2）将h＝54.5代入计算可得．
【解答】解：（1）∵h＝5t2，
∴t2= ℎ ，
5
√ℎ √5ℎ
∴t= = ；
5 5
√54.5
（2）当h＝54.5时，t= =√10.9≈3.3（秒），
5
答：落到地面约需3.3秒．
10．（2021春•饶平县校级期末）某同学想用一块面积为400cm2的正方形纸片，（如图所示）沿着边的方
向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为6：5，请你用所学过的知识来说明能否用
这块纸片裁出符合要求的纸片．
【分析】先设长方形纸片的长为 6x （x＞0）cm，则宽为5x cm，根据长方形的面积公式有 6x⋅5x＝
300，解得x=√10（负数舍去），易求长方形纸片的长是6√10，再去比较6√10与正方形的边长大小即
可．
【解答】解：设长方形纸片的长为6x （x＞0）cm，则宽为5x cm，依题意得6x⋅5x＝300，
30x2＝300，
x2＝10，
∵x＞0，
∴x=√10，
∴长方形纸片的长为6√10cm，
由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm，
∵6√10≈18.974，即长方形纸片的长小于20cm，
∴长方形纸片的长小于正方形纸片的边长．
答：能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
11．（2020春•崆峒区期末）如图用两个面积为5cm2的小正方形按如图所示的方式拼成一个大正方形．
（1）求大正方形的边长；
（2）想在这个大正方形的四周粘上彩纸，请问12cm长的彩纸够吗？请说明理由．
【分析】（1）求出大正方形的面积，利用算术平方根性质求出边长即可；
（2）不够，由彩纸确定出分到每条边的长，比较即可．
【解答】解：（1）因为大正方形的面积为10cm2，
所以大正方形的边长为√10cm；
（2）不够，理由如下：
因为分到每条边的彩纸长为12÷4＝3cm，且3cm＜√10cm，
所以12cm长的彩纸不够．
12．（2021春•天河区期末）数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和
宽；
（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形
的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为 50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，
由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．【分析】（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；
（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即
可得到大正方形的面积．
【解答】解：（1）设长为3x，宽为2x，
则：3x•2x＝30，
∴x=√5（负值舍去），
∴3x＝3√5，2x＝2√5，
答：这个长方形纸片的长为3√5，宽为2√5；
（2）正确．理由如下：
根据题意得：{2[(a+b)+a]=50，
4b+2(a−b)=30
{a=10
解得： ，
b=5
∴大正方形的面积为102＝100．
13．（2022春•思明区校级期末）如图，计划围一个长方形场地ABCD（AB＜BC），面积为50米2，一边
靠墙（墙长为10米），另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为5：2．请判断这样的计划能实现
吗，为什么？
【分析】先根据计划列方程求解，再根据计算结果不符合实际得此题结论．
【解答】解：这样的计划不能实现．
设它的长与宽各为5x米和2x米，
得5x×2x＝50，
∴10x2＝50，
两边都除以10得，
x2＝5，解得x=√5或x=−√5（不合实际，舍去），
∵5x＝5√5＞10，
∴这样的计划不能实现．
14．（2022秋•禅城区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积
为16cm2的大正方形纸片如图（2）．
（1）原小正方形的边长为 2√2 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为 2：1，且面积为
12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，
请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据大正方形纸片的面积求出小正方形纸片的面积，再进一步求出小正方形纸片的边长；
（2）根据剪出的长方形面积为12cm2，列方程求出长方形的长，然后与大正方形纸片的边长比较进行
判断即可；
（3）根据大正方形的面积等于5个小正方形的面积确定大正方形的边长，然后根据图（3）的纸片确定
大正方形即可．
【解答】解：（1）∴小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为16÷2＝8（cm2），
设小正方形的边长为a，
则a2＝8，
∴a＝±2√2（舍去负值），
∴a＝2√2．
∴小正方形的边长为2√2cm，
故答案为：2√2．
（2）不能剪出符合要求的长方形纸片，理由如下：
设剪出来的长方形长为2xcm，宽为xcm，
依题意得2x•x＝12，∴x=√6或x=−√6（舍去），
∴长为2√6＞4，
∴不能剪出符合要求的长方形纸片；
（3）∵一共有5个小正方形，那么组成的大正方形的面积为5，边长为√5，
画出示意图如图，
15．（2020秋•萍乡月考）如图，小丽想用一张长为30cm，宽为25cm的长方形纸片，沿着边的方向裁出
一张面积为650cm2的正方形纸片，小丽能用这张纸片裁出符合要求的纸片吗？请通过比较纸片边长的
大小进行说明．
【分析】根据正方形的面积以及算术平方根的定义表示出面积650cm2的正方形的边长，再与长方形的
宽进行比较即可．
【解答】解：不能
因为正方形纸片的边长为√650cm，25=√625，
且√650＞√625．
即√650＞25
所以小丽不能裁出符合要求的纸片．
16．（2022•南京模拟）如图，用两个边长为√8cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 4 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为
12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；（2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可．
【解答】解：（1）大正方形的边长是 4（cm）；
√2×(√8) 2=
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则2x•3x＝12，
解得：x=√2，
3x＝3√2＞4，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为 3：2，且面积为
12cm2．
17．（2020秋•遵化市期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长
宽之比为7：4．
（1）求该长方形的长宽各为多少？
（2）农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为
4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请
问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为7：4设长为7x米，宽为4x米，以面积为700平方米作等量
关系列方程．用求算术平方根方法解得x的值．
（2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，根据面积之和为600m2，列出方程求出
y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
【解答】解：（1）设该长方形花坛长为7x米，宽为4x米，
依题意得：7x×4x＝700，
x2＝25，
∴x＝5（﹣5不合题意舍去）
∴7x＝35，4x＝20，
答：该长方形的长35米，宽20米；
（2）设大正方形的边长为4y米，则小正方形的边长为3y米，依题意有（4y）2+（3y）2＝600，
25y2＝600，
y2＝24，
y=2√6，
4y=8√6，
3 y=6√6，
∵8√6+6√6=14√6＜35，8√6＜20，
∴能改造出这样的两块不相连的正方形试验田；
14√6×4=56√6，（35+20）×2＝110，
∵56√6＞110，
∴原来的铁栅栏围墙不够用．
18．（2021秋•江干区校级期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9．
（1）小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？并说明理由．
（2）求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据算术平方根可得小正方形的边长，估算√6在2和3之间；
（2）利用长×宽可得结论．
【解答】解：（1）∵小正方形的面积为6，
∴小正方形的边长为√6，
∵4＜6＜9，
∴2＜√6＜3，
∴小正方形的边长在2和3之间；
（2）阴影部分的面积=√6×（3−√6）＝3√6−6．
19．（2020春•顺义区期末）公园里有一个边长为 8米的正方形花坛，如图所示，现在想扩大花坛的面积．
要使花坛的面积增加80平方米后仍然是正方形，求边长应该延长多少米？【分析】设边长应该延长x米，根据题意得到改造后花坛的边长长为（x+8）米，则其面积为（64+80）
平方米，然后根据正方形的面积为（x+8）2＝（64+80）平方米可得到答案．
【解答】解：设边长应该延长x米，根据题意，得
（x+8）2＝64+80，
（x+8）2＝144，
∴x+8=√144=12（负值舍去），
∴x＝4，
答：边长应该延长4米．
20．（2022春•罗庄区期末）如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是 2 0 cm ；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积
为360cm2？
【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可；
（2）先求出长方形的边长，再判断即可．
【解答】解：（1）大正方形的边长是√200×2=√400=20（cm）；
故答案为：20cm；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x•3x＝360，
解得：x=√30，
4x＝4√30=√480＞20，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为 4：3，且面积为
360cm2．
21．（2019春•江岸区校级期中）如图是一块正方形纸片．（1）如图1，若正方形纸片的面积为2dm2，则此正方形的边长BC的长为 √2 dm，对角线AC的长
为 2 dm．
（2）如图2，若正方形的面积为16cm2，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12cm2的长
方形纸片，使它的长和宽之比为3：2，他能裁出吗？请说明理由．
（3）若一圆的面积与这个正方形的面积都是2 cm2，设圆的周长为C圆 ，正方形的周长为C正 ，试比较
C圆 与C正 的大小． π
【分析】（1）按照正方形的面积与边长的关系、正方形的面积与对角线的关系可得答案．
（2）设裁出的长方形的长为3a（cm），宽为2a（cm），由题意得关于a的方程，解得a的值，从而可
得长方形的长和宽，将其与正方形的边长比较，可得答案．
（3）分别根据圆的面积和正方形的面积得出其半径或边长，再分别求得其周长，根据实数大小比较的
方法，可得答案．
【解答】解：（1）∵正方形纸片的面积为2dm2，而正方形的面积等于边长的平方，
∴BC=√2dm，
∵正方形的面积也等于对角线×对角线÷2，AC＝BD，
1 1
∴ AC•BD= AC2＝2，
2 2
∴AC2＝4，
∴AC＝2．
故答案为：√2，2．
（2）不能裁出长和宽之比为3：2的长方形，理由如下：
设裁出的长方形的长为3a（cm），宽为2a（cm），由题意得：
3a×2a＝12，
解得a=√2或a=−√2（不合题意，舍去），
∴长为3√2cm，宽为2√2cm，
∵正方形的面积为16cm2，
∴正方形的边长为4cm，∵3√2＞4，
∴不能裁出长和宽之比为3：2的长方形．
（3）∵圆的面积与正方形的面积都是2 cm2，
∴圆的半径为√2（cm），正方形的边长π为√2π（cm），
∴C圆 ＝2
√2 =√8π2
（cm），C正 ＝4
√2π=√32π
（cm），
π
∵32 ＝8 ×4＞8 × ，
∴ π π π，π
√32π＞√8π2
∴C圆 ＜C正 ．
22．（2021春•梁子湖区校级期末）某工厂要新建一个800平方米的长方形场地，且其长、宽的比为5：
2．
（1）求这个长方形场地的长和宽为多少米？
（2）某个正方形场地的周围有一圈金属栅栏围墙，如果把原来面积为 900平方米的正方形场地的栅栏
围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么？
（提示：4√5×4√5=80）
【分析】（1）根据长宽的比例设长为5x米，宽为2x米，由长方形的面积得5x•2x＝800，利用算术平
方根的定义求出x的值，从而得出答案；
（2）先根据正方形的面积求出正方形的边长，继而得出其周长，即栅栏的长度，再求出长方形的周长
比较大小即可得出答案．
【解答】解：（1）设长方形场地的长为5x米，宽为2x米，
根据题意知，5x•2x＝800，
解得x＝4√5或x＝﹣4√5（舍去），
∴这个长方形场地的长为20√5米，宽为8√5米；
（2）栅栏围墙不够用，
因为正方形场地的面积为900平方米，
所以正方形场地的边长为30米，
则正方形的周长，即栅栏的长度为120米，
长方形场地的周长为2×（20√5+8√5）＝56√5（米），
∵56√5＞120，∴栅栏围墙不够用．
23．（2019秋•金水区校级月考）某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间 t（h）可以用下面的公式来估
d3
计：t2= ，其中d（km）是雷雨区域的直径．
900
（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果如有根号，请保留根
号）
（2）如果一场雷雨持续了0.9h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？
d3
【分析】（1）根据：t2= ，其中d＝6（km）是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案；
900
d3
（2）根据：t2= ，其中t＝0.9h是雷雨区域的直径，开平方的意义，可得答案．
900
d3
【解答】解：（1）根据：t2= ，其中d＝6（km），
900
t √ 63 √6（h），
= =
900 5
√6
答：这场雷雨大约能持续 h；
5
d3
（2）根据：t2= ，其中t＝0.9h，
900
d＝9（km），
答：这场雷雨区域的直径大约是9km．
24．（2019春•黄陂区期中）有一块面积为100cm2的正方形纸片．
（1）该正方形纸片的边长为 1 0 cm（直接写出结果）；
（2）小丽想沿着该纸片边的方向裁剪出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3．小
丽能用这块纸片裁剪出符合要求的纸片吗？
【分析】（1）根据算术平方根的定义直接得出；
（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据算术平方根定义可得，该正方形纸片的边长为10cm；
故答案为：10；
（2）∵长方形纸片的长宽之比为4：3，
∴设长方形纸片的长为4xcm，则宽为3xcm，则4x•3x＝90，
∴12x2＝90，
30
∴x2= ，
4
√30 √30
解得：x= 或x= （负值不符合题意，舍去），
2 2
∴长方形纸片的长为2√30cm，
∵5＜√30＜6，
∴10＜2√30，
∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
25．（2022春•丹凤县期末）小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一
块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：
“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能
用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
【分析】先求得正方形的边长，然后设长方形的宽为 xcm，则长为2xcm，然后依据矩形的面积为20cm2
列方程求得x的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【解答】解：不同意，因为正方形的面积为36cm2，故边长为6cm，
设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
长方形面积＝x⋅2x＝2x2＝20，解得x=√10，
长为2√10cm＞6cm，
即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
26．（2022春•鼓楼区校级期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为1100m2的正方
5
形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为540m2，其中长是宽的 倍，篮球场的四周必须留出1m
3
宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【分析】直接用同一未知数表示出篮球场的宽，进而利用x的值得出答案．
5
【解答】解：设篮球场的宽为x m，那么长为 x m，
35
根据题意，得 x•x＝540，
3
所以 x2＝324，
因为x为正数，所以：x＝18，
5 5
又因为（( x+2) 2=( ×18+2) 2=1024＜1100，
3 3
所以能按规定在这块空地上建一个篮球场．
27．（2019秋•城固县期中）王师傅有一根长40m的钢材，他想将这段钢材锯断后焊成三个面积分别为
3m2，12m2，48m2的正方形铁框，问王师傅的钢材够用吗？请通过计算说明理由．
【分析】根据正方形的面积公式求出各边的长，再根据每个正方形有4条边，从而求出每个正方形所耗
费的钢材，再把三个耗费的钢材加起来，和40m进行比较即可．
【解答】解：∵正方形的面积是3m2，
∴它的边长是√3，
∴所耗费的钢材是4×√3=4√3（m），
∵正方形的面积是12m2，
∴它的边长是2√3，
∴所耗费的钢材是4×2√3=8√3（m），
∵正方形的面积是48m2，
∴它的边长是4√3，
∴所耗费的钢材是4×4√3=16√3（m），
∴所耗费的钢材的总长度是4√3+8√3+16√3=28√3（m），
∵28√3≈48.5，48.5＞40，
∴王师傅的钢材不够用．
28．一块长方形纸片的面积是300cm2，长、宽之比为3：2．
（1）求这块长方形纸片的长与宽；（结果保留根号）
（2）小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出这个长方形，她能完成吗？
【分析】（1）设面积为300平方厘米的长方形的长，宽分别为 3xcm，2xcm，根据面积公式得到方程
3x•2x＝300（x＞0），解方程得到x的值，从而得到长方形的长和宽；
（2）设面积为400cm2的正方形纸片的边长为xcm，根据面积公式得到方程x2＝400（x＞0），解方程，
得到x的值，从而得到正方形的边长；最后根据长方形的长与正方形的边长进行比较即可得解．
【解答】解：（1）设面积为300cm2的长方形的长，宽分别为3xcm，2xcm（x＞0），则3x•2x＝300，
∴6x2＝300，
即x2＝50，
解得x＝5√2（负值舍去），
∴2x＝2×5√2=10√2，3x＝3×5√2=15√2，
∴面积为300cm2的长方形的长，宽分别为15√2cm，10√2cm．
（2）设面积为400cm2的正方形的边长为xcm（x＞0），则x2＝400，
解得x＝20（负值舍去），
∴面积为400cm2的正方形的边长为20cm．
∵202＝400＜（15√2）2＝450，
∴20＜15√2，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
29．（2019秋•榆次区期中）为庆祝祖国70华诞，某小区计划在一块面积为196m2的正方形空地上建一个
面积为100m2的长方形花坛（长方形的边与正方形空地的边平行），要求长方形的长是宽的 2倍．请你
通过计算说明该小区能否实现这个愿望？
【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．
2x•x＝100，
∴x2＝50，
∵x＞0，
∴x=√50，2x＝2√50，
∵正方形的面积＝196m2，
∴正方形的边长为14m，
∵2√50＞14，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，开发商不能实现这个愿望．
30．（2022•南京模拟）列方程解答下面问题．
小丽手中有块长方形的硬纸片，其中长BC比宽AB多10cm，长方形的周长是100cm．
（1）求长方形的长和宽；
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为 5：4，面积为520cm2的新
纸片作为他用．试判断小丽能否成功，并说明理由．【分析】（1）设长方形的宽AB为xcm，长BC为（10+x）cm，根据长方形的周长是100cm，即可得出
关于x的一元一次方程，解之即可得出得出x的值即可解决问题；
（2）设新长方形纸片的长为5a（a＞0）cm，则宽为4acm，根据新纸片的面积，即可得出关于a的一元
二次方程，解之即可得知a值，再由4a＝4√26＞20，即可得出小丽不能成功．
【解答】解：（1）设AB＝xcm，则BC＝（10+x）cm，
依题意有：2[x+（10+x）]＝100，
∴x＝20，
答：长方形的长为30cm，宽为20cm．
（2）设新长方形的长为5acm，宽为4acm，
则5a×4a＝520，
∴a=√26，
即新长方形的长为5√26cm，宽为4√26cm，
∵26＞25，
∴√26＞5即4√26＞20，
故小丽不能成功．
答：小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片．
