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【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
期中必刷真题03（解答易错60道提升练，七下人教）
一．解答题（共60小题）
1．（2022春•黔东南州期中）将下列各数填入相应的集合内：﹣7，0.32， ， ， ， ， ，
0.1010010001…． π
（1）有理数集合： ；
（2）无理数集合： ；
（3）整数集合： ．
2．（2022春•红花岗区校级期中）求下列各式中x的值：
（1）4（x+1）2＝49；
（2）（3x﹣1）3+64＝0．
3．（2022秋•永善县期中）（1）计算： ﹣（﹣1）2021 ﹣|1﹣ |；
（2）解方程：4x2﹣9＝0．
4．（2022春•青秀区校级期中）已知正数x的两个不等的平方根分别是2a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣
3，c是 的整数部分．
（1）求x和b的值；
（2）求a﹣b+c的平方根．
5．（2022秋•锦江区校级期中）已知3a+b﹣1的平方根是±3，c是 的整数部分，求6a+2b﹣c2的值．
6．（2022春•开封期中）已知：3a+1的立方根是﹣2，2b﹣1的算术平方根是3，c是 的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求2a﹣b+ 的平方根．
7．（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环
小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（ ）2＜22，∴1＜ ＜2．于是可以用
﹣1来表示 的小数部分，又例如：∵22＜（ ）2＜32，即2＜ ＜3，∴ 的整数部分是2，
小数部分是 ﹣2．请解答下列问题：（1） 的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知a是3+ 的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．
8．（2022秋•房山区期中）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣2，B表示的数为2，AB表示A，
B两点之间的距离．若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝n，则称点C为点A，B的“n节点”．例如
图1所示，若点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4，则称点C为点A，B的“4节点”
（1）若点C为点A，B的“n节点”，且点C在数轴上表示的数为﹣3，则n＝ ；
（2）若点D为点A，B的“ 节点”，请直接写出点D在数轴上表示的数为 ；
（3）若点E在数轴上（不与A，B重合），满足A，E两点之间的距离是B，E两点之间的距离的 倍，
且点E为点A，B的“n节点”，求n的值．
9．（2022秋•南溪区期中）观察如图1所示图形，每个小正方形的边长为1．
（1）则图中阴影部分的面积是 ，边长是 ，并在数轴上（图2）准确地作出表示阴影
正方形边长的点．
（2）已知x为阴影正方形边长的小数部分，y为 的整数部分，
求：①x，y的值：
②（x+y）2的算术平方根．
10．（2022秋•滨江区校级期中）（1）已知 +7的小数部分是a，7﹣ 的小数部分是b，求a+b的值；
（2）设5+ 的整数部分用a表示，小数部分用b表示，3﹣ 的整数部分用c表示，小数部分用d表
示，求ab﹣cd的值．
11．（2022秋•海曙区期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4.1]＝4．
（1）则[11.8]＝ ；[﹣11.9]＝ ；（2）现对119进行如下操作：119 [ ]＝10 [ ]＝3 [ ]＝1，这样对119只需
进行3次操作后变为1．
①对15进行1次操作后变为 ，对200进行3次操作后变为 ；
②对实数m恰进行2次操作后变成1．则m最小可以取到 ；
③若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．
12．（2022秋•漳州期中）下面是小李同学探索 的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是 ，且 ，
∴设 ，其中0＜x＜1，画出如图示意图，
∵图中S正方形 ＝102+2×10•x+x2，S正方形 ＝107
∴102+2×10•x+x2＝107
当x2较小时，省略x2，得20x+100≈107，得到x≈0.35，即 ．
（1） 的整数部分是 ；
（2）仿照上述方法，探究 的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
13．（2022秋•沈北新区期中）（1）设 的小数部分为b，求b（4+b）的值；
（2）已知 ， ，求x2+y2的值．
14．（2022秋•如皋市期中）如图，将一根长为a的长方形木条放在数轴上，木条的左、右两端分别与数
轴上的点A，B重合（点A在点B的左边）．
【初步思考】
（1）若a＝5，当点A表示的数为﹣2时，点B表示的数为 ；
【数学探究】
（2）如图2，若将木条沿数轴向右水平移动，当它的左端移动到 B点时，它的右端在数轴上所对应的数为14；若将木条沿数轴向左水平移动，当它的右端移动到 A点时，它的左端在数轴上所对应的数为
﹣10．请确定a的值及图中A，B两点表示的数；
【实际应用】
（3）一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要32年才出生；你若是我现在
这么大，我已经124岁，是老寿星了，哈哈！”根据以上信息可知，爷爷现在的年龄是 岁．
15．（2022秋•禅城区校级期中）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一个面积
为16cm2的大正方形纸片如图（2）．
（1）原小正方形的边长为 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形的长宽之比为 2：1，且面积为
12cm2？若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
（3）如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，
请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．
16．（2022秋•苍南县期中）如图，数轴上的点A，B分别表示数﹣7和5，图形①和图形②都由4个边长
为1个单位的正方形组成且底边均落在数轴上．开始时，图形①的顶点P与点A重合，图形②的顶点
Q与点B重合，现图形①以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，同时图形②以每秒1个单位
长度的速度向数轴正方向运动．
（1）点A与点B的距离是 个单位长度．
（2）经过多少时间后，图形①与图形②并行（点P与点Q重合），并求此时点P的数．
（3）在运动过程中，当两个图形重叠部分的面积与未重叠部分的面积之比为1：6时，则点Q表示的数
是 （直接写出答案）．17．（2022秋•温州期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），
（1）折叠纸片，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣2的点与表示 的点重合；
（2）折叠纸片，使表示﹣1的点与表示3的点重合，回答以下问题：
①表示5的点与表示 的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为13（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，此时点A表示
的数是 ；点B表示的数是 ．
③表示 点与表示 的点重合；
（3）已知数轴上P，Q两点表示的数分别为﹣1和3，有一只电子小蜗牛从P点出发以每秒2个单位的
速度向右移动，运动多少秒时，它到点P的距离是到点Q的距离的2倍？
18．（2022春•东莞市期中）（1）填表
a … 0.000001 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.001 0.1 100 …
（2）利用如表中的规律，解决下列问题：
①已知 ≈1.414， ≈ ；
②已知 ＝1800， ＝18，则a的值为 ．
（3）当a≥0时，比较 和a的大小．
19．（2022春•思明区校级期中）在一次活动课中，虹烨同学用一根绳子围成一个长宽之比为 3：1，面积
为75 cm2的长方形．
（1）求长方形的长和宽；
（2）她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的
正方形的边长与原来长方形的宽之差大于3cm”，请你判断她的说法是否正确，并说明理由．
20．（2022秋•萧县期中）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1 这三个数，
， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以﹣
1，﹣4，﹣9这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由．
（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值．
21．（2022春•西城区校级期中）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，求证：AB∥CD．
22．（2022春•重庆期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，
∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数．
23．（2021春•安达市校级期中）如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足
∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．
（1）直线AD与BC有何位置关系？请说明理由；
（2）求∠DBE的度数；
（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求
出∠ADB；若不存在，请说明理由．
24．（2022春•肥城市期中）如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为
F，∠1＝∠2．（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B＝54°，且∠ACD＝35°，求∠3的度数．
25．（2022春•兰山区期中）（1）如图1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM＝90°，请判
断AB与CD的位置关系并说明理由．
（2）如图2，∠M＝90°，BA∥DC，当直角顶点M移动时同∠BAM与∠MCD是否存在确定的数量关系？
并说明理由
（3）如图3，G为线段AC上一定点，点H为直线CD上一动点，BA∥DC，当点H在射线CD上运动
时（点C上时外）．
①∠BAG+∠AGH+∠DHG＝ °；
②∠CGH，∠CHG与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
26．（2022春•应城市期中）已知AB⊥AC，CD⊥AC．
（1）如图1，求证：∠E＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠B，∠E，∠D之间满足什么关系？并说明理由．
（3）如图3，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间满足什么关系？请直接写出结论．27．（2022春•鄄城县期中）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D、F，点M、G
在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，MD与GF是否平行？为什么？
28．（2022春•泰山区期中）如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且BE⊥DE．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，射线BF、DF分别在∠ABE、∠CDE内部，且∠BFD＝30°，当∠ABE＝3∠ABF，试探求
的值．
29．（2022春•汉川市期中）已知AB∥CD，点E在直线AB上，点F在直线CD上．
（1）如图1，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4．
①若∠4＝38°，求∠1的度数；
②试判断EM与FN的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，EG平分∠MEF，EH平分∠MEB，直接写出∠GEH与∠EFC的数量关系．30．（2022春•临高县期中）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，
∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．
（1）求证：CE∥GF．
（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由．
（3）若∠EHF＝92°，∠D＝40°，求∠AEM的度数．
31．（2022春•建华区校级期中）已知直线AB∥CD，直线EF与直线AB、CD分别相交于点E、F．分别
写出三个图中∠EPF、∠PEB、∠PFD之间的数量关系，并在图一或图二中选择一个进行证明．
32．（2022春•惠城区校级期中）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，若∠A﹣∠C＝10°，求∠A的度数；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，则∠ABD与∠C相等吗？试说明理由；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线DM上，且BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若
∠DBC＝140°，求∠EBC的度数．33．（2022春•红花岗区校级期中）如图（1），∠DAB+∠ABC+∠BCE＝360°．
（1）求证：AD∥CE；
（2）在（1）的条件下，如图（2）若∠BAH＝30°，∠BCG＝40°，AP、CP分别平分∠BAH、∠BCG，
求∠APC的度数；
（2）在（1）的条件下，如图（3），作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若∠F的余
角等于2∠B的补角，求∠BAH的度数．
34．（2022春•红花岗区校级期中）如图是由边长为1个单位的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶
点都叫做格点，三角形ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图．
（1）在图中建立直角坐标系，使得点A的坐标为（0，2）；
（2）点P（x，y）是三角形ABC内一点，将三角形ABC平移后点P对应点P'（x+8，y﹣1），画出平
移后的三角形A'B'C'；
（3）求三角形ABC的面积；
（4）设点Q在y轴上，且三角形ABQ的面积为3，求点Q的坐标．35．（2022春•湘东区期中）如图1，已知l ∥l ，MN分别和直线l 、l 交于点A、B，ME分别和直线l 、
1 2 1 2 1
l 交于点C、D．点P在MN上（P点与A、B、M三点不重合）．∠PDB＝ ，∠PCA＝ ，∠CPD＝ ．
2
α β γ
（1）如果点P在A、B两点之间运动时（如图1）， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（如图2，图α3）β， γ、 、 之间有何数量关系？请说明理由．
α β γ
36．（2022春•和平区校级期中）已知AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，点E、F分别在在射线AD、BC
上运动，满足∠AEF＝∠B，连接EG
（1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF．
证明：∵AG平分∠BAD
∴∠BAG＝∠DAG（ ）
∵∠BAG＝∠BGA
∴ ＝ （等量代换）
∴ ∥ （ ）
∴∠B+∠BAD＝180°（ ）
∵∠AEF＝∠B
∴∠AEF+∠BAD＝180°（ ）
∴AB∥EF．
（2）如图2，当点F在点G右侧时，设∠BAG＝ ，∠GEF＝ ，请直接用含 ， 的代数式表示∠AGE
的度数 ． α β α β（3）在射线BC下方有一点H，连接AH、EH，满足∠BAH＝2∠HAG，EH平分∠FEG，若∠FEG＝
20°，∠BAG＝60°，请直接写出∠AGE+∠H的度数 ．
37．（2022春•宣化区期中）如图所示，已知射线CB∥OA，AB∥OC，∠C＝∠OAB＝100°．点E、F在射
线CB上，且满足∠FOB＝∠AOB，∠COE＝∠FOE．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规律．若不变，
求出这个比值．
38．（2022春•石嘴山校级期中）如图，已知 AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不
重合），BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数．
（2）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是多少？为什么？
（3）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间
的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
39．（2022春•景德镇期中）如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，
MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为 （0＜a＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为 （0＜ ＜90°），试探究
与 之间的数量关系，并说α明理由． β β
α β
40．（2022春•芗城区校级期中）已知直线AB∥CD，点P为两直线外一点．
（1）如图1，射线PE、PF分别交直线AB、CD为点E、F．
①若∠P＝85°，则∠BEP+∠DFP＝ ；∠AEP+∠CFP＝ ．
②若∠P＝ ，
∠BEP与∠αDFP之间的数量关系是 ；（用含 的代数式表示）
∠AEP与∠CFP之间的数量关系是 ．（用含α的代数式表示）
（2）当AB、CD被第三条直线MN所截，分别交AB、αCD于点M、N．此时两平行线外部被分为四个区
域，动点P在直线MN右侧的区域内活动时（点P不在直线AB、CD、MN上），请画出示意图，写出
∠P、∠PMB、∠PND之间的数量关系，并说明理由．
41．（2022春•漳平市期中）如图1是我省同金电力科技有限公司生产的美利达自行车的实物图，图 2是它的部分示意图，AF∥CD，点B在AF上，∠CAE＝120°，∠FAE＝65°，∠CBF＝100°．试求∠DCB和
∠ACB的度数．
42．（2022春•玉州区期中）如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD
上，EF与AC相交于点G，∠BDA+∠CEG＝180°．
（1）AD与EF平行吗？请说明理由；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠EDH＝∠C，且∠F＝42°，求∠H．
43．（2022春•浦城县期中）已知直线EF∥MN，点A、B分别为EF，MN上的动点，且∠ACB＝ ，BD平
分∠CBN交EF于D． α
（1）若∠FDB＝105°， ＝90°，如图1，
①求∠DBN的度数； α
②求∠MBC与∠EAC的度数．
（2）延长AC交直线MN于G，这时 ＝80°，如图2，GH平分∠AGB交DB于点H，问∠GHB是否为
定值？若是，请直接写出定值；若不是α，请说明理由．44．（2022春•芗城区校级期中）如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的
一个动点．
（1）如图1，若∠1与∠2都是锐角，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；
（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与PQ交于点D，CA与MN
交于点E，BA与PQ交于点F，点G在线段CE上，连接DG，有∠BDF＝∠GDF， 为多少？
（3）如图 3，若点 D 是 MN 下方一点，BC 平分∠PBD，AM 平分∠CAD，已知∠PBC＝28°，求
∠ACB+∠ADB的度数．
45．（2022春•曲阜市期中）如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．
（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ （直接写出结果即可）；
（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；
（3）如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并
说明理由．46．（2022春•鹿邑县期中）在平面直角坐标系中，已知点P（8﹣2m，m﹣1）．
（1）若P到y轴的距离为2，求m的值；
（2）若点P的横纵坐标相等，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在第二象限内有一点Q，使PQ∥x轴，且PQ＝3，求点Q的坐标．
47．（2022秋•邗江区期中）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，求出m的值并写出点Q的
坐标．
（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．
（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．
48．（2022春•阜平县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点P （a，b），P （c，b），P （c，
1 2 3
d），这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 P ，P ，P 的“最佳间距”．例如：如图，点P
1 2 3 1
（﹣1，2），P （1，2），P （1，3）的“最佳间距”是1．
2 3
（1）求点Q （2，1），Q （5，3），Q （5，1）的“最佳间距”．
1 2 3
（2）已知点O（0，0），A（﹣4，0），B（﹣4，y）．
①若点O，A，B的“最佳间距”是 ，则y的值为 ．
②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为 ．
（3）当点C（0，﹣1），D（2m，﹣1），E（2m，﹣3m+2）的“最佳间距”取到最大值时，请直接写
出此时点E的坐标．
49．（2022春•崇义县期中）先阅读下面一段文字，再回答问题：
已知在平面直角坐标系xOy中对于任意两点P （x ，y ）与P （x ，y ）的“识别距离”，给出如下定
1 1 1 2 2 2
义：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P （x ，y ）与P （x ，y ）的“识别距离”为|x ﹣x |；若|x ﹣x |＜|y ﹣
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1y |，则点P （x ，y ）与P （x ，y ）的“识别距离”为|y ﹣y |．
2 1 1 1 2 2 2 1 2
（1）已知点A（﹣1，0）；B为y轴上的动点．
①若点A与点B的“识别距离”为3，写出满足条件的点B的坐标 ．
②直接写出点A与点B的“识别距离”的最小值为 ．
（2）已知点C（m， m+3），D（1，1），求点C与点D的“识别距离”的最小值及相应的点C的坐
标．
50．（2022春•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B位于y轴正半轴，AB＝4
，点C位于x轴正半轴，∠OCB＝30°．
（1）求点B，C的坐标；
（2）垂直于y轴的直线l与线段AB，BC分别交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点E作
EG⊥AC，垂足为G，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记四边形 DFGE围成的区域（不含边界）为
W．若点D的纵坐标为y ，当区域W内整点个数达到最多时，直接写出y 的取值范围．
D D
51．（2022春•东城区期中）在平面直角坐标系 xOy中，定义：d＝|x ﹣x |+|y ﹣y |为P（x ，y ），Q
1 2 1 2 1 1
（x ，y ）两点之间的“曼哈顿距离”，并称点P与点Q是“d关联”的．例如：若点M的坐标为（﹣
2 2
1，2），点N的坐标为（1，3），则点M与点N之间的“曼哈顿距离”为d＝|﹣1﹣1|+|2﹣3|＝3，且点
M与点N是“3关联”的．
（1）在D（2，0），E（1，﹣2），F（﹣1，﹣1），G（﹣0.5，1.5）这四个点中，与原点O是“2关
联”的点是 ；（填字母）
（2）已知点A（﹣2，1），点B（0，t），过点B作平行于x轴的直线l．
①当t＝﹣1时，直线l上与点A是“2关联”的点的坐标为 ；②若直线l上总存在一点与点A是“2关联”的，直接写出t的取值范围．
52．（2022春•巧家县期中）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称
为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
（1）求点B（7，﹣27）的“短距”．
（2）点P（5，m﹣1）的“短距”为3，则m的值为 ．
（3）若C（﹣2，k），D（4，3k﹣5）两点为“等距点”，求k的值．
53．（2022春•阜平县期中）如图，我们把盛赞赵州桥的诗句各选取一句整齐排列放在平面直角坐标系中，
“苍”的坐标是（1，1）．
（1）“驾”和“留”的坐标依次是 和 ；
（2）将第2行与第3行对调，再将第4列与第7列对调，“梁”由开始的坐标最终变换为 ；
（3）“桥”开始的坐标是 ，使它的坐标变换到（5，3），应该哪两行对调，同时哪两列对调？
54．（2022春•十堰期中）综合与实践：
（1）动手探索在平面直角坐标系内，已知点A（﹣6，3），B（﹣4，﹣5），C（8，0），D（2，
7），连接AB，BC，CD，DA，BD，并依次取AB，BC，CD，DA，BD的中点E，F，G，H，I，分别
写出E，F，G，H的坐标；
（2）观察归纳以上各线段两端点的横、纵坐标与该线段中点的横、纵坐标之间的对应关系，猜想：若
线段PQ两端点坐标分别为P（x ，y ）、Q（x ，y ），线段PQ的中点是R（x ，y ），请用等式表示
1 1 2 2 0 0
你所观察的规律 ，并用G，I的坐标验证规律是否正确 （填“是”或“否”）；
（3）实践运用利用上面探索得到的规律解决问题：
①若点M （﹣9，5），点M （11，17），则线段M M 的中点M的坐标为 ；
1 2 1 2
②已知点N是线段N N 的中点，且点N （﹣12，﹣15），N（1，2），求点N 的坐标．
1 2 1 255．（2022春•雨花区校级期中）对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下：
①f（a，b）＝（﹣a，b）．如：f（7，3）＝（﹣7，3）；
②g（a，b）＝（b，a）．如：g（7，3）＝（3，7）；
③h（a，b）＝（﹣a，﹣b）．如：h（7，3）＝（﹣7，﹣3）；
例如：f（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）＝（3，2）
规定坐标的部分规则与运算如下：
①若a＝b，且c＝d，则（a，c）＝（b，d），反之若（a，c）＝（b，d），则a＝b，且c＝d．
②（a，c）+（b，d）＝（a+b，c+d）；（a，c）﹣（b，d）＝（a﹣b，c﹣d）．
例如：f（g（2，﹣3））+h（g（2，﹣3））＝f（﹣3，2）+h（﹣3，2）＝（3，2）+（3，﹣2）＝
（6，0）．
请回答下列问题：
（1）化简：f（h（6，﹣3））＝ （填写坐标）；
（2）化简：h（f（﹣1，﹣2））﹣g（h（﹣1，﹣2））＝ （填写坐标）；
（3）若f（g（2x，﹣kx））﹣h（f（1+y，﹣2））＝h（g（ky﹣1，﹣1））+f（h（y，x））且k为绝对
值不超过5的整数，点P（x，y）在第三象限，求满足条件的k的所有可能取值．
56．（2022春•鱼台县期中）如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：
（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．
（2）写出体育场、宾馆的坐标．（3）图书馆的坐标为（﹣4，﹣3），请在图中标出图书馆的位置．
57．（2022春•中山市期中）已知点P（2m+4，m﹣1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大3；
（3）点P在过点A（2，﹣4）且与y轴平行的直线上．
58．（2022秋•深圳校级期中）综合与实践
问题背景：
（1）已知A（1，2），B（3，2），C（1，﹣1），D（﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个
点，并分别找到线段AB和CD中点P 、P ，然后写出它们的坐标，则P ，P ．
1 2 1 2
探究发现：
（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x ，y ），（x ，y ），则线段的
1 1 2 2
中点坐标为 ．
拓展应用：
（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），第四个点H（x，
y）与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点 H
的坐标．
59．（2020春•沙河口区期中）平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（﹣x，yʹ），给出如下定义：
称点Q为点P的“友好点”．例如：点（1，2）的“友好点”为点（﹣1，2），点（﹣1，2）的“友好点”为点（1，﹣2）．
根据定义，解答下列问题：
（1）点（2，3）的“友好点”为点 ．
（2）点P 的“友好点”为点P ，点P 的“友好点”为点P ，点P 的“友好点”为点P ，…，以此类
1 2 2 3 3 4
推，若点P 的坐标为（m，n），m＞0，求点P 的坐标（用含m，n的式子表示）．
2020 1
（3）若点N（n，3）是M的“友好点”，M（x，y）的横纵坐标满足y＝﹣x+4，求点M的坐标．
60．（2015春•鄂州校级期中）如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA B ，
1 1
第二次将△OA B 变换成△OA B ，第三次将△OA B 变换成△OA B ，依此类推，已知A（1，3），A
1 1 2 2 2 2 3 3 1
（2，3），A （4，3），A （8，3）…B（2，0），B （4，0），B
2 3 1 2
（8，0），B （16，0）…
3
①观察每次变化后的三角形，找出规律，按此规律再将
△OA B 变换成△OA B ，则A 的坐标为 ，B 的坐标为
3 3 4 4 4 4
②若按上述规律，将三角OAB进行n次变换，得三角形△OA B ，比较每次变换三角形顶点的变化规
n n
律，探索顶点A 的坐标为 ，顶点B 的坐标为 ．
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