文档内容
专题 10 正余弦定理在解三角形中的高级灵活应用与最值问题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：倍长定比分线模型................................................................................................................2
题型二：倍角定理与正弦平方差........................................................................................................3
题型三：角平分线模型与张角定理....................................................................................................3
题型四：隐圆问题................................................................................................................................4
题型五：正切比值与和差问题............................................................................................................5
题型六：四边形定值和最值与托勒密定理........................................................................................5
题型七：边角特殊，构建坐标系........................................................................................................6
题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题............................................6
题型九：三角形的形状判定................................................................................................................7
题型十：三角形中的几何计算............................................................................................................8
题型十一：中线长定理与余弦和为0.................................................................................................9
重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围......................................................10
02 重难创新练....................................................................................................................................12题型一：倍长定比分线模型
1．在① ，② ，③ ，这三个条件中任选
一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为 ，D在边AC上，且CD= CA，求BD的最小值．
2．如图，设 中角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， 为 边上的中线，已知 ，
， ．
(1)求边 、 的长度；
(2)求 的面积；
(3)点 为 上一点， ，过点 的直线与边 、 （不含端点）分别交于 、 ．若
，求 的值．题型二：倍角定理与正弦平方差
3．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 .
(1)证明： ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
4．已知a，b，c分别为 三个内角A，B，C的对边，S为 的面积， ．
（1）证明： ；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求S的取值范围．
题型三：角平分线模型与张角定理
5．（2024·江西·模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，其外接圆的半径为 ，且
．
(1)求角 ；
(2)若 的角平分线交 于点 ，点 在线段 上， ，求 的面积．6．在① ；② 边上的高为 ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成
解答．
问题：记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，______．
(1)求 的值；
(2)设 是 的角平分线，求 的长．
7．在 中， ， 为 边上的中线，点 在 边上，设 ．
(1)当 时，求 的值；
(2)若 为 的角平分线，且点 也在 边上，求 的值；
(3)在（2）的条件下，若 ，求 为何值时， 最短？
题型四：隐圆问题
8．古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科
学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上，且
满足 ，当 且 时，点P的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在 中，
，且 ，当 面积取得最大值时， （ ）
A． B． C． D．9．（2023·全国·高三专题练习）若 满足条件 ， ，则 面积的最大值为 .
题型五：正切比值与和差问题
10．在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则
的最小值为 ．
11．在锐角 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 的最小值为
．
12．在 中，点D在边BC上，且 ，记 .
(1)当 ， ，求 ；
(2)若 ，求 的值.
题型六：四边形定值和最值与托勒密定理
13．托勒密是古希腊天文学家､地理学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边
形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积.则图四边形 为圆 的内接凸四边形， ，
且 为等边三角形，则圆 的直径为（ ）A． B． C． D．
14．（2024·高三·山东·开学考试）克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地
理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，
该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形 是圆
的内接四边形，且 ， ．若 ，则圆 的半径为（ ）
A．4 B．2 C． D．
15．在四边形 中， ， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
题型七：边角特殊，构建坐标系
16．在 中， ， ，点 在 内部， ，则 的
最小值为______．
17．在等边 中， 为 内一动点， ，则 的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
题型八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
18．（2024·广西柳州·一模）记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ．
(1)求 ；(2)若 ， ，求 的周长．
19．已知 的内角 的对边分别为 ，若 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.
20．在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，且 .
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的面积.
题型九：三角形的形状判定
21．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 为非零实数），则下列
结论错误的是（ ）
A．当 时， 是直角三角形 B．当 时， 是锐角三角形
C．当 时， 是钝角三角形 D．当 时， 是钝角三角形
22．在 中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且 ，则 的形状为
（ ）A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
23．在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
题型十：三角形中的几何计算
24．（2024·高三·江西萍乡·期中）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
．
(1)求四边形 的周长；
(2)求四边形 的面积．
25．如图，四边形 中， ．
(1)求 ；(2) 为边 上一点，且 的面积为 ，求 的外接圆半径．
26．（2024·河南·三模）已知 是 内一点， .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 .
题型十一：中线长定理与余弦和为0
27．记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)若 ，求 边上的中线 的长．
28．在 中，内角 所对边的长分别为 ，且满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 的中线，求 的长．29．（2024·高三·山东滨州·期末）在 中，内角 所对的边分别为 且
(1)求角 ；
(2)若 ， 是 的中线， ，求 的面积.
重难点突破：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
30．（2024·高三·辽宁大连·期中）已知函数 ， 中的三个内角 ， ，
的对边长分别为 ， ， ， ．
(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形， ，求 周长的取值范围．
31．在锐角 中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足 ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
32．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)证明： 是等腰三角形.(2)若 ，求 的最大值.
33．在 中，角 、 、 的对边是 、 、 ，已知 ， 为常数．
(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)若 ， ，求 的值．1．已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则 边上中线
长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 的面积为 ，且 ， ，则AB边
上的中线长为（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角 中， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．在 中， ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．48
5．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在 中内角 所对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在 中， 为边 的中点，若 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
8．在 中，内角 所对边分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．2
9．（多选题）已知 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是
（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则
C．若 ， ，则 面积最大值为3
D． ，角B的平分线BD交AC边于D，且 ，则 的最小值为12
10．（多选题）△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A． ，则△ABC是锐角三角形
B．若 ，则△ABC是直角三角形
C．若 ，则
D．若 ，则
11．（多选题）设 的内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B． 的外接圆的面积是
C． 的面积的最大值是 D． 的取值范围是
12．（多选题）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则下列结论正确
的有（ ）A．
B．若 ，则 为等腰直角三角形
C．若 ，则 的面积为
D．若 为锐角三角形， 的最小值为1
13．在 中， 是边 的中点，若 ， ， ，则 ．
14．在 中， 的平分线为 与 交于点 ， ，则
．
15．在 中， 为边 上一点，且满足 ，则 ．
16．在 中，内角 所对的边分别为 （ ）.已知 ，则 的最大值
是 .
17．在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小;
(2)若 的面积为 ，求 .
18． 的内角 的对边分别为 ，已知 ，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的取值范围．19．在 中，内角 所对的边分别为 ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 的中点，当 取得最小值时，求 的长.
20． 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，____________.
(1)若在横线处填入 ，求 ；
(2)给出两个条件：
①内角 的平分线长为 ；
②BC边上的中线长为 .
从条件①②中选择一个填入横线，求 的面积 .（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
21．已知 中， ．
(1)求证： ；
(2)如图，在 中， ，在 边上存在一点 ，使得 ， ， 的平分线交 于 ，求 ．
