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专题 10 计数原理
1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】 的展开式中x3y3的系数为
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为 ( 且 )
所以 的各项与 展开式的通项的乘积可表示为：
和
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ，
在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为
所以 的系数为
故选：C.
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，
属于中档题.
2．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆
安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C【解析】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故选：C．
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
3．【2020年高考北京】在 的展开式中， 的系数为
A． B．5
C． D．10
【答案】C
【解析】 展开式的通项公式为： ，
令 可得： ，则 的系数为： .
故选：C.
【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特
定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非
负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的
项．
4．【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每
个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1
名同学，
先取2名同学看作一组，选法有： .现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： ，
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了
分析能力和计算能力，属于中档题.
5．【2020年高考全国III卷理数】 的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
【解析】
其二项式展开通项：
当 ，解得
的展开式中常数项是： .
故答案为： .
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握 的
展开通项公式 ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
6．【2020年高考天津】在 的展开式中， 的系数是_________．
【答案】10【解析】因为 的展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ．
所以 的系数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
7．【2020 年高考浙江】二项展开式 ，则 _______，
________．
【答案】80；122
【解析】 的通项为 ，令 ，则 ，故 ；
.
故答案为：80；122.
【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础
题.
1．【2020·全国高三其他(理)】若 的展开式中 的系数是80，则实数a的值为
A．-2 B．
C． D．2
【答案】D
【解析】 的展开式中含 的项为 ，由题意得 ，
所以 .选D.2．【2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考(理)】二项式 的展开式中 的系数为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】通项为
令 ，则 ，
故选：A
【点睛】本题主要考查了求指定项的系数，属于基础题.
3．【2020·山东省高三一模】某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节､下午4节)，分别安排
语文数学､英语､物理､化学､生物､政治､历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英
语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法
共有
A．4800种 B．2400种
C．1200种 D．240种
【答案】B
【解析】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，
所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，
有 种编排方法；第二步因为数学和英语在安排时必须相邻，
注意数学和英语之间还有一个排列有 种编排方法；
第三步：剩下的5节课安排5科课程，有 种编排方法．
根据分步计数原理知共有 种编排方法．
故选：B．【点睛】本题考查排列和分步乘法原理的应用，限制条件优先考虑，属于中档题.
4．【2020·辽宁省高三三模(理)】在 展开式中，含 的项的系数是
A． B．
C．15 D．51
【答案】A
【解析】因为
所以含 的项的系数为 .
故选：A.
5．【2020·天津耀华中学高三二模】在由0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的有
A．512个 B．192个
C．240个 D．108个
【答案】D
【解析】由于能被5整除的数，其个位必为0或5，由此分两类：第一类：个位为0的，有 个；
第二类：个位为5的，再分两小类：第1小类：不含0的，有 个，第2小类：含0的，有
个，从而第二类共有48个；故在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能
被5整除的个数有60+48=108个，故选D．
6．【2020·宁夏回族自治区银川一中高三三模(理)】为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，
某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，
且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有
A．24 B．36
C．48 D．64
【答案】B
【解析】当按照 进行分配时，则有 种不同的方案；当按照 进行分配，则有 种不同的方案.
故共有36种不同的派遣方案，
故选：B.
【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.
7．【2020·河北省河北正中实验中学高三其他(理)】“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、
礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一
排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】“仁义礼智信”排成一排,任意排有 种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法
有 种排法,故概率
故选：A
【点睛】本题考查排列问题及古典概型，特殊元素优先考虑，捆绑插空是常见方法，是基础题.
8．【2020·湖南省长沙一中高三月考(理)】已知(1＋ax)·(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
【答案】D
【解析】由题意知： ，解得 ，故选D.
【点睛】本小题主要考查二项展开式,二项式定理在高考中主要以小题的形式考查,属容易题,熟练基础知
识是解答好本类题目的关键.
9．【2020·福建省连城县第一中学高三一模(理)】第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中
国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者
被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】五人分成四组，先选出两人组成一组，剩下的人各自成一组，
所有可能的分组共有 种，
甲和乙分在同一组，则其余三人各自成一组，只有一种分法，与场地无关，
故甲和乙恰好在同一组的概率是 .
故选：A.
10．【2020·福建省高三月考(理)】已知 的展开式中第9项是常数项，则展开式中 的系数为
___________；展开式中系数的绝对值最大的项的系数为___________.
【答案】
【解析】因为 ，所以当 时， ，则
；
令 ，得 ，所以 的系数为 .
设 的系数的绝对值最大，则 ，解得 ，因为 ， ，所以 ，故系数的绝对值最大的项的系数为 .
故答案为：(1) (2)
【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中的某项的系数与
系数绝对值最大项等问题，考查了学生的运算求解能力.
11．【2020·浙江省高三其他】有标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，要求排成2行3列，
则共有_______种不同的排法，如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小，则共有
_______种不同的排法.
【答案】720 90
【解析】先从标号分别为1，2，3，4，5，6的6张抗疫宣传海报，选出3张排在第一行，剩余3张排
在第二行，
则共有 种不同的排法，
如果再要求每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小时，
当第一行是：1，2，3时，第二行是4，5，6，则有 种不同的排法，
当第一行是：1，2，4时，第二行是3，5，6，则有 种不同的排法，
当第一行是：1，2，5时，第二行是3，4，6，则有 种不同的排法，
当第一行是：1，3，4时，第二行是2，5，6，则有 种不同的排法，
当第一行是：1，3，5时，第二行是2，4，6，则有 种不同的排法，
所以每列中前面一张的标号比其后面一张的标号小时，共有： 种不同的排
法，
故答案为：①720；②90
【点睛】本题主要考查排列组合应用题以及分类计数原理，还考查了分类讨论的思想和分析求解问题
的能力，属于中档题.12．【2020·天津耀华中学高三二模】 的展开式中x7的系数为__________.(用数字作答)
【答案】
【解析】展开式通项为 ，令 ，得 ，
所以展开式中 的系数为 ．故答案为 ．
【点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建
立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r)；第
二步是根据所求的指数，再求所要求的项．
②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，
令其为整数，再根据数的整除性来求解．
13．【2020·山西省太原五中高三其他(理)】二项式 的展开式中只有第6项的二项
式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则 的值为________.
【答案】8
【解析】展开式中只有第6项的二项式系数最大，故 ，
的展开式的通项为： .
故 ，化简得到 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
14．【2020·广东省湛江二十一中高三月考(理)】为了积极稳妥疫情期间的复学工作，市教育局抽调5名机
关工作人员去某街道3所不同的学校开展驻点服务，每个学校至少去1人，若甲、乙两人不能去同一
所学校，则不同的分配方法种数为___________．【答案】114
【解析】分四种情况：
(1)安排甲去一所学校共有 种方法，
安排乙到第二所学校共有 种方法，
余下三人去第三所学校共有 种方法，共有 种方法.
(2)安排甲去一所学校共有 种方法，
安排乙到第二所学校共有 种方法，
余下的三人中两人一起去第三所学校有 种方法，
另一个人去前两所学校中任意一所共有 种方法，
共有 种方法.
(3)安排甲去一所学校共有 种方法，
安排乙到第二所学校共有 种方法，
余下的三人中一人去第三所学校有 种方法，
另外两人一起去前两所学校中任意一所共有 种方法，
共有 种方法.
(4)安排甲去一所学校共有 种方法，
安排乙到第二所学校共有 种方法，
余下的三人中一人去第三所学校有 种方法，
另外两人分别去前两所学校中任意一所共有 种方法，共有 种方法.
综上共有 种方法.
故答案为：
【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，考查了学生的分类讨论的思想，属于中档题.
15．【2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他(理)】2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对突发灾难，举国
上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救
治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学生志愿者团队开展“爱心辅导”活动，为抗疫前线工作
者子女在线辅导功课.现安排甲、乙、丙三名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物四门学科，
每名志愿者至少辅导一门学科，每门学科由一名志愿者辅导，共有______种辅导方案.
【答案】36
【解析】根据题意，要求甲、乙、丙 名志愿者每名志愿者至少辅导一门学科，
每门学科由 名志愿者辅导，则必有 人辅导 门学科.
则有 .
故答案为：36.
【点睛】本题考查了排列组合的应用，掌握排列组合公式的计算，属于基础题.
16．【2020·山东省邹城市第一中学高三其他】“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习
近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为
老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个
学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块，某人在学习过程中，
“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有______种.
【答案】432
【解析】根据题意学习方法有二类：
一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块，
这样的学习方法数为： ；
另一类是：在“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间不间隔一个答题板块，
这样的学习方法数为： ，
因此某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法数为： .
故答案为：432.
【点睛】本题考查了分类计算原理的应用，考查了排列数与组合数的计算，考查了数学运算能力和数
学阅读能力.
17．【2020·四川省绵阳南山中学高三一模(理)】 的展开式的第五项为 ，则展开式的第六
项的二项式系数为_________．
【答案】56
【解析】： 的展开式的通项为 ，
因为 的展开式的第五项为 ，
所以 且 ，解得 ，
所以展开式的第六项的二项式系数为
故答案为：56
【点睛】此题考查的是求二项式展开式的二项式系数，属于基础题.
18．【2020·上海高三二模】设 ，若
，则 ______.
【答案】160
【解析】原式 ，
令 ，即 得： ，
所以 ．
所以展开式中含 项为： ．故 ．
故答案为：160．
【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题．
19．【2020·山西省高三月考(理)】某地区为了组建援鄂抗疫医疗队，现从4名医生，5名护士中选3名医
护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，则不同的组队方案种数是__________．
【答案】
【解析】从4名医生，5名护士中选3名医护人员组成一个团队，要求医生、护士都有，可分为两类：
第一类：1名医生2名护士，共有 种不同的选法；
第二类：2名医生1名护士，共有 种不同的选法，
由分类计数原理可得，共有 种不同的选法.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查分类计算原理和排列组合的应用，其中解答中根据题意合理分类，结合分类计
算原理求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算与求解能力.
20．【2020·福建省福州第一中学高三开学考试(理)】若随机变量 ，且 ，
则 展开式中 项的系数是__________．
【答案】1620
【解析】随机变量 ，均值是2，且 ，∴ ；
∴ ；
又 展开式的通项公式为 ，令 ，解得 ，不合题意，舍去；令 ，解得 ，对应 的系数为
；令 ，解得 ，不合题意，舍去；∴展开式中 项的系数是
，故答案为1620.
【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基
础题；根据正态分布的概率性质求出 的值，再化 ；
利用( 展开式的通项公式求出含 的系数，即可求出对应项的系数.
