文档内容
模块一 中考新动向
专题 4 “创新素材”类型
“数学承载着思想文化，是人类文明的重要组成部分”．关注数学学科发展前沿与数
学文化，继承和弘扬中华优秀传统文化；中考试题中也以数学发展史上的重要发现为
背景，命制了多道以数学名题为背景的考题，彰显数学的悠久历史、数学家们的创新
精神和数学的美学价值．
近年中考试题以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，在考查基础知识的同时，
注重对考生素材创新的考查．从多个方面展现中国古代数学文化．在历年的中考试题
中，经常会出现一些有关中国古代数学文化的试题，以此对学生进行中华优秀传统文
化的教育．
考点讲解：中国的数学历史极其悠久，无论是理论层面还是实践层面，中国古代数学
如今仍有研究价值和现实意义．近几年中考数学试题把其中的精华引入到考试内容中，
既打上中华传统文化的烙印，又有东方数学的特点，发挥了“春风化雨，润物无声”
的作用．在弘扬中国传统文化的同时，注意吸收世界数学文化的精华，从而引导学生
胸怀祖国，放眼世界．【例1】（2022·山东淄博·统考中考真题）
1．经过折叠可以围成正方体，且在正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语的图
形是（ ）
A． B． C．
D．
【变1】（2023·甘肃武威·统考中考真题）
2．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中
记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，
置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射
光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角
等于人射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平
面镜可改变光路，当太阳光线 与地面 所成夹角 时，要使太阳光线
经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜 与地面的夹角
（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·福建·统考中考真题）
3．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆
试卷第2页，共3页的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，
以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用
这种思想得到了圆周率 的近似值为3.1416．如图， 的半径为1，运用“割圆术”，
以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，可得 的估计值为 ，若用圆内接正
十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
A． B． C．3 D．
【变1】（2023·山东淄博·统考中考真题）
4．勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、
直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要
标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接 ， ．
若正方形 与 的边长之比为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
考点讲解：以古今科学成就为背景，考查新颖，展现了我国古代劳动人民的智慧，在考查其他知识的同时，也体现了直观想象和数学运算等核心素养．
【例1】（2023·山东潍坊·统考中考真题）
5．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②
是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成 ，
与 表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与 的交点；当点A运动到E时，
点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D．若 ， ，则下列结论正确
的是（ ）
A． B．
C．当 与 相切时， D．当 时，
【变1】（2022·湖南长沙·统考中考真题）
6．当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被
广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”
已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维
码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的
编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200
个方格可以生成 个不同的数据二维码，现有四名网友对 的理解如下：
YYDS（永远的神）： 就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；
DDDD（懂的都懂）： 等于 ；
JXND（觉醒年代）： 的个位数字是6；
QGYW（强国有我）：我知道 ，所以我估计 比 大．
其中对 的理解错误的网友是 （填写网名字母代号）．
【例2】（2023·黑龙江·统考中考真题）
7．2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，
某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购
进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款
和用400元购进B款的文化衫的数量相同．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？
试卷第4页，共3页(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购
买文化衫，求有几种购买方案？
(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，
采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．
【变1】（2021·湖南益阳·统考中考真题）
8．为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其
中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短
了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速
度是开通后的高铁的 ．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工
的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，
以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少
千米？
考点讲解：数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是在实践过程中不
断探索形成的数学史、数学精神及其应用．
【例1】（2023·山东青岛·统考中考真题）
9．太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进
行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ，点
O是 的中点， 是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上， ，
．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为 ，在E处测得电池板边
缘点B的仰角为 ．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽 的长度．
（结果精确到 ．参考数据： ， ， ， ）【变1】（2022·北京·统考中考真题）
10．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动
员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，
从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度 （单位：m）与水平距离 （单位：m）
近似满足函数关系 ．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离 与竖直高度 的几组数据如下：
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系
；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系
记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d，第二次训练
1
的着陆点的水平距离为 ，则 ______ （填“>”“=”或“<”）．
试卷第6页，共3页【解读】创新情境问题指问题的面目、形式新颖，命题的立意、背景深远的数学问题，
这类题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，一般难度不会太
大，而且与初中数学体系内的知识有千丝万缕的联系，是训练和考查学生思维能力、
分析问题和解决问题能力、体现数学核心素养的好题型．分析学习新的数学知识的能
力是指通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识，如新的概念、定理、公式、法
则和方法，并能运用它们做进一步的运算和推理，解决有关问题的能力．
（2023·浙江衢州·统考中考真题）
11．视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的
“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应
行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图
边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角
叫做分辨视角 ，视力值 与分辨视角 （分）的对应关系近似满足 ．
探究2 当 时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角 的范围．
素材3 如图3，当 确定时，在A处用边长为 的I号“E”测得的视力与在B处用边长
为 的Ⅱ号“E”测得的视力相同．探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
一、选择题
（2022·湖北十堰·统考中考真题）
12．如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，
就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边
（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）
13．我国自主研发的 口径球面射电望远镜（ ）有“中国天眼”之称，它的
反射面面积约为 用科学记数法表示数据 为（ ）
A． B． C． D．
（2023·贵州·统考中考真题）
14．在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将3个标有“北斗”，2个标有“天眼”，
5个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个
小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ）
A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大
C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同
（2023·山西·统考中考真题）
15．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转
向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，
过点 的两条切线相交于点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角 为 ．若圆曲
线的半径 ，则这段圆曲线 的长为（ ）．
试卷第8页，共3页A． B． C． D．
（2023·浙江杭州·统考中考真题）
16．第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的
“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ ）和中
间一个小正方形 拼成的大正方形 中， ，连接 ．设
，若正方形 与正方形 的面积之比为
，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
（2021·湖北鄂州·统考中考真题）
17．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中
用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 为圆心的
圆，如图2，已知圆心 在水面上方，且 被水面截得的弦 长为6米， 半径
长为4米．若点 为运行轨道的最低点，则点 到弦 所在直线的距离是（ ）A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
二、填空题
（2021·山东临沂·统考中考真题）
18．数学知识在生产和生活中被广泛应用，下列实例所应用的最主要的几何知识，说
法正确的是 （只填写序号）．
①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确定一条直
线”；
②车轮做成圆形，应用了“圆是中心对称图形”；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的对角线互相垂直
平分”；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形对边相等”．
（2023·山东潍坊·统考中考真题）
19．用与教材中相同型号的计算器，依次按键 ，显示结果为
．借助显示结果，可以将一元二次方程 的正数解近
似表示为 ．（精确到 ）
（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）
20．1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数
试卷第10页，共3页表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， 展开的多项式中各
项系数之和为 ．
（2022·四川德阳·统考中考真题）
21．古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，
“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：
图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是 ，
第三个三角形数是 ，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方
形数是1，第二个正方形数是 ，第三个正方形数是 ，……由此类推，
图④中第五个正六边形数是 ．
（2023·湖南·统考中考真题）
22．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为 的正方形纸板
制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组
成．则图中阴影部分的面积为 ．三、解答题
（2023·广东·统考中考真题）
23．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻
中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂
，两臂夹角 时，求A，B两点间的距离．(结果精确到
，参考数据 ， ， )
（2021·山东东营·统考中考真题）
24．为庆祝建党100周年，让同学们进一步了解中国科技的快速发展，东营市某中学
九（1）班团支部组织了一次手抄报比赛．该班每位同学从A．“北斗卫星”；
B．“5G时代”；C．“东风快递”；D．“智轨快运”四个主题中任选一个自己喜欢
的主题．统计同学们所选主题的频数，绘制成以下不完整的统计图，请根据统计图中
的信息解答下列问题：
（1）九（1）班共有________名学生；
（2）补全折线统计图；
（3）D所对应扇形圆心角的大小为________；
（4）小明和小丽从A、B、C、D四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方
法求出他们选择相同主题的概率．
（2022·江苏常州·统考中考真题）
25．第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，
展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的
八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八
进制数3745换算成十进制数是 ，表示ICME-14的举
办年份．
试卷第12页，共3页(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个 进制数143，换算成十进制数是120，求 的值．
（2020·云南昆明·统考中考真题）
26．为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消
毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的
药物喷洒要11min．
（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？
（2）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）
的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完
成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的
药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11
间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教
室？请通过计算说明．
（2023·北京·统考中考真题）
27．某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．
每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800要求清洗后的清洁
度为0.990
方案一：采用一次清洗的方式．结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．
方案二：采用两次清洗的方式．
记第一次用水量为 个单位质量，第二次用水量为 个单位质量，总用水量为
个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.99 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.98 0.99 0.99 0.99
C
0 9 0 0 0 0 0 8 0 0 0
对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．
（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；
（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量 和总用水
量 之间的关系，在平面直角坐标系 中画出此函数的图象；
结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为______个
单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．
根据以上实验数据和结果，解决下列问题：
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节
水约______个单位质量（结果保留小数点后一位）；
（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个
试卷第14页，共3页单位质量，则清洗后的清洁度C______0.990（填“>”“=”或“<”）．
（2023·湖北随州·统考中考真题）
28．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的
三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和
物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，
该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直
角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于
第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当 的三个内角均小于 时，
如图1，将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由 ，可知 为 ① 三角形，故 ，又 ，
故 ，
由 ② 可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，如图2，
最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有
③ ；
已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如
图3，若 ，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在 中，三个内角均小于 ，且 ，已
知点P为 的“费马点”，求 的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知
．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村
庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/ ，a元/ ，
元/ ，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结
果用含a的式子表示）
试卷第16页，共3页参考答案：
1．C
【分析】根据正方体侧面上的字恰好环绕组成一个四字成语，即是正方体的表面展开图，
相对的面之间一定相隔一个正方形，且有两组相对的面，根据这一特点作答．
【详解】解∶由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，
A.“心”、“想”、“事”、“成”四个字没有相对的面，故不符合题意；
B.“吉”、“祥”、“如”、“意”四个字没有相对的面，故不符合题意；
C.“金”与“题”相对，“榜”、“名”是相对的面，故符合题意；
D.“马”、“到”、“成”、“功”四个字没有相对的面，故不符合题意；
故选∶C．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，明确正方体的表面展开图，相对的
面之间一定相隔一个正方形是解题的关键．
2．B
【分析】如图，过 作 平面镜 ，可得 ，
，而 ，再建立方程
，可得 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，过 作 平面镜 ，
∴ ， ，
而 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟
记基础概念是解本题的关键．
3．C
【分析】根据圆内接正多边形的性质可得 ，根据30度的作对的直角边是斜边的
一半可得 ，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．
【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三
角形的顶角为 ，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形 ，过点 作
交 于点于点 ，
∵ ，
∴ ，
则 ，
故正十二边形的面积为 ，
圆的面积为 ，
用圆内接正十二边形面积近似估计 的面积可得 ，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形
的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．
4．A
答案第2页，共2页【分析】设 的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为 ，小正方形的边
长为x，由题意得 ，解得 ，即可求解．
【详解】解：过点D作 交 的延长线于点N，
由题意可得，两个正方形之间是4个相等的三角形，
设 的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为x，
即 ， ， ，
由题意得， ，解得 ，
在 中， ，则 ，
，
则 ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、正方形的性质及勾股定理，确定a、b和x之间的关系是解题的关键．
5．AC
【分析】如图，由题意可得： ， ， ，
，从而可判断A，B，如图，当 与 相切时，求解
，可得 ，可判断C；当 时，如图，
可得 ， ，
，可判断D；从而可得答案．
【详解】解：如图，由题意可得：
， ， ， ，
∴ ，故A符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当 与 相切时，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故C符合题意；
当 时，如图，
答案第4页，共2页∴ ，
∴ ， ，
∴ ，故D不符合题意；
故选AC
【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟
练的利用数形结合的方法解题是关键．
6．DDDD
【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆
用，将 化为 ，再与 比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘
方的逆用可得 ，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的．
【详解】 是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的；
，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；
，
2的乘方的个位数字4个一循环，
，
的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的；
， ，且
，故QGYW（强国有我）的理解是正确的；
故答案为：DDDD．
【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运
算法则是解题的关键．
7．(1)A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
(2)一共有六种购买方案
(3)【分析】（1）设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件 元，然后根据用500元
购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同列出方程求解即可；
（2）设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，然后根据，学校计划用不多
于14800元，不少于14750元购买文化衫列出不等式组求解即可；
（3）设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，求出
，根据（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，可得W的
取值与a的值无关，由此即可求出 ．
【详解】（1）解：设A款文化衫每件x元，则B款文化衫每件 元，
由题意得， ，
解得 ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解，
∴ ，
∴A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元，
答：A款文化衫每件50元，则B款文化衫每件40元；
（2）解：设购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，
由题意得， ，
解得 ，
∵a是正整数，
∴a的取值可以为275，276，277，278，279，280，
∴一共有六种购买方案；
（3）解：设购买资金为W元，购买A款文化衫a件，则购买B款文化衫 件，
答案第6页，共2页由题意得，
，
∵（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，
∴W的取值与a的值无关，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，分式方程的实际应用，整式的加
减的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式组是解题的关键．
8．（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2） 千米．
【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为 千米/分钟，从而可得某次长益城际列
车的平均速度为 千米/分钟，再根据“路程 速度 时间”、“开通后的长益高铁比现
在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工 千米，
根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为 千米/分钟，则某次长益城际列车
的平均速度为 千米/分钟，
由题意得： ，
解得 ，
则 （千米）， （千米），
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；
（2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为 （千米），
乙工程队每天对其施工的长度 （千米），
设甲工程队后期每天施工 千米，
则 ，解得 ，
即 ，
答：甲工程队后期每天至少施工 千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等
式是解题关键．
9．
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先证 和 均
为等腰直角三角形，四边形 为矩形， 为等腰直角三角形，设 ，则
， ， ，然后在 中，利用
得 ，由此解出 ，再利用勾股定理求出 即可得 的长．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
依题意得： ， ， ，
又
和 均为等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
， ， ，
四边形 为矩形，
， ， ，
答案第8页，共2页，
为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
，
，
在 中， ，
即： ，
，
解得： ，
检验： 是原方程的根．
，
在等腰 中，由勾股定理得： ，
点 为 的中点，
，
答：太阳能电池板宽 的长度约为 ．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，
灵活运用锐角三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
10．(1)23.20 m；
(2)
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度
的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函
数解析式；
（2）着陆点的纵坐标为 ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，
用t表示出 和 ，然后进行比较即可．【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为： ，
∴ ， ，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当 时， ，代入 得：
，解得： ，
∴函数关系关系式为： ．
（2）设着陆点的纵坐标为 ，则第一次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离 ，
第二次训练时， ，
解得： 或 ，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标
为 ，用t表示出 和 是解题的关键．
11．探究 检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 ，视力值1.2
所对应行的“ ”形图边长为 ；
探究 ；
答案第10页，共2页探究3：检测距离为 时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 ．
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到 与 成反比例关系，由待定系数法可得
，将 代入 得： ；
探究2：由 ，知在自变量 的取值范围内， 随着 的增大而减小，故当 时，
，即可得 ；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得 ，即可
解得答案．
【详解】探究
由图象中的点的坐标规律得到 与 成反比例关系，
设 ，将其中一点 代入得： ，
解得： ，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入 得： ；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 ，视力值1.2所对应
行的“ ”形图边长为 ；
探究
，
在自变量 的取值范围内， 随着 的增大而减小，
当 时， ，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质
可得 ，
由探究1知 ，，
解得 ，
答：检测距离为 时，视力值1.2所对应行的“ ”形图边长为 ．
【点睛】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，
相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加
以解决．
12．B
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的
参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
13．D
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为整数，确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原
数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对值 时，n是负整数；
【详解】解： ，
故选：D
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值
14．C
【分析】根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答案．
【详解】解：盒中小球总量为： （个），
摸出“北斗”小球的概率为： ，
摸出“天眼”小球的概率为： ，
答案第12页，共2页摸出“高铁”小球的概率为： ，
因此摸出“高铁”小球的可能性最大．
故选C．
【点睛】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键．
15．B
【分析】由转角 为 可得 ，由切线的性质可得 ，根
据四边形的内角和定理可得 ，然后根据弧长公
式计算即可．
【详解】解：如图：
∵ ，
∴ ，
∵过点 的两条切线相交于点 ，
∴ ,
∴ ,
∴ ．
故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得
是解答本题的关键．
16．C
【分析】设 ， ，首先根据 得到 ，然后表示
出正方形 的面积为 ，正方形 的面积为 ，最后利用正方形
与正方形 的面积之比为 求解即可．【详解】设 ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为 ，
∵正方形 的面积为 ，
∵正方形 与正方形 的面积之比为 ，
∴ ，
∴解得 ．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练
掌握以上知识点．
17．B
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾
股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为 的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD= AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD= = = ，
∴CD=OC﹣OD=4﹣ ，
即点 到弦 所在直线的距离是（4﹣ ）米，
答案第14页，共2页故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
18．①
【分析】根据直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质分别判断即可．
【详解】解：①射击时，瞄准具的缺口、准星和射击目标在同一直线上，应用了“两点确
定一条直线”，故正确；
②车轮做成圆形，应用了“同圆的半径相等”，故错误；
③学校门口的伸缩门由菱形而不是其他四边形组成，应用了“菱形的四边相等”，故错误；
④地板砖可以做成矩形，应用了“矩形的四个角是直角，可以密铺”，故错误；
故答案为：①．
【点睛】本题考查了直线的性质，圆的性质，特殊四边形的性质，都属于基本知识，解题
的关键是联系实际，掌握相应性质定理．
19．
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得．
【详解】解：一元二次方程 中的 ，
则 ，
所以这个方程的正数解近似表示为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
20．
【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开，即可得出结果．
【详解】根据题意得： 展开后系数为： ，系数和： ，
展开后系数为： ，
系数和： ，
展开后系数为： ，
系数和： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了多项式的乘法运算，以及规律型：数字的变化类，解题的关键是弄清
系数中的规律．
21．45
【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．
【详解】根据图形，规律如下表：
三角形 正方形 五边形 六边形 M边形
3 4 5 6 m
1 1 1 1 1 1
1+2 1+2
1+2
1+2 1
2 1+2 1
1 1
1
1
1+2+3 1+2+3
1+2+3 1+2+3
1+2
3 1+2+3 1+2 1+2
1+2
1+2
1+2
1+2+3+4 1+2+3+4
1+2+3+4
1+2+3+4 1+2+3
4 1+2+3+4 1+2+3
1+2+3 1+2+3
1+2+3
1+2+3
n
答案第16页，共2页由上表可知第n个M边形数为： ，
整理得： ，
则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：
，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键．
22．
【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得 的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，
依题意， ，
∴图中阴影部分的面积为
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．
23．
【分析】连接 ，作作 于D，由等腰三角形“三线合一”性质可知， ，
，在 中利用 求出 ，继而求出 即可．
【详解】解：连接 ，作 于D，∵ ， ，
∴ 是边 边上的中线，也是 的角平分线，
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴
∴
答：A，B两点间的距离为 ．
【点睛】本题考查等腰三角的性质，解直角三角形的应用等知识，掌握等腰三角形的性质
是解题的关键．
24．（1）50；（2）见解析；（3）108°；（4）
【分析】（1）用B组频数除以所占百分比即可求解；
（2）用50减去A、B、C组频数，求出D组频数，即可补全折线统计图；
（3）用360°乘以D组所占百分比即可求解；
（4）列表得出所有等可能结果，根据概率公式即可求解．
【详解】（1）20÷40%=50（人），
故答案为：50；
（2）50-10-20-5=15（人），
补全折线统计图如图：
；
（3） ，
故答案为： ；
答案第18页，共2页（4）列表如下：
小
明
A B C D
小
丽
A
B
C
D
由列表可知，一共有16种等可能的结果，他们选择相同主题的结果有4种，
所以P（相同主题） ．
【点睛】本题考查了折线统计图与扇形统计图，求概率等知识，理解两幅统计图提供的公
共信息是解题第（1）（2）（3）步关键，列表得出所有等可能的结果是解题第（4）步关
键．
25．(1)2022
(2)9
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1） ，
故答案为：2022；
（2）根据题意有： ，
整理得： ，
解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n
的一元二次方程是解答本题的关键．
26．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；（2）一班学生能安全进入教室，计算说明过程见解析．
【分析】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 和 ，再根据题干
信息建立二元一次方程组，然后解方程组即可得；
（2）先求出完成11间教室的药物喷洒所需时间，再根据一次函数的解析式求出点A的坐
标，然后利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据反比例函数的解析式求出
时，y的值，与1进行比较即可得．
【详解】（1）设校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 和
则
解得
答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要 和 ；
（2）一间教室的药物喷洒时间为 ，则11个房间需要
当 时，
则点A的坐标为
设反比例函数表达式为
将点 代入得： ，解得
则反比例函数表达式为
当 时，
故一班学生能安全进入教室．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、反比例函数与一次函数的综合等知识点，较
难的是题（2），依据题意，正确求出反比例函数的解析式是解题关键．
27．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析，4；（1）11.3；（2）<
【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；
（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第
一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；
（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
答案第20页，共2页计算即可；
（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗
后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．
【详解】（Ⅰ）表格如下：
11.0 9.0 9.0 7.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0
0.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.0 7.1 11.5
11.8 10.0 10.3 8.9 8.1 7.7 7.8 7.0 8.0 9.1 12.5
0.99 0.98 0.99 0.99 0.99 0.99 0.99 0.98 0.99 0.99 0.99
C 0 9 0 0 0 0 0 8 0 0 0
√ √ √ √ √ √ √ √ √
（Ⅱ）函数图象如下：
由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小；
（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，
19-7.7=11.3，
即可节水约11.3个单位质量；
（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后
的清洁度能达到0.990，
第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度 ，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．
28．(1)①等边；②两点之间线段最短；③ ；④A．
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，即可得出可知当
B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，在根据
可证明 ，由勾股定理求 即可，
（3）由总的铺设成本 ，通过将 绕，点C顺时针旋转 得到
，得到等腰直角 ，得到 ，即可得出当B，P， ，A在同一条直
线上时， 取最小值，即 取最小值为 ，然后根据已知和
旋转性质求出 即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 为等边三角形；
∴ ， ，
又 ，故 ，
由两点之间线段最短可知，当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，
最小值为 ，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
答案第22页，共2页∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当 有一个内角大于或等于 时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③ ；④ ．
（2）将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由（1）可知当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，最小值为 ，
∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
由旋转性质可知： ，
∴ ，
∴ 最小值为 ，
（3）∵总的铺设成本
∴当 最小时，总的铺设成本最低，
将 绕，点C顺时针旋转 得到 ，连接 ，
由旋转性质可知： ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
当B，P， ，A在同一条直线上时， 取最小值，即 取最小
值为 ，过点 作 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
的最小值为
总的铺设成本 （元）
故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判
定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的
辅助线是解本题的关键．
答案第24页，共2页
