文档内容
模块一 中考新动向
专题5 “回归教材”类型
数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、知识结构和基本线索，是实现数学
课程目标、实施数学教学的重要资源．
从近几年中考试题来看，有回归教材的探索，主要从教材中典型例题和典型习题加以
改编、拓展、运用，或者赋予它们新的情境，给予新的方法，解决复杂的问题；也可
以是从教材中选取一段重要内容，深入剖析和运用，旨在使学生掌握教材的学习方法，
用好教材，促进核心素养的发展．
考点讲解：教材的例题，就是运用数学知识和方法解决问题的示范．中考命题关注教
材的例题，目的是引导学生掌握例题学习的方法．
【例1】
（2019·吉林长春·统考中考真题）
1．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2 如图，在 中， 分别是边 的中点， 相交于点 ，求证：，
证明：连结 ．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：在 中，对角线 交于点 ， 为边 的中点， 、
交于点 ．
（1）如图②，若 为正方形，且 ，则 的长为 ．
（2）如图③，连结 交 于点 ，若四边形 的面积为 ，则 的面
积为 ．
【变1】
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）
2．【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形
的对角线相交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点，而且这两个正方形的边长
相等，无论正方形 绕点 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个
正方形面积的 .想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形 的对
角线相交于点 ，点 落在线段 上， （ 为常数）．
试卷第2页，共3页【特例证明】
（1）如图1，将 的直角顶点 与点 重合，两直角边分别与边 ， 相交
于点 ， .
①填空： ______；
②求证： ．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明
；也可过点 分别作 ， 的垂线构造全等三角形证明．请选择其
中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的△PEF沿 方向平移，判断 与 的数量关系（用含
的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点 在边 上， ，延长 交边 于点 ，若 ，
求 的值．
习题就是数学教材为学生提供的、可供学生练习和实践的、具有已知答案的问题．用
好习题，是用好教材，落实“双减”的重要环节．
【例1】
（2022·四川乐山·统考中考真题）
3．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．
2．如图，在正方形ABCD中， ．求证： ．
证明：设CE与DF交于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ， ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究
(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在线段AB、BC、
CD、DA上，且 ．试猜想 的值，并证明你的猜想．
(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD中， ， ，点E、F、G、H分别在
线段AB、BC、CD、DA上，且 ．则 ______．
(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD中， ， ， ，
点E、F分别在线段AB、AD上，且 ．求 的值．
【变1】
（2023·浙江·统考中考真题）
4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，
的直径 垂直弦AB于点E，且 ， ．
试卷第4页，共3页(1)复习回顾：求 的长．
(2)探究拓展：如图2，连接 ，点G是 上一动点，连接 ，延长 交 的延
长线于点F．
①当点G是 的中点时，求证： ；
②设 ， ，请写出y关于x的函数关系式，并说明理由；
③如图3，连接 ，当 为等腰三角形时，请计算 的长．
教材编写体现了数学核心素养的整体性、一致性和阶段性，素材选取贴近学生的现实，
能引发学生思考．中考关注教材内容，旨在指导学生学教材，使教材在培养学生核心
素养上发挥更大的作用．
【例1】
（2023上·广西南宁·九年级三美学校校考期末）
5．教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形 中， ， ．我们把这种两组邻边分别相等的四边
形叫做“筝形”．
概念理解
(1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：______；(2)如图1，在 中， ，垂足为 ， 与 关于 所在的直线对
称， 与 关于 所在的直线对称，延长 ， 相交于点 ．请写出图
中的“筝形”： ______；（写出一个即可）
应用拓展
(3)如图2，在（2）的条件下，连接 ，分别交 ， 于点 ， ，连接 ．
①求证： ；
②求证： ．
【变1】
（2023·河南新乡·校联考二模）
6．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
如图23.4.2，在 中，点D、E分别是 与 的中点．根据画出
的图形，可以猜想：
，且 ，
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
【定理证明】请根据教材内容，结合图1，写出证明过程．
【定理应用】如图2，在矩形 中， ，点O为 的中点，点M为
边上一动点，点N为 的中点，连接 、 、 ．
（1）当 时， 与 的数量关系是__________， 的值为
__________；
（2）如图3，在平行四边形 中，点E为 边上一点，连接 ，点P在 上，
，点G是 的中点，连接 交 于点F，若点F为 的中点，
试卷第6页，共3页，连接 ．
①求 的度数；
②直接写出 的值．
回归教材，促进师生用好教材．回归教材的中考试题，一般都会指明教材的版本、年
级、内容出现的位置，就等于给出了试题考查的知识范围；这类题一般会给出新的方
法或提出新的问题，需要考生对知识进行综合，对方法进行融合，对数学思想进行升
华．
（2023·河南新乡·校联考二模）
7．【教材呈现】如图是人教版九年级上册第86页部分内容：
圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直
径．
如图，已知：A、B、C三点在 上， ，求证： 为 直径．
证明：∵ 为圆周角 所对的弦， 为圆周角 所对应的圆心角，
∴ ，且 ．
∴ ，点O在线段 上，即三点共线，
则 为 的直径．上述推理：得 ．
【定理应用】如图1，四边形 为圆内接四边形， 是 的直径，过点C作
的切线，与 的延长线交于点E． 平分 ，求证： ．
【拓展应用】如图2，已知 是等边三角形，以 为底边在 外作等腰直角
三角形 ，点E是 的中点，连接 ．若 ，求 的面积．一、选择题
（2023·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）
8．小明做如图所示教材中的部分练习题，结果如下：
第1题： ；
第2题： ．
两个数据用科学记数法表示的结果（ ）
A．都正确 B．都不正确
C．第一题正确，第二题不正确 D．第一题不正确，第二题正确
二、解答题
（2023·四川乐山·统考中考真题）
9．在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第 页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板 绕点 逆时针旋转 到达 的位置，那么可以得
到： ， ， ； ， ，
（ ）
试卷第8页，共3页刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着
“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（ ）”处应填理由：____________________；
（2）如图，小王将一个半径为 ，圆心角为 的扇形纸板 绕点 逆时针旋转
到达扇形纸板 的位置．
①请在图中作出点 ；
②如果 ，则在旋转过程中，点 经过的路径长为__________；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一
边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时
静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个
问题．
（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）
10．同学们还记得吗？图①、图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研
究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回
答：(1)【问题一】如图①，正方形 的对角线相交于点 ，点 又是正方形
的一个顶点， 交 于点 ， 交 于点 ，则 与 的数量关系为
_________；
(2)【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线 、 经过正方形 的对
称中心 ，直线 分别与 、 交于点 、 ，直线 分别与 、 交于点 、
，且 ，若正方形 边长为8，求四边形 的面积；
(3)【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形 的顶点 在正方形
的边 上，顶点 在 的延长线上，且 ， ．在直线 上是否
存在点 ，使 为直角三角形？若存在，求出 的长度；若不存在，说明理由．
（2020·吉林长春·统考中考真题）
11．【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．
试卷第10页，共3页【问题解决】（1）如图①，已知矩形纸片 ，将矩形纸片沿过点 的
直线折叠，使点 落在边 上，点 的对应点为 ，折痕为 ，点 在 上．求
证：四边形 是正方形．
【规律探索】（2）由【问题解决】可知，图①中的 为等腰三角形．现将图①
中的点 沿 向右平移至点 处（点 在点 的左侧），如图②，折痕为 ，点
在 上，点 在 上，那么 还是等腰三角形吗？请说明理由．
【结论应用】（3）在图②中，当 时，将矩形纸片继续折叠如图③，使点 与
点 重合，折痕为 ，点 在 上．要使四边形 为菱形，则
___________．
（2023·河南信阳·校考三模）
12．综合与实践
莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片 ，如图， ．
为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，
得折痕 ，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕 ，再展开后连接 ，交
折痕 于点O，则点O就是 的重心．
教材重现：
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图， 是 的 边上的中线．
(1)初步观察：
连接 ，则 与 的数量关系是：________；
(2)初步探究：
请帮助莹莹求出 的面积；
(3)猜想验证：
莹莹通过测量惊奇地发现 ．她的发现正确吗？请说明理由；
(4)拓展探究：
莹莹把 剪下后得 ，发现可以与 拼成四边形，且拼的过程中点
不与点 重合，直接写出拼成四边形时 的长．
（2023·江苏连云港·连云港市新海实验中学校考三模）
13．【阅读材料】
如图， 、 相交于点 ， 是 中点， ，求证： 是
教材
习题 中点．
问题
由条件易证 ，从而得到 ，即点 是 的中点
分析
方法
构造“平行 字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
提取
试卷第12页，共3页请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知 中， ，点 在边 上，点 在边 的延长线上，
连接 交 于点 ．
(1)如图1，若 ， ，求证：点 是 的中点；
(2)如图2，若 ， ，探究 与 之间的数量关系；
【灵活应用】如图3， 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，点 是 上一点，
点 在 延长线上， ， ， ，当点 从点 运动到点 ，点
运动的路径长为______， 扫过的面积为______．
（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）
14．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第103─104页的部分内容：
如图 ，在 中，你画出斜边 上的中线 ，量一量，看析 与
有什么关系、相位你与你的同伴一定会发现： 恰好是 的一半、下面让我们用演
每推理证明这一猜息．
已知：如图 ． ． ，在 中， ， 是斜边 上的中线．
求证：
请用演绎推理写出证明过程．(1)如图①，在四边形 中， ， 是
的中点，连结 ， ．则 的度数为________．
(2)如图②，将直角三角形 绕其直角顶点 顺时针旋转至 ，若旋转角小于
且点 、 、 共线时， ，点 ， 分别是 ， 的中点，
则线段 的长为___________．
（2023·湖南衡阳·一模）
15．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例2如图，在 中， ， 是斜边 上的中线．求证：
．
证明：延长 至点E，使 ，连结 、 ．
(1)请
根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
(2)【应用】如图②，直角三角形 纸片中， ，点D是 边上的中点，
连结 ，将 沿 折叠，点A落在点E处，此时恰好有 ．若 ，
那么 ．
(3)【拓展】如图③，在等腰直角三角形 中， ，D是边
试卷第14页，共3页中点，E，F分别是边 上的动点，且 ，当点E从点A运动到点C时，
的中点M所经过的路径长是多少？
（2023·江苏扬州·校考二模）
16．【阅读材料】
如图， 、 相交于点 ， 是 中点， ，求证： 是
教材
习题 中点．
问题
由条件易证 ，从而得到 ，即点 是 的中点
分析
方法
构造“平行 字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法
提取
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题．
【基础应用】已知 中， ，点 在边 上，点 在边 的延长线上，
连接 交 于点 ．
(1)如图1，若 ， ，求证：点 是 的中点；
(2)如图2，若 ， ，探究 与 之间的数量关系；
【灵活应用】如图3， 是半圆 的直径，点 是半圆上一点，点 是 上一点，
点 在 延长线上， ， ， ，当点 从点 运动到点 ，点
运动的路径长为______， 扫过的面积为______．参考答案：
1．教材呈现：详见解析；结论应用：（1） ；（2）6．
【分析】教材呈现：如图①，连结 ．根据三角形中位线定理可得 ，
，那么 ，由相似三角形对应边成比例以及比例的性质即可证明
；
结论应用：（1）如图②．先证明 ，得出 ，那么 ，又
，可得 ，由正方形的性质求出 ，即可求出
；
（2）如图③，连接 ．由（1）易证 ．根据同高的两个三角形面积之比等于底边
之比得出 与 的面积比 ，同理， 与 的面积比＝2，那么
的面积 的面积＝2（ 的面积 的面积）＝ ，所以
的面积 ，进而求出 的面积 ．
【详解】教材呈现：
证明：
如图①，连结 ．
∵在 中， 分别是边 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
结论应用：
（1）解：如图②．
∵四边形 为正方形， 为边 的中点，对角线 、 交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵正方形 中， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为 ；
（2）解：如图③，连接 ．
由（1）知， ，
答案第2页，共2页∴ ．
∵ 与 的高相同，
∴ 与 的面积比 ，
同理， 与 的面积比＝2，
∴ 的面积 的面积＝2（ 的面积 的面积） ，
∴ 的面积 ，
∴ 的面积 ．
故答案为6．
【点睛】考核知识点：相似三角形的判定和性质.灵活运用正方形性质，相似三角形判定和
性质是关键.
2．（1）①1；②见解析；（2） ，理由见解析；（3）3
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②根据正方形的性质可得 ， ， ，利用 证明
即可；
（2）过点 作 交 于 ，利用平行线的性质及正方形的性质易证得
， ，可证明 ，利用相似三角形性质即
可得出答案；
（3）过点 作 交 于 ，作 于 ，作 于 ，利用 证得
，可得： ， ，再证得 ，可得 ，
同理可得： ，推出 ，进而可得 ，令 ，
则 ， ， ，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）①由正方形的性质可知： ，
∵将 的直角顶点 与点 重合，
∴ ，
故答案为：1；②证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
（2） ，理由如下：
过点 作 交 于 ，
∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
（3）过点 作 交 于 ，作 于 ，作 于 ，
则 ，
∴ ，
即 ，
答案第4页，共2页∴ ，
由（2）和已知条件可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
3．(1)1；证明见解析
(2)(3)
【分析】（1）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，利用正
方形ABCD，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°求证△ABM≌△ADN即可．
（2）过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，利用在矩形
ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，求证△ABM∽△ADN．再根据其对应
边成比例，将已知数值代入即可．
（3）先证 是等边三角形，设 ，过点 ，垂足为 ，交
于点 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 的长，然后证
，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．
【详解】（1） ，理由为：
过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN，
在△ABM和△ADN中，∠BAM＝∠DAN，AB＝AD，∠ABM＝∠ADN
∴△ABM≌△ADN
∴AM＝AN，即EG＝FH，
答案第6页，共2页∴ ；
（2）解：过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EC交CD的延长线于点N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形AMFH是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，
∴AM＝HF，AN＝EG，
在矩形ABCD中，BC＝AD，∠ABM＝∠BAD＝∠ADN＝90°，
∵EG⊥FH，
∴∠NAM＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN．
∴△ABM∽△ADN，
∴ ，
∵ ， ，AM＝HF，AN＝EG，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
（3）解：∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴设 ，
过点 ，垂足为 ，交 于点 ，则 ，
在 中， ，∵ ， ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股
定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．
4．(1) ；
(2)①见解析；② ；③ 的长为 或 ．
【分析】（1）先求得 的直径为10，再利用垂径定理求得 ，在 中，
利用勾股定理即可求解；
（2）①连接 ，由点G是 的中点，推出 ，根据等角的余角相等即可证
明结论成立；
②利用勾股定理求得 ，利用垂径定理得到 ，推出 ，证明
，利用相似三角形的性质即可求解；
③分两种情况讨论，当 和 时，证明 ，利用相似
三角形的性质求解即可.
【详解】（1）解：连接 ，
答案第8页，共2页∵ 的直径 垂直弦AB于点E，且 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ；
（2）解：①连接 ，
∵点G是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 的直径 垂直弦AB于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②∵ ， ， ，
∴ ，∵ 的直径 垂直弦AB于点E，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ；
③当 时，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
答案第10页，共2页∴ ；
当 时，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ，
∴ ；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答
本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．(1) 垂直平分线段 ；
(2)四边形 （答案不唯一）
(3)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定可得结论；
（2）根据“筝形”的定义判断即可；
（3）①利用同角的余角相等证明即可；
②利用相似三角形的判定和性质证明即可．【详解】（1）解：∵ ，
∴ 垂直平分线段 ．
故答案为： 垂直平分线段 ；
（2）解：由翻折变换的性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是“筝形”，
故答案为：四边形 （答案不唯一）；
（3）①证明：如图1中，
由翻折变换的性质可知 ， ，
，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②证明：如图2中，
答案第12页，共2页∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于
中考常考题型．
6．【定理证明】证明见解析；【定理应用】（1） （或
， ；（2）① ；②
【分析】
[定理证明]可以证明 , 进一步得出结论；
[定理应用] 可证明点 是 的中点，进而得出四边形 是矩形，进一步得出
结果;①连接 , 可证明 是等边三角形，进一步得出结果；
②连接 ,作 于 , 则 , , 解 表示出 , 进而解
求得 的值．
【详解】解：【定理证明】证明：在 中，
∵点D、E分别是 与 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ， ，
∴ ， ．
【定理应用】（1）如图，
由于 ，
∴ ， ，
∴ ， ， （或
．
∵点N为 的中点，点O为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ．
（2）①如图，
答案第14页，共2页连接 ,
由定理可得：
∵ ,
∵ 是 的中点,
∴ ,
∵ ,
∴ 是等边三角形,
∴ ,
∴ ；
②如图3,
连接 ,作 于 ,则 ,
∵ ,
∴ ,
在 中, ,
∴ ,
在 中, ，
由勾股定理得，【点睛】本题考查了三角形的中位线定理证明和运用，平行四边形的性质，矩形的判定，
相似三角形的判定和性质形,解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，利用三角
形中位线定理.
7．【定理应用】证明见解析；【拓展应用】
【分析】定理应用：连接 ，由切线的性质得出 ，证出 ，
，由相似三角形的判定可得出结论；
拓展应用：连接 ，过点C作 于点F，证明 在以 为直径的圆上，
由等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案．
【详解】定理应用：证明：如图，连接 ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为圆内接四边形，
答案第16页，共2页∴ ，
∴ ．
拓展应用：如图，连接 ，过点C作 于点F，
∵ 是等边三角形，点E是BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴A、E、C、D在以 为直径的圆上，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，
圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟
练掌握圆周角定理．8．B
【分析】分别用绝对值大于1和绝对值小于1的科学记数法表示两数，然后判断即可．
【详解】解： ，故第一题错误，
，故第二题错误．
故选：B
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．
9．问题解决（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；（2）①见解析②
；问题拓展：
【分析】问题解决（1）根据旋转性质得出旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①分别作 和 的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为所求点O；②根据弧长
公式求解即可；
问题拓展，连接 ，交 于 ，连接 ， ， ，由旋转得 ，
，在 和 中求出 和 的长，可以求出
，再证明 ，即可求出最后结果．
【详解】解：【问题解决】（1）旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等
（2）①下图中，点O为所求
②连接 ， ，
扇形纸板 绕点 逆时针旋转 到达扇形纸板 的位置，
， ,
，
设 ，
答案第18页，共2页，
，
在旋转过程中，点 经过的路径长为以点 为圆心，圆心角为 ， 为半径的所对应的
弧长，
点 经过的路径长 ；
【问题拓展】解：连接 ，交 于 ，连接 ， ， 如图所示
．
由旋转得 ， ．
在 中，
．
在 中，
，
，
．
．．
，
在 和 中，
，
又 ， ，
．
又 ，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，弧长公式，解直角三角形，三角形全等的性质与判定，
解题的关键是抓住图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，正确作出辅助线构造出直角
三角形．
10．(1)
(2)16
(3)BP的长度为2或3或6或7．
【分析】（1）由正方形的性质可得 ， ，根据
ASA可证 ，由全等三角形的性质可得结论；
（2） 过点O作 交AD于点M，交BC于点N，作 交AB于点T，交CD
于点R，证明 进而证明 ；
△
（3）分三种情况：利用三垂线构造出相似三角形，得出比例式求解，即可求出答案．
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠
∵ 是对角线，
答案第20页，共2页∴∠ ，
∴∠ ，
∵四边形 是正方形，
∴∠ ，
∴∠
又∠
∴ ，
∴
∴
故答案为:
（2）过点O作 交AD于点M，交BC于点N，作 交AB于点T，交CD于
点R，如图，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴
又∠A=90°
∴四边形ATOM是正方形，
∴
同（1）可证
△
∴（3）解：在直线BE上存在点P，使 APF为直角三角形，
①当∠AFP=90°时，如图④，延长EF△，AD相交于点Q，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ=AB=6，∠BAD=∠B=∠E=90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ=BE=BC+CE=8，EQ=AB=6，∠Q=90°=∠E，
∴∠EFP+∠EPF=90，
∵∠AFP=90°，
∴∠EFP+∠AFQ=90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴ ，
∵QF=EQ-EF=4，
∴ ，
∴EP=1，
∴BP=BE-EP=7；
②当∠APF=90°时，如图⑤，
同①的方法得， ABP∽△PEF，
△
答案第22页，共2页∴ ，
∵PE=BE-BP=8-BP，
∴ ，
∴BP=2或BP=6；
③当∠PAF=90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM=AB=6，AM=BP，∠M=90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN=BE=8，EN=AB=6，
∴FN=EN-EF=4，
同①的方法得， AMP∽△FNA，
△
∴ ，
∴ ，
∴AM=3，
∴BP=3，
即BP的长度为2或3或6或7．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角
形是解本题的关键．11．（1）见解析；（2）是等腰三角形，见解析；（3）
【分析】（1）由题意根据邻边相等的矩形是正方形进行分析证明即可．
（2）根据题意证明∠QFP=∠FPQ即可解决问题．
（3）由题意证明△PFQ，△PGA都是等边三角形，设QF=m，求出AB，AD（用m表示）
即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADA′=90°，
由翻折可知，∠DA′E=∠A=90°，
∴∠A=∠ADA′=∠DA′E=90°，
∴四边形AEA′D是矩形，
∵DA=DA′，
∴四边形AEA′D是正方形．
（2）结论：△PQF是等腰三角形．
理由：如图②中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠QFP=∠APF，
由翻折可知，∠APF=∠FPQ，
∴∠QFP=∠FPQ，
∴QF=QP，
∴△PFQ是等腰三角形．
答案第24页，共2页（3）如图③中，
∵四边形PGQF是菱形，
∴PG=GQ=FQ=PF，
∵QF=QP，
∴△PFQ，△PGQ都是等边三角形，设QF=m，
∵∠FQP=60°，∠PQD′=90°，
∴∠DQD′=30°，
∵∠D′=90°，
∴ ，
由翻折可知， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，正方形的判定和性质，菱形的性质，
解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学
知识解决问题．
12．(1)
(2)4
(3)正确，理由见解析(4) 或
【分析】（1）直接利用 证明 ，即可证明；
（2）先根据折叠的性质和勾股定理得出 的长度，连接 ，由中位线的性质可得
，再证明 ，利用相似三角形的性质得出 的长，继
而求出面积即可；
（3），连接 ，由中位线的性质可得 ，再证明 ，
利用相似三角形的性质得出数量关系；
（4）分两种情况进行讨论：①当点 与点B重合，②当点 与点F重合，再利用勾股定
理求解即可．
【详解】（1）由折叠可得， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）由折叠可得， ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
答案第26页，共2页∵点D、E分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）正确，理由如下：连接 ，
∵点D、E分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）如图③，连接 ，
∵ ，
∴ ，
由（3）知， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
由折叠的性质得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 拼成四边形，且拼的过程中点 不与点 重合，
∴共有两种情况：
答案第28页，共2页①当点 与点B重合，如图③， ；
②当点 与点F重合，如图④⑤，连接 ，
在 中，由勾股定理得 ；
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，三角形的中位线性质定理，中线的意义，熟练掌握知识点，并添加适当的辅助
线是解题的关键．
13．(1)见解析；(2) ；【灵活应用】 ，
【分析】（1）过点 作 ，证 ，即可得点 是 的中点；
（2）过点 作 ，可证 ，得 ，由 ， ，
得 ，再证 ，可得 ，由平行线分线段成比例得
，由 ，可得 ， ，即可得出
；
[灵活应用]：由题意可得 ，过点 作 ，则 ，可得
，进而可得 ，证 ，可知 ，过点 作 ，
则 ， ，可得点 在以 为直径的半圆上运动，可求得 运动的路
径长度，过点 作 ，则 ， ，则点 在以 为直径的半圆上运动，可知 扫过的面积为以 为直径的半圆与以 为直径的半圆的面积之差，即
可求得答案．
【详解】解：（1）证明： ， ，
，
过点 作 ，则 ， ，
是等腰直角三角形，则 ，
，
，
，
，
又 ，
，
，
点 是 的中点；
（2）过点 作 ，则 ，
， ，则 ，
，
，
， ，
答案第30页，共2页，
又 ，
，
，
，
，
则 ，
，
；
[灵活应用]：
是半圆 的直径，点 是半圆上一点，
，
过点 作 ，则 ，
，
，，
，
，
又 ，
，
，
过点 作 ，则 ， ，
，
， ，
，则 ，
，
点 在以 为直径的半圆上运动，
运动的路径长为：
过点 作 ，则 ， ，
，
，
点 在以 为直径的半圆上运动，
则 扫过的面积为以 为直径的半圆与以 为直径的半圆的面积之差，
答案第32页，共2页即： 扫过的面积为
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成
比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
14．(1)证明见解析；
(2)
【分析】定理证明：延长 到 ，使 ，连接 ， ，则 ，根据中线
的性质可得 ，则四边形 是平行四边形，进而根据 ，则
是矩形，根据矩形的性质即可得证；
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，可得 ，
根据 结合三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据勾股定理求得 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出
，进而根据等腰三角形的性质得出 是等腰直角三角形，根据
勾股定理即可求解．
【详解】（1）定理证明：延长 到 ，使 ，连接 ， ，则 ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴ 是矩形，
∴ ，
∴ ；（1）解：如图所示，连接 ，
∵， ， 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∴ ,
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：如图所示，
答案第34页，共2页在 中，
∴
∵将直角三角形 绕其直角顶点 顺时针旋转至 ，若旋转角小于 且点 、
、 共线时，点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜
边的一半是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)(3) 的中点M所经过的路径长为
【分析】（1）证明四边形 为矩形，利用矩形的性质，即可得证；
（2）设 交 于点O，根据斜边上的中线的性质和折叠的性质，求出
，进而得到 ，证明 为等腰三角
形，得到 ，即可得出结果；
（3）过点D作 ， ，证明四边形 为正方形，进而推出
，得到 为等腰直角三角形，推出 的中点M所经过的路径为
， 中点的连线，进行求解即可．
【详解】（1）证明：延长 到E，使 ，连接 ，则 ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴平行四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图2中，设 交 于点O．
答案第36页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ，
由翻折的性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（3）过点D作 ， ，如图，∵ ，
∴ ．
∴ ，
∵D是边 中点，
∴ 是边 中点，
∴ ，
同理： ，
∵ ，
∴ ．
∴四边形 为正方形，
∴ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
答案第38页，共2页∴ 为等腰直角三角形，
∴当点 与点 重合时，此时 于点 重合，点 与点 重合，
当点 与点 重合时，此时 于点 重合，点 与点 重合，
连接 ，
∵ ，
∴ 四点共圆，且 为直径，
∴ 为圆心，
∴ ，即点 在 的中垂线上，
∵四边形 为正方形，
∴ 是 的中垂线，
∴ 在线段 上运动，路径即为 的长，即M所经过的路径为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的中点M所经过的路径长为 ．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，直线三角形斜边上的中线，三角形的中位线，等腰
三角判定和性质，平行线分线段成比例，圆周角定理的推论，解直角三角形．本题的综合
性强，难度较大，准确的添加辅助线，是解题的关键．
16．(1)见解析；(2) ；【灵活应用】 ，
【分析】（1）过点 作 ，证 ，即可得点 是 的中点；（2）过点 作 ，可证 ，得 ，由 ， ，
得 ，再证 ，可得 ，由平行线分线段成比例得
，由 ，可得 ， ，即可得出
；
[灵活应用]：由题意可得 ，过点 作 ，则 ，可得
，进而可得 ，证 ，可知 ，过点 作 ，
则 ， ，可得点 在以 为直径的半圆上运动，可求得 运动的路
径长度，过点 作 ，则 ， ，则点 在以 为直径的半圆
上运动，可知 扫过的面积为以 为直径的半圆与以 为直径的半圆的面积之差，即
可求得答案．
【详解】解：（1）证明： ， ，
，
过点 作 ，则 ， ，
是等腰直角三角形，则 ，
，
，
，
答案第40页，共2页，
又 ，
，
，
点 是 的中点；
（2）过点 作 ，则 ，
， ，则 ，
，
，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
则 ，
，；
[灵活应用]：
是半圆 的直径，点 是半圆上一点，
，
过点 作 ，则 ，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，
过点 作 ，则 ， ，
，
， ，
，则 ，
，
点 在以 为直径的半圆上运动，
答案第42页，共2页运动的路径长为：
过点 作 ，则 ， ，
，
，
点 在以 为直径的半圆上运动，
则 扫过的面积为以 为直径的半圆与以 为直径的半圆的面积之差，
即： 扫过的面积为
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成
比例，圆周角定理，动点的运动路径，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
