文档内容
模块一 中考新动向
专题 5 “展望未来”类型
数学是自然科学的重要基础，在社会科学中发挥着越来越重要的作用，数学的应用渗
透到现代社会的各个方面，直接为社会创造价值，推动社会生产力的发展．中考依据
学业质量标准，义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社
会和个人发展所需要的核心素养．
从近几个的中考试题可以看出，中考试题注重应用性、探究性和综合性．展望未来，
链接高中数学的内容，体验生活中的数学，提高生活的幸福感，在学习和工作中应用
数学，利用数学知识解决问题．
考点讲解：近几年在中考及模拟试卷中，经常会出现以高中数学为背景的试题，这些
试题背景丰富、立意高远，既考查学生当下的数学素养，又考查学生将来的学习潜能．
在解决它们时，由于学生知识与方法的限制，只能遵循“高中背景，初中解法”的原
则．
【例1】
（2021·湖南永州·统考中考真题）
1．定义：若 ，则 ，x称为以10为底的N的对数，简记为 ，其满足运算法则： ．例如：因为 ，所以
，亦即 ； ．根据上述定义和运算法则，计算
的结果为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【变1】
（2021·广西贺州·统考中考真题）
2．如 ，我们叫集合 ，其中1，2， 叫做集合 的元素．集合中的元素
具有确定性（如 必然存在），互异性（如 ， ），无序性（即改变元素的顺
序，集合不变）．若集合 ，我们说 ．已知集合 ，集合
，若 ，则 的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【例2】
（2023·内蒙古赤峰·统考二模）
3．阅读理解：a，b，c，d是实数，我们把符号 称为 阶行列式，并且规定：
，例如： ．二元一次方程组
的解可以利用 阶行列式表示为： ；其中 ，
， ．
问题解决：
试卷第2页，共3页(1)计算 行列式 的值为______；
(2)利用二阶行列式解二元一次方程组 ，写出解题过程；
【变1】
（2018·山东滨州·统考中考真题）
4．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x
轴相切于点B．
（1）当x=2时，求⊙P的半径；
（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的
图象；
（3）请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给
（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的
距离的所有点的集合．
（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中
交点D（m，n）在点C的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．
考点讲解：数学源于生活，应用于生活．生活中处处皆学问，是离不开数学的，很多
中考试题就来源于生活，让考生体验生活中的数学．
【例1】
（2023·辽宁锦州·统考中考真题）
5．垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一．为营造人
人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时
尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区
进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡
片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
(1)从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
(2)按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求
出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
【变1】
（2023·山东青岛·统考中考真题）
6．许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后
的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标
系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨 ， 的交点．点C为抛物线的顶点，点
A，B在抛物线上， ， 关于y轴对称． 分米，点A到x轴的距离是 分
米，A，B两点之间的距离是4分米．
(1)求抛物线的表达式；
(2)分别延长 ， 交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；
(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 ，将抛物线向右平移
个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角
形面积为 ．若 ，求m的值．
考点讲解：项目式学习的设计以解决现实问题为重点，体会数学知识的价值，中考试
题依据学业质量标准，更加注重应用性、探究性和综合性．
【例1】
（2023·山西·统考中考真题）
7．2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省
试卷第4页，共3页境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲
河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把
“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并
形成了如下活动报告．请根据活动报告计算 和 的长度（结果精确到 ．参
考数据： ， ）．
课
母亲河驳岸的调研与计算
题
调
查
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
方
式
功
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
能
相关数据及说
明，图中，点
A，B，C，D，
E在同一竖直平
面内， 与
驳
均与地面平
岸
剖 行，岸墙
面 于点
图 A，
，
， ，
，
计
算
结
果
交
流
展
示
【变1】
（2023·山东烟台·统考中考真题）
8．【问题背景】
如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形 进行如
下操作：①分别以点 为圆心，以大于 的长度为半径作弧，两弧相交于点 ，
，作直线 交 于点 ，连接 ；②将 沿 翻折，点 的对应点落在点 处，作射线 交 于点 ．
【问题提出】
在矩形 中， ，求线段 的长．
【问题解决】
经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：
方案一：连接 ，如图2．经过推理、计算可求出线段 的长；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．经过推理、计算可求出线段
的长．
请你任选其中一种方案求线段 的长．
展望未来，有利于考生未来的发展．链接高中数学知识，需要用初中方法进行解答；
提炼生活中的数学，需要从数学的眼光看问题；应用数学，就是要善于发现问题、提
出问题、分析问题和解决问题，很多探究性试题就是从这个角度命制的．
（2023·江苏盐城·统考中考真题）
9．综合与实践
【问题情境】
如图1，小华将矩形纸片 先沿对角线 折叠，展开后再折叠，使点 落在对角
线 上，点 的对应点记为 ，折痕与边 ， 分别交于点 ， .
【活动猜想】
（1）如图2，当点 与点 重合时，四边形 是哪种特殊的四边形？答：
试卷第6页，共3页_________.
【问题解决】
（2）如图3，当 ， ， 时，求证：点 ， ， 在同一条直线上.
【深入探究】
（3）如图4，当 与 满足什么关系时，始终有 与对角线 平行？请说明理
由.
（4）在（3）的情形下，设 与 ， 分别交于点 ， ，试探究三条线段 ，
， 之间满足的等量关系，并说明理由.
一、选择题
（2022·江苏常州·统考中考真题）
10．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路
的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
（2022·湖南永州·统考二模）
11．如 ，我们叫集合 ，其中 ， ， 叫做集合 的元素．集合中的元
素具有确定性（如 必然存在），互异性（如 ， ），无序性（即改变元素的
顺序，集合不变）．若集合 ，我们说 ．已知集合 ，集合，若 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
（2022·湖南娄底·统考中考真题）
12．若 ，则称 是以10为底 的对数．记作： ．例如： ，则
； ，则 ．对数运算满足：当 ， 时，
，例如： ，则 的值为
（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
（2023·江苏·统考中考真题）
13．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、
CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点
M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2023·湖南·统考中考真题）
14．某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中
教学设计占 ，现场展示占 ．某参赛教师的教学设计 分，现场展示 分，
则她的最后得分为（ ）
A． 分 B． 分 C． 分 D． 分
二、填空题
（2023·吉林·统考中考真题）
试卷第8页，共3页15．如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ．
（2020·吉林·统考中考真题）
16．如图，某单位要在河岸 上建一个水泵房引水到 处，他们的做法是：过点 作
于点 ，将水泵房建在了 处．这样做最节省水管长度，其数学道理是
．
（2023·山东济南·统考一模）
17．对数的定义：一般地，若 ，那么 叫做以 为底 的对数，记
作： 比如指数式 可以转化为 ，对数式 ，可以转化
为 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
理由如下：设 ，
，则 ， ， ，由对数的定义得
，又 ， ，类
似还可以证明对数的另一个性质： ．
请利用以上内容计算 ．
（2022·河南驻马店·模拟预测）
18．斐波那契（约 ）是意大利数学家，他研究了一列数，被称为“斐波那契数列”．他发现该数列中的每个正整数都可以用无理数的形式表示，如第 （ 为正
整数）个数 可表示为 ，且连续三个数 ， ， 之间
存在以下关系 （ ）．①第 个数 ；②第 个数： ；③“斐
波那契数列”中的前 个数是 ， ， ， ， ， ， ， ；④若把“斐波那契数
列”中的每一项除以 所得的余数按相对应的顺序组成一组新数列，在新数列中，第
项的值是 ．以上说法正确的有 ．（请把你认为正确的序号全都填上去）
三、解答题
（2019·湖南张家界·统考中考真题）
19．阅读下面的材料：
按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在
第一位的数称为第一项，记为 ，排在第二位的数称为第二项，记为 ，依此类推，
排在第n位的数称为第n项，记为 ．所以，数列的一般形式可以写成： ， ， ，
…， ．
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列
1，3，5，7，…为等差数列，其中 ， ，公差为 ．
根据以上材料，解答下列问题：
(1)等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．
(2)如果一个数列 ， ， ，…， …，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可
得到： ， ， ，…， ，…．
所以 ，
，
试卷第10页，共3页，
……，
由此，请你填空完成等差数列的通项公式： (______)d．
(3) 是不是等差数列 ， ， …的项？如果是，是第几项？
（2023·广东深圳·统考中考真题）
20．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小
区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施
4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问
题：
①调查总人数 ______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如
下：
项目
休闲 儿童 娱乐 健身
小区
甲 7 7 9 8
乙 8 8 7 9
若以 进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以 进行考核，______小区满意度（分数）更高．
（2023·湖南·统考中考真题）
21．低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深． 低碳
环保，绿色出行 成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行．某公司销售甲、乙
两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台 元，乙型自行车进货价格为
每台 元．该公司销售 台甲型自行车和 台乙型自行车，可获利 元，销售 台甲型自行车和 台乙型自行车，可获利 元．
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共 台，且资金不超过
元，最少需要购买甲型自行车多少台？
（2023·广东深圳·深圳市福田区北环中学校考二模）
22．请阅读下列解题过程：解一元二次不等式： ．
解：设 ，解得： ， ，
则抛物线 与 轴的交点坐标为 和 ．
画出二次函数 的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当 时函数图象位于 轴下方，
此时 ，即 ．
所以一元二次不等式 的解集为： ．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
(1)上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的_________和_________（只填序号）
①转化思想；②分类讨论思想；③数形结合思想．
(2)用类似的方法解一元二次不等式： ．
(3)某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数 的图象和性质进行
了探究，探究过程如下，请补充完整：
①自变量 的取值范围是___________； 与 的几组对应值如表，其中
___________．
… 4 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
②如图，在直角坐标系中画出了函数的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题：
试卷第12页，共3页解不等式：
（2023·云南·统考中考真题）
23．
调查主题 某公司员工的旅游需求
调查人员 某中学数学兴趣小组
调查方法 抽样调查
背景介绍
某公司计划组织员工前往5个国家全域旅游示范区（以下简称示范区）中的1个自费
旅游，这5个示范区为：
A．保山市腾冲市； B．昆明市石林彝族自治县； C．红河哈尼族彝族自治州弥物
市； D．大理白族自治州大理市； E．丽江市古城区．
某中学数学兴趣小组针对该公司员工的意向目的地开展抽样调查，并为该公司出具了
调查报告（注：每位被抽样调查的员工选择且只选择1个意向前往的示范区）．
报告内容
请阅读以上材料，解决下列问题（说明：以上仅展示部分报告内容）．
(1)求本次被抽样调查的员工人数；
(2)该公司总的员工数量为900人，请你估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．（2023·青海西宁·统考中考真题）
24．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问
题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动．
【操作】如图1，在矩形 中，点M在边 上，将矩形纸片 沿 所在的
直线折叠，使点D落在点 处， 与 交于点N．
【猜想】
【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片 沿 所在的直线折叠
∴
∵四边形 是矩形
∴ （矩形的对边平行）
∴ （ ）
∴ （等量代换）
∴ （ ）
【应用】
如图2，继续将矩形纸片 折叠，使 恰好落在直线 上，点A落在点 处，
点B落在点 处，折痕为 ．
（1）猜想 与 的数量关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
（2023·江苏·统考中考真题）
25．根据以下材料，完成项目任务，
试卷第14页，共3页项目 测量古塔的高度及古塔底面圆的半径
测量
测角仪、皮尺等
工具
说明：点 为古塔底面圆圆心，测角仪高度
，在 处分别测得古塔顶端
测量 的仰角为 ，测角仪 所在
位置与古塔底部边缘距离 ．点
在同一条直线上．
参考
数据
项目任务
（1） 求出古塔的高度．
（2） 求出古塔底面圆的半径．
（2023·浙江温州·统考三模）
26．根据以下素材，探索完成任务．
如何确定拱桥形状？
问 图是一座拱桥，其形状与抛物线和圆形相
题 似． 为了定量的确定拱桥形状，九年（8）
背 班数学、科学项目化学习小组联合开展了本
景 次活动．
小晨认为可以在桥下不同的位置，用卷尺测
素 量水面到桥的垂直距离（记为 ），进而确定
材 形状． 经过测量，数学组绘制了图，并得到 的地方测得
一 水面宽 为 ，拱顶离水面的距离 为
4 ．
科学组发现在船上使用卷尺十分不便，所以
决定使用激光三角测距法测量 ． 其测量流
程如下：
1．在一个底部挖空的圆柱形薯片盒上安装放
大镜（焦距 ），并在一侧的同一高
度放置一枚激光笔．另一端盖上瓶盖（半径
）；
素
材 2．让激光垂直照射拱桥，光线会在拱桥发生
二 漫反射，并经过放大镜光心（即圆心），再
在瓶盖上形成一个光斑（记为点 ）；
3．测量光斑中心到瓶盖中心的距离 ，根据
公式 计算得到 的值．
注：薯片盒的高度等于焦距． 忽略测量装置
与水面的间距和激光发射点到放大镜边缘的距离．
问题解决
任
务 若拱桥呈圆形，且小晨测得 ，求他到点 的距离．
一
任
务 请在测量示意图（图）中，画出光的传播路径，并直接写出公式的获得原理．
二
任
若小豪在距离点 ， 的地方测得 ，请在图中建立平面直角坐标
务
三 系，通过计算判断拱桥是否呈抛物线形．
项目复盘
科学组在实际操作时发现，激光三角测距法相比直接测量的方法有一定的缺点． 请结
合生活经验及相关科学知识，写出一条可能造成误差的原因．
试卷第16页，共3页参考答案：
1．C
【分析】根据新运算的定义和法则进行计算即可得．
【详解】解：原式 ，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．
2．C
【分析】根据集合的确定性、互异性、无序性，对于集合B的元素通过分析，与A的元素
对应分类讨论即可．
【详解】解：∵集合B的元素 ， ，可得，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ， ， ，不满足互异性，情况不存在，
当 时， ， （舍）， 时， ， ，满足题意，
此时， ．
故选：Ｃ
【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论
即可．
3．(1)
(2) ，过程见详解
【分析】（1）根据题中所给定义进行求解即可；（2）根据题中所给新定义运算可进行求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ；
故答案为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
，
∴ ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，弄清题中的新定义是
解本题的关键．
4．（1） ；（2）图象为开口向上的抛物线，见解析；（3）点A；x轴；（4）
【详解】分析：（1）由题意得到AP=PB，求出y的值，即为圆P的半径；
（2）利用两点间的距离公式，根据AP=PB，确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象
即可；
（3）类比圆的定义描述此函数定义即可；
（4）画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可．
详解：（1）由x=2，得到P（2，y），
连接AP，PB，
答案第2页，共2页∵圆P与x轴相切，
∴PB⊥x轴，即PB=y，
由AP=PB，得到 =y，
解得：y= ，
则圆P的半径为 ；
（2）同（1），由AP=PB，得到（x﹣1）2+（y﹣2）2=y2，
整理得：y= （x﹣1）2+1，即图象为开口向上的抛物线，
画出函数图象，如图②所示；
（3）给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴
的距离的所有点的集合；
故答案为点A；x轴；
（4）连接CD，连接AP并延长，交x轴于点F，交CD于E，
设PE=a，则有EF=a+1，ED= ，
∴D坐标为（1+ ，a+1），代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a2）+1，
解得：a=﹣2+ 或a=﹣2﹣ （舍去），即PE=﹣2+ ，
在Rt PED中，PE= ﹣2，PD=1，
△
则cos∠APD= = ﹣2．
点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，
圆的性质，勾股定理，弄清题意是解本题的关键．
5．(1)
(2)
【分析】（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
（2）利用画树状图或列表法求概率即可．
【详解】（1）解：从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：方法一：根据题意可画树状图如下：
由树状图可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选
中的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中） ．
方法二：根据题意可列表如下：
A B C
A
答案第4页，共2页B
C
由表格可知共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中A，B两名志愿者同时被选中
的有2种，
∴P（A，B两名志愿者同时被选中） ．
【点睛】本题考查列表法和树状图法求概率，掌握概率的求法是解题的关键．
6．(1) ；
(2)
(3)2或4；
【分析】（1）根据题意得到 ， ， ，设抛物线的解析式为
代入求解即可得到答案；
（2）分别求出 ， 所在直线的解析式，求出与抛物线的交点F，E即可得到答案；
（3）求出抛物线与坐标轴的交点得到 ，表示出新抛物线找到交点得到 ，根据面积公
式列方程求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，由题意可得，
， ， ，
∴ ， ，
把点A坐标代入所设解析式中得： ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：设 的解析式为： ， 的解析式为： ，
分别将 ， 代入 得，， ，
解得： ， ，
∴ 的解析式为： ， 的解析式为： ，
联立直线解析式与抛物线得： ，
解得 （舍去），
同理，解 ，得 （舍去），
∴ ， ，
∴E，F两点之间的距离为： ；
（3）解：当 时， ，
解得： ，
∴ ，
∵抛物线向右平移 个单位，
∴ ，
当 时， ，
当 时， ，解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ， （不符合题意舍去）， ， （不符合题意舍去），
综上所述：m等于2或4；
答案第6页，共2页【点睛】本题考查二次函数综合应用，解题的关键是熟练掌握函数与坐标轴的交点求法及
平移的规律：左加右减，上加下减．
7． 的长约为 的长约为 ．
【分析】过点 作 于点 ，延长 交于点 ，首先根据 的三角函数
值求出 ， ，然后得到四边形 是矩
形，进而得到 ，然后在 中利用 的三角函数值
求出 ，进而求解即可．
【详解】解：过点 作 于点 ，延长 交于点 ，
∴ ．
由题意得，在 中， ．
∴ ．
∴ ．
由题意得， ，四边形 是矩形．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴在 中， ．
∵ ．∴ ．
∴ ，
∴ ．
答： 的长约为 的长约为 ．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是
理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．
8．线段 的长为 ．
【分析】方案一：连接 ，由翻折的不变性，知 ， ，证明
，推出 ，设 ，在 中，利用勾股定理列
式计算求解即可；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，证明 ，推出 ，设
，同方案一即可求解．
【详解】解：方案一：连接 ，如图2．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由作图知 ，
由翻折的不变性，知 ， ， ，
∴ ， ，又 ，
∴ ，
答案第8页，共2页∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长为 ；
方案二：将 绕点 旋转 至 处，如图3．
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
由作图知 ，
由旋转的不变性，知 ， ， ，
则 ，
∴ 共线，
由翻折的不变性，知 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
∴线段 的长为 ．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决
问题．
9．（1）菱形；（2）证明见解答；（3） ，证明见解析；（4）
，理由见解析
【分析】（1）由折叠可得： ， ，再证得 ，可得
，利用菱形的判定定理即可得出答案；
（2）设 与 交于点 ，过点 作 于 ，利用勾股定理可得 ，再
证明 ，可求得 ，进而可得 ，再由 ，可求
得 ， ， ，运用勾股定理可得 ，运用勾股
定理逆定理可得 ，进而可得 ，即可证得结论；
（3）设 ，则 ，利用折叠的性质和平行线性质可得：
，再运用三角形内角和定理即可求得 ，利用解直角三角形即可求
得答案；
（4）过点 作 于 ，设 交 于 ，设 ， ，利用解直角三角
形可得 ， ，即可得出结论．
【详解】解：（1）当点 与点 重合时，四边形 是菱形．
理由：设 与 交于点 ，如图，
由折叠得： ， ，
，
答案第10页，共2页四边形 是矩形，
，
，
，
，
四边形 是菱形．
故答案为：菱形．
（2）证明： 四边形 是矩形， ， ， ，
， ， ，
，
，
如图，设 与 交于点 ，过点 作 于 ，
由折叠得： ， ， ，
，
，
，
，即 ，
，
，
， ，
，
，即 ，， ，
，
，
， ，
，
，
，
点 ， ， 在同一条直线上．
（3）当 时，始终有 与对角线 平行．
理由：如图，设 、 交于点 ，
四边形 是矩形，
， ，
，
设 ，
则 ，
由折叠得： ， ，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
答案第12页，共2页，
，
；
（4） ，理由如下：
如图，过点 作 于 ，设 交 于 ，
由折叠得： ， ， ，
设 ， ，
由（3）得： ，
，
，
， ，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理，直角
三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判
定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大．
10．A
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
【点睛】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．
11．B
【分析】根据集合的定义和集合相等的条件即可判断．
【详解】解：∵A＝B，x≠0， ≠0，
∴ ＝0， ＝2，|x|＝x或 ＝0， ＝x，|x|＝2（无解），
∴y＝0，x＝ ，
∴x−y＝ −0＝ ，
故选：B．
【点睛】本题以集合为背景考查了代数式求值，关键是根据集合的定义和性质求出x，y的
值．
12．C
【分析】通过阅读自定义运算规则： ，再得到 再通过提取公
答案第14页，共2页因式后逐步进行运算即可得到答案．
【详解】解： ，
故选C
【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键．
13．D
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即
可．
14．B
【分析】根据加权平均数进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，她的最后得分为 分，
故选：B．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．
15．三角形具有稳定性
【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可．
【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影
响．16．垂线段最短
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
【详解】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】此题主要考查点到直线的距离，动手比较、发现结论是解题关键．
17．2
【分析】根据所给的运算的法则进行求解即可．
【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．①②④
【分析】将 和 代入 即可求得 和 ，再按照
可以求得前八个数，根据“把‘斐波那契数列’中的每一项除以 所得的余
数”求出来一部分特殊项，观察规律，即可得到第 项的值．
【详解】 ，故正确；
，故错误；
答案第16页，共2页“斐波那契数列”中的前 个数是 ， ， ， ， ， ， ， ，故正确；
， ， ， ， ， ， ， 除以 所得的余数分别是 ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
，
故在新数列中，第 项的值是 ，故正确．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了规律探究题，读懂题意，列出特殊项，观察一般规律是解决本题的关
键．
19．(1)5；25；(2) ；(3)-4041是等差数列 ， ， …的项，它是此数列的第2019
项．
【分析】(1)根据公差的定义进行求解可得答案，继而根据等差数列的定义即可求得第5项；
(2) ， ， 与 和 的关系即可求得答案；
(3)根据题意先求出通项公式，继而可求得答案.
【详解】(1)根据题意得， ；
，
，
，
故答案为5；25．
(2)
，
，
……
，
故答案为 ；
(3)根据题意得，等差数列 ， ， …的项的通项公式为： ，
则 ，
解之得： ，
是等差数列 ， ， …的项，它是此数列的第2019项．
【点睛】本题考查的是阅读理解题，涉及了规律型——数字的变化类、一元一次方程的应
用等知识，弄清题意，根据题中的概念以及方法进行求解是关键.
20．①100；②见解析；③愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；④乙；甲．
【分析】①根据健身的人数和所占的百分比即可求出总人数；
②用总数减去其他3项的人数即可求出娱乐的人数；
③根据样本估计总体的方法求解即可；
④根据加权平均数的计算方法求解即可．
【详解】① （人），
调查总人数 人；
故答案为：100；
② （人）
∴娱乐的人数为30（人）
∴补充条形统计图如下：
③ （人）
∴愿意改造“娱乐设施”的约有3万人；
④若以 进行考核，
甲小区得分为 ，
答案第18页，共2页乙小区得分为 ，
∴若以 进行考核，乙小区满意度（分数）更高；
若以 进行考核，
甲小区得分为 ，
乙小区得分为 ，
∴若以 进行考核，甲小区满意度（分数）更高；
故答案为：乙；甲．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，加权平均数，样本估计总体等知识，理解两
个统计图中数量之间的关系是正确解答的关键．
21．(1)该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为 元
(2)最少需要购买甲型自行车 台
【分析】（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为 元，根据题意列出
二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设需要购买甲型自行车 台，则购买乙型自行车 台，依题意列出不等式，解
不等式求最小整数解，即可求解．
【详解】（1）解：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为 元，根据题意
得，
，
解得： ，
答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为 元；
（2）设需要购买甲型自行车 台，则购买乙型自行车 台，依题意得，
，
解得： ，∵ 为正整数，
∴ 的最小值为 ，
答：最少需要购买甲型自行车 台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程
组以及不等式是解题的关键．
22．(1)①，③
(2)
(3)①全体实数； ；②见解析；③ 或 或
【分析】（1）根据转化思想和数形结合思想解答，即可；
（2）依照例题，先求得 的解，再画出 的草图，观察图象即可求
解；
（3）①当 时，代入数据求解即可；②描点，连线，即可画出函数图象；③观察图象
即可求解．
【详解】（1）解：上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的转化思想和数形结合思想；
故答案为：①，③
（2）解： ，
设 ，解得： ， ，
则抛物线 与 轴的交点坐标为 和 ．
画出二次函数 的大致图象（如图所示）．
由图象可知：当 时函数图象位于 轴上方，
此时 ，即 ．
所以一元二次不等式 的解集为： ；
答案第20页，共2页（3）解：①自变量 的取值范围是全体实数；
当 时， ，即
列表；
… 0 1 2 3 4 …
… 5 0 0 1 0 …
故答案为：全体实数； ；
②描点，连线，函数 图象如图：
③由图象可知；由图象可知：当 或 或 时函数
的图象位于 与0之间，此时 ，即 ．
一元二次不等式 的解集为： 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，一元二次不等式的解法，数形结合的思想
方法，本题是阅读型题目，理解题干中的解题的思想方法并熟练运用是解题的关键．
23．(1)100人
(2)270人
【分析】（1）根据保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可求出本次被抽样调查的员
工人数；
（2）用该公司总的员工数乘以样本中保山市腾冲市的员工人数除以所占百分比即可估计出该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数．
【详解】（1）本次被抽样调查的员工人数为： （人），
所以，本次被抽样调查的员工人数为100人；
（2） （人），
答：估计该公司意向前往保山市腾冲市的员工人数为270人．
【点睛】本题考查扇形统计图及相关计算．熟练掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
24．【验证】 ； ；两直线平行，内错角相等； ； ；等角对等
边；【应用】（1） ，见解析；（2）5
【验证】（1）由折叠得 ，由平行线性质，得 ，于是
，进而可得证 ， 即 ；
（2）由折叠得 ， ， ．在 中，根据勾
股定理，构建方程求解得 ，得 .
【详解】解：【验证】∵矩形纸片 沿 所在的直线折叠
∴
∵四边形 是矩形
∴ （矩形的对边平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∴ （等量代换）
∴ （等角对等边 ）
【应用】（1）
理由如下：
∵由四边形 折叠得到四边形
∴
∵四边形 是矩形
∴ （矩形的对边平行）
∴ （两直线平行，内错角相等）
∴
∴ （等角对等边）
∵
答案第22页，共2页∴ 即 ；
（2）∵矩形 沿 所在直线折叠
∴ ， ， ．
设
∴
在 中，
∴ （勾股定理）
∴ 解得
∴ .
【点睛】本题考查轴对称折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，等角对等边；根据折叠的
性质得到线段相等、角相等是解题的关键．
25．（1）古塔的高度为 ；（2）古塔底面圆的半径为 ．
【分析】（1）延长 交 于点 ，则四边形 是矩形，设 ，则 ，
根据 ，解方程，即可求古塔的高度；
（2）根据 ， ，即可求得古塔底面圆的半径．
【详解】解：（1）如图所示，延长 交 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
依题意， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，解得： ，
∴古塔的高度为 ．
（2） ， ，
∴ ．
答：古塔的高度为 ，古塔底面圆的半径为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，熟练掌握三角函数的定义是解
题的关键．
26．任务一：小晨到点 的距离为 ；任务二：画图见解析，证明见解析；任务三：画图
见解析，拱桥是否呈抛物线形，计算说明见解析；项目复盘：误差的原因，激光不一定垂
直于水平面
【分析】任务一：根据素材一可得 ，如图所示，设点 为圆心，
，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，设
，则 ，在 中， ，根据勾股定理求得
，在 中， ，进而即可求解．
任务二：根据题意画出图形，根据相似三角形的性质与判定即可求解；
任务三：根据题意求得抛物线解析式，进而根据公式求得点 是否在抛物线上，即可求解．
【详解】解：任务一：如图所示，根据素材一可得 ，如图所示，设
点 为圆心， ，过点 作 交 于点 ，连接 交 于点 ，连
接 ，
设 ，则 ，
在 中，
答案第24页，共2页即 ，
解得： ，
即 ，
∴ ，
在 中，
即
解得：
即
∴小晨到点 的距离为 ；
任务二：如图所示，
∵ ，
∴ ， ，
∴
∴
依题意， , , ，
∴∴
任务三：如图所示，以点 为原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直于 的直线为
轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
∵
∴ , , ,
设抛物线解析式为
将点 代入得，
解得： ；
∴抛物线解析式为
依题意， ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∴点 在抛物线上
即拱桥是否呈抛物线形．
答案第26页，共2页项目复盘：可能造成误差的原因，例如激光不一定垂直于水平面，
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，二次函数的实际应用，相似三角形的实际应用，综
合运用以上知识是解题的关键．
