文档内容
专题 10 解三角形经典必刷小题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-40题
一、单选题
1．在 中，已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由正弦定理得 ，再由内角和可得角 .
【详解】
由正弦定理及 ，可得 ，因为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：B．
2．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则角B的大小为（ ）
A． B． 或 C． D． 或
【答案】B
【分析】
利用余弦定理边化角，进而利用同角三角函数的关系得到 的值，即得角B的值.
【详解】
，即 ，∴ ，又∵ ，∴ 或 .
故选：B.3．在 中，已知 ，则 的形状一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】B
【分析】
先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.
【详解】
解：由正弦定理得 ，
整理得：
即 ，又因为 ,所以 ,
所以 ，移项得： ,所以三角形一定为直角三角形.
故选：B
4．已知 三边 ､ ､ 上的高分别为 ､ ､ ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 面积为 ，分别将三角形的边用 表示，利用余弦定理得出 ．
【详解】
设 面积为 ， ， ， ，
则 ，
故选：C.
5．满足条件a=4，b=5 ，A=45°的 ABC的个数是（ ）
△A．1 B．2 C．无数个 D．不存在
【答案】D
【分析】
由正弦定理求出角B值的个数.从而得出结论
【详解】
由正弦定理知 无解，即不存在这样的三角形
【点睛】
由正弦定理求出角B值的个数.很多时候还需要结合“大边对大角”特点.属于中档题
6． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
结合已知条件和正弦定理可得 ，即 ， ，再根据
和两角和的正切公式，以及三角形内角之间的关系，即可求出 ，再根据同角关系
即可求出 .
【详解】
由 ，利用正弦定理得 ，即 ，所以
， .代入 ，解得 ，又 ，
， 同号，所以 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，同时考查了三角恒等变换以及同角的基本关系，属于基础题.
7．在四边形 中， ，且 ， ， ，则边 的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用二倍角的余弦公式求出 ，然后利用余弦定理可求得边 的长.
【详解】
， ，
由余弦定理得 ，
因此， .
故选：D.
【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形的边长，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础
题.
8．已知 中内角 所对应的边依次为 ，若 ，则 的面积为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由余弦定理可得 ，结合 可得a，b，再利用面积公式计算即可.
【详解】
由余弦定理，得 ，由 ，解得 ，所以， .
故选：A.
【点睛】
本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
9．在 中， ，BC边上的高为AD，D为垂足，且BD＝2CD，则cos∠BAC＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
直接利用三角函数的定义和余弦定理求出结果．
【详解】
依题意设 ，则 ．因为 ，所以 ．因为BC边上的高
为AD，如图所示
所以 ，即 ．所以 ．
根据余弦定理得 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了解三角形的问题，关键是掌握余弦定理，属于基础题．
10． 中，已知 ，设D是 边的中点，且 的面积为 ，则 等于( )
A．2 B．4 C．-4 D．-2
【答案】A
【分析】
根据正、余弦定理求出 ；根据三角形面积公式求出 ；再根据D是 边的中点，将 ， 用 和
表示，再根据数量积的定义，即可求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，又角 是 的内角，
∴ ，
又 ，即 ，
∴ ；
又D是 边的中点
∴
.
故选：A．
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中
档题．
11．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则 是（ ）A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【分析】
利用倍角公式化简边角关系式，再利用正弦定理把关系式转化为角的关系式，化简后可得 ，从而
可得正确选项．
【详解】
因为 ，故 即 ，
由正弦定理可得 ，
故 ，
整理得到 .
因为 ，故 ，从而 ，而 ，故 .
故 为直角三角形.
故选：A．
【点睛】
在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系
式转化为边的关系式或角的关系式.化简中注意三角变换公式的合理使用．
12．在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，则A＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解A.
【详解】
∵acosB﹣bcosA＝c，
由正弦定理可得，sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC，
所以sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，
所以sinBcosA＝0，
因为sinB≠0，所以cosA＝0，即A ，
故选:B
【点睛】
本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及边化角的技巧，属于基础题.
13．已知 中，BC边上的中线 ， ， ，则 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
在 和 中，由余弦定理，化简可得 ；在 中，由余弦定理可知 ，
由此可得 ，由此即可求出 的周长.
【详解】
在 和 中，由余弦定理，可知
，
，
∴ ，
在 中，由余弦定理可知，
，
∴ ，
∴ ，
所以 的周长为 .
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中等题.
14．在 中，角 的对边分别为 ，若 ， ，且满足 ，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】
利用正弦定理将边化为角，即可求出角 ，结合向量的数量积即可求解.
【详解】
根据正弦定理得：
即： ,
又 ，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及平面向量的数量积，考查边化角的技巧，属于基础题.
15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A= ，cos C= ，a=1，则b=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由 解出 ,即可求出 ,由正弦定理即可求得结果.
【详解】
解: ，且 为三角形的内角，
，
，又 ，
.
故选:D.
【点睛】
在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定
理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或
边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
16．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由正弦定理可求得 ,由 可知 ,即可得出 .
【详解】
由正弦定理得 ，
，或 ，因为 ,所以 ,所以 .
故选：C.
【点睛】
点睛(1)本题主要考查正弦定理解三角形,意在考查学生对该基础知识的掌握水平;(2)解三角形如果出现多解,
要利用三角形内角和定理或三角形边角不等关系来检验.
17．已知在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 ，
则 的面积是（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】C
【分析】
由三角形内角和与两角和与差的正弦公式求得 ，再由同角三角函数关系求得 ，进而由余弦定理
求得a，最后由三角形面积公式求得答案.
【详解】
因为 ，即 ，即 ，
则 ，所以 ，故 .
因为 ，所以 ，所以角 为锐角，故 ，
由余弦定理可知， ，解得 或 .
当 时， 的面积 ；
当 时， 的面积 .
故选：C
【点睛】
本题考查由余弦定理解三角形，并利用任意三角形面积公式求面积，属于简单题.
18． 中， 对应的边分别为 ， ， ，三角形 的面积为 ，则边
△
的长为（ ）
A． B． C．7 D．49
【答案】C
【分析】
首先利用三角形的面积公式 ，求出 ，再利用余弦定理即可求解.
【详解】由 ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理可得：
△
，
解得 .
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式、余弦定理，需熟记公式与定理，属于基础题.
19．在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．无法判断
【答案】A
【分析】
，利用正弦定理可得 ，再利用余弦定理即可
判断三角形形状.
【详解】
由 ，得 ，由正弦定理，得 ，
所以 ，故 为钝角，所以 是钝角三角形.
故选：A.
【点睛】
本题考查利用正余弦定理判断三角形形状，考查学生对定理的灵活运用，是一道容易题.
20．在 中，角 所对的边分别是 ，如果 有两组解，那么 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造关于 的余弦定理由此得到关于 的方程组，根据三角形解的个数判断方程组解的个数，由此得到关
于 的不等式组，从而可求 的取值范围.
【详解】
法一：设 ，则由余弦定理， ，
，∵三角形有两组解，
∴方程 有2个不同的正数根，设为 ，
，即 ；
法二： 有两组解， ，
所以 ，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查解三角形问题中根据三角形解的个数求解参数范围，难度一般.此类问题常见解答方法：（1）作
图法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）构造一元二次方程，根据方程根的分布进行分析.
二、多选题
21．不解三角形，则下列对三角形解的个数的判断中正确的是（ ）
A． ，有一解 B． ，有两解
C． ，有两解 D． ，无解
【答案】AD
【分析】
应用正弦定理结合各选项的条件求 ，由三角形内角的性质即可判断各选项的正误.
【详解】
A：由正弦定理 ，又 ，故 只有一个解，正确；B：由正弦定理 ，又 ，显然 只有一个解，错误；
C：由正弦定理 ，显然 无解，错误；
D：由正弦定理 ，显然 无解，正确；
故选：AD
22．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ， ， 为
中点， 为 上的点，且 为 的平分线，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，结合角平分线的性质逐一判断即可.
【详解】
解析：由正弦定理可知：
又 ，
， ，
在 中， 得 ．
A． ；
B． ；
C．由角平分线性质可知：．
．
D．在 中，
．
故选：AD
23．在 中，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】
利用大边对大角定理结合正弦定理可判断A选项的正误；利用A选项中的结论结合二倍角的余弦公式可判
断B选项的正误；利用余弦函数的单调性可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，若 ，则 ，由正弦定理可得 ，A对；
对于B选项，若 ，且 、 ，则 ，
则 ，B错；
对于C选项，因为 ，且余弦函数 在 上为减函数，
故 ，C对；
对于D选项，取 ， ，则 ， ，此时， ，D错.
故选：AC.
24．对于 ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若cos△A＝cosB，则 ABC为等腰三角形
△
B．若 ABC为锐角三角形，有 ，则sinA＞cosB
△
C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的 ABC有两个
D．若sin2A+sin2B＜sin2C，则 ABC是钝角三△角形
【答案】ABD △
【分析】
对于A，利用余弦定理判断即可，对于B，利用诱导公式判断即可，对于C，利用余弦定理求解判断即可，
对于D，利用正弦定理和余弦定理判断即可
【详解】
对于A：若cosA＝cosB，则 ，整理得：a＝b，故 ABC为等腰三角形，故A正确；
△
对于B：若 ABC为锐角三角形，有 ，整理得 ，故 ，则sinA＞cosB，
△
故B正确；
对于C：由于a＝8，c＝10，B＝60°，利用余弦定理求出 ，故 ABC唯一，
△
故C错误；
对于D：sin2A+sin2B＜sin2C，利用正弦定理：a2+b2＜c2，故 ，故 ，故
ABC是钝角三角形，故D正确.
△故选：ABD.
25．在 中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A． 则 为等边三角形；
B．已知 ，则 ；
C．已知 ， ， ，则最小内角的度数为 ；D．在 ， ， ，解三角形有两解.
【答案】ABC
【分析】
对选项A，根据正弦定理得到 ，从而得到 ，即可判断A正确.对选项B，利用
余弦定理即可判断B正确；对选项C，利用余弦定理即可判断C正确，对选项D，由正弦定理即可判断D
错误.
【详解】
对选项A，因为 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，
即 为等边三角形，故A正确.
对选项B，因为 ，所以 ，
所以 .
又因为 ，所以 ，故C正确.
对选项C，因为 ，所以 为最小角，
，又因为 ，所以 ，故C正确.
对选项D，因为 ，所以 ，
故 不存在，D错误.
故选：ABC
26．在 中，三个内角分别为A，B，C，下列结论正确的是（ ）
A． 恒成立
B．若 ，则 一定是锐角三角形C．若 ，则
D．若 ，则三角形 必是等腰直角三角形
【答案】AC
【分析】
对于A，利用诱导公式判断即可，对于B，利用余弦定理判断，对于C，利用正弦定理结合大边对大角判
断即可，对于D，利用余弦定理转化为边变形判断
【详解】
对于A，因为 中， ，所以 ，所以A正确，
对于B，因为 ，所以 ，所以角 为锐角，而 不一定是锐角三角
形，所以B错误，
对于C，因为 ，所以由正弦定理得 ，所以 ，所以C正确，
对于D，因为 ，所以由余弦定理得 ，整理得
，所以 ，所以 或 ，所以 为
等腰三角形或直角三角形，所以D错误，
故选：AC
27．在 中， ， ， 为三个内角 ， ， 的对边，若 ，则角 （
）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
由余弦定理化边为角即得.
【详解】
由题得
根据余弦定理可知 ，
∴ 或 ．故选：BD.
28．在 中， ， ， 分别为 ， ， 的对边，下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 为锐角三角形，则
C．若 ，则 为钝角三角形
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】
由正弦定理得到 ，求得 或 ，可判定A不正确；由锐角三角形，得到
，结合正弦函数的单调性，可判定B正确；由 ，得到 中
一定有一个小于0成立，可判定C正确；由正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到 ，可判定D
正确.
【详解】
对于A中，由 ，可得 ，即 ，
因为 ，可得 或 ，即 或 ，
所以 为等腰或直角三角形，所以A不正确；
对于B中，由 为锐角三角形，可得 ，则 ，
因为 ，可得 ，
又因为函数 在 上为单调递增函数，所以 ，
所以B正确；
对于C中，因为 ，由 ，
可得 中一定有一个小于0成立，不妨设 ，可得 ，所以 为钝角三角形，所以C正确；
对于D中，因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 ，可得 ，
所以 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，所以 ，所以D正确.
故选：BCD.
29．下列结论正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在锐角三角形 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ， ，则 为等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为
【答案】ABC
【分析】
运用三角形的性质，结合正弦定理、余弦定理、三角形面积公式逐一判断即可.
【详解】
解：对于选项 ：在 中，若 ，根据大边对大角，所以 ，
利用正弦定理，所以 ，
则 ，故选项 正确．
对于选项 ：在锐角三角形 中， ，即 ，
故不等式 恒成立，故选项 正确．
对于选项 ：在 中， ，
由余弦定理可知： ，因此有
，即 ，
因为 ，所以 ，
因此 ，所以 或 ，即 ，或 （舍去），
，所以 ，故C正确．对于选项 ：在 中，若 ， ，三角形面积
所以 ，解得 ，
所以 ，
由正弦定理 ，故选项 错误．
故选： ．
30．在 中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为锐角三角形
B．若 ，则 的形状为直角三角形
C． 内一点G满足 ，则G是 的重心
D．若 ，则点P必为 的外心
【答案】BC
【分析】
对于A，由 可得角 为锐角，从而可判断，对于B，对 两边平方化简，再结合
余弦定理可得结论，对于C，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于D，由向量运算性质和三角
形垂心概念可判断
【详解】
解：对于A，由 ，得 ，所以 ，所以角 为锐角，但不能判断三角形
为锐角三角形，所以A错误，
对于B，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ,得 ，因为 ，所以 ，所以三角形为直角三
角形，所以B正确，对于C，因为 ，所以 ，所以 （ 为 的中点），所以
三点共线，所以点 在 边的中线 上，同理，可得点 在其它两边的中线上，所以G是
的重心，所以C正确，
对于D，因为 ，所以 ， ,所以 ，所
以点 在边 的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点 为 的垂心，所以D错误，
故选：BC
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，若 ，
则 的面积为___________.
【答案】
【分析】
由三角形中的射影定理 ,结合已知条件求得 的值，进而得到 的值，然后利用余弦定理
求得 的值，进而利用面积公式求得.
【详解】
由三角形中的射影定理 ,结合已知条件 ，可得 ,
又∵ ，∴ ，由 ，可得 ，
解得 (负值舍去)，∴三角形的面积为 ，
故答案为： .
32．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，C＝ ，c＝2 ，D为BC中点，cosB＝
，求AD的长度为______________．
【答案】【分析】
利用两角和的正弦公式求得 的值，利用正弦定理求得边 的值，进而由余弦定理求得.
【详解】
解：因为cosB＝ ，
所以sinB＝ ，
sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝ ，
由正弦定理得 ，
所以a＝2 ，
因为D为BC的中点，BD＝ ，
△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BDcosB＝26，
所以AD＝ ．
故答案为： ．
33．若 ， ， 为 的三边，且 ， ， 成等差数列，则 的最小值是___________.
【答案】
【分析】
将等差中项代入余弦定理，利用不等式放缩可得 的最小值．
【详解】
，
则 的最小值是
故答案为：
34．已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，角 ， ， 成等差数列，且 ，若 ，分别为边 ， 的中点，且 为 的重心，则 面积的最大值为______.
【答案】
【分析】
利用正弦定理，余弦定理求得 ，可得 面积的最大值，再根据题意及平面几何知识可得
，从而得到 面积的最大值．
【详解】
角 ， ， 成等差数列，且 ，则
由余弦定理可知， ，即
分别为边 的中点，且 为 的重心，
由平面几何知识可知， ．
面积的最大值为 ．
故答案为：
35．设 分别是 的内角 所对的边，已知 ，则角 的大小为______．
【答案】
【分析】
利用正弦定理和三角形内角和为 ，结合两角和的正弦公式化简，得出角 的大小．
【详解】
由正弦定理可得， ，即
化简得 ，又 ，则 ，即角 的大小为
故答案为：
36．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ；且 ，则 周长的范围为__________.
【答案】
【分析】
先求 角，再用余弦定理找到边 的关系，再用基本不等式求 的范围即可.
【详解】
解：
所以三角形周长
故答案为：
【点睛】
考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件；基础题.
37．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ，则 的取值范围是_____．
【答案】
【分析】
计算出角 的取值范围，结合正弦定理可求得 的取值范围.
【详解】
，则 ，所以， ，
由正弦定理 ， .因此， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题．
38．在 中内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，面积为 ，且 ，则 的值为
________.
【答案】
【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理建立方程进行求解即可.
【详解】
根据题意得， ，
由余弦定理可得， ，
，
，
，
可得 .
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查余弦定理，三角形面积公式以及同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，属于基
础题.39．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，且 ，则 的
最大值为_________．
【答案】
【分析】
利用正弦定理边化角化简可求得 ,则有 ,则
借助正弦函数图象和性质即可求出.
【详解】
因为 ，
所以 ，所以 ．
所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值 ．
故答案为: .
【点睛】
本题考查正弦定理,三角函数的图象和性质,属于常考题.
40．在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ， ，则角
______.
【答案】 或
【分析】
利用辅助角公式得出 ，结合角 的取值范围可求出 的值，再利用正弦定理可求出角 的值.
【详解】由 可得 ，所以 ，
， ，则 ， .
由正弦定理得 ，又因为 ，所以 ，所以 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查利用正弦定理求角，在利用正弦定理求角时，可能会存在两解，要注意大边对大角定理的应用，
考查计算能力，属于基础题.
任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且满足 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由 ，根据正弦定理边化角，在消去 ，可得 ，利用三角形 是锐角
三角形，可得 ，进而求出 ，对 化简，可求出结果．
【详解】
因为 ，由正弦定理可知， ，
又 ，所以
所以 ，所以即 ，
又 是锐角
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过正弦定理和锐角三角形的特点求得 ，和 .
2．锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用余弦定理、正弦定理边角互化思想、两角差的正弦公式，并结合条件 得出 ，根
据 为锐角三角形得出角 的取值范围，可得出 的取值范围.
【详解】
，即 ，化简得 .
由正弦定理边角互化思想得 ，
即 ，所以， ，，
， ， ， ， ，
是锐角三角形，且 ，所以 ，
解得 ，则 ，所以， ，
因此， 的取值范围是 ，故选D.
【点睛】
本题考查余弦定理、正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了二倍角公式的应用，考查分析问题和解
决问题的能力，属于中等题.
3．已知 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ．若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． 或 D．不存在
【答案】A
【分析】
由题意，利用余弦定理和正弦定理，化简求得 ，再利用降幂公式与和差化积，以及
同角的三角函数关系，求得 的值．
【详解】
中， ， ；
，
，
，，
即 ；
，
又 ， ，
，
化简得 ，解得 或
∵ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．
4．在 中，角 、 、 对边分别为 、 、 ，若 ， ，且 ，
则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知条件求出角 的值，利用余弦定理求出 、 的值，由此可计算出 的周长.
【详解】
， ，
， ，则 ， ，
， ，由余弦定理得 ，即 ，， ，因此， 的周长是 .
故选：D.
【点睛】
本题考查三角形周长的计算，涉及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝1，a（2sinB﹣ cosC）＝ ccosA，点D是边
BC的中点，且AD＝ ，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． 或2 D． 或
【答案】D
【分析】
根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c的值进行求解
即可．
【详解】
∵a（2sinB﹣ cosC）＝ ccosA，
∴2sinAsinB﹣ sinAcosC＝ sinCcosA，
即2sinAsinB＝ sinAcosC+ sinCcosA＝ sin（A+C）＝ sinB，
∵sinB≠0，
∴2sinA＝ ，即sinA＝ ，即A＝ 或
∵点D是边BC的中点，
∴ ，
平方得 ，即 ＝ (b2+c2+2bccosA)，
即13＝1+c2+2ccosA，
若A＝ ，则c2+c﹣12＝0得c＝3或c＝﹣4（舍），此时三角形的面积S＝ bcsinA＝
若A＝ ，则c2﹣c﹣12＝0得c＝4或c＝﹣3（舍），此时三角形的面积S＝ bcsinA＝
，
综上三角形的面积为 或 ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本
题的关键．
6．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则A的取值范
围是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先利用正弦定理角化边，再利用余弦定理化简即得解.
【详解】
由正弦定理可得 ．
，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7．如图，在离地面高 的热气球上，观测到山顶 处的仰角为 ，山脚 处的俯角为 ，已知
，则山的高度 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
可知 为等腰直角三角形，可计算出 的长度，在 中，利用正弦定理求出 的长度，然后
在 中，利用锐角三角函数求出 ，即可得出答案.
【详解】
根据题意，可得在 中， ， ，
所以， ，
因为在 中， ，
，
由正弦定理，得 ，
在 中， ，故选C.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用问题，着重考查三角函数的定义、利用正弦定理解三角形等知识，在解题时，
要结合三角形已知元素类型合理选择正弦定理和余弦定理解三角形，考查运算求解能力，属于中等题.8．在△ABC中，若 ，则（ ）
A．C的最大值为 B．C的最大值为
C．C的最小值为 D．C的最小值为
【答案】A
【分析】
由商数关系，可得 ，结合辅助角公式，化简整理为 ，
于是 ，由均值不等式可知， ，由余弦定理知， ，将所得结论
代入进行运算可得 ，结合三角形内角关系，即可求解．
【详解】
由题可知， ，
所以 ，
由正弦定理知， ，所以 ，
由均值不等式可知， ，
由余弦定理知， ，
因为 ，所以 ，即 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，采用了角化边的思维，还用到了同角三角函数的商数关系、辅
助角公式和均值不等式等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．9．在钝角 中，角 所对的边分别为 ，且 ，已知 ， ，
，则 的面积为（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知条件，由正弦定理角化边，得到 ，由 ，利用余弦的二倍角公式求得 ，
时推出矛盾，得到 ，进而结合余弦定理求得 ,进而利用三角形的面积公式计算可
得.
【详解】
已知 ， ，由正弦定理得 ,
，∴ ，
当 时，
由余弦定理得： ，即： ,
∴ , 与 联立解得 不满足 ，舍去.
∴ ，∴ .
由余弦定理得： ，即： ,
∴ , 与 联立解得 满足 ，
的面积为 ,
故选：C.【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形计算中的综合应用，考查三角形的面积公式，涉及分类讨论思想，属中档
题.
10．已知 的面积为1，角 的对边分别为 ，若 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意结合正弦定理得 ，由余弦定理得 即 ，再由
可得 ，根据正弦定理得 ， ，则
即可得解.
【详解】
由 得 ，
则 ，由 可得 ，
由 得 ，
由正弦定理知 ，即 ， ，
∴ ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中
档题.
11．已知 的外心为 ，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设 的中点为 ，根据 ，得到 ，从而有 ， ， 三点共线，得到
是等腰三角形，再根据 求解.
【详解】
设 的中点为 ，根据题意可得 ，
∴ ， ， 三点共线，
如图所示：
∴ ，且 ， ，
在 中， ，所以 ，
在 中， ，∴ ，
由余弦定理得 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查余弦定理在平面几何中的应用以及三角形的外接圆问题，还考查了运算求解的能力，属于中
档题.
12．已知 三内角 的对边分别为 ，且 ，若角 平分线段 于 点，
且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由已知，易得 ，再利用 得到 ，即 ，再利用“1”的替换即可得
到答案.
【详解】
由 及正弦定理，得 ，
因 ， ，所以 ，即 ，又 ，
所以 .
如图， ，
所以 ，
所以 ，即 .
∴ ，当且仅当 ， ，
即 时，等号成立
所以 的最小值为9.
故选：B【点睛】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到基本不等式求最值，考查学生的数学运算求解能力，是一
道中档题.
13． 中，角 、 、 的对边分别为 ， ， ，且 ，若 ，
，则 的值为（ ）
A．6 B．2 C．5 D．
【答案】A
【分析】
由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得 ，结合 ，可求得
，结合范围 ，可求 ，从而根据余弦定理 ，解方程可求 的值．
【详解】
解：∵ ，
∴由正弦定理可得：
，
∵ ，
∴可得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴由余弦定理 ，可得 ，可得 ，
∴解得 ，（负值舍去）．
故选：A．
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的综合应用，其中着重考查了正弦定理的边角互化、余弦定理的解三角形，
难度一般.利用边角互化求解角度值时，注意三角形内角对应的角度范围.
14．在 中， 、 、 分别为内角 、 、 所对的边，且满足 ， ，若点 是
外一点， ， ， ，则平面四边形 面积的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用正弦定理边角互化思想化简得出 ，进而可得出 是等边三角形，利用余弦定理求得 ，然后
利用三角形的面积公式可得出四边形 的面积关于 的函数关系式，利用三角恒等变换化简函数解析式，
结合正弦函数的基本性质可求得结果.
【详解】
，由正弦定理得 ，即 ，
即 ，由正弦定理得 ，
又 ，所以， 为等边三角形，
则 ，
，
， ，当 时，即当 时，四边形 的面积取最大值 .
故选：B.
【点睛】
四边形的面积往往转化为两个三角形面积之和，从而所求问题转化为三角函数的有界性问题，结合条件易
得结果.
15．已知 外接圆的半径 ，且 .则 周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 及倍角公式可得 ， ，再由余弦定理可得 ，再
利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出 的取值范围即可得到答案.
【详解】
由题意， ，即 ，可化为
，即 ，因为 ，所以 ，
即 ， ，设 的内角 ， ， ，的对边分别为 ， ，
，由余弦定理得， ，因为 （当且仅当 时取“=”），所
以 ，即 ，又因为 ，所以
，故 ，则 ，又因为 ，所以
，即 .故 周长的取值范围为
.
故选：C【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运
算求解能力，是一道中档题.
16．已知椭圆 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，过左焦点 作直线与椭圆在
第一象限交点为P，若 为等腰三角形，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据点 在第一象限，得 ，根据离心率为 得 ，再按照 和
两种情况讨论，利用余弦定理和同角公式可求出直线 的斜率.
【详解】
因为点 在第一象限，所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 满足 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以直线 的斜率为 ，当 时， ，不符合题意.
综上所以直线 的斜率为 .
故选：A
【点睛】
本题考查了分类讨论思想，考查了椭圆的定义，考查了余弦定理、同角公式，斜率的定义，属于中档题.
17．设向量 ， ， 满足 ， ，则 的最大值等于
A．4 B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】
首先利用向量的数量积可得向量 与 的夹角为 ，令 ， ， ，利用向量的减法可得
， ，从而可得四边形 有外接圆， 的最大值为四边形 的外接圆直径，
再利用正弦定理即可求解.
【详解】
因为 ， ，
所以向量 与 的夹角为 ，
如图，令 ， ， ，
则 ， ， ,
由 ，得 ,所以 ，所以四边形 有外接圆，
，所以 的最大值即为四边形 的外接圆直径，
因为 ， ，
所以由余弦定理得 ，
设四边形 的外接圆半径为 ，由正弦定理可得 ，
所以 的最大值为 .
故选：A
【点睛】
本题考查了向量的数量积求夹角、向量的减法、正弦定理求外接圆半径，属于中档题.
18．已知在 中，角 的对边分别是 ，点 在 内部，且满
足 ，若 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．7 D．
【答案】D
【分析】
由已知利用正弦定理及逆用和角公式可求得 ,设 ,可证得 由对应边成比例可
得 ,在 中,利用余弦定理得: ,可
解得 ,即可求得结果.
【详解】
,
,即 ,
, ,由 .得 .
设 ,则 ，
，
在 中,利用余弦定理得: ,
解得 ,则 , .
故选:D.
【点睛】
本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,考查学生的逻辑推理能力和计算能力,难度一般.
19．在 中， ， ，则 的最大值为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用正弦定理和三角恒等变换思想将 表示为角 为自变量的正弦型函数，利用正弦函数的有界性可得出 的最大值.
【详解】
设 的外接圆半径为 ， ， ，则 ，
所以
，
其中 ， ，
所以 的最大值为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查三角形中的最值问题，一般利用正弦定理结合三角恒等变换将代数式变形为以某角为自变量的三
角函数来求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
20．如图，在 中， ，点D在线段BC上，且 ， ，则 的面积
的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，则 ，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由，根据三角函数的性质求出面积的最大值．
【详解】
解：设 ，则 ．
， ， ， ，
，同理 ，
其中 ，
， 当 时， ， ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了余弦定理和三角恒等变换，以及三角形的面积公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
二、多选题
21．已知 的外接圆半径 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
C． 的周长的最小值为 D． 的面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】
利用正弦定理，求出∠B、∠C范围，从而求出 的范围，结合余弦定理，三角形面积公式,即可求解.
【详解】
在 中，设角 所对的边分别记作 ，
∴ ,∴ ,又 的外接圆半径 ，由正弦定理得： ,∴,又∵B、C不会同为钝角，故 ,又∵ ,∴ ,故B选项对.
由上得: ，由余弦定理 得： ，
∴ ，∴ ∴ 的最小值为 ，故A选项对，C选项错.
由上得： ，又 , 的面积的最大值为 ,故D选项对，
故选：ABD.
【点睛】
本题综合考查了正、余弦定理及三角形面积公式，属于中档题.
22．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .若 ，角 的角平分线交 于点 ，
， ，以下结论正确的是（ ）
A． B． C． D． 的面积为
【答案】ACD
【分析】
首先根据余弦定理，并结合条件判断 ，并根据二倍角公式得到 ，依次计算 的
值，根据面积比值 ，判断C和D.
【详解】
解析：在 中，根据余弦定理得， ，即 ，所以 .由倍角公式得
，解得 .在 中， ，故选项A正确
在 中， ，解得 .故选项B错误；
，解得 ，故选项C正确；
在 中，由 得， ，所以
，故选项D正确
故选：ACD
【点睛】
本题考查判断命题的真假，重点考查正余弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，数形结合分析问题的
能力，属于中档题型.
23．在 中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（ ）
A． 则 为等边三角形；
B．已知 ，则 ；
C．已知 ， ， ，则最小内角的度数为 ；
D．在 ， ， ，解三角形有两解．
【答案】ABC
【分析】
利用正弦定理、余弦定理一一计算可得；
【详解】解：对于A：若 ，则 ，即 ，即 ，即
是等边三角形，故A正确；
对于B：由 ，可得 ，余弦定理： ．
， ，故B正确．
对于C：因为 ， ， ，所以 ，所以 ，所以
， ， ，故C正确；
对于D：因为 ， ， ，所以 ，即 解得 ，因为 ，
所以 ，所以三角形只有1解；
故选：ABC
24．己知 ABC中，角A，B．C所对的边分别是a，b，c，B= ，2 = ，AP= 则下列说法正确的
△
是（ ）
A． = + B．a+3c的最大值为
C． ABC面积的最大值为 D．a+c的最大值为2
△
【答案】AD
【分析】
利用平面向量基底表示向量可判断A；利用正弦定理、余弦定理、面积定理借助三角恒等变换可计算判断
B，C，D.
【详解】
对于A，在 ABC中，因2 = ，则 ，A正
△
确；在 ABP中，由余弦定理得： ，
△
当且仅当 时取“=”，于是得当 时， ，
，C不正确；
在 ABP中，令 ，则 ， ，由正弦定理得：
△
，
则 ， ，
其中锐角 由 确定，而 ，则当 时， ， 取最大值
，D正确；
而 ，则 的最大值应大于 的最大值，又 ，即a+3c的最大值为 是不正
确的，B不正确.
故选：AD
25．在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结
论正确的是（ ）
A． B． 是钝角三角形
C． 的最大内角是最小内角的 倍 D．若 ，则 外接圆半径为
【答案】ACD
【分析】
不妨设 ， ， ，解得 ， ， ，对四个选项一一验证：
由正弦定理可判断A；
由 为最大边，结合余弦定理 可判断B；由余弦定理和二倍角公式验证 可判断C；
由正弦定理 可判断D.
【详解】
不妨设 ， ， ，解得 ， ， ，
根据正弦定理可知 ，选项A描述准确；
由 为最大边，故 为最大角，
，
即 为锐角，选项B描述不准确；
由题意， 为最小角， 为最大角
，
，
由 ， ，可得 ，选项C描述准确；
若 ，可得 ，
外接圆半径为 ，选项D描述准确.
故选：ACD.
26．已知 ， ， 分别是 三个内角 ， ， 的对边，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 是锐角三角形
B．若 ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是等边三角形
【答案】ACD
【分析】
由两角和的正切公式结合诱导公式以及 ， ， 为 的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为
角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，
所以
，
因为 ， ， 为 的内角，所以 ， ， 都是锐角，所以 是锐角三角形，故选项A正确；
对于B：由 及正弦定理，可得 ，
即 ，所以 或 ，所以 或 ，
所以 是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；
对于C：由 及正弦定理化边为角，
可知 ，即 ，
因为 ， 为 的内角，所以 ，所以 是等腰三角形，故选项C正确；
对于D：由 和正弦定理化边为角，易知 ，所以
，因为 ， ， 为 的内角，所以 ，所以 是等边三角形，故选项
D正确；
故选：ACD.
27．如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且
， 是 外一点， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 是等边三角形
B．若 ，则 ， ， ， 四点共圆C．四边形 面积最大值为
D．四边形 面积最小值为
【答案】ABC
【分析】
根据正弦定理，求得 ，求得 ，结合 ，可判定 正确；由圆内接
四边形的性质，得到 ，结合余弦定理，可判定 正确；设 ，利用余弦定理求得
，得出 ，结合三角函数的性质，可判定 正确， 错误.
【详解】
因为 ，所以 ，
即 ，
由 ，可得 ，所以 或 ，
又因为 ，可得 ．所以 ，故 正确；
若四点 ， ， ， 共圆，则四边形对角互补，由 正确，可得 ，
在 中，因为 ， ，
所以 ，故 正确；
等边 中，设 ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
由于 ， ，可得 ，
所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
所以四边形 面积的最大值为 ，无最小值，故 正确， 错误.故选： ．
28．若 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，则下列结论
正确的是（ ）
A．角 一定为锐角 B．
C． D． 的最小值为
【答案】BC
【分析】
结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然
后对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意 ，
， ，
为钝角，A选项错误.
，
，B选项正确.
，由正弦定理得 ，
， ，
由于 ， 为钝角， 为锐角，所以两边除以 得， .C选项正确.
，
，
整理得 ，由于 为钝角， ，所以 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 ，D选项错误.
故选：BC
29．已知 的内角A，B，C的对边长a，b，c成等比数列， ，延长BA至 则下
面结论正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，则 周长的最大值为 D．若 ，则 面积的最大值为
【答案】BD
【分析】
先利用已知等式，利用两角差的余弦公式化简，并与将三边成等比数列，利用正弦定理转化后的结果结合，
消去A，C得到关于cosB的方程，求出 ，进而再次利用两角差的余弦公式得到 ，确定
，进而确定 为正三角形，可以判定A、B选项的正误；
在 中利用余弦定理得到 ， 的关系式，利用基本不等式放缩得到关于 的不等式，
解得其范围，进而得到 周长的最大值，从而判定C选项的正误；
利用三角形的面积公式，利用配方法，即得 的面积最大值，从而判定D选项的正误．
【详解】
化简得 ①，
又a，b，c成等比数列，则有 ②，由①②得：
所以 ，
，
解得 或 舍去
所以 ，
代入②得： ，
，
所以 ，
又 ，
所以 为正三角形，
如图所示，
故选项A不对，选项B对；
对于C选项，在 中，根据余弦定理有
整理得 ，根据基本不等式有 ，
解得 ，当且仅当 等号成立，
所以 周长的最大值为 ，故C错；
对于选项D，设AC长度为b，则 ，
在 中，
所以当 时， ，故选项D对．
故选：BD．
30．已知 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列条件能推导出 一定是锐角
三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】
利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理逐项判断即可求解.
【详解】
解：对于 ，若 ，由余弦定理可知 ，即角 为锐角，不能推出其他角均
为锐角，故错误；
对于 ，因为 ，可得 ，可得 ，设 ， ，
， ，
可得 为最大边， 为三角形最大角，
根据余弦定理得 ，可得 为锐角，可得 一定是锐角三角形，故正确；
对于 ，因为 ，可得 ，整理可得
，由正弦定理可得 ，可得 为直角，故错误；
对于 ，因为由于 ，整理得 ，
故 ，
由于 ，
故 ，
故 ， ， 均为锐角， 为锐角三角形，故正确．
故选：BD．
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ，已知 ，则角 的值为
___________．
【答案】
【分析】
由题意，结合正弦定理 和 ，可化简原式得
，即 ，利用 的范围即得解
【详解】
由 ，得 ，
根据正弦定理 可得：
，又
，
又 ，，
，即 ，
， ，
， .
故答案为：
32．已知 ， ， 分别为 的三个内角 ， ， 的对边， ，且 ，
为 的重心，则 ________
【答案】
【分析】
根据已知等式，利用余弦定理角化边，结合已知条件可以求得 的值，进而求得 的值，然后根据
,利用向量的数量积运算可求得 的长度.
【详解】
由余弦定理得 ,∴ ,
∵ ， ，
将 代入得： ,
所以 ，
设以 为邻边的平行四边形的另一个顶点为 ,则 ,
,
故答案为：【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，要熟练使用上弦定理角化边，并结合向量的数量积运算可更快的
求解.
33．在 中， ， ． 边上的中线 ，则 _____．
【答案】
【分析】
， 中，分别用余弦定理表示 ， ，再利用 解边
长 ，再根据余弦定理求角 ，最后根据三角形面积公式求解.
【详解】
设 ，
中， ，
中，
， ,
，解得： ， ，
中， ,,
.
故答案为：
【点睛】
本题考查解三角形，重点考查数形结合分析问题，计算能力，属于基础题型.
34．在 中，点 在边 上，且满足 ， ，则 的取值范围为
_______．
【答案】
【分析】
作出图形，由 得出 ，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出
，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得 的取
值范围.
【详解】
如下图所示：
， ，
， ， ，且 为锐角，在 中，
，
另一方面 ，
当且仅当 时，等号成立，
因此， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式
的应用，考查计算能力，属于中等题.
35．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的
面积为______________.
【答案】 或
【分析】
由 可得 ， 或 ，分 ， ， 与 ， ，
两种情况讨论即可.
【详解】
因为 ，所以 或 ， ，所以 或 .当 时， ，由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ；
当 时， ， ，
由正弦定理可得 ，
此时 .
综上， 的面积为 或 .
故答案为： 或
【点睛】
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，涉及到三角形面积公式，考查学生分类讨论的思想，数学运算能
力，是一道中档题.
36．在三角形 中， ，且角 、 、 满足 ，三角形 的面积的
最大值为 ，则 ______．
【答案】
【分析】
由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，可求得 ，利用余弦
定理，基本不等式可求 的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
，即 ，因为
，
即 ，解得 ，
，所以 ，
设 、 、 分别为角 、 、 的对边，
由余弦定理得 ，即 ．
又因为 ，即 ，当且仅当 时等号成立．
所以三角形 的面积 ．
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应
用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
37．在 中，已知 , ，BC边上的中线 ，则 ________．
【答案】
【分析】
根据图形，由中线长定理可得： ，再利用余弦定理可得： 解得
的值，再次利用余弦定理求解出 ，根据同角三角函数关系解得 ．
【详解】
解：如图所示，由中线长定理可得： ，
由余弦定理得到：
，即 ．
联立成方程组 ，
解得： ，
故
由 可得，
．
故答案为：
【点睛】
本题考查了余弦定理的知识，方程思想是解决本题的关键.
38．如图，在 中， ， ，点 在线段 上，且 ， ，
则 的面积为______.
【答案】
【分析】
在 和 利用正弦定理建立等式，结合条件 可求得 的值，在
中分别利用正弦定理和余弦定理求解 、 ，进而可求得 的面积.【详解】
在 中，由正弦定理得 ，即 ，①
在 中，由正弦定理得 ，②
又 ，③，
联立①②③得， ，
在 中，由正弦定理得 ，可得 ，
由余弦定理得 ，即 ，
，解得 ，
因此， 的面积为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
39．若 的面积为 ，且 为钝角，则 的取值范围是______.
【答案】
【分析】
利用三角形的面积公式和余弦定理可求得 ，进而得出 ，由 为钝角得出 ，再利
用正弦定理边角互化思想得出 ，进而可求得 的取值范围.
【详解】由三角形的面积公式和余弦定理得 ，
化简得 ，则 ， ， ，
为钝角，则 ，解得 ，所以 ，
所以， .
因此， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
考查三角形中边长比值取值范围的计算，涉及三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理的应用，将问题
转化为以角 为自变量的三角函数的值域问题求解是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
40．已知 是锐角 的外心， ．若 ，则实数 ______．
【答案】
【分析】
设外接圆的半径为 ，对原式进行化简可得 ，再根据角的关系
可得， ，再利用三角恒等变化，即可求解．
【详解】
解：设外接圆的半径为 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，
即 ，
即 ，
故 ，
故 ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了正弦定理的应用，平面向量运算的应用以及三角恒等变换的应用，属于中档题．任务三:邪恶模式(困难)1-20题
一、单选题
1．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角恒等变换及正弦定理将 进行化简，可求出 的值，再利用边化角
将 化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】
由题知 ，
即
由正弦定理化简得即
故选： .
【点睛】
方法点睛：边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理 （ 为 外接圆半径）得 ， ，
；
（2）角化边：
①利用正弦定理： ， ，
②利用余弦定理：
2．如图所示，已知△ ， 是 的中点，沿直线 将△ 翻折成△ ，所成二面角
的平面角为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，将 平移到 处，连接 、 ，易知
为二面角 的平面角， ，设 ， ， ，进而求
、 、 ，在 中应用余弦定理并结合三角函数的性质判断 与 的大小关系.
【详解】
过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，将 平移到 处，连接 、 ，则
为二面角 的平面角，即 ，
又 ，即 ，故 ，易知 ，则 ，
设 ， ， ，则 ，
在△ 中， ，
在 中， ， ，
在 中， ， ，
∵ 平面 ，则 平面 ，则 ， ，
，
在 中：
，
∴ （当且仅当 时等号成立），
∴ .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：应用二面角的定义，通过作辅助线确定二面角的平面角，再根据目标角、相关线段所在三角形求 、 、 ，进而在 中应用余弦定理并结合三角函数的性质判断角大小关系.
3．在三棱锥 中， ，则这个三棱锥的外接球的半径为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
若 为 的中点，由题意推出 面 且 ，即可知三棱锥 外接球的球心 必在平面
内，且△ 为等腰三角形，过 作 于 ，过 作 于 ，由正余弦定理求AH，由
为棱锥外接球半径，结合勾股定理求出R即可.
【详解】
由 ，有 ，即△ 为等腰直角三角形且 ，若 为 的
中点， 为三棱锥 外接球的球心，连接 ，又 ，
∴ ，又 ，即知： 面 且 ，
∴三棱锥 外接球的球心 必在平面 内，
又由上知： ，故 ，即 ，
过 作 于 ，过 作 于 ，由 ，得 ，，若三棱锥 外接球半径为R， ，
∴ ， ，又 ，
∴ ，故 .
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：首先由线面垂直且棱被平面平分，可确定球心的位置，再由正余弦定理求线段长，根据所得
线段与外接球半径及其它线段的几何关系，求半径即可.
4．在 中， 的平分线交 于点 ，则 的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ， ，则 ，结合正弦定理表示得 ，由余弦定理可得 与
的关系式，联立前式由同角三角函数和二次函数性质化简即可求解
【详解】
如图，设设 ， ，则由正弦定理可得 ①， ②，
又 ，所以 ，①②式联立可得 ，则 ，则
，对 ，由余弦定理可得 ，
则
，
当 时， 有最大值， ，所以 ，
故选：C
【点睛】
本题考查由三角形的边角关系求解面积最值，正弦定理、余弦定理解三角形，属于难题，
本题中的角平分线性质可当结论进行识记： 为 的角平分线，则
5．锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由余弦定理，求得 ，再结合基本不等式和函数的单调性，即可求解.
【详解】
由题意，因为 ，
所以 ，又由 ，得 ，则
所以 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
又 ， ，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理的应用，以及基本不等式和函数的单调性的应用，其中解答中熟记应用运算定理
得到 的表达式，结合基本不等式和函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力
6．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ．当 变化时，若 存在最
大值，则正数 的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ， ，所以根据正弦定理可得 ，所以 ， ，所以，其中 ， ，
因为 存在最大值，所以由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，解得 ，所以正数 的取值范围为 ，故选C．
7．已知 的内角 的对边分别是 且 ，若 为最大边，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由 ，化简得到 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.
【详解】
由 ，可得 ，
可得 ，
通分得 ，
整理得 ，所以 ，
因为 为三角形的最大角，所以 ，
又由余弦定理
，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ，又由 ，所以 的取值范围是 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，
着重考查了推理与运算能力.
8．在锐角 中，角 的对边分别为 ， 的面积为 ，若 ，则
的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】
结合面积公式，可得出 ，由余弦定理得出 ，再用正弦定理化
边为角，得出 ，把所求式子用角 表示，并求出角 范围，最后用基本不等式求最值.
【详解】
因为 ，即 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，由余弦定理 ，
可得 ，
再由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，所以 或 ，
得 或 （舍去）.因为 是锐角三角形，
所以 ，得 ，即 ，所以 ，
当且仅当 ，取等号.
故选:A
【点睛】
本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.
9．在 中，内角 的对边分别是 ，且 边上的高为 ，若 ，则当
取最小值时，内角 的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据 ，由正弦定理得到 ，根据 边上的高为 ，结合正弦定理有
，再由余弦定理可得 ，即
，由， 再根据 取最小值时求解.
【详解】
因为 ，所以 ，因为 边上的高为 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得： ，
所以 ，即 ，
，即 ，
解得 ，所以 的最小值为 ，
此时 ，又 ， ，
所以 .
故选：
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于较难题.
10．已知△ABC的三边分别为a，b，c，若满足a2+b2+2c2＝8，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据a2+b2+2c2＝8，得到 ，由余弦定理得到 ，由正弦定理得到
，两式平方相加得 ，而 ，两式结合有
，再用基本不等式求解.
【详解】
因为a2+b2+2c2＝8，
所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ①
由正弦定理得 ，
即 ②由①，②平方相加得 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 且 即 时，取等号.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
二、多选题
11．在 中，设 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 为钝角三角形
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】BCD
【分析】
对于A直接化简表达式即可，知三角形一个角为锐角，所以无法判断三角形形状；对于B通过逆推法化简
不等式，得出一个恒成立的式子，可知原不等式一定成立；对于C运用余弦定理角化边即可得出不等式；
对于D先化简所给条件，再通过三角形中线向量公式与其联系起来，在两个三角形中分别运用余弦定理即
可.
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，所以 ，所以 , 为锐角，无法判断
是钝角三角形，故A错误；对于B，若 ，则 ，即
，在 中，由余弦定理得
，代入上式化简得 显然成立，以上
过程均可逆，故 成立，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，即 ，在
中，由余弦定理得 ，代入化简得 ，故 ，故C正确；
对于D，如下图所示，取 中点 ， 中点 ，根据三角形中线向量公式得
，因为 ，所以 ,即
,所以 .在 中，由余弦定理得 ；
在 中，由余弦定理得 ,化简得 ，故 ，故D
正确.
故选:BCD
12．已知 是 所在平面内一点，以下说法正确的是（ ）
A．若动点 满足 ，则 点的轨迹一定通过 的重心．B．若点 满足 ，则点 是 的垂心．
C．若 为 的外心，且 ，则 是 的内心．
D．若 ，则点 为 的外心
【答案】AD
【分析】
由正弦定理结合共线向量可判断A；将题设转化可得出点 的位置，从而可判断B；依题意结合共线向量
可得出点 的位置，进而可判断C；由数量积的运算可得 ，由此可判断D.
【详解】
对于选项A：由正弦定理得 （ 为 外接圆半径），设 的中点为 ，则由条件可
得 ，所以 与 共线，因为 是中线，所以 点的轨迹一定通过
的重心. 故A正确；
对于选项B：由 得 ，则 是 的角平分线；同理，由
得 是 的角平分线，所以点 是 的内心. 故B错误；对于选项C：设 的中点为点 ，由 得 ，所以 ，由
是外心可得 ，所以 ，所以 ；同理， ，所以点 是 的垂心. 故
C错误；
对于选项D：由 得 ，则 ，即 ，同理，由
得 ，故点 是 的外心. 故D正确.
故选：AD.
13．在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
【答案】AD
【分析】
先利用正弦定理从条件 中求出 ，得到选项A正确.选项B利用 为锐角三角形求
解；选项C先用二倍角公式化简，再结合角 的范围求解；选项D先对式子化简，再换元利用对勾函数的性质求范围.
【详解】
在 中，由正弦定理可将式子 化为
，
把 代入整理得，
，
解得 或 ，即 或 (舍去).
所以 .
选项A正确.
选项B：因为 为锐角三角形， ，所以 .
由 解得 ，故选项B错误.
选项C： ，
因为 ，所以 ， ，
即 的取值范围 .故选项C错误.
选项D：
.
因为 ，所以 ， .
令 ， ，则 .由对勾函数的性质知，函数 在 上单调递增.
又 ， ，所以 .
即 的取值范围为 .故选项D正确.
故选：AD.
14．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，有以下四个命题中正确的是（ ）
A． 的最大值为
B．当 ， 时， 不可能是直角三角形
C．当 ， ， 时， 的周长为
D．当 ， ， 时，若 为 的内心，则 的面积为
【答案】ACD
【分析】
利用三角形面积公式，余弦定理基本不等式，以及三角换元，数形结合等即可判断选项A；
利用勾股定理的逆定理即可判断选项B；利用正弦定理和三角恒等变换公式即可判断选项C；
由已知条件可得 是直角三角形，从而可以求出其内切圆的半径，即可得 的面积即可判断选项
D.
【详解】
对于选项A：
（当且仅当 时取等号）.
令 ， ，故 ，因为 ，且 ，
故可得点 表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数 上，表示圆弧上一点到点 点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点 ，即 时，取得最小值 ，
故可得 ，
又 ，故可得 ，
当且仅当 ， ，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A正确；
对于选项B：因为 ，所以由正弦定理得 ，若 是直角三角形的斜边，则有 ，
即 ，得 ，故选项B错误；
对于选项C，由 ，可得 ，由 得 ，
由正弦定理得， ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以化简得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 的周长为 ，故选项C正确；
对于选项D，由C可知， 为直角三角形，且 ， ， ， ， ，所以
的内切圆半径为 ，
所以 的面积为
所以选项D正确，
故选：ACD
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是正余弦定理以及面积公式，对于A利用面积公式和余弦定理，结合不等式得
，再利用三角换元、数形结合即可得证，综合性较强，属于
难题.
15．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若 、 是锐角 内的点，
、 、 是 的三个内角，且满足 ， ，则（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】ABCD
【分析】
变形后表示为 ，再由奔驰定理得出向量 的关系，利用平
面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明 是 的重心，由平面几何知识判断B，利
用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出 的面积，
利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，所以
，
又由奔驰定理 得 ，
因为 不共线，所以 ，
所以 ，A正确；延长 分别与对边交于点 ，如图，
由 得 ，所以 ，同理 ，所以 是
的垂心，
所以四边形 中 ， ，所以 ，B正确；
由 得 ，
所以 ，
由选项B得 ， ， ，
所以 ，C正确；
由上讨论知，
，
，
所以 ，
又由选项C： ，
得 ，
由奔驰定理： 得 ，D正确．
故选：ABCD．【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，考查学生的创新能力，理解新知识、应用新知识的能力．解题关键一
是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法是唯一的，由此可得等量关系，二是利用数
量积的运算得出 是三角形的垂心，由此利用平面几何知识得出角的关系，再利用三角函数知识进行推导
得出相应结论．
第II卷（非选择题）
三、填空题
16．在三角形 中， ， ， ， ，点 是平面 上的动点，则
的最大值为___________.
【答案】16
【分析】
作辅助线，构造角 ，由正弦定理和余弦定理，解出 ，由点 是平面 上的动点，所以
的最大值即为 的长度.
【详解】
如图，作 的垂直平分线交 于点 ，
则 ，且 ，因为 ，
所以 ， ，
若设 ，则 ， ,
在 中，由正弦定理得，
，即 ，
解得： ，
所以
又 ，
所以 ,
又因为点 是平面 上的动点，
所以当 在线段 或 的延长线上时，
取最大值16.
故答案为：16.
17．在 中，D是BC的中点，E在边AB上， ，AD与CE交于点 若 ，
则 的值是___________.
【答案】
【分析】在 和 中，由正弦定理可得 ，将 用基底 表示，可化简
为 即得解
【详解】
如图，在 和 中，由正弦定理
由于D是BC的中点，故 ，
又
两式作比可得：
过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得 即
故 .
故答案为：
18．已知在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， 是 的中点，若，则 的最大值为___________.
【答案】
【分析】
由正弦定理和题设条件，得到 ，即 ，再在 和 中，由余弦定理化简得到
，转化为 ，令 ，得到 ，求得
，进而得到 的最大值.
【详解】
因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，可得 ，所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
在 中，由余弦定理，
可得 ，
因为 ，所以 ，
两式相加，可得 ，可得 ，
即 ，所以 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 的最大值为 .
故答案为： .
19．在 中内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，面积为 ，则 的最大值是______.【答案】
【分析】
根据三角形面积公式及余弦定理，化简 ，再利用均值不等式得出 ，设
，利用导数求最大值即可
【详解】
（当仅当 时取等
号）.
设 ， ，则 ，令 得 ，不妨设 且
，当 时， ，当 时， .所以当 时 有最大值，此
时 ，所以 .
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题的关键在于应用三角形面积公式及余弦定理，化简所给式子，再利用均值不等式是解题
的关键，难点在于利用导数求函数 的最大值，属于较难题目.
20．已知 的面积等于1， ，则当 的三边之积取得最小值时， ______.
【答案】
【分析】由 ,可得 ，由 ，可得 ，利用余弦定理，结合基本不等式和三角函
数的性质可得 ，从而 ，进而可得答案.
【详解】
设 的三个内角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，
因为 ,所以
由 ，
可得 ，
，
当且仅当 上式取得等号，
可得 ，
则 ，
可得 ，
，
在 上 递增，
所以 ．
，所以当 的三边之积取得最小值时， ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三角形的面积公式和余弦定理的运用，考查了基本不等式以及三角函数的恒等变形，考查化简变
形能力和推理能力，属于难题．
