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专题 10 数列求和（插入新数列混合求和）
(典型题型归类训练)
目录
一、典型题型.......................................................................................1
题型一：插入新数列构成等差.......................................................1
题型二：插入新数列构成等比.......................................................8
题型三：插入新数混合................................................................11
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练..............15
一、典型题型
题型一：插入新数列构成等差
1．（23-24高二下·陕西汉中·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且
．
(1)证明数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 ．
(3)若对于任意 ，数列 的前 项和 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据 ，作差得到 ，从而得到
学科网（北京）股份有限公司，即可得证，再由等比数列通项公式计算可得；
（2）依题意可得 则 ，利用错位相减法计算可得；
（3）依题意可得 （ ）恒成立，令 ，利用作差法判断 的单
调性，即可求出 的最小值，即可得解．
【详解】（1）因为 ①，
当 时， ，所以 ．
当 时， ②，
由①－②得 ，即 ，
所以 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，故 ．
（2）因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ．
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ．
（3）由于对于任意 ， 恒成立，即 恒成立，
等价于 的最小值大于 ．
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以数列 是递减数列，故数列 中的最大值为 ，
所以 的最小值为 ，所以当 对于任意 恒成立时， ．
2．（2024·四川泸州·二模）已知数列 的前n项和为 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系式，结合等比数列的定义与通项公式即可得解；
（2）利用等差数列的通项公式即可得解.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，
所以 ，整理得 ，
所以数列 是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以数列 的通项公式为 ;
（2）因为 ，
由题意得： ，即 ，
所以 .
3．（2024·湖南·二模）已知数列 的前 项和为 ，满足 ；数列 满足
，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)对于给定的正整数 ，在 和 之间插入 个数 ，使 ，
成等差数列.
（i）求 ；
学科网（北京）股份有限公司（ii）是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或 中的项？若存在，求
出所有满足条件的 的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）存在，
【分析】（1）根据 的关系式可得 是首项为1，公比为 的等比数列，再根据
可分别对 的奇数项和偶数项分别求通项公式可得
；
（2）（i）利用定义可求得新插入的数列公差 ，求得 并利用错位相
减法即可求出 ；
（ii）求得 ，易知对于任意正整数 均有 ，而
，所以不是数列 中的项；又 ，分别对其取值为
时解方程可求得 .
【详解】（1）由 ①，当 时， ②，
得 ，
当 时， ，
是首项为1，公比为 的等比数列，故 ，
由 ③.由
得 ，又 ④.
④-③得 ，
学科网（北京）股份有限公司的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：
所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.
得 .
综上可得 ；
（2）（i）在 和 之间新插入 个数 ，使 成等差数
列，
设公差为 ，则 ，
则 .
⑤
则 ⑥
⑤-⑥得： ，
所以可得
（ii）由（1） ，又 ，
由已知 ，
假设 是数列 或 中的一项，
不妨设 ，
因为 ，所以 ，而 ，
所以 不可能是数列 中的项.
学科网（北京）股份有限公司假设 是 中的项，则 .
当 时，有 ，即 ，
令 ，
当 时， ；
当 时， ，
由 知 无解.
当 时，有 ，即 .
所以存在 使得 是数列 中的第3项；
又对于任意正整数 均有 ，所以 时，方程 均无解；
综上可知，存在正整数 使得 是数列 中的第3项.
【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数 ，使得 恰好是数列 或
中的项时，关键是限定出 ，再对数列 的取值范围进行限定可得不是
数列 中的项，再由 只能取得正整数可知只需讨论 或 有无解即可求
得结论.
4．（2024·黑龙江·二模）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，其中
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在不同三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这
样的三项；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据递推关系可得 ，从而可得公比，故可求首项从而得到
通项公式；
（2）先求出 的通项，再利用反证法结合等比中项的性质可得矛盾，从而得到数列
中不存在不同三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列.
【详解】（1）因为 ，故 ，故 ，
而 为等比数列，故其公比为 ，
又 ，故 ，故 ，
故 .
（2）由题设可得 ，
若数列 中存在不同三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列，
则 ，因 为等差数列，
故 即 ，故 ，
故 即 ，这样 不同矛盾，
故数列 中不存在不同三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列.
5．（2024·四川泸州·二模）已知数列 的前 项和 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 ，与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，若
，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 ，作差得到 ，从而得到 是以 为首
项， 为公比的等比数列，即可求出其通项公式；
（2）由（1）可得 ，从而得到 ，利用裂项相消
学科网（北京）股份有限公司法求和即可.
【详解】（1）因为 ，
当 时 ，解得 ，
当 时 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2）因为 ， ，
所以 ，
所以 ，则 ，
所以
.
题型二：插入新数列构成等比
1．（2024·湖北武汉·二模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在3项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列？若存在，求出
这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用等比数列定义，根据将 ， 代入构造方程组解得 ，
，可得数列 的通项公式 ；
（2）假设存在 ， ， 成等比数列，由 ， ， 成等差数列可得 ，且
，解得 ，与已知矛盾，因此不存在这样的3项.
【详解】（1）由题意知当 时， ①
当 时， ②
联立①②，解得 ， ；
所以数列 的通项公式 ．
（2）由（1）知 ， ，
所以 ，可得 ；
设数列 中存在3项 ， ， （其中 ， ， 成等差数列）成等比数列，则
，
所以 ，即 ；
又因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
所以 ，化简得 ，即 ；
又 ，所以 与已知矛盾；
所以在数列 中不存在3项 ， ， 成等比数列．
2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知数列 满足 ， .
(1)证明：数列 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在不同的三项 、 、 （其中 、 、 成等差数列）成等比数列？若存
在，求出所有满足条件的 、 、 ；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用等比数列的定义可证明出数列 为等比数列，确定数列 的
首项和公比，可求得数列 的通项公式，进而可得出数列 的通项公式；
（2）根据等差数列的定义出 ，假设存在满足条件的三项 、 、 （其中 、 、
学科网（北京）股份有限公司成等差数列），由已知可得出 ，根据等比数列的定义可得出 ，化简得
出 ，再利用作差法推出矛盾，即可得出结论.
【详解】（1）解：因为数列 满足 ， ，
则当 时， ，且 ，
所以，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以， ，故 .
（2）解：在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，
则 ，
假设数列 中是否存在不同的三项 、 、 （其中 、 、 成等差数列）成等比
数列，
则 ，即 ，即 ，
由已知可得 ，所以， ，
事实上，
，
即 ，矛盾，假设不成立，
故不存在这样的三项 、 、 成等比数列.
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知数列 的前项和为 ，且满足：
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列
中是否存在三项 （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这三项；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由 ，得 ，两式相减化简可得 是以 为
学科网（北京）股份有限公司首项， 为公比的等比数列，从而可求出通项公式，
（2）由题意可得 ，假设存在这样的三项 成等比数列，则
，结合已知化简可得结论.
【详解】（1）由 ①
得 时 ②
①-②得 ，①中令 得 ，
是以 为首项， 为公比的等比数列， ，
（2）
假设存在这样的三项 成等比数列，
为递增数列，不妨设 ，
则
则 ，
成等差数列，
， ，
由 ，得 ，所以 ，与题设矛盾
不存在这样的三项 （其中 成等差数列）成等比数列.
4．（2023·吉林通化·模拟预测） 为数列 的前 项和，已知 ，且
.
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)数列 依次为： ，规律是在 和 中间插
入 项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前
100项的和.
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）利用项与和的关系即可求解；
（2）先确定数列 的前100项中含有 的前13项，含有 中的前87项，再利用分
组求和的方法即可求解.
【详解】（1）当 时， ，解得 （ 舍去），
由 得 时， ，
两式相减得 ，
因为 ，所以 ，
所以 是等差数列，首项为4，公差为3，
所以 ；
（2）由于 ，
因此数列 的前100项中含有 的前13项，含有 中的前87项，
所求和为 .
题型三：插入新数混合
1．（23-24高二下·四川绵阳·阶段练习）数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 （ ， ）.
①试确定实数 的值，使得数列 为等差数列；
②在①的结论下，若对每个正整数 ，在 与 之间插入 个2，得到一个数列 ．设
是数列 的前 项和，试求满足 的所有正整数 ．
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）根据题意，推得 ，再求得 ，得到数列 为等比数列，即可求
解；
学科网（北京）股份有限公司（2）①根据题意，求得 的值，结合 ，求得 ，即可求解；
（2）根据题意，得到 必是数列 中的某一项 ，求得 ，结合
，得出 ，进而求得 的值.
【详解】（1）解：因为在数列 中， ，
当 时, ，
两式相减得 ，可得 ，
又因为 时, ，可得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 .
（2）①当 时，可得 ，当 时，得 ，当 时,得 ，
因为数列 为等差数列，可得 ，可得 ，
当 时，由 ，可得 ，
又由 ，当 时，数列 为等差数列；
②由题意知 ，
则当 时， ，不合题意，舍去；
当 时， ，所以 成立；
当 时，若 ，则 ，理由如下，
从而 必是数列 中的某一项 ，
则
，
又因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 为奇数，而 为偶数，所以上式无解，
即当 时， ，不合题意,舍去；
综上所述,满足题意的正整数仅有 .
2．（23-24高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）记数列 的前 项和 ，对任意正整数 ，
有 ，且 .
学科网（北京）股份有限公司(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数 ，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列
，求 的前91项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 得出数列 的递推关系，然后由连乘法求得通项
；
（2）考虑到 ， ，从而确定 的前91项中有87项来自 ，其
他4项由 组成，由此分组求和．
【详解】（1）由 ，则 ，两式相减得： ，
整理得： ，即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式.
故 .
（2）由 ，所以 ，
又 ，所以 前91项中有87项来自 .
所以故
.
3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差为 的等差数列 和公比 的等比数列
中， ， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 ；
(3)若在数列 任意相邻两项 之间插入一个实数 ，从而构成一个新的数列 ．
若实数 满足 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)
(3)
【分析】（1）利用条件计算等差数列、等比数列的基本量即可；
（2）利用错位相减法计算求和即可；
（3）利用裂项相消法及分组法计算求和即可.
【详解】（1）由已知 ，得 ，解得 ，
；
（2）记 ，
所以 ，
，
作差得：
，
；
（3）由（1）得 ，
则 ，
所以
.
4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列 的前 项和 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的通项公式 ，若将数列 中的所有项按原顺序依次插入数列
中，组成一个新数列: 与 之间插入
项 中的项，该新数列记作数列 ，求数列 的前100项的和 .
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推公式求出 ，从而求出 ，再验证 从而
可求解.
（2）分析数列 前 项中 ， 各有多少项，然后再利用分组求和即可求解.
【详解】（1）由题意知当 时， ，
当 时， ，即 ，
所以数列 为等比数列，且 ，当 时，也满足，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由题知 ，由（1）知 ，在数列 中 （含 ）前面共有：
项，
由 ， ，解得 ，
所以数列 前 项中含有数列 的前 项，含有数列 的前 项，
所以
.
【点睛】关键点点睛：（2）问中的关键是计算出在数列 中前100项中包含数列 ，
的项数，利用分组求和法从而可求解.
二、专题10 数列求和（插入新数列混合求和）专项训练
1．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知等比数列 的前n项和为 ，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)保持数列 中的各项顺序不变，在每两项 与 之间插入一项 （其中
）组成新的数列 记数列 的前n项和为 ，若 ，求n的最小
值．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根据等比数列求和公式化简得出公比即可求出通项公式；
（2）根据题意可以先分组求和，再并项后利用错位相减法求 ，分析 可知，只需
比较 与 大小即可得解.
【详解】（1）因为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
（2）因为
所以，
，
所以 ，
两式相减得：
，
所以 ，
易知 随着 增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
而
综上， 的最小值为 .
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列 的前 项和为 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在数列 的 和 项之间插入 个数，使得这 个数成等差数列，其中
，将所有插入的数组成新数列 ，设 为数列 的前 项和，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用 求解即可.
学科网（北京）股份有限公司（2）依题意可知，插入数列 后， 与 所构成的数列为 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，结合等差数列前n项和公式及错位相减法求和即可求得结果.
【详解】（1）当 时， ，所以 ，
当 时， ，即 ，
所以 ，
当 时，符合 ，
所以 ；
（2）依题意， ，
，
，
︙
．
所以 ，
即 ，①
则 ，②
由① ②可得，
，
所以 ．
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列 的前n项和为 ， 为等比数列，
且 ， ， ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若在 与 之间依次插入数列 中的k项，构成如下的新数列 ；
，记该数列的前n项和为 ，求 ．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)5528
【分析】
（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，由题意列出方程组，求出
的值，即可求得答案；
（2）确定新数列 中， 项（含 ）之前共有 项，解 可确定新数
列 的前70项中，含有 中的前11项，含有 中的前59项，结合等差数列以及等
比数列的前n项和公式，即可求得答案.
【详解】（1）设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q，
由 ， ， ，得 ，
解得 ，故 ；
（2）由题意可知新数列 中， 项（含 ）之前共有
项，
令 ，由于 ，则 ，此时 时， ，
即新数列 的前70项中，含有 中的前11项，含有 中的前59项，
故
.
4．（2024高三·江苏·专题练习）已知各项均为正数的数列 中， 且满足
，数列 的前n项和为 ，满足 ．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)若在 与 之间依次插入数列 中的k项构成新数列 ： ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，……，求数列 中前50项的和 ．
【答案】(1) ，
(2)11522
【分析】（1）利用平方差公式将 变形，得出数列 是等差，可求
出数列 的通项；利用 消去 得到 与 的递推关系，得出数列 是等
比数列，可求出通项；
学科网（北京）股份有限公司（2）分析 中前50项中 与 各有多少项，分别求和即可．
【详解】（1）
由
得：
∵
则 是首项 ，公差为2的等差数列，∴ ，
又当 时， 得 ，
当 ，由 …①
…②
由①－②整理得： ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴数列 是首项为1，公比为3的等比数列，故 ；
（2）依题意知：新数列 中， （含 ）前面共有：
项．
由 ，（ ）得： ，
∴新数列 中含有数列 的前9项： ， ，……， ，含有数列 的前41项：
， ， ，……， ；
∴ ．
5．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列 前四项和为30，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 和 之间插入1个数 ，使 、 、 成等差数列；在 和 之间插入2个数
、 ，使 、 、 、 成等差数列； ；在 和 之间插入 个数 、 、 、
，使 、 、 、 、 、 成等差数列．
①若 ，求 ；
②若 ，求 ．
【答案】(1)
学科网（北京）股份有限公司(2)① ；②
【分析】（1）由等比数列性质列方程求得公比首项即可得解.
（2）①首先得 ，进一步 ， ，结合等差数列求和公式即可得
；②直接由等比数列求和公式以及错位相减法即可求解.
【详解】（1）设 的公比为 ，则： ，
则 ，所以 ．
（2）①在 和 之间插入 个数 、 、 、 ，
使 、 、 、 、 、 成等差数列，设其公差为 ，
此数列首项为 ，末项为 ，
则 ， ，
则 ，
② ，
则 ，
，
则 ，
故： ．
6．（23-24高二上·广东江门·期末）已知等比数列 的前 项和为 ，且
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，若数列
满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法一，由已知条件得 ， 求得公比 ，代回求得 得
解；解法二，由 与 的关系将条件式转化得 ，求得公比 ， 得解；
学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）将 代入运算得 ，代入得 ，利用错位相减法求解.
【详解】（1）解法一：设等比数列 的公比为 ，
，
时， ， 时， .
， ，
， ，
.
解法二： ，
，
两式相减得： ，
即 ，
为等比数列，设公比为 ，则 ，
，
时， ，即 ，
，
，
.
（2）由（1）得 ，由题得 ，
，
，
，
两式相减得
，
所以 .
学科网（北京）股份有限公司7．（23-24高二上·黑龙江大庆·期末）已知正项等比数列 中， ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)在 和 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列
的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列的性质列方程组，解方程，求出 ，即可得出答案；
（2）由（1）求出 ，再由错位相减法求解即可.
【详解】（1）由题意， ， ，
，
又在正项等比数列 中， ， ，
故 .
（2）因为 ，所以 ，
令 ，其前 项和为
，
，
所以
，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 .
8．（2023·全国·模拟预测）已知正项递增等比数列 满足 是方程 的
两根．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 依次为 ，规律是在 和 中间插
入k项，所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列 ，求数列 的前60项
的和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 的公比为 ，根据题意，求得 ，得到 ，即可求得数
列 的通项公式；
（2）因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，根据题意，得到数列
的前60项中含有 的前10项，含有 的前50项，结合等差、等比数列的求和公式，
即可求解.
【详解】（1）解：设 的公比为 ，
因为 是方程 两根，解方程得 或 ，
又因为 为递增等比数列，所以 ，则 ，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）解：因为所有插入的项构成以3为首项，2为公差的等差数列，
又因为 ，
，
所以数列 的前60项中含有 的前10项，含有 的前50项，
所以数列 的前60项和为 ．
9．（21-22高三上·贵州黔东南·期末）已知等比数列 满足 ，且
成等差数列，记 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若在数列 任意相邻两项 之间插入一个实数 ，从而构成一个新的数列 ．
学科网（北京）股份有限公司若实数 满足 ，求数列 的前2n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等比数列、等差数列的知识，先求得 ，进而求得 .
（2）先求得 ，利用分组求和法求得 .
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
由于 成等差数列，
所以 ，
则 ，
由于 ，解得 ，所以 ，则 .
（2）由（1）得 ，则 ，
所以 ，
所以
.
10．（23-24高三上·江西·期中）已知 是正项数列 的前 项和，满足
， .
(1)若 ，求正整数 的值；
(2)若 ，在 与 之间插入 中从 开始的连续 项构成新数列 ，
即 为 ，求 的前30项的和.
【答案】(1)364
(2)
【分析】（1）根据已知条件，结合 的关系可推得 .结合已知即可得出
，然后根据已知，结合换底公式可得出 ，代入求解即可得出答案；
（2）根据已知分析数列 的构成，前30项中取自数列数列 中有7项，数列 中
有23项，进而即可分组，求解计算，即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，当 时，
学科网（北京）股份有限公司有 .
又因为 ， ，
所以有 .
又 时， 也满足.
所以， 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以， .
又 ，所以 .
又
，
所以， ，
所以， ，
即 ，即 ，
解得， .
（2）由已知可得，数列 中， 项及以前共有
项，
其中数列 中有 项，数列 中有 项.
且 ， ，
即数列 中， 项及以前共有28项，其中数列 中有7项，数列 中有21项.
所以， ， .
所以， 的前30项的和
.
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