文档内容
专题 10 立体几何综合
目录一览
2023真题展现
考向一 求二面角
考向二 求距离
真题考查解读
近年真题对比
考向一 求三棱锥体积
考向二 求二面角
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 求二面角
1．（2023•新高考Ⅱ•第20题）如图，三棱锥A﹣BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝
60°，E为BC中点．
（1）证明BC⊥DA；
→ →
（2）点F满足 EF=DA ，求二面角D﹣AB﹣F的正弦值．
考向二 求距离
2．（2023•新高考Ⅰ•第18题）如图，在正四棱柱ABCD﹣ABC D中，AB＝2，AA ＝4．点A ，B ，C ，
1 1 1 1 2 2 2
D 分别在棱AA，BB，CC ，DD 上，AA＝1，BB＝DD ＝2，CC ＝3．
2 1 1 1 1 2 2 2 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1（1）证明：BC ∥AD；
2 2 2 2
（2）点P在棱BB 上，当二面角P﹣AC ﹣D 为150°时，求BP．
1 2 2 2 2
【命题意图】
考查线面平行与垂直、空间几何体的表面积与体积、空间角等．
【考查要点】
命题会涉及到线面平行与垂直的证明，等体积法求空间几何体的体积，空间向量法求空间距离、空间
角，考查空间想象力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想．
【得分要点】
1．直线与平面平行
（1）直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若
a ，b ，a∥b，则a∥ ．
（2）直线和平面平行的性质定理：
⊄α ⊂α α
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符
号表示为：若a∥ ，a ， ∩ ＝b，则a∥b．
2．直线与平面垂直
α ⊂β α β
（1）直线与平面垂直的定义：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2如果一条直线l和一个平面 内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面 互相垂直，记作
l⊥ ，其中l叫做平面 的垂线，平面 叫做直线l的垂面．
α α
（2）直线与平面垂直的判定：
α α α
定义法：对于直线l和平面 ，l⊥ l垂直于 内的任一条直线．
判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
α α⇔ α
判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
（3）直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥ ，
b⊥ a∥b
α
②由定义可知：a⊥ ，b a⊥b．
α⇒
3．二面角的平面角求法：
α ⊂α⇒
（1）定义法．
（2）三垂线定理及其逆定理．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两
个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．
（4）平移或延长（展）线（面）法．
（5）射影公式．
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角．
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
→ →
设平面 和 的法向量分别为 和 ，若两个平面的夹角为 ，则
u v
α β θ → →
①当0≤＜ → u ， → v＞≤ π 2 ， =＜ → u ， → v＞ ，cos ＝cos ＜ → u ， → v＞= → u⋅v → ．
|u||v|
θ θ
→ →
②当 π
2
＜＜ → u， →
v＞＜
时，cos ＝﹣cos＜ →
u
， → v＞=−
→
u⋅v
→
|u||v|
π θ
考向一 求三棱锥体积
3．（2021•新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．
（1）证明：OA⊥CD；
（2）若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E﹣BC﹣D的大小为
45°，求三棱锥A﹣BCD的体积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3考向二 求二面角
4．（2022•新高考Ⅰ）如图，直三棱柱ABC﹣A B C 的体积为4，△A BC的面积为 ．
1 1 1 1
（1）求A到平面A BC的距离；
1
（2）设D为A C的中点，AA ＝AB，平面A BC⊥平面ABB A ，求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．
1 1 1 1 1
5．（2022•新高考Ⅱ）如图，PO是三棱锥P﹣ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E为PB的中点．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4（1）证明：OE∥平面PAC；
（2）若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C﹣AE﹣B的正弦值．
6．（2021•新高考Ⅱ）在四棱锥Q﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，若AD＝2，QD＝QA＝ ，QC＝
3．
（Ⅰ）求证：平面QAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣QD﹣A的平面角的余弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5本章内容是高考必考内容之一，多考查空间几何体的表面积与体积，空间中有关平行与垂直的判定，
空间角与距离的求解，空间向量的应用等问题。
高考对本章内容的考查比较稳定，针对这一特点，复习时，首先梳理本章重要定理、公式与常用结论，
扫清基础知识和公式障碍；然后分题型重点复习，重视向量法求解空间角、距离问题的思路与解题过程
一．棱柱、棱锥、棱台的体积（共20小题）
1．（2023•保定二模）如图，四棱台ABCD﹣EFGH的底面是菱形，且∠BAD＝ ，DH⊥平面ABCD，
EH＝2，DH＝3，AD＝4．
（1）求证：AE∥平面BDG；
（2）求三棱锥 F﹣BDG的体积．
2．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，∠ACB＝45°，BC＝3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D
（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°（如图2）点E，M分别为棱BC，AC的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）求三棱锥A﹣BCD的体积最大值．
3．（2023•松江区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AC＝4，BC＝3，AB＝5．
1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 6（1）求证：AC⊥BC ；
1
（2）设AC 与底面ABC所成角的大小为60°，求三棱锥C﹣ABC 的体积．
1 1
4．（2023•平罗县校级二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，且PA
＝AD＝CD＝2，BC＝3，E是PD的中点，点F在PC上，且PF＝2FC．
（1）证明：DF∥平面PAB；
（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．
5．（2023•新城区校级一模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．
（1）证明：PB∥平面EAC．
（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，求cos∠PCD．
6．（2023•开封三模）如图，四边形ABCD是圆柱OO 的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，
1
已知AB＝4，BC＝6．
（1）证明：BF⊥平面EPF；
（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三棱锥B﹣EPF的体积．
7．（2023•咸阳模拟）如图，三棱柱ABC﹣A B C 的侧面BB C C是边长为1的正方形，侧面BB C C⊥侧
1 1 1 1 1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8面AA B B，AB＝4，∠A B B＝60°，G是A B 的中点．
1 1 1 1 1 1
（1）求证：平面GBC⊥平面BB C C；
1 1
（2）若P为线段BC的中点，求三棱锥A﹣PBG的体积．
8．（2023•河南三模）如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A B C D 中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝1，
1 1 1 1
CD＝2，M是DD 的中点．
1
（1）证明：BC⊥B M；
1
（2）若B M⊥CM，求四棱柱ABCD﹣A B C D 的体积．
1 1 1 1 1
9．（2023•南关区校级模拟）如图，三棱台 ABC﹣A B C ，AB⊥BC，AC⊥BB ，平面 ABB A ⊥平面
1 1 1 1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9ABC，AB＝6，BC＝4，BB ＝2，AC 与A C相交于点D， ，且DE∥平面BCC B ．
1 1 1 1 1
（1）求三棱锥C﹣A B C 的体积；
1 1 1
（2）求直线CC 与平面A B C所成角的正弦值．
1 1 1
10．（2023•琼山区校级三模）如图，三棱台ABC﹣A B C ，AB⊥BC，AC⊥BB ，平面ABB A ⊥平面
1 1 1 1 1 1
ABC，AB＝6，BC＝4，BB ＝2，AC 与A C相交于点D， ，且DE∥平面BCC B ．
1 1 1 1 1
（1）求三棱锥C﹣A B C 的体积；
1 1 1
（2）平面A B C与平面ABC所成角为 ，CC 与平面A B C所成角为 ，求证： ．
1 1 1 1 1
α β
11．（2023•兴庆区校级四模）在如图所示的几何体中，DE∥AC，AC⊥平面BCD，AC＝2DE＝4，BC＝
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 102，DC＝1，∠BCD＝60°．
（1）证明：BD⊥平面ACDE；
（2）过点D作一平行于平面ABE的截面，画出该截面（不用说明理由），并求夹在该截面与平面ABE
之间的几何体的体积．
12．（2023•遂宁模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，H为△ABC的内心，直线AH与BC交于M，∠PAB
＝∠PAC，∠PCA＝∠PCB．
（1）证明：平面PAM⊥平面ABC；
（2）若AB⊥BC，PA＝AB＝3，BC＝4，求三棱锥M﹣PAC的体积．
13．（2023•郑州三模）已知正四棱台ABCD﹣A B C D 的体积为 ，其中AB＝2A B ＝4．
1 1 1 1 1 1
（1）求侧棱AA 与底面ABCD所成的角；
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11（2）在线段CC 上是否存在一点P，使得BP⊥A D？若存在请确定点P的位置；若不存在，请说明理
1 1
由．
14．（2023•广州三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，AB＝AP＝2，PA⊥平面ABCD，E，F分
别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．
（1）求证：平面EFG⊥平面PAC；
（2）若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为 ，且G点不是线段PC的中点，求三棱锥E﹣ABG体积．
15．（2023•江西模拟）如图，三棱柱 ABC﹣A B C 中，AB＝BC＝B A＝B C，D 是 AC 的中点，
1 1 1 1 1
AB ⊥BD．
1
（1）证明：B D⊥平面ABC；
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12（2）若 ，点B 到平面ACC A 的距离为 ，求三棱锥C ﹣A B C的体积．
1 1 1 1 1 1
16．（2023•成都模拟）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中，△A B C 与△AB C 均是边长为2的正三角形，且
1 1 1 1 1 1 1 1
AA ＝ ．
1
（Ⅰ）证明：平面AB C ⊥平面A B C ；
1 1 1 1 1
（Ⅱ）求四棱锥A﹣BB C C的体积．
1 1
17．（2023•宛城区校级三模）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，底面是边长为2a的正三角形，侧棱AA
1 1 1 1
的长为 ，D，D 分别是棱BC，B C 的中点，平面ADD A ⊥平面CBB C ，且∠ADD ≠90°．
1 1 1 1 1 1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13（1）求证：BC⊥CC ；
1
（2）若三棱柱ABC﹣A B C 的侧面积为 ，求它的体积．
1 1 1
18．（2023•长沙模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠PAB＝∠DAB＝
，PA⊥PB，点E在线段PB上，CD⊥DE，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求四面体E﹣PAD的体积；
（2）求直线DE与平面CDP所成角的正弦值．
19．（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，AB＝AC＝1，将
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14△PAB绕着PA逆时针旋转 到△PAD的位置，得到如图所示的组合体，M为PD的中点．
（1）当∠BAC为何值时，该组合体的体积最大，并求出最大值；
（2）当PC∥平面MAB时，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值．
20．（2023•睢宁县校级模拟）在三棱台ABC﹣DEF中，G为AC中点，AC＝2DF，AB⊥BC，BC⊥CF．
（1）求证：BC⊥平面DEG；
（2）若AB＝BC＝2，CF⊥AB，平面EFG与平面ACFD所成二面角大小为 ，求三棱锥E﹣DFG的体
积．
二．平面与平面垂直（共3小题）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1521．（2023•江西模拟）如图所示，圆锥的高 ，底面圆O的半径为1，延长直径AB到点C，使得
BC＝1，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点．
（1）证明：平面PDE⊥平面POD；
（2）点E到平面PAD的距离为d ，求d 的值．
1 1
22．（2023•开福区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝AC＝AA ＝3，点D是BC的中点，
1 1 1 1
点E在AA 上，AD∥平面BC E．
1 1
（1）求证：平面BC E⊥平面BB C C；
1 1 1
（2）当三棱锥B ﹣BC E的体积最大时，求直线AC与平面BC E所成角的正弦值．
1 1 1
23．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16（2）若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P﹣ABCD的体积为 ，
求PB与平面ABCD所成的线面角的大小．
三．直线与平面所成的角（共7小题）
24．（2023•花都区校级模拟）图①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的
菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达C 的位置，且AC ＝ ．
1 1
（1）求证：平面BC E⊥平面ABED；
1
（2）在棱DC 上是否存在点P，使得点P到平面ABC 的距离为 ？若存在，求出直线EP与平面
1 1
ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
1
25．（2023•雅安三模）如图，三棱柱ABC﹣A B C 中、四边形ABB A 是菱形，且∠ABB ＝60°，AB＝BC
1 1 1 1 1 1
＝2，CA＝CB ，CA⊥CB ，
1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17（1）证明：平面CAB ⊥平面ABB A ；
1 1 1
（2）求直线BB 和平面ABC所成角的正弦值；
1
26．（2023•白山四模）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB||CD，AD＝DC＝1，AB＝
2，AC⊥PC．
（1）证明：平面ABCD⊥平面PBC．
（2）若 ，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．
27．（2023•宁夏三模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB
＝AP＝BC＝1，AD＝2．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．
28．（2023•贵阳模拟）如图所示，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB＝
CD，CD⊥CE，∠ADC＝∠EDC＝45°，AD＝ ，BE＝ ．
（1）求证：平面ABE⊥平面ABCD；
（2）设M为AE的中点，求直线DM与平面ABCD所成角的正弦值．
29．（2023•温州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，△ADP是等边三角形，
AB＝AP＝2，BP＝3，AD⊥BP．
（Ⅰ）求BC的长度；
（Ⅱ）求直线BC与平面ADP所成的角的正弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1930．（2023•分宜县校级一模）在正△ABC 中，E，F，P 分别是 AB，AC，BC 边上的点，满足
，将△AEF沿EF折起到△A EF的位置，使二面角 A ﹣EF﹣B成直二面角，连接
1 1
A B，A P．
1 1
（1）求证：A E⊥平面BEP；
1
（2）求直线A E与平面A BP所成角的大小．
1 1
四．二面角的平面角及求法（共23小题）
31．（2023•广西模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，AB＝2DC＝2BC，E为AB
的中点，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P位置，且PE⊥EB，M为PB的中点，N是BC上的动点
（与点B，C不重合）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20（Ⅰ）求证：平面EMN⊥平面PBC；
（Ⅱ）是否存在点N，使得二面角B﹣EN﹣M的余弦值 ？若存在，确定N点位置；若不存在，说明
理由．
32．（2023•龙华区校级模拟）如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，底面ABCD是边
长为2正方形， ，AC与BD交于点O，点E在线段SD上．
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）若OE∥平面SAB，求平面SAC与平面EAC所成夹角的余弦值．
33．（2023•商丘三模）如图，四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝AP
＝2DC＝4，PB＝2AD＝4 ，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：直线MN∥平面ABCD；
（2）求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2134．（2023•保定三模）如图，在正三棱柱ABC﹣A B C 中，D，D ，F分别是BC，B C ，A B 的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1
，△ABC的边长为2．
（1）求证：EF∥平面ADD A ；
1 1
（2）若三棱柱的高为1，求二面角B﹣EF﹣C 的正弦值．
1
35．（2023•唐县校级二模）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，侧面ABED与ACFD均为梯形，AB∥DE，
AC∥DF，AB⊥BE，且平面ABED⊥平面ABC，AC⊥DE．已知AB＝BE＝AC＝1，DE＝DF＝2．
（1）证明：平面ABED⊥平面ACFD；
（2）求平面BEFC与平面FCAD的夹角的大小．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2236．（2023•道里区校级四模）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，
点E，F在以AD为直径的半圆上，且 ＝ ＝ ，将半圆沿AD翻折如图2．
（1）求证：EF∥平面ABCD；
（2）当多面体ABE﹣DCF的体积为4时，求平面ABE与平面CDF夹角的余弦值．
37．（2023•万州区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，BC＝BB ，BC ∩B C＝O，AO⊥平面
1 1 1 1 1 1
BB C C．
1 1
（1）求证：AB⊥B C；
1
（2）若∠B BC＝60°，直线AB与平面BB C C所成的角为30°，求二面角A ﹣B C ﹣A的正弦值．
1 1 1 1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2338．（2023•杭州模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，已知CB⊥平面ABB′A′，AB＝2，且
AB⊥BB′，A′C⊥AB′．
（1）求AA′的长；
（2）若D为线段AC的中点，求二面角A﹣B′C′﹣D的余弦值．
39．（2023•徐州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，
PA＝AD＝4，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，AD＝3AE．
（1）求证：直线AM∥平面BNE；
（2）从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为 ；
②二面角N﹣BE﹣D的余弦值为 ．
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
40．（2023•锦州一模）如图一，△ABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，D，E分别是CA，CB边上
的点， ；如图二，将△CDE沿DE翻折，使点C到点P的位置，PO＝3．
（1）求证：OP⊥平面ABED；
（2）求二面角B﹣PE﹣F的正弦值．
41．（2023•武功县校级模拟）如图，四边形 ACC A 与四边形 BCC B 是全等的矩形，AB＝
1 1 1 1
．
（1）若P是AA 的中点，求证：平面PB C ⊥平面PB C；
1 1 1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25（2）若P是棱AA 上的点，直线BP与平面ACC A 所成角的正切值为 ，求二面角B ﹣PC﹣C
1 1 1 1 1
的余弦值．
42．（2023•海淀区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分
别为AB，PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）若 ，二面角E﹣FC﹣D的大小为45°，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为
已知．求PD的长．
条件①：DE⊥PC；条件②：PB＝PC．
43．（2023•枣强县校级模拟）如图，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，且它们所在平面互相垂
直．DE⊥平面BCD，且 ．
（1）设P是DE的中点，证明：AP∥平面BCD．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26（2）求二面角B﹣AE﹣C的正弦值．
44．（2023•密云区三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，
AD⊥MN，AB＝2，AD＝AP＝4，M，N分别是BC，PD的中点．
（1）求证：MN∥平面PAB；
（2）求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．
45．（2023•日喀则市模拟）如图，已知直角梯形 ABCD 与 ADEF，2DE＝2BC＝AD＝AB＝AF＝2，
AD⊥AF，ED∥AF，AD⊥AB，BC∥AD，G是线段BF上一点．
（1）平面ABCD⊥平面ABF；
（2）若平面 ABCD⊥平面 ADEF，设平面 CEG 与平面 ABF 所成角为 ，是否存在点 G，使得
θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由．
46．（2023•郑州模拟）如图，在三棱柱 ABC﹣A B C 中，D为AC的中点，AB＝BC＝2，∠AA B ＝
1 1 1 1 1
∠B BC．
1
（1）证明：BB ⊥AC；
1
（2）若BB ⊥BC，直线AB 与平面BCC B 所成的角的正弦值为 ，二面角A﹣BB ﹣C的大小为
1 1 1 1 1
60°，求二面角B﹣B D﹣C 的余弦值．
1 1
47．（2023•招远市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，∠ACB＝60°，E为AB中点，过点E
作ED垂直AC于D，将△ADE沿ED翻折，使得面ADE⊥面BCDE，点M是棱AC上一点，且BM∥面
ADE．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28（1）求 的值；
（2）求二面角M﹣BE﹣C的余弦值．
48．（2023•凯里市校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，AB＝BC，AB ＝B C．
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（1）证明：AC⊥B B；
1
（2）若AB＝BB ＝2，AB ＝ ，∠ABC＝120°，求二面角A﹣BB ﹣C的余弦值．
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49．（2023•合肥三模）已知平行六面体ABCD﹣A B C D 中，底面ABCD和侧面ABB A 都是边长为2的
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菱形，平面ABCD⊥平面ABB A ，A B⊥B D．
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（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）若∠A AB＝60°，求二面角A﹣B C﹣B的余弦值．
1 1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2950．（2023•安徽模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A B C D 中， ．
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（1）求证：平面BC D⊥平面ACC A ；
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（2）设E为棱BC的中点，线段AC，DE交于点F，C F⊥平面ABCD，且C F＝2，求平面ABC 与平
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面CBC 的夹角的余弦值．
1
51．（2023•盱眙县校级四模）如图，在平面五边形ABCDE中△ADE是边长为2的等边三角形，四边形
ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AD⊥DC，BC＝1，CD＝ ．将△ADE沿AD折起，使得点E到达
点M的位置，且使BM＝ ．
（1）求证：平面MAD⊥平面ABCD；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30（2）设点P为棱CM上靠近点C的三等分点，求平面PBD与平面MAD所成的二面角的正弦值．
52．（2023•市中区校级模拟）在直角梯形AA B B中，A B ∥AB，AA ⊥AB，AB＝AA ＝2A B ＝6，直角
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梯形AA B B绕直角边AA 旋转一周得到如下图的圆台A A，已知点P，Q分别在线段CC ，BC上，二
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面角B ﹣AA ﹣C 的大小为 ．
1 1 1
θ
（1）若 ＝120°， ，AQ⊥AB，证明：PQ∥平面AA B B；
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（2）若 θ ＝90°，点P为CC 1 上的动点，点Q为BC的中点，求PQ与平面AA 1 C 1 C所成最大角的正切值，
并求此时二面角Q﹣AP﹣C的余弦值．
θ
53．（2023•安徽模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A B C 中，D为A B上一点，AD⊥平面A BC．
1 1 1 1 1
（1）求证：BC⊥A B；
1
（2）若 ，AB＝BC＝2，P为AC的中点，求二面角A﹣A B﹣P的余弦值．
1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 31五．点、线、面间的距离计算（共7小题）
54．（2023•郑州模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥AB，PD＝DC＝
4，AB＝AD＝2．
（1）证明：平面PBC⊥平面PBD；
（2）求点D到平面PBC的距离．
55．（2023•琼海校级模拟）如图，在长方体ABCD﹣A B C D 中，AA ＝AD＝4，AB＝2，点M，N，P分
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别是BB ，B C ，BC的中点，点Q为棱CC 上一点，且直线AA 和PQ所成的角为 ．
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（1）求证：PQ∥平面AMN；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32（2）求点P到平面AMN的距离．
56．（2023•安康模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，E，F，G
分别是棱BC，AD，PA的中点．
（1）证明：PE∥平面BFG；
（2）若AB＝2，求点C到平面BFG的距离．
57．（2023•甘肃模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PB＝PD．
（1）证明：BD⊥PC；
（2）若 ，PB＝AB＝BD＝2，求点A到平面PCD的距离．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3358．（2023•新余二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝
2，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点．
（1）证明：AE⊥平面PBC；
（2）求点P到平面AEF的距离．
59．（2023•红桥区二模）如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC
＝4．E是PD的中点，
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面EAC与平面ACD夹角的余弦值；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34（Ⅲ）求B点到平面EAC的距离．
60．（2023•陵水县模拟）已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任
意一点．
（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；
（2）设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离．
1.求点到平面的距离的四步骤
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 352.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；
(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；
(4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角．
3.利用向量法求两平面夹角的步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角；
(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)
4．表面积与体积公式
（1）棱柱的体积公式：设棱柱的底面积为S，高为h，V ＝S×h．
棱柱
1
（2）棱锥的体积公式：设棱锥的底面积为S，高为h，V = Sh．
棱锥 3
（3）棱台的体积公式：设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
1
V
棱台
=
3
×(S+S'+√S×S')×ℎ．
（ 4 ） 圆 柱 的 体 积 和 表 面 积 公 式 ： 设 圆 柱 底 面 的 半 径 为 r ， 高 为 h(母线长l)， 则
{ V =πr2 ℎ
圆柱 ．
S =2×πr2+2πrl=2πr(r+l)
圆柱
（5）圆锥的体积和表面积公式：设圆锥的底面半径为 r，高为 h(母线长l)，母线长为 l：
{ V = 1 πr2 ℎ
圆锥 3 ．
S =πr2+πrl=πr(r+l)
圆锥
（6）圆台的体积和表面积公式：设圆台的上底面半径为 r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36{ V = 1 πℎ(r2+R2+Rr)
圆台 3 ．
S =πr2+πR2+πrl+πRl=π(r2+R2+rl+Rl)
圆台
4
（7）球的体积和表面积：设球体的半径为R，V = πR3 ，S ＝4 R2．
球体 3 球体
5．直线和平面所成的角： π
一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为
两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的
环节：
（1）作出斜线与射影所成的角．
（2）论证所作（或找到的）角就是要求的角．
（3）常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．
（4）回答求解问题．
6．线面角的求解方法：
传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解
直角三角形求得．
→ → → →
向量求法：设直线l的方向向量为
a
，平面的法向量为
u
，直线与平面所成的角为 ，
a
与
u
的夹角为
→ → θ
|a⋅u|
，则有sin ＝|cos |= ．
→ →
|a||u|
φ θ φ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37
