文档内容
专题 11 利用三角函数性质求参数范围
一、单选题
1．（2024届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）若函数 在区间 恰
有2个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ,则等价于 有两个根，由于
时， 有两个根；∴原题等价于 与 有一个公共点，如图，
则 且 ，所以 .故选B.
2．（2024届广东省“六校”高三上学期9月联合摸底）已知函数 在区间
内有最大值，但无最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以当 时，则有 ，因为 在区间 内有最大值，
但无最小值，结合函数图象，得 ，解得 ，故选A3．（2023届四川省成都名校高高三高考考前冲刺）已知函数 ， ，
若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， 时， ，
要想 在区间 内无零点，则要满足 ，解得 ，
要想不等式组有解，则要 ，解得 ，故 或0，
当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 ，则 的取值范围是.故选D
4．（2023届宁夏银川市宁夏育才中学高三第三次模拟）已知函数 ，若函数
在区间 上有且只有两个零点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，由 在区间 上有且只有
两个零点可得：因为 ，当 时， ，所以 时， 有且只有两个零点，
只能是 ， ，所以 ， ，解得： ，所以 的取值范围为 ，
故选B.
5．（2023届天津市武清区天和城实验中学高三数学月考）已知函数 在
上单调递增，在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，因为 在 上单调递增，所以 ，解
得 .当 时， ，因为 ，所以 .因为 在 上单调递减，所以 且 ，解得 ，又 ，所以
的取值范围是 .故选A
6．（2024届中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期9月测试）已知函数 的
周期为 ，且满足 ，若函数 在区间 不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】已知 ， 令 ，解得
则函数 对称轴方程为 函数 在区间 不单调， ，
解得 ，又由 ，且 ，得 ，故仅当 时， 满足题意.
故选C.
7．（2023届云南省曲靖市第二中学学联体高三下学期第二次联考）已知定义在 上的奇函数 在区间
上单调递增，且 ， 的内角 满足 ，则角 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为 在区间 上单调递增，且 ，所以，当 时， ，当
时， .又因为 为奇函数，所以 在区间 上单调递增，且 ，所
以，当 时， ，当 时， .又 ，所以 的解集为
.
因为 ，所以 或 ，因为 ，所以 或 ，
即角 的取值范围是为 .故选A
8．（2024届浙江省A9协作体高三上学期联考）已知函数 （ ），若 在区间
内有且仅有3个零点和3条对称轴，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 ．当 时，令 ，则 ，若 在 有且仅有3个零点和3条对称轴，则 在 有且仅有3个零点和3条对
称轴，则 ，解得 .故选A．
9．（2024届河南省天一联考高三上学期调研考）已知函数 ，若将 的图象向
左平移 个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 的图象向左平移m个单位长度后，得到的图象对应函数
，因为 的图象关于坐标原点对称，所以
，即 ，因为 ，故当 时，m取得最小值 ．故选B.
10．已知函数 ， 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】 ，设 ，
，函数的对称轴为 且 ， ， ，因为函数 在
区间 的值域为 ，所以 在区间 上能取得 ，但是 不能小于0，所以 .故选
C
11．（2024届四川省绵阳市三台县高三上学期9月月考）将函数 的图象上所有
点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象．若 在 上有且仅有3个极值点，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知， ，当 时， ．因为 在 上
有且仅有3个极值点，所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ．故选C.
12.（2024届福建省三明市第一中学高三上学期考试）已知
在 上存在唯一实数 使 ，又 ，且 ，则实数ω的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
，∴ ，又 ，∴ 的最大值是 ，
所以 ，又 ，所以 ，
∴ ，
时，又 ，∴ ， ，
， 是唯一的，因此有 ，解得 ．故选A．
二、多选题
13．(2023届海南省琼海市嘉积中学高三三模)已知函数 在区间 上有且仅有
3个对称中心，则下列说法不正确的是（ ）
A． 在区间 上至多有3条对称轴
B． 的取值范围是
C． 在区间 上单调递增
D． 的最小正周期可能为
【答案】ABD
【解析】由 ，得 ，因为函数 在区间 上有且仅有3个对称中心，所以 ，解得 ，所以 ，所以 ， ，故选项B，
D不正确；当 ，即 时，函数 有3条对称轴，当 ，即
时，函数 有4条对称轴，所以函数 在区间 上至少有3条对称轴，故选项A错误；
当 ，时， ，因为 ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递增，故C正确．故选ABD.
14．（2024届河北省保定市定州市高三上学期9月月考）已知函数 的一个对
称中心为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为π
B．
C．直线 是函数 图像的一条对称轴
D．若函数 在 上单调递减，则
【答案】AC
【解析】 则有 ，解得 ，因为 ，所以
，所以 ，则 的最小正周期为π，故A正确； ，故B错误； ，则直线 是 图像的一条对称轴，故C正确；
，当 时， ，若函数 在
上单调递减，则有 ，解得则 ，故D错误.故选AC
15．（2023届重庆市第一中学校高三下学期2月月考）已知函数
若把 的图象上每个点的横坐标缩短为原来的
倍后，再将图象向右平移 个单位，可以得到 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 的周期为π
C． 的一个单调递增区间为
D． 在区间 上有5个不同的解，则 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】 横向压缩 得， ；再右移 个单位得， ，
∴ 又 ，∴ 故A选项正确；∴ ，
∴周期 ，故B选项正确；由 得， 故C选项错误；
在区间 上有5个不同的解，由函数图象可知，区间 的长度大于两个周期，小于等于3
个周期，故 ，故D选项正确. 故选ABD.16．（2023河北省秦皇岛市高三冲刺模拟届）已知函数 是在区间 上的
单调减函数，其图象关于直线 对称，且 ，则 的值可以是（ ）
A．4 B．12 C．2 D．8
【答案】AB
【解析】因为函数 的图象关于直线 对称，所以 ，所以
，根据 ，则 ，因为
是在区间 上的单调减函数，所以
，因为 ，所以 或 ，
当 时， ，当 时， ；
由于 是在区间 上的单调减函数，
且 ，所以 ，
所以 ， ，，根据 或 ，可得 ，或 .故选
17．（2023届湖北省荆门市、宜昌三校高三下学期5月第二次联考）已知函数 在
上有最大值，则（ ）
A． 的取值范围为 B． 在区间 上有零点
C． 在区间 上单调递减 D．存在两个 ，使得
【答案】AC
【解析】A选项： 有最大值，又因为 ，所以 ，
要使 在 上有最大值，则 ，所以 的取值范围为 ；
B选项: ,因为 ，所以 ，无零点，即 在区间 上无
零点，错误；C选项: , , ,根据函数图像， 单调递减，
即 在区间 上单调递减，正确；D选项： 即 ，即 ，
因为 当 函数图像单调递增， 单调递增，
与 函数图像无交点；
当 函数图像单调递减， 单调递增，
与 图像至多有一个交点，故至多存在1个 ，使得 ，选项错误；故选AC
三、填空题
18．（2024届江西省丰城厚一学校高三上学期9月月考）已知 ，函数 在
上单调递减，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】 ，因为 ，函数 在 上单调
递减，所以 ，得 ．当 时， ，
所以 ，解得 ．
19．（2024届四川省成都市蓉城联盟高三上学期入学联考）若函数 ， 的值
域为 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由辅助角公式得 ，令 ，解得 或 ， ，
令 ，解得 ， ，画出函数图象如下，可知 ， ，同时 ， ，所以 .
20．（2024届河南省高三上学期起点考试）已知函数 ， ， ，在
内恰有两个极值点，且 ，则 的所有可能取值构成的集合是 ．
【答案】
【解析】 在 内恰有两个极值点，若 最小正周期为 ，又 ，
则 ，即 ， ，解得： ，又 ， 或 ；
， ， 关于 中心对称， ，解得：
；当 时， ，又 ， ；
当 时， ，又 ， 或 ；综上所述： 的所有可能取值构成的集合为
.
21．（2024届广东省阳江市高三上学期适应性考试）已知函数 在 上为减函数，
命题 为假命题，则 的最大值为 ．
【答案】2
【解析】因为函数 在 上为减函数，且 ，
所以 ， ，即 ， ，所以 ，
所以 ，即 时，一定满足题意，
此时由 知， 的最大值为2；下验证 不符合题意，
如图：在直角坐标系中作出单位圆， ， 的终边与单位圆交于P，
的正弦线为有向线段MP，则 ，因为 ，
，又 .所以 ，即 ．
所以 ，即 时原命题为真命题，不符合.
22．（2023届福建省厦门市高三毕业班第四次质量检测）函数 ，当 时，
的零点个数为 ；若 恰有4个零点，则 的取值范围是 .
【答案】 1
【解析】第一空：当 时，当 时， ，解得 ；当 时，
，无零点，故此时 的零点个数是1；
第二空：显然， 至多有2个零点，故 在 上至少有2个零点，所以；
①
若 恰有2个零点，则 ，此时 恰有两个零点，所以
，解得 ，此时 ；
②
若 恰有3个零点，则 ，此时 ，
所以 恰有1个零点，符合要求；
③当 时， ，所以 恰有1个零点，
而 至少有4个零点，此时 至少有5个零点，不符合要求，舍去.
综上， 或 .
