文档内容
专题 11 三角恒等变换及应用（八大题型+模拟精练）
目录：
01 两角和与差的三角函数
02 二倍角公式
03 半角公式
04 辅助角公式及应用
05 降幂公式
06 万能公式
07 积化和差与和差化积公式
08 三角恒等变换的应用
01 两角和与差的三角函数
1．（23-24高三上·广东肇庆·阶段练习） （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建厦门·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
3．（23-24高三上·广东江门·阶段练习）如图， ， 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，
则 （ ）A． B． C． D．
4．（2023·四川宜宾·二模）已知 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
5．（2024·广西·模拟预测）已知 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
02 二倍角公式
6．（21-22高三上·陕西汉中·阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A．0 B．2 C．0.5 D．0或2
7．（20-21高三上·吉林松原·期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·福建宁德·期中）已知 是第一象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·江西·模拟预测）若 ，则 （ ）A． B．1 C． D．
10．（2024·辽宁·一模）若 ，则 （ ）
A． 或2 B． 或 C．2 D．
11．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
03 半角公式
12．（2024·全国·模拟预测）已知角 是第二象限角，且终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
13．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知角 的终边经过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全国·高考真题）已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
15．（22-23高三上·河北石家庄·期末）已知 ，则 .
04 辅助角公式及应用
16．（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）已知 ，则 ．17．（2024·新疆喀什·二模）已知函数 ，其中 ，满足 ，则
．
18．（2024·全国·模拟预测）设 ，则函数 的最大值为 ．
19．（2024·河南新乡·三模）已知函数 ，若存在 ，使得 ，
则 的最小值为 .
05 降幂公式
20．（2022·云南·模拟预测） （ ）
A． B． C． D．2
21．（22-23高三下·安徽·开学考试）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．（2021·四川巴中·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．
23．（22-23高三上·广西柳州·阶段练习）已知的数 （ ），若对任意的实数t，
在区间 上的值域均为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
06 万能公式
24．（20-21高一下·陕西西安·期末）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
25．（2022·全国·模拟预测）已知第二象限角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
26．（2021·河北邯郸·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
07 积化和差与和差化积公式
27．（2021高三·全国·专题练习）求cos +cos -2sin cos 的值；
28．（22-23高三上·广东汕头·期末）设锐角三角形ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
．
(1)求证：B＝2A；
(2)求 的取值范围．
08 三角恒等变换的应用
29．（2024·山东·二模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数 的最大值是
B．函数 在 上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移 个单位后图象关于原点对称
30．（2024·四川·模拟预测）已知函数 在 上有且仅有4个零点．则
图象的一条对称轴可能的直线方程为（ ）A． B．
C． D．
31．（22-23高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 .
(1)求 的最小正周期和单调递减区间；
(2)若 ，且 ，求 的值.
32．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ，若 ，
则直线 与 的图象的交点个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
33．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习） 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)判断 的形状；
(2)若 为锐角三角形， ，求 的最大值.
一、单选题
1．（2024·福建厦门·三模）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北保定·二模）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
3．（2024·贵州·模拟预测）已知 ， ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
4．（2024·河南·二模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是单位圆上不同的两点，其中 在第一象
限， 在第二象限，直线 的倾斜角分别为 ，若点 的横坐标分别为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）若 ，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·三模）当 时， 的最大值是（ ）
A．2 B． C．0 D．
8．（2024·陕西榆林·三模）已知 ，若当 时，关于 的不等式恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江·二模）已知函数 为奇函数，则参数 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知 ，下列判断正确的是
（ ）
A．若 ，且 ，则
B． 时，直线 为 图象的一条对称轴
C． 时，将 的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
D．若 在 上恰有9个零点，则 的取值范围为
三、填空题
12．（2024·全国·二模）已知 ，则 .
13．（2024·湖北·三模）设函数 对任意的 均满足 ，则14．（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，若 ，
则 的取值范围是 .
四、解答题
15．（2024·黑龙江·二模）已知向量 ， ，且函数
在 上的最大值为 ．
(1)求常数 的值；
(2)求函数 的单调递减区间．
16．（2024·江苏南京·模拟预测）已知在 中，三边 所对的角分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 外接圆的直径为4，求 的面积．
17．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，且 ．
(1)证明： ；
(2)若 的面积为 ，判断 是否为等腰三角形，并说明理由．
18．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求函数 的单调递减区间；
(2)当 时函数 的最小值为2，求实数 的值．19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），
将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①
可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母 ， ，…表示．
(1)在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），求点
的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公
式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一个二阶矩
阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
