专题11不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2023年新高考资料_一轮复习_2023新高考大一轮复习讲义+课件

专题 11 不等式、推理与证明、数系的扩充与复数的引入 1．（2021·浙江高考真题）若实数x，y满足约束条件 ，则 的最小值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 画出满足条件的可行域，目标函数化为 ，求出过可行域点，且斜率为 的直线在 轴上截距 的最大值即可. 【详解】 画出满足约束条件 的可行域， 如下图所示：目标函数 化为 ， 由 ，解得 ，设 ， 当直线 过 点时， 取得最小值为 . 故选：B. 2．（2021·浙江高考真题）已知 ， ，(i为虚数单位)，则 （ ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】 首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数 的值. 【详解】 ， 利用复数相等的充分必要条件可得： . 故选：C. 3．（2021·全国高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】 利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置. 【详解】，所以该复数对应的点为 ， 该点在第一象限， 故选：A. 4．（2021·北京高考真题）在复平面内，复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】 由题意可得： . 故选：D. 5．（2021·全国高考真题）已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】 因为 ，故 ，故 故选：C. 6．（2021·全国高考真题（理））设 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设 ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于 、 的等式，解出这两个未知数的值， 即可得出复数 . 【详解】 设 ，则 ，则 ， 所以， ，解得 ，因此， . 故选：C. 7．（2021·全国高考真题）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对 折，规格为 的长方形纸，对折1次共可以得到 ， 两种规格的图 形，它们的面积之和 ，对折2次共可以得到 ， ， 三种 规格的图形，它们的面积之和 ，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ______；如果对折 次，那么 ______ . 【答案】5 【分析】 （1）按对折列举即可；（2）根据规律可得 ，再根据错位相减法得结果. 【详解】 （1）由对折2次共可以得到 ， ， 三种规格的图形，所以对着三次 的结果有： ，共4种不同规格（单位 ；故对折4次可得到如下规格： ， ， ， ， ，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积 成公比为 的等比数列，首项为120 ,第n次对折后的图形面积为 ，对于第n此对折后 的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为 种（证明从略），故得猜想 ， 设 ， 则 ， 两式作差得： ， 因此， . 故答案为： ； .【点睛】 方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于 结构，其中 是等差数列， 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于 结构，利用分组求和法； （4）对于 结构，其中 是等差数列，公差为 ，则 ，利用裂 项相消法求和. 3x y30  1．（2021·陕西高三其他模拟（理））已知实数 满足约束条件3x2y60 ，则目标函数  x,y  x y10 z 3x y 的最小值为（ ） 21 4  A．5 B． 5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 x,y z 3x y 作出实数 满足的约束条件表示的平面区域，再由目标函数 的几何意义借助几何图形求解即 得. 【详解】 3x y30  画出约束条件3x2y60 表示的平面区域，如图中阴影区域，它是斜向上的一个开放性区域，含边  x y10  界，z 3x y y 3xz y3x 目标函数 ，即 ，表示斜率为-3，纵截距为z的平行直线系，作出直线l： ， 0 平移直线l 使其过点A时的直线纵截距最小，z最小， 0  4 x 3x y30  3 4 4 由 3x2y60 得  y 1 ，即点 A( 3 ,1) ，于是得 z min 3( 3 )(1)5 ， z 3x y 5 所以目标函数 的最小值为 . 故选：A 1 2  2 2．（2021·重庆高三其他模拟）已知a0，b0，a b ，则a2b的最小值为（ ） 9 5 A．9 B．5 C．2 D．2 【答案】C 【详解】 1 2 2a 2b 9    a2b1  49 a2b a b b a ，所以 2 . ABC D BBCC AM BC AD 第7题解析：由题意知， AM 在平面 1 1 1 1和平面 1 1 上的投影分别为 1 和 1，取 1 1中点 BE BC BE  AM BC  BC BE  AM BC  AM E ，连 1 ， 1 ，∵ 1 1 ， 1 1，∴ 1 ， 1 ，BCE 故 AM  平面 1 ， N BCE 所以 点的轨迹即为平面 1 与正方体表面的交线， DD EF//BC 取 1 中点 F ，连接 EF ， FC ，则 1 ， ∴ B 1， E ， F ， C 四点共面， N BEFC ∴ 点的轨迹即为等腰梯形 1 ， BC 2EF 2 2 BE  FC  5 由正方体棱长为2得 1 ， 1 ， 2 53 2 故轨迹长度为 . a0 b0 a2b3ab ab 3．（2021·全国高三三模）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） 8 4 2 2 A． 1 B．9 C．9 D． 3 【答案】B 【详解】 a0 b0 a2b3ab 因为 ， ，且 ， 1 2  3 所以b a ， 1 2 2 3  2 所以 b a ab ，2 2 8 ab  ab 所以 3 ，即 9 1 2   b a 当且仅当  a2b3ab 4 2 8 a b 即 3， 3 时等号成立，故ab的最小值9． 4．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研 究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中 x2 x3 x4 xn ln(1x) x   (1)n1  一个公式： 2 3 4 n ，试根据此公式估计下面代数式 2 2 4 2 4 ( 2)n 2   (1)n1 (n5) 3 5 3 n 的近似值为（ ）（可能用到数值ln2.414＝ 0.881，ln3.414＝1.23） A．3.23 B．2.881 C．1.881 D．1.23 【答案】B 【分析】 利用赋值法求得所求表达式的值. 【详解】 x2 x3 x4 xn ln(1x) x   (1)n1  依题意 2 3 4 n ，  n 2 令 ，则ln  1 2   2 2  2 2  4  4 2  8 1n1  ， x 2 2 3 4 5 6 n  n 2 ln  1 2  2 2 2 2  4 2  4 1n1  ， 3 5 3 n   ln 1 2 2ln2.41422.881 .故选：B i z  5．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（理））若复数 1i ，则|z|=（ ） 2 A． 2 B．1 C．2 D． 2 【答案】D 【分析】 首先化简复数z，再求复数的模. 【详解】 i i1i 1i 1 1 z      i 1i 1i1i 2 2 2 ， 2 2  1 1 2 z     所以     .  2 2 2 故选：D z1i2ii z  6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知复数z满足 ，则 （ ） 10 5 A．1 B．2 C． 2 D． 2 【答案】D 【分析】 2ii z  1i ，利用复数的运算求出复数 z ，从而求出 z . 【详解】 2ii 12i1i 3i z    解： 1i 1i1i 2 ， 2 2  3 1 10 z     所以     .  2 2 2 故选：D.3 7．（2021·广西师大附属外国语学校高三其他模拟（理））复数z的虚部为 ，模为2，则复数z2的对应 点位于复平面内（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第二或三象限 【答案】D 【分析】 结合复数的概念及模长求出复数z，然后根据复数的乘方运算，即可判断所处象限. 【详解】 b 3, z 2 设z abi，因为 ，所以a1，所以 z 1 3i 或 z 1 3i ，  2 若z 1 3i，则z2  1 3i 22 3i，复数z2的对应点位于复平面内第二象限；  2 若z 1 3i，则z2  1 3i 22 3i，复数z2的对应点位于复平面内第三象限； 故选：D. 2iz i 8．（2021·哈尔滨市第一中学校高三三模（理））复数z满足等式 ，则复数z在复平面内对应 的点所在的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】 先计算复数z，找到对应点，再判断象限. 【详解】 2iz i 因为 i i(2i) 12i 1 2 z      i 所以 2i (2i)(2i) 5 5 5 1 2 ( , ) 故复数对应点为 5 5 ，在第二象限. 故选：Bx y0  9．（2021·全国高三其他模拟（理））若 ， 满足约束条件2x y10 ，则 的最大值为  x y  x10 zx2y ______． 【答案】7 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目 标函数得答案． 【详解】 解：由约束条件作出可行域如图， 2x y10  联立 x1 ，解得A(1,3)， 1 z 1 z y  x y  x 由zx2y，得 2 2，由图可知，当直线 2 2过A时， y 直线在 轴上的截距最大，z有最大值为7． 故答案为：7． 1 a 10．（2021·全国高三其他模拟（理））已知 ， ，且 ，则  的最小值为 a0 b0 ab2 a b ___________. 12 2 【答案】 2 【分析】由已知构造运用基本不等式所需的“积为定值”即可求解. 【详解】  a0 b0 ab2 ， ，且 ， 1 a ab a b a 1 1 1 12 2        2   a b 2a b 2a b 2 2 2 2 b a  当且仅当ab2，且2a b ， a2 22 b42 2 即 ， 时取等号， 1 a 12 2   a b 的最小值为 2 . 12 2 故答案为: 2 . 11．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））任取一个正整数m，若m是奇数，就将该数乘3再加 上1；若m是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 m5 1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若 ，则经过________ 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为________． 4,5,32 【答案】5 【分析】 根据“冰雹猜想”进行计算，由此确定正确结论. 【详解】 m5 168421 5 1 时，各步的结果为 ，即 次步骤后变成 . m4 21421 5 1 时，各步的结果为 ，即 次步骤后变成 . m32 168421 5 1 时，各步的结果为 ，即 次步骤后变成 . 4,5,32 其它正整数不符合题意，故若第5次步骤后变成1，则m的所有可能取值组成的集合为 .4,5,32 5 故答案为： ； .