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专题 10 立体几何中球的切接问题
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题型01 外接球模型一：墙角模型..............................................................................................................................1
题型02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型.................................................................................2
题型03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型.............................................................................3
题型04 外接球模型四：垂面模型..............................................................................................................................4
题型05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型.....................................................................................................6
题型06 内切球..............................................................................................................................................................8
题型 01 外接球模型一：墙角模型
【解题规律·提分快招】
外接球模型一：墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方
体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球
的半径为R，则2R＝．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：
D 1 C 1 D 1 C 1 D 1 C 1 D 1 C 1
A B A B A B A B
1 1 1 1 1 1 1 1
D C D C D C D C
A B A B A B A B
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 例外型
【典例训练】
一、单选题
1．（云南省昭通市普通高中云南师范大学附属镇雄中学教研联盟2024-2025学年高三上学期联考检测数学
试题）棱长分别为 ， ， 的长方体外接球的表面积为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是正方形，，则四棱锥 外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·广西南宁·期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．在
鳖臑 中， 平面ABC， ， ， ，则此四面体的外接球表面积为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·广西河池·阶段练习）已知三棱锥 的所有棱长均为 ，球 为三棱锥
的外接球，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·甘肃白银·一模）在三棱锥 中， 两两垂直，且该三棱锥外接球
的表面积为 ，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
题型 02 外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型
【解题规律·提分快招】
四面体 中， ， ， ，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通
过构造长方体来解决这类问题．
如图，设长方体的长、宽、高分别为 ，则 ，三式相加可得 而
显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为 ，则 ，所以
．
【典例训练】
一、填空题
1．（2024·湖北·模拟预测）已知三棱锥 的四个顶点都在球O的球面上，且 ，， ，则球O的半径为 .
2．（23-24高三下·重庆荣昌·阶段练习）在四面体 中， ， ，
.则四面体 外接球的表面积为 ．
题型 03 外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型
【解题规律·提分快招】
外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两
个面的外心且分别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方
法或代数方法即可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下
图，由对称性可知球心O的位置是△ABC的外心O 与△ABC 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的半径
1 1 1 1 2 1
AO＝r，OO ＝ ， ．
1 1
A C
1 1
O
2
B
1
h
O
R
h
2
A C
r
O
1
B
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球 的
表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·广东河源·期中）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 ，顶点都在一个球面
上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏南通·期中）已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱 中， ，直线 与平面所成角的正切值为 ，则正三棱柱 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知直三棱柱 中， ，
， 点到直线 的距离为 ，则三棱柱 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·河南·阶段练习）将2个棱长均为2的直三棱柱密封在一个球体内，则该球体的体积的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型 04 外接球模型四：垂面模型
【解题规律·提分快招】
外接球模型四：
1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是
△CBD的外心O 与△ABD 的外心O 连线的中点，算出小圆O 的半径AO＝r，OO ＝ ，
1 2 2 2 1 1 1
．D
A A 2
O
2
B
h h 2
R O R O
h h
C r 2 D C r 2 D
O O
1 1
B B
2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面
BCD，如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角
形，类型Ⅲ，△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所
在平面的垂线，交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心
O 作该三角形所在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为
1
R，球心为O．△BCD的外心为O，O 到BD的距离为d，O与O 的距离为m，则解得R．可用秒杀公
1 1 1
式：R2＝r2＋r2－(其中r、r 为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)
1 2 1 2
d
A
h－m
A A A R
O C O
O 2
O D
B O C B O 1 C B C R m
O 1 d O 1
r
D D B D
D
类型Ⅰ 类型Ⅱ 类型Ⅲ 类型Ⅳ
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·四川成都·期中）在体积为 的三棱锥 中， ， ，平面
平面 ， ， ，若点 ， ， ， 都在球 的表面上，则球 的体积为
（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·广东·阶段练习）在三棱锥P-ABC中， ，平面
PAB⊥平面ABC，若球O是三棱锥P-ABC的外接球，则球O的表面积为（ ）
A．96π B．84π C．72π D．48π
4．（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 是以
为斜边的等腰直角三角形， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
5．（23-24高三下·辽宁葫芦岛·期末）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴､踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.已知某鞠（球）的
表面上有四个点 ，满足 平面 ，若三棱锥 体积为 ，则该
“鞠”的体积最小值为 .
6．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）在三棱锥 中， ，平面
平面 ，则三棱锥 外接球表面积为 .
题型 05 外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型
【解题规律·提分快招】
1、正棱锥外接球半径： ．
A
l
h
B
r
D
C
2、侧棱相等模型：
如图， 的射影是 的外心
三棱锥 的三条侧棱相等
三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点．P
O
C
A O1 B
解题步骤：
第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线；
第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理： ，解出 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·湖北十堰·期末）已知正三棱锥 的体积为 ，则该三棱锥外接球的表
面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西榆林·三模）已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，若三棱锥 外接
球的表面积为 ，则三棱锥 的高为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知正三棱锥 ，点 都在半径为 的球面上，若
两两垂直，则球心到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·山东德州·期中）已知四棱锥 的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都
在球O的球面上，满足 ， ， ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（23-24高三上·安徽合肥·期末）已知正四棱锥的侧棱长为 ，其各顶点都在同一个球面上，若该球
的体积为 ，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 .题型 06 内切球
【解题规律·提分快招】
内切球思路：
1、等积法思路
以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．
方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：V
P－ABC
＝V
O－ABC
＋V
O－PAB
＋V
O－PAC
＋V
O－PBC
⇒V
P－ABC
＝
S ·r＋S ·r＋S ·r＋S ·r＝(S ＋S ＋S ＋S )·r；
△ABC △PAB △PAC △PBC △ABC △PAB △PAC △PBC
第三步：解出r＝＝．
2、球内接圆锥
如图 ，设圆锥的高为 ，底面圆半径为 ，球的半径为 ．通常在 中，由勾股定理建立方程来计
算 ．如图 ，当 时，球心在圆锥内部；如图 ，当 时，球心在圆锥外部．和本专题前
面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．
由图 、图 可知， 或 ，故 ，所以 ．
3、球内接圆柱
如图，圆柱的底面圆半径为 ，高为 ，其外接球的半径为 ，三者之间满足 ．
4、球内接圆台
，其中 分别为圆台的上底面、下底面、高．5、棱切球
方法：找切点，找球心，构造直角三角形
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）正方体的棱长为2，其内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·重庆·模拟预测）已知体积为 的圆柱存在内切球．则该内切球的表面积为（）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知圆锥的母线与底面所成角为 ，其内切球（球与圆锥底面及
侧面均相切）的表面积为 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有
面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相
邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面
体､正十二面体､正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为（
）
A． B． C． D．3
5．（23-24高三下·山东·期中）已知正四棱锥 的底面边长为2，高为 ，则其内切球半径是
（ ）
A．1 B． C． D．
6．（23-24高三下·广东深圳·阶段练习）已知圆台 存在内切球 （与圆台的上、下底面及侧面都相切
的球），若圆台 的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为 ，设球 的体积与圆台 分别为
，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（24-25高三上·江西赣州·开学考试）若正三棱柱 的内切球体积为 ，则该正三棱柱的
底面边长为 ．
9．（2024高三·全国·专题练习）已知三棱锥 ，若 ， ， 两两垂直，且 ，
，则三棱锥 的内切球的表面积为 ．
10．（24-25高三上·广东深圳·期中）在正方形 中， ， 分别为线段 ， 的中点，连接 ，
， ，将 ， ， 分别沿 ， ， 折起，使 ， ， 三点重合，得到三棱
锥 ，则该三棱锥的外接球半径 与内切球半径 的比值为 .
一、单选题
1．（23-24高三下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面
ABCD,PA=AB=3,AD=4，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南海口·模拟预测）如图，在平面四边形 中， 与 交于点 ，且 ，
， ，剪去 ，将 沿 翻折， 沿 翻折，使点 与点 重合
于点 ，则翻折后的三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·福建福州·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体
体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵 中， ， ，， ，则此堑堵的外接球半径是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·福建福州·期中）已知在高为 的正四棱锥 中， ，则正四棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·广东·开学考试）外接球半径为 的正四面体的体积为（ ）
A． B．24 C．32 D．
6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上， ， ，
， ， 平面 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·广东·阶段练习）在四面体 中， ，且四面
体 的各个顶点均在球 的表面上，则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知球O是正三棱锥 的外接球，若正三棱锥 的高为
，底边 ，则球心O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知圆锥的轴截面为 为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的
表面积为 ，若 ，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），
且母线与底面所成角的正弦值为 ，则此圆台与其内切球的表面积之比为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
11．（24-25高三上·湖北·开学考试）三棱锥 中， 平面 ，
则该三棱锥的外接球体积等于 .
12．（2024·湖南株洲·一模）若半径为R的球O是圆柱的内切球，则该球的表面积与该圆柱的侧面积之差
为 .13．（2024·陕西西安·模拟预测）三棱锥 中， ， ， ，那么该
三棱锥外接球的表面积是 ．
14．（23-24高三下·山东枣庄·期中）已知三棱锥V—ABC，满足 ， ，
则该三棱锥的外接球的表面积为 .
15．（23-24高三下·河南·阶段练习）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积等于 .
16．（2024·陕西汉中·二模）已知三棱锥 ，点 到平面
的距离是 ，则三棱锥 的外接球表面积为 ．
17．（23-24高三下·陕西西安·期中）在四面体 中， ， ， ，
，则该四面体外接球的表面积为 .
18．（24-25高三上·上海·期中）已知一个圆台有内切球，且两底面半径分别为1，4，则该圆台的表面积为
.
19．（24-25高三上·北京·阶段练习）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为 ，体积为 .
20．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四
棱锥的侧面积为 .
21．（24-25高三上·浙江杭州·期中）在四边长均为 的菱形ABCD中， 沿对角线BD折成二面
角 为 的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为 .
22．（2024高三下·广东佛山·竞赛）已知三棱锥 的三条侧棱两两垂直，且 ，
则该三棱锥的内切球的半径为 .
23．（23-24高三下·广东江门·阶段练习）已知正四面体 的内切球的表面积为 ，过该四面体的
一条棱以及球心的平面截正四面体 ，则所得截面的面积为 ．
24．（2024高三·全国·专题练习）如图，在三棱柱 中， 底面ABC， ，
， ，D在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 的外接球体积的
最大值为
25．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是
