文档内容
专题 02 二次函数拓展之几何篇
思维导图
【类型覆盖】
类型一、二次函数中的等腰三角形
【解惑】在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 ， 两点，与y轴交
于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段 上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点
Q，当线段 的长度最大时，求点Q的坐标；(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且 ．在y轴上是否存在
点E，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点 或 或 或 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）先求出点 ，再分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意得： ，
则 ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）解：由抛物线的表达式知，点 ，
由点B、C的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 ，则点 ，
则 ，
∵ ，故 有最大值，
此时 ，则 ，
即点 ；
（3）解：存在，理由：设直线 的表达式为 ，
由点 的坐标得， ，解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
令 ， ，故 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，则 ，
，
则 ，
即直线 和 关于直线 对称，故 ，
设直线 的表达式为 ，
代入 ， ，得 ，
解得： ，
则直线 的表达式为： ，
联立上式和抛物线的表达式得： ，
解得： (舍去)或5，即点 ；
设点 ，由 的坐标得， ，
当 时，则 ，
解得： ，即点 或 ；
当 或 时，
同理可得： 或 ，
解得： 或 ，
即点 或 或 ；
综上，点 或 或 或 或 ．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的
思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
【融会贯通】
1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，过
A，C两点的抛物线 与x轴的另一个交点为点 ，点P是抛物线位于第四象限图
象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线 于点E，点F．
(1)求抛物线的解析式；(2)点D是x轴上的任意一点，若 是以 为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当 时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
，则 的最小值为______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的
关键．
（1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答；
（3）先证明 可得 ，设 ，则 ,
可得 ，即 ，求得可得m的值，进而求得点P的坐标；
（4）如图：将线段 向右平移 单位得到 ,即四边形 是平行四边形，可得
,即 ，作 关于对称轴 的点 ,则 ，由两点间的
距离公式可得 ，再根据三角形的三边关系可得 即可解答．
【详解】（1）解：∵直线 与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
∵ ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入可得： ，解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ,
∴ ，
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
如图：当 ，
∴ ,即 ；
综上，点D的坐标为 ．（3）解：如图：∵ 轴，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ,
∴ ,
∵设 ，则 ,
∴ ，
∴ ，解得： （负值舍去），
当 时， ，
∴ ．
（4）解： ∵抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的对称轴为：直线 ，
如图：将线段 向右平移 单位得到 ,
∴四边形 是平行四边形，∴ ,即 ,
作 关于对称轴 的点 ,则
∴ ,
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为 ．
2．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
D，已知 ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是以 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段 上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，
四边形 的面积最大？求出四边形 的最大面积及此时E点的坐标．
【答案】(1)
(2)存在，P点的坐标为 或 或
(3)E为 的中点，四边形 的面积最大，最大面积为 ，
【分析】（1）待定系数法求解即可；
（2）由 ，可得对称轴为直线 ，即 ， ，设
，则 ， ，当 是以 为腰的等腰三角形，分 ，
两种情况计算求解即可；
（3）由 ，对称轴为直线 ，可得 ，待定系数法求直线 的解析式为 ，
如图，则 ，可知当 最大时，四边形 的面积最大，设
，则 ， ，可知当 时， 最大，
最大值为 ，则 ， ，为 的中点，然后作答即可．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得， ，解得， ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
当 是以 为腰的等腰三角形，分 ， 两种情况求解；
当 时， ，即 ，
解得， 或 ，
∴ ；
当 时， ，即 ，
解得， 或 ，
∴ ， ；
综上所述，存在，点 的坐标为 或 或 ；
（3）解：∵ ，对称轴为直线 ，∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
如图，
∴ ，
∴当 最大时，四边形 的面积最大，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 ，
∴ ，
∴ ，为 的中点，
∴E为 的中点，四边形 的面积最大，最大面积为 ， ．【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面积综合，一次函数解析式，
等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数与面
积综合，一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
3．如图，已知抛物线与x轴交于 、 两点，与y轴相交于点C，直线 经过点C，
与x轴交于点D．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点Q，使 的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是（1）中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为 ，是否存在 是以 为底的等
腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）如图，点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时， 的
周长最小，即可求解；
（3）设点 ，根据 是以 为底的等腰三角形，所以 ，则，求解即可得出t值，进而求解．
【详解】（1）解：设抛物线的表达式为： ，
对于一次函数 ，
当 时， ，
∴ ，
将点 的坐标代入抛物线表达式得： ，则 ，
即抛物线的表达式为：
（2）解：如图，点 关于抛物线对称轴的对称点为点 ，连接 交抛物线对称轴于点 ，则此时，
的周长最小，
理由： 的周长 为最小，
设直线 的表达式为
把 ， 代入得：
，解得
∴直线 的表达式为： ，
由抛物线的表达式知，其对称轴为 ，
当 时， ，即点 ；
（3）解：存在，理由：
设点∵直线 与y轴的交点为D，
当 时， ，
∴ ，
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
，
．
∵ ，
∴ ．
即P点的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，
二次函数与一次函数图象上点的坐标特征，利用轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，属二次函数综合
题目，难度适中．
类型二、二次函数中的等腰直角三角形
【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx－3与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴
交于点C．(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶
点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作 交 于点 ，先求得直线 的解析式，设点P的坐标为 ，则点R的坐标为
，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将 、 代入 得，
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：作 交 于点 ，令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设点P的坐标为 ，则点R的坐标为 ，
∴
，
∵ ，
∴ 时， 有最大值，此时点P的坐标为 ；
（3）解：∵点Q是线段 上一点，
∴设点Q的坐标为 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时， 是等腰直角三角形，此时点P的坐标为 ；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时， 是等腰直角三角形，此时点P的坐标为 ；如图，当点P在第四象限时，过点Q作 轴于点 ，作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即点P的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 ；
如图，当点P在第三象限时，过点P作 轴于点 ，作 交 于点 ，设 ，
同理 ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，∴点P的纵坐标为 ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ；
综上，点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的
性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟
练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系中，已知抛物线 经过点 ， ．
(1)求抛物线 的表达式；
(2)设 关于原点 对称的抛物线为 ， 的顶点为 ，对称轴为 ．若点 在 上，点 在 上，连接
、 ．若 为等腰直角三角形，求点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出新的抛物线的解析式，分 分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可．【详解】（1）解：把点 ， 代入函数解析式，得：
，解得： ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴顶点坐标为 ，
则： 关于原点对称的点为 ，
∵ ， 关于原点 对称，抛物线的开口大小不变，方向相反，
∴ 的解析式为： ，
∴ ，对称轴为直线 ，
设 ， ，
当点 为直角顶点时，则 ，此时不存在点 在抛物线上，不符合题意，
当点 为直角顶点时，则 ，且 ，点 在 点下方：
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去）或 ，
当 或 时， ，
∴ ，
当点 为直角顶点时，过点 作 ，则： ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ，
解得： 或 （舍去）或 ，
当 或 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ；
综上： 或 ．
2．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，且点A在点B的
左侧， ，与y轴交于点C， 的面积为 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，在直线 上方的抛物线上有一动点 ，点 是点 关于 轴的对称点，连接 交直线 于
点 ，当 最大时，求出 的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线沿着射线 的方向平移，使得新抛物线交y轴于点C，点M为新抛物线上任意一点，
点N为原抛物线对称轴上位于x轴下方的一点，存在 是以 为腰的等腰直角三角形，请直接写出
点N的坐标____________．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，此时点 的坐标为
(3) 或
【分析】
（ ）先得出 ，即 ，再根据三角形面积公式即可求得 ， ，再利用待定系数法
即可求得抛物线的解析式；
（ ）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，设 ，则 ，
由 ， 可 得 ， 求 得 ， 再 由 ， 可 得
， 进 而 可 得
，利用二次函数的性质可得答案；（ ）当 为直角时，则 ，可得 ；当 为直角时，则 ，可得
；
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于点 ，
，
，
的面积为 ，
，即 ，
，
，
，
， ，
把 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 是点 关于 轴的对称点，
，
， ，
直线 的解析式为 ， ，在 中， ，
如图 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
，
， ，
，
，即 ，
，
轴，
，
，
，
，
，
，，
当 时， 有最大值，最大值为 ，此时点 的坐标为 ；
（3）
解：存在 是以 为腰的等腰直角三角形，理由如下：
将抛物线 沿着射线 的方向平移，使得新抛物线 交 轴于点 ，
则抛物线向左平移了 个单位向上均平移了 个单位，则平移后的抛物线表达式为： ，
即 ，
则设点 ，点 ，且 ，
当 为直角时，则 ，如图 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，设原抛物线对称轴交 轴于点 ，
则 ，
，
，
，
，， ，
， ，
，
解得： ， 舍去 ；
， ；
当 为直角时，则 ，如图 ，
过点 作 轴交 轴于点 ，设原抛物线对称轴交 轴于点 ，
同理可得， ，
， ，
， ，，
解得： ， 舍去 ，
， ；
综上， ， 或 ， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，抛物线的平
移，线段的最值等，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质和分类讨论思想，避免遗漏．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点C，顶点D的
坐标为 ．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P在抛物线上且满足 ，求点P的坐标；
(3)如图2，M是直线 上一个动点，过点M作 轴于点N，Q是直线 上一个动点，当 为
等腰直角三角形时，直接写出此时点M及其对应点Q的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ， ；(3) ， ； ， ； ， ； ，
； ．
【分析】（1）根据顶点的坐标，设抛物线的解析式为 ，将点 代入，求出a即可得
出答案；
（2）利用待定系数法求出直线 解析式为 ，过点C作 ，交抛物线于点 ，再运用待定
系数法求出直线 的解析式为 ，联立方程组即可求出 ，过点B作y轴平行线，过点C作
x轴平行线交于点G，证明 ，运用待定系数法求出直线 解析式为 ，即可
求出 ；
（3）利用待定系数法求出直线 解析式为 ，直线 解析式为 ，再分以下三种情况：
①当 是以 为斜边的等腰直角三角形时，②当 是以 为斜边的等腰直角三角形时，③当
是以 为斜边的等腰直角三角形时，分别画出图形结合图形进行计算即可．
【详解】（1）解：∵顶点D的坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ，将点 代入，
得 ，
解得： ，
，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）解:∵抛物线对称轴为直线 ， ，，
设直线 解析式为 ，
， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
过点C作 ，交抛物线于点 ，
设直线 的解析式为 ，将 代入，
得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
结合抛物线 ，可得 ，
解得： （舍）， ，
故 ，
过点B作y轴平行线，过点C作x轴平行线交于点G，
， ，∴四边形 是正方形，
设 与x轴交于点E，则 ，
解得： ，
∴ ，
在x轴下方作 交 于点F，
∵四边形 是正方形，
， ， ，
，
即 ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
结合抛物线 ，可得 ，
解得： （舍）， ，，
综上所述，符合条件的P点坐标为： ， ；
（3）解:设直线 解析式为 ，直线 解析式为 ，
， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
， ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，
①当 是以 为斜边的等腰直角三角形时，此时 ， ，如图2，轴，
，
∴ ，
解得： 或 ，
；
②当 是以 为斜边的等腰直角三角形时，此时 ， ，如图3，
，
，
，
解得： ，
， ；
③当 是以 为斜边的等腰直角三角形时，此时 ， ，如图4，，
∴ ，
解得 或 ，
；
综上所述，点M及其对应点Q的坐标为：
， ； ， ； ， ； ， ；
．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式，求一次函数与二
次函数图象交点坐标，全等三角形判定和性质，正方形判定和性质，等腰直角三角形性质等，本题属于中
考压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形性质等相关知识，运用数形结合
思想、分类讨论思想是解题关键．
类型三、二次函数中的直角三角形
【解惑】如图，平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交于点 和点
两点，与y轴交于点 ．点D为直线 上的一动点．(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，当点D在线段 上时，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记
与 的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图2，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点D的坐标是
【分析】（1）待定系数法求二次函数的表达式即可；
（2）如图1，连接 ，作 轴交 于点 ，由 ，可得 ，则
，待定系数法求直线 的解析式为 ，设 ，
则 ， ， ，根据二次函数
的图象与性质求解作答即可；
（3）设 ，则 ， ， ，
分 ， ， 三种情况，利用勾股定理求解作答即可．【详解】（1）解：将 代入 得， ，
解得： ，
二次函数的表达式为 ；
（2）解：如图1，连接 ，作 轴交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得， ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，∴ ，
且 ，
当 时， 取得最大值．此时 ；
（3）解：设 ，则 ， ，
，
①当 时， ，即 ，
解得， （舍去）；
②当 时， ，即 ，
解得， ，
∴ ；
③当 时， ，即 ，
解得， （舍去）， ，
∴ ；
综上所述，存在点D，点D的坐标是 ．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，平行线间的距离，勾股定
理等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，二次函数与几何综合，二次函数的最值，勾股定
理是解题的关键．
【融会贯通】
1．二次函数 的图象与 轴分别交于点 ，与 轴交于点 ，
为抛物线上的两点．(1)求二次函数的表达式；
(2)当 两点关于抛物线对称轴对称， 是以点 为直角顶点的直角三角形时，求点 的坐标；
(3)设 的横坐标为 ， 的横坐标为 ，试探究： 的面积 是否存在最小值，若存在，请求出
最小值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最小值为
【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标表示两点距
离，二次函数最值，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）可求 ，设 ，由 ，得 ，则
，解得 ， （舍
去），故 ；
（3）分当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，当
点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，得到这个面积是关于m的二次函数，进而求
最值即可．【详解】（1）解：把 ， 代入 得，
，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）解：如图：
由 得抛物线对称轴为直线 ，
∵ 两点关于抛物线对轴对称，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴
，
整理得， ，
解得 ， （舍去），∴ ，
∴ ；
（3）存在，理由：
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设点 ，则点 ，设直线 交 轴于点 ，
设直线 表达式为： ，
代入 ，
得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为： ，
令 ，得
则 ，
则 ，则
，
即 存在最小值为 ；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线 表达式为： ，
令 ，得
则 ，
则 ，
则即 存在最小值为 ；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求 ，
即 存在最小值为 ，
综上所述， 的面积 是否存在最小值，且为 ．
2．如图，抛物线 与 轴交于点 和 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛
物线交于点C，且四边形 是平行四边形，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？若存在，求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2)C的坐标是 ；
(3)P的坐标为 或 或 ．
【分析】（1）将 ， 代入 ，列方程组并且解该方程组求出a、b的值，即可得到
抛物线的解析式为 ；（2）将抛物线的解析式配方成顶点式，求得抛物线的对称轴为直线 ， ，由平行四边形的性
质得 ，则点C的横坐标为5，即可求得点C的坐标是 ；
（3）分三种情况，一是；当 时，过点C作 轴于点L，作 交 的延长线于点
H，则 ，证 ，设 ，则 ，于是得 ，求得 ，
则 ；二是 ，可证明 ，则 ，得 ， ．
三是 ，设 交 于点J，则 ，由平行四边形的性质得
， ，所以 ，则 ．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）解： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ， ，
∵四边形 是平行四边形，
，
∴点C的横坐标为 ，抛物线 ，
当 时， ，
∴点C的坐标是 ．
（3）解：存在点P，使 是直角三角形，
①当 时，
作 交 的延长线于点H，则 ， ，
，
，
设 ，则 ，
，
，
解得 ，
，②点O是直角顶点时，过点C作 轴于点L．
，
， ，
，
，
，
，
，
．
③当 时，
设 交 于点J，作 轴于点L，
， ， ，
，
轴， ，
，
∵四边形 是平行四边形，
， ，
，
， ，， ；
综上所述，存在点P，使 是直角三角形，
点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的性质、直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题
综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
3．综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，其对称轴交x轴于点F，点
是抛物线上一动点．
(1)求点A，B和F的坐标．
(2)已知存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直线的距离始终相等，设直线l上所有点
的纵坐标均为k．
①请求出k的值．
②当 时，作直线 交抛物线于点Q，在直线l上是否存在一点M，使得 是以 为斜边的直
角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)① ；②存在，【分析】（1）利用二次函数图形与坐标轴的交点问题和二次函数的性质求解即可；
（2）①根据题中定义，利用坐标与图形性质以及完全平方公式，结合二次函数的性质化简求解k值即可；
②先根据已知求得 ，再利用待定系数法求得直线 的表达式为 ，然后联立方程组求得
，设 ，利用两点坐标距离公式和勾股定理列方程求解t值即可．
【详解】（1）解：对于抛物线 ，其对称轴为直线 ，
∴ ；
当 时，由 解得 ， ，
∴ ， ；
（2）解：①∵点 是抛物线上一动点，存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直
线的距离始终相等，又直线l上所有点的纵坐标均为k，
∴ 且 ，即 ，
∴ ，
∵抛物线 的最小值为 ，
∴ ，
∴ ；
②存在．
当 时， ，
∴ ，
设直线 的表达式为 ，则 ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
解得 ， （舍去），
∴ ，
设 ，则 ， ，
，
∵ 是以 为斜边的直角三角形，
∴ ，则 ，
整理得 ，解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数图形与坐标轴的交点问题、二次函数的性质、
坐标与图形、直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式、解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知
识的联系与运用，理解题中定义是解答的关键．
类型四、二次函数中的平行四边形
【解惑】如图，平面直角坐标系中，已知抛物线 交x轴于点A、B，交y轴于点C．连接
．已知 ， ， ．(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点D为线段 上方抛物线上的一个动点，连接 ．连接 ，分别交y轴与 于点E、
F．当四边形 的面积最大时，求直线 的表达式及此时 的面积；
(3)点P为抛物线上的一个动点，当四边形 的面积最大时，抛物线的对称轴 上是否存在点Q，使
得四边形 为平行四边形？若存在，请求出平行四边形 的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) ，
(3)存在，
【分析】（1）根据 ．可求得 ，设抛物线的表达式的抛物线为：
，将 代入即可求解；
（2） ， 为定值，故求出 的最大值即可求解；根据 即
可求解；
（3）根据平行四边形对角线互相平分可求出点 的坐标，继而根据 即可求解；
【详解】（1）解：∵ ， ．∴
设抛物线的表达式的抛物线为： ，
将 代入可得：
解得：
∴
（2）解：设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，如图所示：
设点 ，则
∴
∴当 ，即点 时， 有最大值，且最大值为 ；∵ ， 为定值
∴此时 也最大
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 可得 ，即
联立 ，解得：
∴
∴
（3）解：由 ， 可知：抛物线的对称轴为直线 ，
由（2）可得 ，
设
若四边形 为平行四边形，则 ，解得：
∴
设直线 的解析式为： ，
则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，如图所示：
则 ，即
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了一次函数的解析式求解，平行四边形的存在性问题，二
次函数的性质等知识点，综合性较强，掌握函数的相关知识点是解题关键．
【融会贯通】
1．在平面直角坐标系中，抛物线 经过 ，与 轴交于点 ，点 是抛物线的顶点，点 是 轴上方抛物线上的一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当点 在直线 上方运动时；
①若点 的坐标为 求 的面积；
②如图（2）， 轴交直线 于点 ，过点 （不与点 重合）作 轴交直线 于点 ，
若四边形 是平行四边形，求点 的坐标；：
(3)过点 作 轴于点 ，是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似？若存在，求
出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)① ；②
(3)存在， 的值为 或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①过点P作 轴于E， 或求解即可；
②先用待定系数法求出直线 的解析式为 ，从而求得 ， ，设 ，
则 ，根据当四边形 是平行四边形时，由 ， ，从而得出
，求解即可；（3）分两种情况：当 时，当 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得
，
解得： ，
∴ ；
（2）解：①如图（1），过点P作 轴于E，
把 代入 ，得 ，
∴
∵ ，
∴
；
②设直线 的解析式为： ，
把 ， 代入，得
，解得： ，∴直线 的解析式为 ，
如图（2），
∵
∴ ，
∵ 轴交直线 于点 ，
∴点E横坐标为 ，
把 代入 ，得 ，
∴
∴
∵设点 的横坐标为
∴
当四边形 是平行四边形时，由 ， ，
∴
∴
解得： ， ，
∵点 不与点 重合
∴点M与点E不重合，
∴ ，
∴
∴ ；（3）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵
∴ ， ，
分两种情况：当 时，如图，
∵
∴ ，即 ，
解得： ，
∵点P是x轴上方抛物线上的一动点，
∴ ；
当 时，如图，
∵
∴ ，即 ，
解得： ，
∵点P是x轴上方抛物线上的一动点，
∴ ；综上，存在， 的值为 或 ．
【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的性
质，坐标与图形，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，此题属二次函数综合题目，有一定难度，属
中考试常考题目．
2．已知抛物线 ： 与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C
作 轴交抛物线于另一点D．
(1)求抛物线L的对称轴及点D的坐标；
(2)将抛物线L沿x轴向右平移得到新抛物线，点A、B平移后的对应点分别是E、F，是否存在新抛物线使
得以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形；若存在，请求出所有符合条件的新抛物线的函数表达
式；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)存在， 或
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，平行四边形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出
相应线段的长度是解题的关键．
（1）根据抛物线对称轴为 即可求出对称轴 ，由点C、D关于抛物线的对称轴 的对称，可
得点D的坐标；
（2）以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形时，需要 ，然后分当点E在点B的左侧
时， ；当点E在点B的右侧时， ，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线 ，当 时， ，
∴ ，
由题意可得，点C、D关于抛物线的对称轴 的对称，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∵点B、E都在x轴上，
∴ ，
∴当 时，以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形．
令 ，则 ，解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
将抛物线L化为顶点式为 ，
I．当点E在点B的左侧时， ，
∴将抛物线L向右平移4个单位长度时，以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形，
此时平移后的抛物线为 ．
II．当点E在点B的右侧时， ，
∴将抛物线L向右平移12个单位长度时，以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形，
此时平移后的抛物线为 ．
综上，存在新抛物线使得以点C、D、E、B为顶点的四边形是平行四边形，新抛物线的函数表达式为或 ．
3．如图，已知抛物线 与x轴交于 ， 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作 轴于点F，交直线
于点E，连接 ，若 ，求出点D的坐标；
(3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2) 点的坐标为
(3)存在，P的坐标为 、 、 、
【分析】（1）因为经过 ， 两点，所以 ，再代 ，即可作答．
（2）先把 、 代入，并解出直线BC的解析式为 ，因为 ，所以
，解得 ，得 ，即可作答．
（3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当 为对角线；②当 为对角线；③当 为对角
线，然后列出方程组解方程，即可作答．【详解】（1）解：设抛物线为 ，
经过 ， 两点，
，
把 代入得： ，
，
抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的解析式为 ，
把 、 代入得：
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ， ，
， ，
，
，
，
解得 （不符合，舍去）， ，
经检验： 是方程的解
把 代入 ，解得
点的坐标为 ．
（3）解：存在，过程如下：
依题意，设 ， 且 ， ，
∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形∴①当 为对角线时，则
，
；
②当 为对角线时，则
，
， ；
③当 为对角线时，则
，
．
综上所述，P的坐标为 、 、 、 ．
【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数
与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
类型五、二次函数中的菱形
【解惑】如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
，点A在原点的左侧，点B的坐标为 ，点P是直线 下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接 ，并把 沿 所在直线翻折，得到四边形 ，那么是否存在点P，使四边形
为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点P运动到什么位置时，四边形 的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)存在；
(3) ；
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）存在点 ，使四边形 为菱形．设点 的坐标为 ，连接 交 于点 ，根据菱
形的性质可得 ，即 ，代入二次函数解析式求解即可；
（3）过点 作 轴的平行线交 于点 ，交 于点 ，设 ，求出直线 的解析式，设
，则 点的坐标为 ，根据 列出阿含糊解析式求解即
可．
【详解】（1）解：将 、 两点的坐标代入得：
，
解得： ，
所以二次函数的表达式为：
（2）解：存在点 ，使四边形 为菱形．理由如下：
如图1，设点 的坐标为 ，连接 交 于点 ，若四边形 是菱形，则有 ，则 于点 ，
，
，
，
解得 ， （不合题意，舍去），
点的坐标为 ．
（3）解：如图，过点 作 轴的平行线交 于点 ，交 于点 ，
解 ，得 ， ，
点 ，，
设直线 的解析式为 ，
把 代入，得 ，
，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 点的坐标为 ．
则
，
当 时，四边形 的面积最大，
此时 点坐标为 ，四边形 的面积的最大值为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数和一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，以及函数与图
形的面积，数形结合是解答本题的关键．
【融会贯通】
1．如图，已知抛物线 ： 与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)填空：点C的坐标是______；点D的坐标是______；直线CD的解析式______．
(2)点P为直线CD左上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线CD于点Q，当线段PQ取得最
大值时，在抛物线的对称轴上找一点G，使 的周长最小，求点G的坐标；(3)将抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线 ， 与 相交于点E，点F为抛物线 对称轴上的一
点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写
出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)存在， ，或 或 或
【分析】（1）将抛物线化成顶点式得 ，据此可求出 的坐标，当 时，可求出 的坐
标，用待定系数法，即可求解；
（2）设 ，则 ， ，抛物线顶点式的性质得当 时，
取最大值，此时可求 ，当 取最小值时， 的值最小，作 关于直线 的对称点 ，
连接 交直线 于 ，此时 最小， ，即可求解；
（3）由抛物线的平移得 ： ，待定系数法同理可求直线 的解析式为 ，①当以点
C，E，F，H为顶点的四边形为菱形 时，设 ，由勾股定理得 ， ，
由菱形的性质得 ， ， ，由 ，可求 ， ， 舍去，
可求 ，由待定系数法可求直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，则有，
直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，即可求解；②当以点C，E，F，H为顶点
的四边形为菱形 时，同理可求；③当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形 时，同理可求：或 （ⅰ）当 时，同理可求；（ⅱ）如图，当 时，同理可求．
【详解】（1）解：
，
当 时， ，
， ，
设直线 的解析式 ，则有
，
解得： ，
直线 的解析式 ；
故答案： ， ， ；
（2）解：如图，
设 ，
则 ，
，，
当 时， 取最大值，
当 时，
，
，
，
，
当 取最小值时， 的值最小，
如上图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于 ，
此时 最小，
，
设直线 的解析式为 ，则有
，
解得： ，
直线 的解析式 ；当 时， ，
；
（3）解：存在；
抛物线 向左平移2个单位长度得到抛物线 得，
，
，
解得： ，
，
，
待定系数法同理可求直线 的解析式为 ，
①如图，当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形 时，
设 ，
，
，
四边形 是菱形，
，
，，
，
解得： ， ，
当 时，
，
在直线 上，
舍去，
，
同理可求直线 的解析式为 ，
可设直线 的解析式为 ，则有，
，
直线 的解析式为 ，
同理可求直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得 ，
；
②如图，当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形 时，设 ，
同理①可求：
，
，
解得： ，
，
同理①可求：
直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
联立得 ，
解得 ，
；
③当以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形 时，
同理可求：
，
解得： ， ，
或
（ⅰ）如图，当 时，同理可求：
直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
联立直线 和直线 的解析式可得：
；
（ⅱ）如图，当 时，
同理可求：
直线 的解析式为 ，
直线 的解析式为 ，
联立直线 和直线 的解析式可得：
；
综上所述： 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，二次函数在线段最值中的应用，线段和最小值问题，待定系数法，
勾股定理，菱形的性质等，掌握取得最值的条件，能根据菱形的顶点不同进行分类讨论是解题的关键．2．定义：在平面直角坐标系 中，当点 在图形 的内部，或在图形 上，且点 的横坐标和纵坐
标相等时，则称点 为图形 的“梦之点”．
(1)如图①，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，在点 ，
， 中，是矩形 “梦之点”的是 ；
(2)如图②，已知点 ， 是抛物线 上的“梦之点”，点 是抛物线的顶点．连接 ，
， ，求 的面积；
(3)在（2）的条件下，点 为抛物线上一点，点 为平面内一点，是否存在点 、 ，使得以 为对角线，
以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ，
(2)
(3)存在， 或
【分析】本题是二次函数的综合题，考查了一次函数和二次函数的图象和性质，菱形的性质，理解坐标与
图形性质，熟练掌握两点间的距离公式，理解新定义是解题的关键．
（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上；
（2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式，求得 ， 的坐标；根据二次函数的顶点式，求出抛物线的顶点，点 的坐标，抛物线的对称轴，根据 ，即可求得答案；
（3）设 ，由以 为对角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形可得 ，
利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．
【详解】（1）∵矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， ，
∴设矩形 的“梦之点”为 ，满足 ， ，
∴点 ， ， 中，是矩形 “梦之点”为点 ， ．
故答案为： ， ．
（2）∵ ， 是抛物线 上的“梦之点”
∴点 ， 是直线 上的点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ；
∵ ，
∴二次函数的顶点 ，二次函数的对称轴为 ，
设抛物线的对称轴交 于 ，
∴ ，
∴
∴．
（3）存在，理由如下：
设 ，
∵以 为对角线，以 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
当 ， ，
∴点 ；
当 ， ，
∴点 ；
综上所述，点 的坐标为： 或者 ．
3．已知抛物线 与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．(1)判断 的形状，并说明理由．
(2)设点 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作 轴于H，交 于点Q，设四边形
的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和 的面积；
(3)在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为
顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)直角三角形，见解析
(2) ， ，1
(3)存在，点M坐标为 或 或 或 或
【分析】（1）根据二次函数解析式求出点A，B，C的坐标，表示出 ， ， 的长度，利用勾股定
理逆定理可得结论；
（2）根据A，C的坐标可得出直线 的解析式，由点P的坐标表示出点Q的坐标，根据
可表示出四边形 的面积，利用二次函数的性质可得结论；
（3）由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则 是等腰三角形，分三种
情况讨论，列出方程解之即可．
【详解】（1）解： 是直角三角形，理由如下：
x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A．
当 时， ，当 时， ，
则 或 ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
，即 ，
是直角三角形，且 ．
（2）设直线 的解析式的解析式为： ，
， ，
，
解得： ，
直线 的解析式的解析式为： ，
∵点 是抛物线在第一象限部分上的点， 轴，
， ， ，
，
，
，
，
当 时， 的最大值为8，此时 ，
， ，；
（3）点M坐标为 或 或 或 或
，理由如下：
，
抛物线的对称轴为直线 ，则可设 ，
由（1）（2）可知： ， ，
， ， ，
由菱形的对称性可知，若以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，则是 等腰三角形，则需要分以
下三种情况：
①当 时，则 ，
解得 ，
∴ 或 ；
②当 时，则 ，
解得 ，
∴ 或 ；
③当时 ，则 ，解得： ，
∴ ．
综上，存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，点坐标为 或 或
或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质及
勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
类型六、二次函数中的矩形
【解惑】综合与探究
如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对
称轴与x轴于点D，过点D作 交y轴于点E．
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作 轴于点F，当 时，求 的长；
(3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接
写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；(3)存在， 或 ．
【分析】（1）当 时， ，从而得点C的坐标；当 时， ，解得 或 ，
从而确定点A、B的坐标；
（2）设 ，由 构造方程 ，求得 ，从而求得点P的坐标，
再利用一次函数的性质求的点E，最后利用勾股定理求解即可；
（3）分 是矩形的边和 是对角线两种情况，利用矩形的性质、一次函数的图象及性质及平移的性质
求解即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴当 时， ，
∴点C坐标为 ，
当 时， ，解得 或 ，
∴ ；
（2）解：设 ，
∵ 轴， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得 或 （不合题意，舍去），
当 时， ，
∴ ，设直线 ： ，把 代入可得：
，解得： ，
∴直线 ： ，
∵ ，
∴设 ： ，
∵ ，
∴抛物线对称轴为 ，
∴ ，
把 代入 ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：存在一点G，使以P，E，Q．点G的坐标为 或
（i）当 是矩形的边时，有两种情形：
①如解图①，四边形 是矩形时，
由（2）可知 ，代入 ，解得： ，∴直线 的表达式为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点E向右平移 ，向上平移1个单位得到点Q，
∴将点P向右平移 ，向上平移1个单位得到点G，
∴ ，即 ；
②如解图②，四边形 是矩形时，∵直线 的表达式为 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ,
∵四边形 是矩形
∴
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∴ ,即 ，解得： ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,解得： ，
∴
∴ ．
∵ ，
∴点P向右平移6，向上平移4个单位得到点Q，∴将点E向右平移6个单位，向上平移4个单位得到G，
∴ ，即 ．
（ii）当 是对角线时，设
∵ ,
∴ ,
∴ ，
∵Q是直角顶点，
∴ ，即 ，整理得： ，
∵ ，
∴该方程无解，
综上所述，满足条件的点G坐标为 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数及一次函数的性质、勾股定理、平移的
性质等知识点，熟练掌握矩形的性质及待定系数法求一次函数是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 两点，点 是直线 上一动
点，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 、交 轴于点 ．设点 的横坐标为t；
(1)分别求直线 和这条抛物线的解析式；(2)若点 在第四象限，若 ，求此时点 的坐标；
(3)点 是平面直角坐标系中的一点，当点 在第四象限时，是否存在这样的点 ，使得以A、C、B、
为顶点组成的以 为边的矩形?若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问
题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）设 ，将 代入两个函数解析式即可求出答案；
（2）设 ，根据 则 计算即可；
（3）分当 时； 时 ； 三种情况依次进行讨
论即可．
【详解】（1）解：设 ，
将 代入，
，
解得 ，
故 ，
，
将 代入，
，
解得 ，；
（2）解：设 ，
则 ，
，整理得， ，
， ，
，
∴ ；
（3）解： ，
，
，
①当 时．
，
，
.
，
.
或 （舍），
(没在第四象限，舍去)，
② 时 ．
，，
，
，
而 ，
，
，
，
时，
，
，
，
而 ，
，
矩形 时， ，
综合得 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 、 两点， 点D是抛物线
上横坐标为6的点． 点P在这条抛物线上，且不与A、D两点重合，过点P作y轴的平行线与射线 交
于点 ，过点Q作 垂直于y轴，点F在点Q的右侧，且 ，以 、 为邻边作矩形 ．
设矩形 的周长为 ，点 的横坐标为m．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
(2)求这条抛物线的对称轴将矩形 的面积分为1：2 两部分时m的值．
(3)①求d与m之间的函数关系式，
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
【答案】(1)
(2) 或 ；
(3)①当 时， ，当 时， ，
②当 时，点P的个数为0．当 时，点P的个数为3．当 时，点P的个数为2．当
时，点P的个数为1．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先求得抛物线的对称轴为直线 ，设抛物线的对称轴交 于点 ，进而求得 ，根据对
称轴将矩形 的面积分为 两部分可列方程 或 ，求解即可，
（3）①先利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，则 ，进而分
， 两种情况讨论求解即可．②根据①的函数解析式画出函数图象，结合图象即可得出d的不
同取值，点P的个数情况．【详解】（1）解：把 ， 、 ， 代入 ，
，
解得 ，
∴ ；
（2）解：如图所示，设抛物线的对称轴交 于点 ，
∵抛物线 的对称轴为： ，
∵这条抛物线的对称轴将矩形 的面积分为 两部分，
可得 ， ，
∴ 或 ，
解得： 或 ；
（3）①当 时， ，
∴点 的坐标为 ， ．
射线 所对应的函数表达式为 ．
∴ ．
∴当 时， ，
当 时， ，
②d的函数图象如图所示：
又 ，
由d的函数图象当 时，点P的个数为0．
当 时，点P的个数为3．
当 时，点P的个数为2．
当 时，点P的个数为1．
【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特
征、矩形的性质，解题关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式以及分类讨论思想的利用．
3．如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．点 是抛物线上的
任意一点（点 不与点 重合），点 的横坐标为 ，抛物线上点 与点 之间的部分（包含端点）记为
图像 ．(1)求出抛物线的解析式；
(2)当 时，图像 的最大值与最小值的差为 ，求出 与 的函数关系式，并写出 的取值范围；
(3)过点 作 轴于点 ，点 为 轴上的一点，纵坐标为 ，以 、 为邻边构造矩形 ，
当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2) ；
(3) 的取值范围是 或 ．
【分析】（ ）用待定系数法求函数的解析式即可；
（ ）根据 的取值范围，结合图象分类讨论即可；
（ ）分两种情况：当 时， 点在 点上方，结合图象求出 ，当 时， 点在 点
上方，结合图象求出 ；
本题考查了二次函数的图象与性质，利用数形结合的思想，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质，
矩形的性质是解题的关键．
【详解】（1）将 ， 代入 ，
∴ ，
解得： ，∴抛物线的解析式为 ；
（2）令 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的顶点为 ，
当 时，图象 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ ，
当 时，图象 的最大值为 ，最小值为 ，
∴ ；
当 时，图象 的最大值为 ，最小值为 ， ，
综上可知： ；
（3）∵ 轴，
∴ ，
当 时， 点在 点上方，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∵ ，∴ ；
当 时， 点在 点上方，
∴ ，
解得： 或 ，
∵ ，
∴ ，
综上所述： 的取值范围是 或 ．
类型七、二次函数中的正方形
【解惑】如图1，已知抛物线 与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接 ，交抛
物线于点 ．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图2，过点C作 轴于点D，点P为线段 上方抛物线上的一个动点，连接 ，交 于点
E，过点P作 轴于点G，交线段 于点F，设点P的横坐标为m．①求线段 的长（用含m的代数式表示）；
②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接
写出此时m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；②当点 为顶点的四边形是正方形时， 或
【分析】（1）运用待定系数法把把点 代入抛物线 即可求解；
（2）根据二次函数图象的性质，令 时，解一元二次方程即可；
（3）根据正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论：当 是正方形的边；当 是正方形的对角线；
由此列式求解即可．
【详解】（1）解：把点 代入抛物线 得， ，
解得， ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：在 ，当 时， ，
解得 ， （不符合题意，舍去），
∴ ；
（3）解：①∵ 轴， 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵点 是抛物线 的一点，且横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵过点 作 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②设直线 的解析式为 ，
把 代入 中得 ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∵点 在直线 的图象上，且点 的横坐标为 ，
∴ ，
由①得， ，点 ，
∴ ，
设 ，
∵点 的纵坐标相同，
∴ 轴， ，
当 为正方形的边时， ，则点 与点 重合，点 与点 重合，或是点 与点重合，点 与点 重合，如图所示，
∴ ，
解得， ；
当 为正方形的对角线时，连接 ，交 于点Q，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴四边形 是矩形，则 ，
∴ ，
解得， ；
综上所述，当点 为顶点的四边形是正方形时， 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，
相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识的综合运用是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图，某一次函数与二次函数 的图象交点为 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为抛物线对称轴上一动点，当 与 的和最小时，求点 的坐标；
(3)在（2）条件下，点 为 轴上一点，点 为直线 上一点，点 为平面直角坐标系内一点，若以点
， ， ， 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3) 或 或 或
【分析】本题考查用等定系数法求函数解析式，二次函数与正方形综合，二次函数与一次函数综合．熟练
掌握二次函数的图象性质和正方形的性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）先用待定系数法求出直线 的解析式为 ，根据当点 、 三点共线时， 的最小
值为 的长，再根据抛物线 的对称轴为 ，把 代入 ，求得 ，即可求
解．
（3）分三种情况：当 为对角线时，此时四边形 是正方形；当 为边时，若点 在 的上方，
四边形 是正方形；当若点 在点 的下方时，四边形 是正方形．分别求解即可．【详解】（1）解：将 ， 代入 得
抛物线的解析式为 ．
（2）解：设直线 的函数解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ．
，
当点 、 三点共线时， 的最小值为 的长，
抛物线 的对称轴为 ，
当 时， ，
（3）解：当 为对角线时，此时四边形 是正方形，如图，
令 ，则 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，点 为 轴上一点，∴ 轴，
∵ ，
；
当 为边时，若点 在 的上方，四边形 是正方形，如图，
此时 ，
轴
是等腰直角三角形，
，
；
当点 在点 的下方时，四边形 是正方形，如图，
是等腰直角三角形，
∴点F在 的垂直平分线上，
∵点 为 轴上一点， ，
∴点F的横坐标为 ，
把 代入 ，得 ，∴
∵四边形 是正方形，
∴点F与点N关于 对称，
∴ ；
当点 在点 的下方时，如图，四边形 是正方形，
∵四边形 是正方形，点 为 轴上一点，
∴点N与点C关于y轴对称，
∵
∴ ；
综上：点 的坐标为 或 或 或 ．
2．如图，抛物线 经过 ， 两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛
物线的对称轴 交x轴于点E，连接 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点Q在该抛物线的对称轴上，若 是以 为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；
(3)若P为 的中点，过点P作 轴于点F，G为抛物线上一动点， 轴于点M，N为直线
上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或
(3) 或 或 或
【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）分 、 两种情况，利用等腰三角形腰相等求解即可；
（3）计算出 ， ，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则
，即可求解．
【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得:
，解得 ，
故抛物线的表达式为 ；
（2）由抛物线的表达式知，点 ，函数的对称轴为直线 ，
则设点Q的坐标为 ，
由点A、C、Q的坐标得： ，
同理可得： ， ，
当 时，则 ，解得 ；
当 时，同理可 或0（舍去 ），故点Q的坐标为 或 或 ；
（3）∵ ，故点D的坐标为 ，
由点B、D的坐标得，点 ，
则点 ，
设点M的坐标为 ，则点 ，
则 ， ，
当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，则 ，
即 ，
当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
故点M的坐标为 或 或 或 ．
3．如图，抛物线 与x轴交于点A和点 ，与y轴交于点 ，点D是抛物线上一
动点．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点D为直线 上方抛物线上一动点，当 最大时，求点D的坐标并求此时 面积
的最大值；
(3)点P在抛物线的对称轴l上，点Q是平面直角坐标系内一点，当四边形 为正方形时，求点Q的坐
标．
【答案】(1) ；
(2) ，此时 面积的最大值为 ；
(3)点Q的坐标 、 、 、 ．
【分析】（1）将 ， 两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出直线 的解析式，由 可证明 ，作 于 ，则 ，
设点 的横坐标为 ，分别表示出 和 ，然后用含 的解析式表示出 ，求这个一元二次解析式
的最值，即可求解；
（3）若四边形 为正方形，则 是等腰直角三角形，且 ，根据题意画出对应图形，利
用全等三角形建立方程，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ 经过点 ，点
∴ ，解得
∴抛物线的函数解析式为： ．（2）解：设直线BC的解析式为 ，将 ，点 代入得其解析式得，
解得
∴直线BC的解析式为 ．
作 交 于E，如图，
设点D的横坐标为t，则 ，
∴
所以当 时， 的面积最大值．此时 ， 面积的最大值为 ；
（3）解：∵
∴抛物线的对称轴为 ，
若四边形 为正方形，则 是等腰直角三角形，且 ，
设点D的横坐标为n，则
①如图，过点 作 于点M，设直线l与x轴交于点N，则 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ≌ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，点D与点A重合，如图，此时由正方形性质可得：
，则 或 ，则 ；
当 时 ，则 ．
②如图，过点 作 于点M，设直线l与x轴交于点N，同理可证， ≌ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
当 时，点D与点A重合，同上；
当 时， ， 则 ；
综上，点Q的坐标 、 、 、 ．
【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定的与性质、
矩形的性质、二次函数的图像和性质等知识，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
类型八、二次函数中的等角、倍(半)角
【解惑】如图，已知二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点． 点坐标为 ，与 轴交
于点 ，点 为抛物线顶点，点 为 中点．(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线 上方的抛物线上存在点 ，使得 ，求点 的坐标；
(3)已知 ， 为抛物线上不与 ， 重合的相异两点．
①若点 与点 重合， ，且 ，求证： ， ， 三点共线；
②若直线 ， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明
理由．
【答案】(1)
(2)
(3)①见解析；② 的面积为定值
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意得出 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，则
是等腰直角三角形，根据 ，建立方程，解方程，即可求解；
（3）①根据题意得出 ，得出直线 的解析式为 ，联立 得出 ，
在直线 上；②设 ， ，设 的解析式 ，联立抛物线解析式，可得
，根据题意，设直线 解析式为 ，直线 的解析式为 ，
求得 到 轴的距离是定值，即可求解．
【详解】（1）解：将 ， 代入 得，
解得：∴抛物线解析式为
（2）解：对于 ，令 ，
解得：
∴
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
如图所示，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，则
∴ ，
∴
解得： （舍去）或
∴（3）①点 与点 重合，则 ，
∵点 为 中点， ，
∴ ,
设直线 的解析式为 ，代入 ,
∴
解得：
∴
联立
解得： 或
∴ ，在直线 上
即 ， ， 三点共线；
②设 ，
∵ ， ， 三点共线；
∴设 的解析式 ，
联立
消去 得，
∴∵ ，
设直线 解析式为 ，直线 的解析式为
联立
解得：
∴
∵ ，
∴ ，
∴
而 不为定值，
∴ 在直线 上运动，
∴ 到 轴的距离为定值 ，∵直线 ， 交于点 ，则无论 ， 在抛物线上如何运动，只要 ， ， 三点共线， ，
， 中必存在面积为定值的三角形， 到 的距离是变化的，
∴ 的面积为 是定值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元
二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【融会贯通】
1．如图 ，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点
．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图 ，点 为直线 上方抛物线上一点，过点 作 轴的平行线交 于点 ，过点 作 交
轴于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
(3)在（ ）中 取得最大值的条件下，将抛物线 沿射线 方向平移 个单位
长度， 为平移后抛物线对称轴上的一点，若 ，请写出所有符合条件的点 的坐标，并写出其中一种情况的过程．
【答案】(1)抛物线的函数解析式 ；
(2) 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ；
(3)点 的坐标为 或 ，证明见解析．
【分析】（ ）将 两点坐标代入抛物线的解析式求得 的值，进而得出解析式；
（ ）由 两点求出 的解析式, 过点 作 轴于点 ，证明 ，进而设出点 坐
标，表示出 的长，进一步得出结果；
（ ）连接 ，可得 ，要使 ，只需 ，所以分为点
在 上方和点 在 下方，结合图象，进一步得出结果；
本题考查了二次函数的图象及性质，用待定系数法求一次函数的解析式，锐角三角函数，平移的性质等知
识，正确分类，画出符合条件的图形及熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）由题意得 ，解得： ，
∴抛物线的函数解析式 ；
（2）当 时， ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，设点 ，则 ，
∴ ，
过点 作 轴于点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴当 时， 的最大值为 ，此时点 的坐标为 ；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴将抛物线 沿射线 方向平移 个单位长度，即将抛物线 向下平移
个单位长度，向右平移 个单位长度，
∴平移后抛物线的对称轴为直线 ，连接 ，∵ ， ，
∴ ，
要使 ，只需 即可，
当点 在 上方时，设 交 轴于 ，过点 作 于 ，交 于 ，
设 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴点 的坐标为 ，
同理得直线 的解析式为 ，
当 时， ，∴点 的坐标为 ；
当点 在 下方时， 与平移后抛物线的对称轴交于 ，
∵ ， ，
同理得直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
综上所述：点 的坐标为 或 ．
2．如图，已知抛物线 经过 、 两点，与x轴的另一个交点为 ，顶点为 ，
连接 ，点 为抛物线上一动点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若点 在直线 的下方运动时，过点 作 交于点E，过点 作y轴的平行线交直线 于点 ．
求 周长的最大值及此时点 的坐标．
(3)在该抛物线上是否存在点 ，使得 若存在，求出所有点 的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1)
(2) 周长最大为 ，此时点 坐标为
(3)存在，点 的坐标为 或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）延长 交 轴于点 ，作 轴于点 ，根据抛物线的解析式可得到 ， ，进
而求出直线 的解析式为 ，设 ，则 ，得到 ，证明
，得到 ，由 ， ，可推出
，即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当点 在 上方时，过点 作 交抛物线于点 ，则 ，
利用待定系数法求出直线 的解析式为 ，进而可求出直线 的解析式为 ，联立
，即可求解；②当点 在 下方时，作 交 轴于点 ，连接 交抛物线于点
，可得到 是直角三角形，且 ， ，由 ， ，知
是等腰直角三角形，得到 ，进而得到 也是等腰直角三角形 ，
推出 ，求出直线 的解析式为 ，
联立 ，即可求解．
【详解】（1）解：将 、 代入抛物线 中得：
，解得： ，
抛物线的表达式为： ；
（2）在 中，令 ，则 ，
解得： 或 ，
，
又 ，
顶点 ，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，
轴，
，
，
如图，延长 交 轴于点 ，作 轴于点 ，即 ，，
，
，
，
，
，
，
又 ， ，
，
又 ，
，
当 时， 有最大值 ，
周长最大为 ，此时点 坐标为 ；
（3）存在，理由如下：
①当点 在 上方时，如图，过点 作 交抛物线于点 ，
则 ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得：，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 （舍去），
；
②当点 在 下方时，作 交 轴于点 ，连接 交抛物线于点 ，
在 中， ， ， ，
，
是直角三角形，且 ，
，
由 ， ，知 是等腰直角三角形，
，
又 ，
，
也是等腰直角三角形，， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入得： ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
联立 ，
解得： 或 （舍去），
，
综上所述，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 与 轴交于点 ，
点 是 轴下方抛物线上不与点 重合的一动点，设点 的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图， 若 ， 求 的值；
(3)过点 分别作 轴， 轴的平行线交 于点 ， ， 的周长记为 ．
求 关于 的函数解析式；
在点 运动的过程中，当 取某一个值时，存在两个点，它们的横坐标分别为 满足
，请求出此时 的值．
【答案】(1)抛物线解析式为： ；
(2) 的值为 ；
(3) ； ．
【分析】（ ）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（ ）过 作 轴于点 ，由点 的横坐标为 ，且在抛物线 图象上，则点 的横坐标为 ， ，由 ，得 ，列出 即可
求解；
（ ） 设 得解析式为 ， 求出 得解析式为 ，设 ，
则 ， ，分当点 在 下方时，即 时和当点 在 上方时，
即 时，求出 即可；
由题意得 ， ，转化为一元二次方程即可求解；
本题考查了二次函数和一次函数的图象及性质，待定系数法，解直角三角形和解一元二次方程，熟练掌握
知识点点的应用是解题的关键．
【详解】（1）∵抛物线 与 轴交于 ， 两点，
∴ ，解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
（2）如图，过 作 轴于点 ，
∴ ，∵点 的横坐标为 ，且在抛物线 图象上，
∴点 的横坐标为 ， ， ，
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
整理得： ，
解得： ， （舍去），
∴ 的值为 ；
（3） 如图，当点 在 下方时，即 时，
由（ ）得： ，
设 得解析式为： ，
∴ ，解： ，∴ 得解析式为： ，
设 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
∴ 的周长 ；
如图，当点 在 上方时，即 时，
由上可知： 得解析式为： ，
设 ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
，∴ 的周长 ，
∴ ；
由 得 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得： ，
解得： ，
由题意得正值舍去，则 ，
∴ ，
此时 ．
【一览众山小】
1．如图，抛物线 与 轴交于点 ，顶点坐标 ，与 轴的交点在 ， 之间
（包含端点），则下列结论：① ；② ；③对于任意实数 ， 总
成立；④关于 的方程 有两个相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题
关键．根据抛物线图像的性质得到 的范围，根据对称轴和 轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从
而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴ ，
∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，故①符合题意；
∵ 在抛物线上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵与轴的交点在 ， ，之间包含端点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②符合题意；
∵顶点坐标 ，抛物线开口向下，
∴当 时，y有最大值，最大值为 ，∴对于任意实数 ， ，
∴ ，
∴ ，故③符合题意；
∵顶点坐标 ，且开口向下，
∴直线 与抛物线 没有交点，
∴关于 的方程 没有实数根，故④不符合题意．
故选：C．
2．已知二次函数 的图象上有两点 ， ，其中 ，则
（ ）
A．若 ，当 ，则
B．若 ，当 ，则
C．若 ，当 ，则
D．若 ，当 ，则
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由二次函数的解析式求得对称轴为
直线 ，然后判断 与 的大小，即可判断每个选项正误，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由二次函数 得，
当 时， ，
解得 ， ，
∴二次函数 经过点 ， ，
∴对称轴为直线 ，、若 ，当 时，
∴ ，
则 ，故不符合题意；
、若 ，当 时，
∴ ，
则 ，故不符合题意；
、若 ，当 时，
∴ ，
则 ，故符合题意；
、若 ，当 ，
∴ ，
则 ，故不符合题意；
故选： ．
3．如图1，在等腰直角 中， ，且位于长方形 的左侧，直角边 与 边在同一
直线上， ．现将 沿 方向移动，设 的长为x， 与长方形 的重叠部分（图
中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形 的
边长为 ，当 时，x的值为 ．
【答案】 9 4或11【分析】本题考查从函数图象获取信息，二次函数与运动图形的综合应用，由图象可知，当 时，
重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，当 时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，说明梯形
的高为定值，说明高为 的长，即当 时，点 与点 重合，当 时，点 与点 重合，说明
，进而求出三段函数的解析式，求解即可．
【详解】解：由图象可知：当 时，重叠部分为梯形，图象为抛物线的一部分，
当 时，重叠部分为梯形，图象为一条直线，则梯形的高为定值，
即：高为 ，
∴ ，
∴当 时， ，则 ，
∵等腰直角 ，
∴ ，
∴ ，
∴重叠部分的面积： ，
当 时， ，
解得： （舍去）；
当 时， ， ，∴ ，
当 时， ，
∴ （舍去）；
当 时，则： ，
∴ ，
当 时， ，
解得： 或 （舍掉）；
故答案为：9；4或11．
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与其关于直线 对称的图象交于
四点， 则四边形 的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数图象的性质，四边形的面
积，联立函数解析式求出 坐标，可求出 ，连接 ，设 ，由点 关于直线 对称，
可得 ， ，根据二次函数的性质求得 ， ，即可求解，由轴对称的性质对
称 坐标的关系是解题的关键．
【详解】解：由 ，解得 或 ，
∴ ， ，
∴ ，
连接 ，设 ，
∵点 关于直线 对称，
∴ ， ，
把 、 代入得，
，
得， ，
整理得， ，
即 ，
∴ ，
把 代入 得， ，
整理得， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故答案为： ．
5．在平面直角坐标系中，抛物线 ，对称轴为直线 ，点M，N在抛物线上，点M的横坐
标为 ，点N的横坐标为 ．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)若点M，N关于对称轴对称，连接 ，求线段 的长度；
(3)若此抛物线上M，N两点之间的部分记为图象W（包括点M，N），
①当点M在点N的左侧，图象W对应的函数值y随x的增大而先减小再增大时，设图象W最高点的纵坐标
与最低点的纵坐标的差为h，求出h与m之间的函数表达式．并写出m的取值范围；
②已知抛物线交y轴于点A，过点A作直线 平行于x轴，交抛物线于点B，直接写出当图象W与直线
有且只有一个公共点时，m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)① ；② 或
【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质,二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数
解析式，二次函数的图象与性质,二次函数的最值是解题的关键．
（1）由抛物线 ，对称轴为直线 ，可得 ，可求 ，进而可得抛物线的函数
表达式；
（2）由点M，N关于对称轴对称，可得 ，可求 ，则 ， ，根据
，计算求解即可；
（3）①由点M在点N的左侧，图象W对应的函数值y随x的增大而先减小再增大，可得 ，可求得 ，当 时， ，则顶点坐标为 ，由题意知，图象W最低点的纵坐标为 ，当
即 时， ；当 ，即 时，
；求解作答即可；②当 时， ，即 ；由直线 平行于x轴，可得
，当点M在点N的左侧时， ，可求 ，则 ，当图象W与直线 有且只
有一个公共点时， ，计算求解即可；当点M在点N的右侧时， ，可求 ，则
，当图象W与直线 有且只有一个公共点时， ，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 ，对称轴为直线 ，
∴ ，
解得， ，
∴此抛物线对应的函数表达式为 ；
（2）解：∵点M，N关于对称轴对称，
∴ ，
解得， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴线段 的长度为 ；
（3）①解：∵点M在点N的左侧，图象W对应的函数值y随x的增大而先减小再增大，
∴ ，
解得， ，当 时， ，
∴顶点坐标为 ，
由题意知，图象W最低点的纵坐标为 ，
当 即 时， ；
当 ，即 时， ；
综上所述， ；
②解：当 时， ，即 ；
∵直线 平行于x轴，
∴ ，
当点M在点N的左侧时， ，
解得， ，
∴ ，
当图象W与直线 有且只有一个公共点时， ，
解得， ；
当点M在点N的右侧时， ，
解得， ，
∴ ，
当图象W与直线 有且只有一个公共点时， ，
解得， ；
综上所述，当图象W与直线 有且只有一个公共点时，m的取值范围为 或 ．
6．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A、B的坐标分别为
、 ，点C的坐标为 ．点D是抛物线第一象限上一个动点．设点D的横坐标为，连接 、 、 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当四边形 的面积最大时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使
得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出占M的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）将 、 、 的坐标代入解析式，即可求解；
（2）过 点作 轴交于 ，可得 由 得二次函数，利
用二次函数性质即可求解；
（3）分类讨论① 为边时，（ⅰ）当 与 重合时，此时四边形 是平行四边形，由平行四边形
的性质得 ，即可求解；（ⅱ）当构成四边形 是平行四边形时，由点的平移得点 由点
向左平移 个单位，再向上平移 个单位，可得点 由点 向左平移 个单位，再向上平移 个单位，
设 ，由点的平移规律得 ，由点 在 轴上，即可求解； ②
为对角线时，同理可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图，过 点作 轴交于 ，
，
，
，
，
，
， ，当 时， 取得最大值；
（3）解：
，
；
① 为边时，
（ⅰ）当 与 重合时，此时四边形 是平行四边形，
， ，
轴，
四边形 是平行四边形，
，
；
（ⅱ）如图，当构成四边形 是平行四边形时，
点 由点 向左平移 个单位，再向上平移
个单位，
点 由点 向左平移 个单位，再向上平移 个单位，
设 ，
，在 轴上，
，
解得： ， ，
当 时，
，
当 时，
，
或 ；
②如图， 为对角线时，
此时当 与 重合时，四边形 是平行四边形，
同理可求： ；
综上所述： 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了二次函数几何综合应用，待定系数法，动点产生的面积最值问题，动点平行四边形问
题，能“化动为静”表示出面积，熟练利用二次函数的性质求解，能根据点的不同位置进行分类讨论求解
是解题的关键．
7．如图，平面直角坐标系中，点 、 在抛物线 上，该抛物线的顶点为C，点
P为抛物线上一点，其横坐标为m．(1)求该抛物线的解析式；
(2)当 轴时，求 的面积；
(3)当该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为1时，求出
m的值；
(4)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使 是以 为斜边的直角三角形？若存在，直接写出点E的
坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2) 的面积为1；
(3) 或 ；
(4)点E的坐标为 或 .
【分析】（1）利用待定系数法可得该抛物线的解析式；
（2）根据配方法可得抛物线的对称轴，确定点P的坐标，知道 轴，根据三角形的面积公式可得结
论；
（3）根据（2）的结论结合函数图象，从而确定m的值；
（4）设 ，而 、 ， ， ， ，再利用
勾股定理建立方程求解即可.
【详解】（1）解：把点 、 代入 得：
，
解得： ，该抛物线的解析式为 ；
（2）解：由（1）知， ，
点 为 ，
当 轴时，点 与点 关于对称轴 对称，
点 ，
，点 到 的距离为1，
，
的面积为1；
（3）解：由（1）知，点 到 的距离为1，
此时点 ， ，
∴当 或 时，该抛物线在点A与点P之间（包含点A和点P）的部分的最高点和最低点的纵坐标
之差为1；
（4）解：如图，∵ ，
∴对称轴为直线 ，
设 ，而 、 ，
∴ ， ， ，
∵ 为斜边，
∴ ，
解得： 或 ，
∴点E的坐标为 或 .【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、轴对称的性质等知识；
会利用待定系数法求函数解析式；二次函数与特殊三角形，关键是根据已知条件讨论点P的位置．
8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，且 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当二次函数 的值大于 时，结合图象，直接写出自变量 的取值范围；
(3)点 为 轴负半轴上一点，点 的纵坐标为 ．过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ， （点 在点
的左边），判断 与 的数量关系，并说明理由；
(4)在（ ）的条件下，点 ， 在此抛物线上，其横坐标分别为 ， ，设此抛物线在点
与点 之间部分（包括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 ，在点 与点 之间部分（包
括点 和点 ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 ，若 ，请直接写出 的值．
【答案】(1)抛物线的解析式为 ；
(2) 或 ；
(3) ，理由见解析；
(4) 的值为 或 ．
【分析】（ ）把 ， 代入 即可求解；
（ ）当 时， ，解出方程，再根据图象即可求解；（ ）由题意得：点 ，点 的纵坐标为 ，当 时， ，即 ，
则有 ， ，然后用两点间的距离即可求解；
（ ）分 当 在对称轴左侧，即 ，此时 时， 关于直线 的对称点为 ，当
， 时， 当 ，即 时三种情况，再根据图象及性质即可求解；
本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的
关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想和方程思想的应用．
【详解】（1）把 ， 代入 得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由（ ）得抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ， ，
∴二次函数 的值大于 时，
根据图象可知自变量 的取值范围为 或 ；
（3） ，理由：
如图，由题意得：点 ，点 的纵坐标为 ，
∴当 时， ，即 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ；
（4）∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，抛物线开口向上，
由（ ）可得 ，
∵ 在此抛物线上，其横坐标分别为 ， ，
∴ ， ，
当 在对称轴左侧，即 ，此时 时，
则 ， ，
∴ ，
解得 (舍去)或 ；
关于直线 的对称点为 ，当 ， 时，则 ， ，
∴ ，
解得 （舍去）或 （舍去）；
当 ，即 时，
则 ， ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
综上所述， 的值为 或 ．
